Compacidad: la asombrosa matemática del Universo

Compacidad: la asombrosa matemática del Universo
¿ Por qué a veces vemos granos de arena flotando en el agua de la
playa, si la arena es muy pesada? ¿Por qué flota el polvo en el aire?
¿Por qué resulta más sencillo romper una tabla larga que una corta?
¿Por qué los grandes animales conservan mejor el calor que los
pequeños? Muchas de estas cosas pueden explicarse con una asombrosa relación
matemática conocida como "Compacidad".
La “ciencia popular” nos ha enseñado desde siempre, que las cosas flotan cuando son menos
densas que el agua: Una plancha de corcho flota con facilidad, porque este material es menos
denso que el agua. Los barcos de madera también son menos densos… las tablas de Suf, un
flotador hinchable, etc…
Pero en la vida cotidiana comprobamos cómo algunos objetos muy densos, también pueden flotar:
granos de arena en la superficie del agua del mar, barcos de acero como los portaaviones, o
incluso, gotas de agua o polvo flotando en el aire. Si los granos de arena no son otra cosa que
piedras pequeñitas (mucho más pesadas que el agua), entonces cómo es posible que puedan
flotar?
El error está en considerar la "densidad" de los objetos, como el único factor que influye en la
flotabilidad. Para saber si un objeto puede flotar, es necesario conocer la densidad de ese objeto,
y lo que es tan importante, la superficie del mismo.
Por tanto, podemos decir que "un objeto flota, si su densidad es pequeña, y su superficie es
grande". Ejemplos:
Imaginad que queremos caminar por la nieve sin hundirnos (o sea, queremos "flotar" encima de la
nieve). Comprobamos fácilmente cómo, al caminar con zapatos normales, nuestros pies se hunden
bastante... pero utilizando unas anchas raquetas para nieve, apenas conseguimos hundirnos: la
diferencia entre un caso y el otro, no reside en nuestro peso, ni en nuestra densidad, que son
siempre iguales. La diferencia sustancial está en la superficie de contacto con el suelo: con
zapatos de pequeña superficie, nos hundimos... con raquetas de gran superficie, flotamos.
Algo similar sucede cuando clavamos un clavo en una tabla: si el
clavo es fino, bastará con dar unos martillazos suaves, pero cuanto
más grueso sea el clavo, más fuerte tendremos que golpear.
En ambos ejemplos, la facilidad con la que un objeto se hunde
dentro de otro (ya sea sólido o líquido), depende de la fuerza con
la que el objeto pretende hundirse y de la superficie de contacto
entre ambos medios.
Pues bien, ambas propiedades relacionadas (Fuerza y Superficie), forman una magnitud física que
conocemos como "Presión"
Como pasa con todos los fenómenos de
la física, un objeto no se mueve si sobre
él actúan fuerzas que se encuentran en
equilibrio, es decir, que las fuerzas que
"empujan" por un lado, son iguales y
opuestas a las que empujan por el lado
contrario. De esta forma, si un objeto
flota en el agua, es porque la presión que
ejerce dicho objeto hacia abajo (su peso
por unidad de superficie) es igual a la presión que ejerce el agua contra dicho objeto. En
el caso de un barco flotante, debemos tener en cuenta la presión que este ejerce "contra"
el agua. Y esa presión se calcula fácilmente dividiendo su peso entre la superficie total
que está en contacto con el agua: Presión (P) es igual a Peso (Masa por gravedad "g")
entre Superficie (S):
P=
M*g
S
En esta fórmula vemos que si la superficie es muy grande, la Presión que ejerce el barco contra el
agua, es muy pequeña. Y si el Peso aumenta, la Presión también lo hace. Cuando la Presión total
del Barco (hacia abajo) iguala a la Presión del agua hacia arriba, el barco flota.
Aparentemente, en la fórmula de más arriba no vemos que la densidad del barco tenga ninguna
relevancia, porque no aparece en ella. Pero de una manera u otra, podemos hacer que aparezca,
relacionándola con la Masa del barco. Si la Masa de un objeto (M) es igual a la densidad del mismo
(d) multiplicada por su volumen (V) , fácilmente podemos introducir la densidad en la fórmula:
Si reordenamos esta última fórmula, comprobamos que podemos dejar en un sólo grupo el
cociente V/S y por otro lado, el producto d*g. De esta forma, se puede definir la Presión que
ejerce el Barco contra el agua como el producto del "Volumen entre superficie" por la densidad y
por la gravedad.
La proporción entre volumen y superficie se conoce en topología y en geometría con el nombre de
"Compacidad". Es una cualidad qe indica cuán compacto es un objeto: Si un objeto de un volumen
determinado (pongamos un metro cúbico) presenta una superficie exterior (su piel) muy pequeña,
quiere decir que el objeto es muy compacto, o tiene gran compacidad.
Así pues, un objeto podrá flotar (ejerce muy poca presión hacia abajo), si es poco denso y si es
poco compacto:
NO BASTA CON DECIR QUE LOS OBJETOS QUE FLOTAN SON POCO DENSOS. DEBEN SER
POCO DENSOS O POCO COMPACTOS, O AMBAS COSAS A LA VEZ
Lo comprobamos muy bien en los siguientes casos:
El aluminio es un metal cuya densidad es 2.7 veces superior a la del agua: un bloque de aluminio
debería hundirse en el agua completamente. Sin embargo, basta depositar un trozo de papel de
aluminio sobre un recipiente con agua, para comprobar que flota. Conclusión: la densidad del
objeto parece no influir en su flotabilidad.
Pero si fabricáramos una bola de aluminio, esta se hundiría en el agua
a bastante velocidad. La casua: aunque ambos objetos (papel y
bola) tienen la misma densidad, la compacidad del papel es muy
inferior a la de la bola, porque la superficie de esta que entra en
contacto con el agua es mucho menor que la superficie del papel.
Recordemos que Compacidad "C"=V/S
De igual forma, un barco flota porque la superficie que toca el agua es
muy grande (tiene una compacidad muy baja)
Curiosamente, cuando se trata de explicar la flotabilidad de un objeto, sólo se suele hacer
referencia a la densidad, dejando de lado la compacidad, a pesar de que ambos conceptos tengan
idéntica función y relevancia.
La relación existente entre volumen y superficie (compacidad) tiene una enorme influencia en
multitud de fenómenos físicos y biológicos: Los pequeños animales (de poco volumen y
compacidad) presentan una gran superficie exterior en comparación con su volumen y como
consecuencia, se enfrían rápidamente al poseer una piel muy grande en comparación con su
volumen.
Lo mismo se puede apreciar en el mundo microscópico, donde la Compacidad presenta una
relevancia trascendental. Si atendemos a las diferentes estructuras celulares, casi todas ellas
pueden dividirse en dos grandes grupos: Eucariotas y Procariotas. La diferencia sustancial entre
estos dos tipos radica en su complejidad, tamaño y disposición interno. Podríamos decir que las
Eucariotas son grandes, complejas y con núcleos bien definidos y suelen ser o formar parte de
animales, plantas, hongos y en general, los organismos más complejos. Por su parte, las células
Procariotas son pequeñas, más simples, sin núcleos bien definidos y suelen formar parte de
algunos tipos de bacterias y otros seres vivos similares.
La diferencia matemática que más nos interesa en esta ocasión entre ambos grupos, es su
tamaño: las células grandes (Eucariotas) presentan un volumen grande, pero una superficie
externa (membrana celular) mucho menor en comparación con su tamaño, o lo que es igual, las
células Eucariotas presentan una gran Compacidad. Por su parte, las Procariotas, mucho más
pequeñas, tienen una "piel" muy grande en comparación con su volumen, es decir, tienen baja
compacidad. Esta particularidad de las Procariotas (tener mucha piel) les permite disponer de una
gran superficie externa para captar moléculas del exterior, como alimento, Oxígeno, etc. Como
consecuencia de esta habilidad para captar gran cantidad de moléculas, las células Procariotas
presentan una enorme velocidad de transporte de nutrientes hacia su interior y paralelamente, las
poblaciones son mucho más numerosas que en el caso de las Eucariotas
Otro fenómeno muy conocido es el de la fragilidad
de un objeto, en relación a su tamaño. Un palo largo
puede ser quebrado con facilidad. Sin embargo, a
medida que vamos acortando el mismo palo, incluso
sabiendo que su grosor sigue siendo el mismo, la
dificultad para romperlo va en aumento: Un palo
corto es más compacto que uno largo, y cuanto
mayor sea su compacidad, mayor es su resistencia. Por su parte, la flexibilidad del mismo objeto
es directamente proporcional a la superficie que ocupa. De hecho, un palo largo es mucho más
flexible que un palo corto. Ambas propiedades, flexibilidad y fragilidad guardan relación
matemática con el cociente volumen/superficie.
DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
En el diagrama de arriba tenemos dos cubos: Un cubo grande llamado Cg y uno pequeño, llamado
Cp. Hemos determinado que el lado del cubo pequeño, al que llamamos "C", sea 10 veces menor
que el lado del cubo grande, llamado "L" (aunque el dibujo no está realizado a escala). De tal
forma que la longitud de "L" es igual a 10 por "C", lo cuál puede escribirse matemáticamente con
la igualdad L=10*C.
A simple vista, da la sensación de que ambos cubos, al tener una forma idéntica en proporciones,
deberían ser igual de "compactos", es decir, deberían tener idéntica "Compacidad". Pero en cuanto
comenzamos a operar matemáticamente, comprobamos que el cubo grande "Cg" es 10 veces más
compacto que el cubo pequeño. Para demostrar esto, hay que calcular tanto el volumen como la
superficie de ambas figura geométricas y dividir esos valores entre sí, para obtener las
correspondientes compacidades
En el cuadro del diagrama vemos que el valor de la Compacidad del cubo grande "Cg" es L/6, en
tanto que la Compacidad del cubo pequeño "Cp" es C/6. Pero cuando dividimos el primero entre el
segundo (comparación entre ambas compacidades), teniendo en cuenta que L=10*C, vemos cómo
el cubo grande es 10 veces más compacto que el pequeño, según la igualdad Cg=10*Cp.
Curiosamente, si el lado del cubo grande es 10 veces mayor que el pequeño, su compacidad
también es 10 veces mayor.
Comprobamos otra curiosidad matemática en este ejemplo: Si el lado del cubo pequeño "Cp"
midiera 1 metro, el del cubo grande "Cg" mediría 10 metros. Al comprobar cuánto más grandes
son el volumen y la superficie de ambos cubos, calculamos:
1- Volumen del cubo grande = 10*10*10 = 1.000 metros cúbicos
2- Volumen del cubo pequeño = 1*1*1 = 1 metro cúbico
3- Superficie del cubo grande = 6*10*10 = 600 metros cuadrados
4- Superficie del cubo pequeño = 6*1*1 = 6 metros cuadrados
A- Relación Vg/Vp = 1000/1 ==> Vg = 1.000*Vp
B- Relación Sg/Sp = 600/6 ==> Sg = 100*Sp
Y estas igualdades nos dicen que "aunque el cubo grande tiene un volumen mil veces superior al
del cubo pequeño, su superficie sólo es 100 mayor"... y a medida que vamos reduciendo el
tamaño del cubo, esta diferencia va incrementándose.
De esto último deducimos que, a medida que que una figura o un objeto se hace más pequeña, su
compacidad se reduce significativamente, y por tanto, su superficie exterior (su piel) es cada vez
más grande en comparación con el volumen que ocupa.
ENTONCES, POR QUÉ LA ARENA FLOTA A VECES SOBRE EL AGUA?
Partamos de la base de que los granos de arena, son en realidad, minúsculas piedra, cuya
densidad es más o menos 3 veces superior a la del agua. Pero ya vimos en la primera parte de
este artículo, que los objetos flotan si reunen dos condiciones: baja densidad y baja compacidad.
Algunos granos de arena, sobre todo si son lo bastante pequeños,
pueden llegar a flotar en el agua del mar, cuando su compacidad
es lo bastante pequeña como para superar el límite de flotabilidad
requerido. Efectivamente, Una piedra grande tiene una gran
compacidad, pero a medida que vamos troceando dicha piedra en
porciones cada vez más pequeñas, su compacidad disminuye
drásticamente: el volumen que ocupan dichos trozos es muy
pequeño en comparación con su superficie exterior (su piel), hasta
que llega un momento en el que la superficie es tan grande en comparación con su volumen (y su
masa), que el pequeño trozo de arena ejerce una presión diminuta contra el agua, y termina
flotando.
Este curioso fenómeno explica también por qué el polvo flota en el aire, o por qué las nubes
(formadas en su mayor parte por agua líquida y cristales de hielo), son capaces de permanecer
suspendidas en la atmósfera, sin caer al suelo, hasta que las gotas de agua aumentan su
compacidad por efecto de la condensación y la temperatura, momento en el que las nubes caen en
forma de lluvia, granizo etc.
MÁS EJEMPLOS:
La compacidad tiene bastante que ver con los asuntos energéticos. Una casa grande es
energéticamente, mucho más eficiente que dos casas pequeñas cuyos volúmenes sumados sean
igual al volumen de la grande. Aunque en ambos casos, el volumen de aire a calentar en el
interior sea idéntico, el hecho de que las dos casas pequeñas presenten una superficie exterior
mayor, implica pérdidads energéticas extra, por presentar en su conjunto, una superficie de
fachada más grande.
Incluso en economía empresarial, donde últimamente está muy de moda el concepto de
"diversificación", podemos acusar este efecto. Con frecuencia, empresas de gran tamaño se
dividen en múltiples empresas filiales mucho más pequeñas porque, aunque el volumen
económico de ambas variantes termine siendo el mismo, el mero hecho de "partir" una empresa
grande en pequeños "trocitos", permite abarcar cuotas de mercado más amplias, como si la
"superficie" de interacción con el mercado de clientes aumentara considerablemente.
EN LA NATURALEZA A VECES, EL TAMAÑO SÍ IMPORTA
Jon Álvarez
www.canaldeciencias.com