Agrupaciones planas

ANTENAS
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Agrupaciones planas
Las antenas de una agrupación se pueden situar a lo largo de una
línea, formando un array lineal, o en los puntos de una rejilla
rectangular, formando un array plano.
y
dy
x
dx
z
En un array plano se sintetiza un haz en forma de pincel cuya
orientación se puede controlar mediante las fases de los elementos.
Factor de array
El factor de array bidimensional se puede calcular a partir de las
corrientes Imn y de la diferencia de fase de las ondas con respecto al
origen.
M −1 N −1
FA = ∑ ∑ I mn e
jm( k x d x )
e
(
jn k y d y
)
m=0 n=0
Se ha separado la amplitud de las corrientes en el producto de dos
términos, un número complejo amn y las fases progresivas, de forma
que
I mn = amn e
jmn(α + β )
M −1 N −1
FA = ∑ ∑ amn e
jm( k x d x +α )
e
(
jn k y d y + β
)
m =0 n =0
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
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Si la iluminación es separable, es decir que si cada corriente se
puede escribir como el producto de dos corrientes entonces el factor
de array también se puede escribir como el producto de dos factores.
amn e
j ( mα + n β )
= bm e
M −1 N −1
FA = ∑ ∑ amn e
j ( mα )
cn e
jm ( k x d x +α )
j ( nβ )
e
(
jn k y d y + β
m=0 n=0
)
M −1
= ∑ bm e
m=0
jm( k x d x +α )
N −1
∑c e
n=0
(
jn k y d y + β
)
n
Los ángulos eléctricos se definen como
ψ x = k x d x + α = kd x sin θ cos φ + α
ψ y = k y d y + β = kd y sin θ sin φ + β
En un array plano interesa poder apuntar con el haz a una dirección
determinada. Las fases progresivas se pueden determinar como
α = − kd sin θ 0 cos φ0
β = − kd sin θ 0 sin φ0
Resolviendo ambas ecuaciones se obtienen los ángulos
orientación del haz en función de los desfases progresivos.
tan φ0 =
de
β dx
αdy
2
⎛ α ⎞ ⎛ β ⎞
sin θ 0 = ⎜
⎟⎟
⎟ + ⎜⎜
⎝ kd x ⎠ ⎝ kd y ⎠
2
2
Polinomio de agrupaciones planas
Se puede definir un polinomio bidimensional de la agrupación, a
partir de las variables complejas (z,w).
z = e jψ x
w=e
jψ y
El análisis es similar a las agrupaciones lineales. Se pueden tener
agrupaciones con polinomios uniformes, triangulares, binómicos o
con coeficientes arbitrarios.
En general el polinomio de la agrupación será de la forma
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M −1 N −1
p( z , w) = ∑ ∑ amn z m wn
m =0 n =0
En algunos casos particulares se puede escribir como el producto de
dos polinomios, esto sucede cuando los coeficientes cumplen la
condición
amn = bm cn
En ese caso el polinomio resultante es
M −1 N −1
M −1
N −1
m=0 n=0
m =0
n =0
p ( z , w) = ∑ ∑ amn z m wn = ∑ bm z m ∑ cn wn = p2 ( z ) p3 ( w )
Por ejemplo la agrupación de 3x3 antenas, con corrientes definidas
por la matriz
⎡1 2 1⎤
⎢1 4 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣1 2 1⎥⎦
Tendría un polinomio equivalente
p ( z , w) = 1 + 2 z + z 2 + w + 4 zw + z 2 w + w2 + 2w2 z + w2 z 2
Esta distribución no sería separable, pero en cambio la distribución
⎡1 2 1 ⎤
⎢ 2 4 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 2 1 ⎥⎦
Cuyo polinomio equivalente es
p ( z , w) = 1 + 2 z + z 2 + 2w + 4 zw + 2 z 2 w + w2 + 2w2 z + w2 z 2
Se puede separar en el producto de dos distribuciones triangulares
p( z, w) = (1 + 2 z + z 2 )(1 + 2 w + w2 )
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Agrupaciones planas uniformes
En las agrupaciones planas uniformes, todas las corrientes de las
antenas son iguales. El factor de array se puede calcular como
amn = 1
M −1 N −1
FA = ∑ ∑ e
jm ( k x d x +α )
e
(
jn k y d y + β
m =0 n =0
)
M −1
= ∑e
jm( k x d x +α )
m=0
N −1
∑e
(
jn k y d y + β
)
n=0
La agrupación es separable, por lo tanto el factor de array
bidimensional es equivalente al producto de los factores de la
agrupación lineales de dimensiones N y M
⎛ Mψ x ⎞ sin ⎛ Nψ y ⎞
sin ⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
FA = FAx FAy =
⎛ψ ⎞
⎛ψ ⎞
sin ⎜ x ⎟ sin ⎜ y ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
La representación gráfica del FA se puede realizar en forma de
superficies o de curvas de nivel. Se muestra el caso de una
agrupación uniforme de 3x5 antenas con espaciado λ/2.
ψy
ψx
Asimismo se puede escribir un polinomio bidimensional de la
agrupación.
M −1 N −1
M −1
N −1
m =0 n =0
m=0
n=0
p ( z , w) = ∑ ∑ z m wn = ∑ z m ∑ wn = p2 ( z ) p3 ( w ) =
z M − 1 wN − 1
z −1 w −1
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Diagramas de radiación de agrupaciones planas uniformes
En las siguientes gráficas se muestran varios ejemplos de
agrupaciones planas de MxN antenas. Las antenas se alimentan en
fase y el espaciado es de λ/2.
Se puede observar que aumentado el número de antenas mejora la
directividad. Con agrupaciones cuadradas el haz es de tipo pincel,
mientras que las agrupaciones rectangulares tienen diagramas tipo
abanico.
M
N=2
N=3
N=4
2
3
4
Tabla comparativa de agrupaciones planas de MxN antenas.
El espaciado es d x = λ / 2 d y = λ / 2 . Los desfases son α = β = 0
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Agrupaciones planas controladas por fase
La agrupación plana con fase constante tiene el máximo en la
dirección perpendicular .
Modificando la fase progresiva α (distribución según x) se consigue
modificar la orientación del haz en el plano XZ, la modificación de la
fase β (distribución según y) se cambia la orientación en el plano
YZ. Variando ambas fases se consiguen orientaciones arbitrarias.
En la figura se muestran varios casos de cambio de orientación, para
una agrupación uniforme de 4x4 antenas cuyo diagrama individual
es tipo cardidoide. El espaciado entre los elementos es λ/2.
α =0
α = −π / 4
α = −π / 2
α =0
α =π /4
α =π /2
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Margen visible en agrupaciones planas
Las ecuaciones que relacionan los ángulos del espacio con los del
factor de la agrupación son
ψ x = k x d x + α = kd x sin θ cos φ + α
ψ y = k y d y + β = kd y sin θ sin φ + β
Los márgenes visibles son
ψ x ∈ [ −kd x + α , kd x + α ]
ψ y ∈ ⎡⎣ −kd y + β , kd y + β ⎤⎦
Ambos valores están relacionados entre sí, de forma que el límite del
margen visible no es un rectángulo.
ψ x −α
= cos φ
kd x sin θ
ψy −β
= sin φ
dk y sin θ
La ecuación resultante es una superficie elíptica, centrada en α,β y de
semiejes kdx, kdy. El límite es una elipse cuya ecuación es
2
⎛ψ x −α ⎞ ⎛ψ y − β
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ dx ⎠ ⎝ d y
2
⎞
2
⎟⎟ = k
⎠
Para calcular el diagrama de radiación es más conveniente realizar
un cambio de escala en los ejes x,y de forma que el límite se convierta
en una circunferencia de radio k.
2
2
⎛ψ x α ⎞ ⎛ψ y β ⎞
− ⎟ +⎜
− ⎟ = k2
⎜
⎜
⎟
⎝ dx dx ⎠ ⎝ d y d y ⎠
En las gráficas se representan los diagramas de radiación de una
agrupación uniforme de 3x3 antenas espaciadas 1.3λ.
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ψy
ψx
Curvas de nivel correspondientes a una agrupación plana uniforme
de 3x3 antenas.
r=k
ψy
ψx
dy
dx
Representación gráfica del margen visible tridimensional y del
diagrama de radiación para una agrupación plana uniforme de 3x3
antenas espaciadas 1.3λ.
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Redes de distribución de potencia
Las agrupaciones de antenas requieren que se distribuya potencia a
las diversas antenas, controlando su amplitud y su fase.
Las técnicas de distribución de potencia se pueden clasificar en tres
tipos: serie, paralelo y redes espaciales.También pueden realizarse
diseños con redes de varios tipos combinadas entre sí.
La redes de distribución paralelo consisten en una serie de circuitos
divisores de potencia unidos mediante líneas de transmisión. Al
final de la red se pueden incluir una serie de atenuadores y
desfasadores para ajustar las amplitudes y fases de las corrientes en
las antenas.
Las redes tipo serie utilizan una línea de transmisión y un conjunto
de acopladores direccionales que extraen una fracción de potencia de
la línea. Al final de la línea se suele colocar una carga para evitar
reflexiones de señal.
Las redes de distribución espaciales utilizan la radiación de una
antena para distribuir señal a un conjunto de radiadores secundarios.
La señal recibida se amplifica y se ajusta en amplitud y fase.
Redes de distribución de potencia serie y paralelo
Red de distribución serie en una agrupación de antenas impresas.
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia