Sistemas de part´ıculas interactivas.

Sistemas de partı́culas interactivas.
Trabajo dirigido por Rosario Delgado.
Alumno: Jordi Font. Curso 2003-04.
1. Antecedentes y estado actual del tema.
Los primeros ejemplos de sistemas de partı́culas interactivas aparecieron a finales de la
década de los años 60 y principios de los 70, relacionados con cuestiones de la mecánica
estadı́stica. Su versatilidad para modelar diferentes fenómenos reales de gran interés,
como las epidemias (proceso de contacto), los procesos electorales (proceso del votante)
o el magnetismo (modelo de Ising), por citar algunos ejemplos, ası́ como el interés en su
estudio que surgió desde el ámbito de la teorı́a de la probabilidad y, más concretamente,
de los procesos estocásticos (ya que estos sistemas son procesos de Markov), han hecho
que en los últimos años los sistemas de partı́culas interactivas hayan pasado a ocupar un
lugar destacado en el estudio de los procesos estocásticos, publicándose cientos de trabajos
sobre ellos.
Precisamente, el volumen de trabajos publicados sobre el tema hizo que rápidamente
apareciesen artı́culos recopilatorios, como son ‘Additive and Cancellative Interacting Particle Systems’, de D. Griffeath, publicado en Lecture Notes in Mathematics, 724 (1979)
y ‘An introduction to infinite particle systems’, de R. Durrett, publicado en Stochastic
Processes and their Applications, 11 (1981). Sin embargo, el punto crucial en el desarrollo
posterior de esta rama de la teorı́a de la probabilidad fue la aparición, en 1985, del libro
de Thomas Liggett ‘Interacting Particle System’, publicado por Sringer-Verlag. En este
libro, además de recopilarse los principales resultados sobre algunos de los sistemas de
partı́culas más importantes aparecidos hasta la fecha, se proporciona un marco teórico
general en el que encuadrar todos los procesos de este tipo, dando condiciones suficientes
para la existencia de tales procesos definidos a través de sus tasas de transición y analizando las técnicas probabilı́sticas más habituales en el estudio de tales procesos. Todo
ello hace de este libro un clásico de referencia obligada para cualquier investigador sobre
este tema.
En los últimos años se han introducido nuevos sistemas de partı́culas interactivas, estudiando sus propiedades, a la vez que se han resuelto cuestiones abiertas que habı́an
quedado en el estudio de sistemas ya clásicos, como el modelo de contacto o el del
votante. También se ha avanzado en otros aspectos relacionados con los sistemas de
partı́culas interactivas, como son los sistemas de partı́culas en medio aleatorio o sobre
árboles. Una revisión de la historia reciente del estudio de estos procesos puede encontrarse en el artı́culo de T. Liggett ‘The 1996 Wald memorial lectures: stochastic models
of interacting systems’, publicado en The Annals of Probability, 25 (1997).
La mayor parte de los modelos considerados en la extensa literatura aparecida sobre los
sistemas de partı́culas interactivas son de tipo spin, esto es, en ellos las partı́culas pueden
tener sólo dos estados. Incluso, cuando aparecen sistemas con más de dos estados, su
estudio acostumbra a ser muy especı́fico para el sistema concreto que se considera. Cabe
destacar, sin embargo, la tesis doctoral de F. Forbes, titulada ‘Modèles Markoviens de
Ressources Partagées’, publicada en 1996 por la Unversidad Joseph Fourier-Grenoble
1. En ella, aunque el interés se centra en un tipo particular de sistema de partı́culas
interactivas (procesos de recursos compartidos, concretamente), se desarrollan técnicas de
un uso más amplio, que generalizan algunas existentes para procesos de spin.
Pioneros, pues, en el estudio en general de sistemas de partı́culas interactivas con más de
dos estados son los trabajos de J. López y G. Sanz, de entre los que mencionamos ‘Stochastic comparisons and couplings for interacting particle systems’, publicado en Statistics and
Probability Letters, 40 (1998) y “ Stochastic Domination and Markovian Couplings’, publicado en Advances in Applied Probability, 32 (2000), en los que se obtienen resultados
generales para procesos de partı́culas con más de dos estados y también se extienden
técnicas de procesos de spin a dichos procesos. Concretamente, uno de los aspectos que
consideran son los resultados sobre monotonı́a (ordenación estocástica de los procesos)
y sobre la construcción de ‘couplings’ entre procesos de partı́culas. Los resultados que
obtienen, además de un innegable interés desde el punto de vista teórico, son de gran
aplicabilidad, ya que el hecho de ampliar a más de dos el número de estados posibles para
las partı́culas incrementa notoriamente el campo de ejemplos y aplicaciones que se puede
considerar.
2. Objetivos del trabajo dirigido.
1) En primer lugar se trata de introducirse en este campo de la probabilidad aplicada,
entrando en las definiciones e ideas básicas de los sistemas de partı́culas interactivas.
También se trata de estudiar, ahora ya de manera completamente rigurosa, la presentación
de estos procesos a través de su (pre)generador de Markov, construido a partir de las tasas
de transición, entendiendo perfectamente la relación: tasas de transición - (pre)generador
de Markov - generador de Markov - semigrupo de Markov - proceso de Markov.
Todo ello se encuadra dentro del estudio general de los procesos de Markov a través de
su semigrupo y de su generador que, a su vez, se encuadra dentro de la teorı́a general de
semigrupos de contracción en espacios de Banach y de sus generadores infinitesimales, del
Análisis Funcional.
Parte de los resultados a estudiar se aplican en general mientras que la construcción del
(pre)generador del proceso a partir de sus tasas de transición se estudiará sólo en un caso
particular (por simplificar): CT (η, d ξ) = 0 si |T | ≥ 2.
2) Todo lo anterior se aplica, en particular, al proceso de Contacto básico, que se estudiará con una cierta profundidad. En concreto, se estudiarán cuestiones relativas a
la ergodicidad de dicho proceso, a su medida invariante y a su valor crı́tico. Sobre este
aspecto se llegará más o menos lejos en función del tiempo disponible y de las dificultades
que vayan surgiendo sobre la marcha.
3) Referencias básicas.
Como refencias básicas tomaremos los dos libros de Liggett (1985 y 1999) y la tesis
doctoral de Javier López Lorente, de la Universidad de Zaragoza, 1998.