Sistemas de ecuaciones y desigualdades

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C APÍTULO
5
Sistemas de ecuaciones y
desigualdades
Continúe pensando acerca de su interacción con su estudiante con respecto a las
matemáticas. Acuérdese de animar a su estudiante a volverse un aprendiz y un pensador
más independiente pidiéndole que dé explicaciones. Si usted le está explicando, no le
está dando a su estudiante la oportunidad de ver lo que él o ella no entiende.
Resumen del contenido
El Capítulo 5 refuerza las ideas de linealidad del Capítulo 3. El Capítulo 5 presenta
problemas modelados por más de una ecuación lineal a la vez y luego considera
problemas representados por desigualdades lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales
Muchos problemas reales tienen que ver con situaciones en las cuales dos o más
valores cambian linealmente a la misma vez. A menudo, se desea hallar cuándo estos
valores serán iguales. Por ejemplo, los valores pueden ser la ubicación de dos
caminantes y se desea determinar cuándo se encontrarán los caminantes.
Cada valor creciente se representa por una ecuación lineal. Así que varios valores que
cambian linealmente se representan por varias ecuaciones lineales, llamadas un
sistema de ecuaciones lineales. Identificar dónde los valores serán iguales requiere
resolver el sistema, esto es, hallar los valores de las variables que hacen ciertas todas las
ecuaciones lineales en el sistema.
Discovering Algebra incluye cuatro métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones
lineales: por gráficas, por sustitución, por eliminación y por matrices.
Desigualdades lineales
Otra manera de extender los conceptos de una ecuación lineal es cambiar el signo de
igualdad por un signo de menor o de mayor. Si hace esto, está expresando que las
dos expresiones no son equivalentes.
Este capítulo introduce las desigualdades (inequalities) lineales en las cuales una de
las variables tiene un valor conocido, tal como 5 2a ⬎ 21. Tal desigualdad tiene un
número infinito de soluciones y usted lo puede visualizar en una recta numérica. Los
estudiantes hallan las soluciones usando los mismos métodos que usaron para
resolver ecuaciones lineales en el Capítulo 3.
Luego este capítulo considera una desigualdad lineal en dos variables. Al
igual que el par de números que satisface una ecuación puede representarse
por una recta en una gráfica, los pares de números que satisfacen una
desigualdad pueden representarse en una gráfica. Estos aparecen como
todos los puntos a un lado de la recta que representan la ecuación
correspondiente. Para una desigualdad estricta, tal como y ⬍ 2x 1, los
puntos en la recta fronteriza y 2x 1 hacen falsa la desigualdad, así que
la recta está entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada de
la gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.
y
10
5
Sistema de desigualdades lineales
x
5
Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming)
aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdades
lineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la región
que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.
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(continuado)
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Capítulo 5 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades (continuado)
Problema de resumen
Este problema de resumen está basado en el Ejercicio 10 de la Lección 5.4. Will está
horneando pan. Él tiene dos clases diferentes de harina. La Harina X está enriquecida con
0.12 mg de calcio por gramo; la Harina Y está enriquecida con 0.04 mg de calcio por
gramo. Cada barra de pan tiene 300 g de harina y Will quiere que cada barra de pan tenga
30 mg de calcio. ¿Cuánto de cada tipo de harina debería usar para cada barra de pan?
Si el profesor de su estudiante cubrió la Lección 5.7, añada la siguiente modificación:
Will ha comenzado a vender su pan y tiene problemas en sacar ganancias. Para
mantener sus gastos generales bajos, cada barra de pan puede contener a lo máximo
300 g de harina. A él le gustaría al menos 25 g de calcio por barra de pan.
Discuta estas preguntas y situaciones con su estudiante en su papel de estudiante
para su estudiante:
●
●
●
●
Escribe un sistema de ecuaciones que representa el problema y explica el
significado de cada variable y cada ecuación en el contexto del problema.
¿Cuál método de resolver sistemas de ecuaciones escogerías para resolver el
sistema?
Resuelve el sistema usando un método. Luego verifica resolviendo el sistema
usando el segundo método.
Supón que Will está casi sin harina. A él sólo le quedan 275 g de harina. Aún
así, ¿puede hornear una barra de pan con 30 mg de calcio?
Respuestas ejemplares
Un sistema de ecuaciones posible es:
x y 300
冦 0.12x
0.04y 30
La variable x representa la cantidad de Harina X en gramos, y y representa la cantidad de
Harina Y en gramos. La primera ecuación representa la restricción de que cada barra de
pan tiene 300 g de harina. 0.12x representa la cantidad de calcio que contribuye la
Harina X, y 0.04y representa la cantidad de calcio que contribuye la Harina Y. La
segunda ecuación representa la cantidad total de calcio en la barra de pan.
Sustitución, eliminación y matrices probablemente son las mejores opciones para resolver
este sistema. Los estudiantes también pueden escoger resolverlo graficándolo en su
calculadora. Usted puede pedirle a su estudiante que resuelva este sistema por diferentes
métodos a medida que usted revisa diferentes lecciones. Ellos deberían hallar que la barra
de pan requiere 225 g de Harina X y 75 g de Harina Y. Si el problema se cambia para usar
sólo 275 g de harina, la solución será 237.5 g de Harina X y 37.5 g de Harina Y.
Si Will no puede usar más de 300 g de harina, y cada barra de pan debe
tener al menos 25 g de calcio, el sistema de desigualdades que puede
representar la nueva situación es:
冦
x y ⱕ 300
0.12x 0.04y ⱖ 25
Los estudiantes deberían probar puntos para determinar cómo sombrear
cada desigualdad y luego hallar varios puntos que satisfacen ambas
desigualdades. Algunas soluciones de ejemplos son (180, 100), que
representa 180 g de Harina X y 100 g de Harina Y, (215, 16) y (290, 0).
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y
600
500
400
300
200
100
0
100
200
300
x
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Chapter 5 • Ejercicios de repaso
Nombre
Periodo
Fecha
1. (Lección 5.1) Determina si el par ordenado es una solución del sistema de
ecuaciones. Grafica ambas rectas en el sistema y grafica el punto.
y 2x 4
a. (1, 2)
y x 1
冦
b. (3, 1)
冦
2
y 3x 3
2
y 3x 2
2. (Lección 5.2) Resuelve este sistema de ecuaciones usando el método de
sustitución y luego verifica tu respuesta.
冦 2xx 4y3y27
3. (Lección 5.3) Resuelve este sistema por eliminación y luego verifica tu
trabajo.
冦 2x5x 3y2y 2
5
4. (Lecciones 5.1–5.3) Jenna compró melocotones y peras en el mercado
local. Los melocotones costaron $2.90 por libra y las peras costaron $1.10
por libra. Jenna compró un total de 8 libras de frutas, las cuales costaron
$18.34. ¿Cuántas libras de cada fruta compró Jenna?
5. (Lección 5.5) Resuelve la desigualdad 3 5x ⱖ 8 y grafica las soluciones
en una recta numérica.
6. (Lecciones 5.6, 5.7) Considera el sistema de desigualdades
冦 yy ⬍ⱖ 2xx31.
a. Determina si cada uno de los siguientes pares ordenados es una
solución a este sistema de desigualdades.
i. (0, 2)
ii. (4, 2)
iii. (3, 1)
iv. (3, 2)
b. Grafica el sistema de desigualdades y grafica cada uno de los puntos
de 6a.
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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 5
1. a. Sí. El par ordenado (1, 2) satisface ambas ecuaciones.
y 2x 4
y x 1
?
?
2(1)
4
2
1 1
2 2 2
2 2
y
3. (1, 0)
2(2x 3y) 2(2) → 4x 6y 4
3(5x 2y) 3(5) → 15x 6y 15
Multiplica
ambos
lados por
3.
19x 19
Suma la
ecuación.
5
5
5
Multiplica
ambos
lados por
2.
x
(1, 2)
x 1
Divide ambos lados por 19.
b. No. El para ordenado (3, 1) no satisface la segunda
ecuación.
2
2
y 3x 3
y 3x 2
2
?
? 2
1 3(3) 3
1 3(3) 2
?
?
1 2 3
11
122
10
y
5
(3, 1)
4
4
Sustituye este valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve para hallar y. Usando la
primera ecuación 2(1) 3y 2; y 0.
Verifica tu solución en ambas ecuaciones.
4. 5.3 lb de melocotones, 2.7 lb de peras. Sea x el
número de libras de melocotones y y el número de libras de peras que Jenna compró. Sumar las libras produce la ecuación x y 8, y sumar los precios
produce la ecuación 2.90x 1.10y 18.34. Este sistema puede resolverse más fácil por sustitución.
5. 3 5x ⱖ 8
Desigualdad original.
5x ⱖ 5
Resta 3 de ambos lados.
x ⱕ 1
Divide ambos lados por 5 e invierte la
desigualdad.
x
–10
5
2. (2, 1). Resuelve la segunda ecuación para x, y sustituye
la expresión en la primera ecuación.
x 4y 2
Segunda ecuación.
x 4y 2
Suma 4y a ambos lados.
2(4y 2) 3y 7
Sustituye 4y 2 por x en
la primera ecuación.
8y 4 3y 7
11y 4 7
11y 11
y1
Usa la propiedad
distributiva.
Combina términos iguales.
Suma 4 a ambos lados.
Divide ambos lados por 11.
Sustituye 1 por y en una de las ecuaciones originales y resuelve para x: x 4(1) 2; x 2. La solución es (2, 1).
Verifica tu solución.
2x 3y 7
x 4y 2
?
?
2(2) 3(1) 7
2 4(1) 2
77
2 2
26
Discovering Algebra: Una guía para padres
–5
0
5
10
6. a. Sustituye los valores para x y y en cada desigualdad
y verifica si resulta en una aseveración cierta.
i. No. El par ordenado satisface la segunda desigualdad pero no la primera.
ii. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.
iii. No el par ordenado no satisface ninguna de las
desigualdades.
iv. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.
b. Grafica las ecuaciones y 2x 3 y y 1 x.
Debido a que la
y
primera desigualdad
tiene ⬍ en lugar de ⱕ,
5
la recta y 2x 3
i
debería ser entreiii
ii
cortada para indicar
x
–5
5
que no está incluida
iv
en la solución. La
otra recta debería
–5
ser sólida. Grafica
los puntos y sombrea
el área que contiene las soluciones.
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