UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CARRERA/S: Licenciatura en Matemática
PLAN DE ESTUDIOS: 2008.
ASIGNATURA: Topología
CÓDIGO: 1917
DOCENTE RESPONSABLE: Dr. Fabián E. Levis
EQUIPO DOCENTE:
Fabián E. Levis, Doctor en Cs. Matemáticas.
Albina N. Priori, Doctora en Cs. Matemáticas
AÑO ACADÉMICO: 2014
REGIMEN DE LA ASIGNATURA: cuatrimestral
RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES. Se debe tener regular el Código 1929.
CARGA HORARIA TOTAL: 135 hs.
TEÓRICAS: 5 hs.
PRÁCTICAS: 4. hs
CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria
A. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA
Tercer año.
B. OBJETIVOS PROPUESTOS
El objetivo fundamental del curso es introducir a los alumnos al estudio de los conceptos topológicos,
y topología algebraica.
CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR
Cardinalidad. Espacios métricos. Espacios topológicos. Topología algebraica. Sucesiones y
series de funciones.
FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS
Además de la importancia que reviste la Topología en la formación de los Licenciados en
Matemática, esta asignatura es utilizada para el desarrollo de algunos tópicos de otras
asignaturas como Geometría Diferencial, Análisis Funcional,
Variable Compleja y
Ecuaciones Diferenciales.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
CLASES TEÓRICAS: Se realizan exposiciones por parte del docente a cargo.
CLASES PRÁCTICAS: Se resuelven ejercicios y se discuten los resultados.
C. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
Cardinalidad
Espacios métricos
Espacios topológicos
Bases y subespacios
Conexión y compacidad
Espacios producto y cociente.
Sucesiones y series de funciones
Homotopía y grupo fundamental
D. HORARIOS DE CLASES:
Martes de 08 a 12 hs.
Jueves de 08 a 13 hs.
HORARIO DE CLASES DE CONSULTAS:
Martes de 12 a 13 hs.
Jueves de 14 a 15 hs.
E. MODALIDAD DE EVALUACIÓN:
Evaluaciones Parciales: Los exámenes parciales versarán sobre ejercicios del tipo de
aquellos desarrollados en los trabajos prácticos.
Evaluación Final: En el caso de los alumnos regulares el examen final será escrito y/u oral y
versará sobre los aspectos teóricos impartidos en el curso. En el caso de los alumnos libres
previamente a la exposición oral, deberá aprobarse un examen escrito sobre los temas tratados
en los trabajos prácticos.
CONDICIONES DE REGULARIDAD:
Para la regularización de esta asignatura el alumno deberá tener una asistencia del 80% a las
clase prácticas y aprobar dos parciales, teniendo cada parcial la posibilidad de ser recuperado
una vez.
PROGRAMA ANALÍTICO
CONTENIDOS
Contenidos de Aprendizaje:

Unidad I. Cardinalidad. Conjuntos numerables. Potencia del continuo. Comparación de
potencias.

Unidad II. Espacios métricos. Espacios métricos. Conceptos básicos. Bolas, esferas y
diámetro de un conjunto. Conjuntos abiertos y cerrados. Funciones continuas. Distancias
equivalentes. Sucesiones y continuidad. Espacios completos.

Unidad III. Espacios topológicos. Conceptos básicos. Entornos e interior. Conjuntos
cerrados, adherentes y frontera. Funciones continuas, abiertas y cerradas
Homeomorfismos .

Unidad IV. Bases y subespacios. Bases, subespacios y espacios separables. Espacios N1
y N2. Subespacios.

Unidad V. Conexión y compacidad. Espacios conexos. Conexión y continuidad.
Componentes conexas. Conexión local. Espacios arco conexos. Espacios compactos.
Compacidad y conjuntos cerrados. Compacidad en espacios de Hausdorff. Compacidad en
espacios de métricos. Compacidad y continuidad. Compacidad local. Compacidad y
sucesiones. Compacidad y completitud.

Unidad VI. Espacios producto y cociente. Topología producto. Espacio producto y
continuidad. Propiedades topológicas del espacio producto. Topología cociente.
Propiedades topológicas del espacio cociente. Continuidad en espacios cocientes.
Ejemplos de espacios cocientes.

Unidad VII. Sucesiones y series de Funciones. Convergencia puntual. Convergencia
uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e Integración.
Convergencia uniforme y diferenciación. Familia equicontinua de funciones.

Unidad VIII. Homotopía y grupo fundamental. Homotopía de curvas. Grupo
fundamental. Homotopía de funciones continuas. Espacios contractibles. Homomorfismo
inducido. Grupo fundamental del círculo.
Formas metodológicas de enseñanza y aprendizaje:
Las clases teóricas serán de tipo expositivo por parte de los profesores introduciendo los
conceptos y dando las demostraciones de los resultados formulados. En las clases prácticas
los alumnos deberán resolver ejercicios, los cuales serán de dos tipos: aplicaciones de
resultados de la teoría y demostraciones de resultados complementarios de la misma
A. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES
Semana
1
2 -3
3 -4
4 -5
6 -8
8 - 10
11 -12
12 -14
Día/Fecha
Teóricos
Unidad I
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
Unidad 7
Unidad 8
Día/Fecha
Prácticos
Unidad I
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
Unidad 7
Unidad 8
Día/Fecha
Parciales / Recuperatorios
29/04 Primer Parcial
12/06 Segundo Parcial
16/06 Primer Recuperatorio
19/06 segundo Recuperatorio
B. BIBLIOGRAFÍA
[1] - J. Dieudonné, Fundamentos de análisis moderno, Reverté, Espa~na, 1966.
[2] - I. Dotti, M. J. Druetta, Topología, Trabajos de Matemática Serie C, FaMAF, UNC,
/1992.
[3] - J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics, USA, 1967.
[4] - A. Garcia, W. Dal Lago, Elementos de Topología, Trabajos de Matemática Serie C,
FaMAF, UNC, 29/2000.
[5] - M. Greemberg, Lectures on Algebraic Topology, Mathematics Lecture Note Series,
Addison Wesley, 1981.
[6] - J. Munkress, Topology, Prentice Hall, España, 2000.
[7] - W. Rudin, W. Principios de Análisis Matemático. Mc. Graw Hill, México, 1980. 13
Dr. Fabián Eduardo Levis