Soluciones para la tarea 5.

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II
Tarea 5 Soluciones
Problema 1: Una definición errónea de “línea tangente a una curva” es:
“La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por
C en un solo punto, lo cual es P ”. Aunque esta definición sirve para los cícrulos
y las elipses, no sirve en general.
Muestre que para la parábola y = x2 , en cada punto (a, a2 ), tendríamos
dos “líneas tangentes” distintas según la definición errónea arriba. Escriba una
fórmula para cada una de aquellas rectas.
Solución: Las dos líneas rectas que pasan por (a, a2 ) y no por ningún otro
punto de la curva y = x2 son la recta tangente y la recta vertical.
Más sencilla es la recta vertical (que no es realmente “tangente” a la curva):
su ecuación es x = a.
La recta tangente por (a, a2 ) tiene pendiente f 0 (a) donte f (x) = x2 . Esta
derivada f 0 (a) es 2a (por la ley de derivar f (x) = xn , o se verifica fácilmente
por la definición de la derivada), así que la recta tangente tiene ecuación de la
forma
y = 2ax + b
para algún constante b. Ahora quisiéramos hallar el “b”, que se puede hacer
notando que el punto x = a, y = a2 se cae en la línea: metiendo los valores a
por x, a2 por y, tenemos entonces
a2 = 2a · a + b
y luego
b = −a2 ,
y la recta tangente por (a, a2 ) se da por
y = 2ax − a2 .
Problema 2: (a) Muestre, usando sólamente la definición de la derivada
como límite (y no las leyes de derivación que posiblemente ya sabe), que si
f (x) = −
1
x2
(para todo x 6= 0), entonces para todo a 6= 0,
f 0 (a) =
1
2
.
a3
Solución: Por la definicón de la derivada,
f (a + h) − f (a)
h→0
h
1
1
− (a+h)
2 − − a2
f 0 (a) = lim
= lim
h
h→0
= lim
−a2 +(a+h)2
(a+h)2 ·a2
h
h→0
2
2
−a + a + 2ah + h2
h→0
(a + h)2 · a2 · h
= lim
= lim
h→0
h(2a + h)
,
(a + h)2 · a2 · h
y, cancelando los “h” en el numerador y el denominador, llegamos a
2a + h
,
h→0 (a + h)2 a2
lim
que podemos evaluar simplemente por meter el valor 0 para h: es
2a
2
2a + 0
= 4 = 3.
(a + 0)2 a2
a
a
(b) Muestre que la recta tangente a y = −1/x2 en (a, −1/a2 ) intersecta la
gráfica en dos puntos distintos. Un punto es (a, −1/a2 ); ¿cuál es el segundo
punto?
Solución: El primer paso es encontrar la ecuación para la recta tangente a
la curva en (a, −1/a2 ); tiene pendiente 2/a3 , así que es de la forma
y = (2/a3 )x + b
para algún b. Ahora poniendo a para x y −1/a2 para y (pues la línea debe pasar
por (a, −1/a2 )), tenemos
−1/a2 = (2/a3 ) · a + b
y luego
−1/a2 = 2/a2 + b
−3/a2 = b,
así que la línea tangente a la curva es
y = (2/a3 )x − 3/a2 .
2
Ahora que tenemos la ecuación de la línea tangente, necesitamos hallar todos
los puntos donde cruza la curva y = −1/x2 . Para hacer esto, igualamos los “y”
en la ecuación de la curva y la ecuación de la recta tangente para llegar a
−1/x2 = (2/a3 )x − 3/a2 ,
y hemos eliminado y: nos quedan sólo la incógnita x y el constante a.
Luego multiplicamos ambos lados de la ecaución arriba por x2 para llegar a
−1 = (2/a3 )x3 − (3/a2 )x2
o, en la forma estándar de un polinomio,
(2/a3 )x3 − (3/a2 )x2 + 1 = 0,
lo cual es un polinomio en x de grado 3.
Para resolver esta ecuación, la factorizaremos.1 La clave es que ya sabemos
que x = a es una solución (¿por qué?), así que el polinomio lineal x − a debe
ser un factor. Por división sintética, tenemos
(x − a) · (2/a3 )x2 − (1/a2 )x − (1/a) = 0.
Para que sea cero el producto, es necesario y suficiente que cualquier de los
dos factores sea cero, así que tenemos la ecuación
(2/a3 )x2 − (1/a2 )x − (1/a) = 0,
que es un polinomio cuadrático en x. Ahora por fin podemos aplicar la famosa
fórmula cuadrática para obtener
p
1
(1/a4 ) + (8/a3 ) · (1/a)
a2 ±
x=
4
a3
=
a 3a
±
4
4
o
a
x=aó − .
2
En conclusión, el segundo punto de intersección tiene coordenadas x = −a/2 y
y = −1/(−a/2)2 = −4/a2 .
(c) Verdadero o falso: existe alguna manera de extender f a una función que
tenga derivada en x = 0, es decir, existe una función g con dominio todo R tal
que g(x) = f (x) si x 6= 0, y tal que g 0 (0) existe. Explique claramente por qué o
por qué no.
1 Aunque sí existe una “fórmula cúbica” que da las tres raíces de cualquier polinomio cúbico
en términos de sus coeficientes, la fórmula es tan complicada que en este caso resulta más fácil
factorizar.
3
Solución: El enunciado es FALSO porque sea lo que sea g(0), debe ser
algún número real y finito, pero limx→0 f (x) = −∞ y es imposible que g(0) sea
igual a ese límite; por lo tanto, g no puede ser siquiera continua en x = 0, y
tampoco puede existir g 0 (0) (es un teorema que siempre cuando existe g 0 (a), la
función g es continua en a).
Problema 3: Sea
f (x) =
−x2 + 2x,
1,
si x < 1;
si x ≥ 1.
¿Para cuáles valores de a existe f 0 (a)? Para todos los casos en los cuales
existe, encuentre una fórmula para f 0 (a), usando la definición de la derivada.
Solución: La derivada f 0 (a) existe para todo a real.
Para a < 1, la función f se define por f (x) = −x2 + 2x, y por las reglas
usuales de derivar polinomios, éste es diferenciable con derivada f 0 (a) = −2a+2.
Para a > 1, la función es constante y f 0 (a) = 0.
Ahora se nota que la fórmula para la derivada f 0 (a) en a < 1, cuando
aplicada en a = 1, nos da −2 · (1) + 2 = 0, el mismo valor que la derivada f 0 (a)
en cualquier a > 1; así que debe tener derivada en a = 1 también.
En más detalle, nos interesa si existe f 0 (1), que es el límite
f (1 + h) − f (1)
h→0
h
lim
f (1 + h) − 1
.
h→0
h
Ahora dado que f se define por fórmulas distintas en cada lado de 1, evaluamos
éste aparte en los dos lados: por un lado, hay que verificar que
= lim
lim−
h→0
f (1 + h) − 1
−(1 + h)2 + 2(1 + h) − 1
= lim−
=0
h
h
h→0
(los detalles se dejan al lector), y además que
lim
h→0+
f (1 + h) − 1
1−1
= lim
= lim 0 = 0.
+
h
h
h→0
h→0+
Dado que los dos límites desde los dos lados se coinciden en 0, concluimos que
f 0 (1) = 0.
Problema 4: Para cada una de las funciones abajo, diga si f 0 (0) existe o
no, y explique por qué (o por qué no). Recuerde que si f 0 (a) existe, tiene que
tener un valor finito: “f 0 (a) = ∞” no tiene sentido.
4
(a) f (x) = (|x|)3/2 . (Para este problema y el siguiente, use la definición
habitual de xa/b , es decir, la a-ésima potencia de la b-ésima raíz de x.)
Solución: f 0 (0) si existe (y su valor es 0). Esto debe verificarse por la
definición de la derivada:
p 3
p
3
|0 + h| − |0|
f (0) = lim
h→0
h
p
|h|3
= lim
.
h→0
h
En este punto, uno quiere pasar el h en
√ el denominador adentro de la raíz
cuadrática, primero√reemplazando h por h2 ; pero esto sólo es válido si h > 0.
Si h < 0, entonces h2 = −h.
√
Evaluamos el límite por los dos lados. Para h > 0, tenemos h = |h| = h2 ,
y el límite del lado positivo es
r
√
h3
h3
lim+ √ = lim+
h2
h→0
h→0
h2
q
√
lim h = 0 = 0.
=
0
h→0+
√
Ahora por el lado negativo, tenemos h < 0, y h = −|h| = − h2 , y ademas
|h|3 = −h3 , así que tenemos
r
√
−h3
−h3
lim √ = lim −
−
−
h2
h→0 − h2
h→0
√
= lim− − −h = 0.
h→0
Los límites de ambos lados se coinciden en 0, y por lo tanto el límite es 0 (y
existe).
(b) f (x) = x2/3 .
Solución: f 0 (0) no existe. Se define por el límite
√
√
√
3
3
3
h2 − 02
h2
√
lim
= lim 3
h→0
h→0
h
h3
r
r
2
3 h
3 1
= lim
= lim
,
h→0
h→0
h3
h
pero este límite no existe: por un lado,
r
3 1
lim
= −∞,
−
h
h→0
5
y por el lado positivo,
r
lim
3
h→0+
1
= ∞.
h
Estos límites no se coinciden, así que la derivada no existe en 0.
(c)
f (x) =
x3
2x2 ,
si x < 0;
si x ≥ 0.
Solución: f 0 (0) si existe: se puede hacer un proceso similar a el del inciso
(a), y se encuentra que f 0 (0) = 0.
(d)
f (x) =
x3
x + 1,
2
si x < 0;
si x ≥ 0.
Solución: f 0 (0) no existe: de hecho, f ni siquiera es continua en 0 (se puede
verificar que limx→0− f (x) = 0 y que limx→0+ f (x) = 1, así que limx→0 f (x) no
existe), y es un teorema que toda f que es diferenciable en a también es continua
en a.
Problema 5: Dé un ejemplo de una función diferenciable f (x) con dominio todo R tal que f (x) = x para todo x ≥ 1 y, a la vez, f (x) = −x para
todo x ≤ −1. (Claramente, una tal f debe ser definida “a trozos”...)
Solución: Hay muchos ejemplos posibles, pero tal vez el más sencillo es
2
definir f (x) para −1 < x < 1 por la regla f (x) = x2 , y se nota que f 0 (−1) = −1
y que f 0 (1) = 1.
Problemas 6 y 7: Prefiero discutir estos problemas en la clase, o si usted
tiene curiosidad podríamos discutirlos en mi hora de atención.
6