Silogismos deductivos: Mapas de inclusión y las

Silogismos deductivos:
Mapas de inclusión
y las diferentes
transformaciones
1
Saúl Martı́nez Arroyo
xichari
2 de agosto de 2006
1
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2
Edición Primera: Toluca. México 02-Ago-2006
Revisión Primera: Toluca, México 13-Ago-2006
Revisión Segunda: Toluca, México 04-Abr-2008
Revisión Tercera: Toluca, México 08-Mar-2009
Revisión Otra: Toluca, México 15-Mar-2009
Revisión Una más... Toluca, México 07-Feb-2010
Revisión La que sigue... (Sin fecha aún, pero ya merito...)
Índice general
1. Preámbulo
5
2. Introducción
7
3. Representación binaria
13
3.1. Propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Leyes de implicación
19
5. Silogismos deductivos
5.1. FIGURA I . . . . . . . . .
5.1.1. Modo Barbara . .
5.1.2. Modo Celaren . .
5.1.3. Modo Darii . . . .
5.1.4. Modo Ferio . . . .
5.2. Figura II . . . . . . . . . .
5.2.1. Modo Cesare . . .
5.2.2. Modo Camestres .
5.2.3. Modo Festino . . .
5.2.4. Modo Baroco . . .
5.3. FIGURA III . . . . . . .
5.3.1. Modo Darapti . .
5.3.2. Modo Felapton . .
5.3.3. Modo Disamis . .
5.3.4. Modo Datisi . . .
5.3.5. Modo Bocardo . .
5.3.6. Modo Ferison . . .
5.4. FIGURA IV . . . . . . .
5.4.1. Modo Bamalip . .
5.4.2. Modo Calemes . .
5.4.3. Modo Dimatis . .
5.4.4. Modo Fesapo . . .
5.4.5. Modo Fresison . .
23
23
24
25
25
26
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29
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4
ÍNDICE GENERAL
6. Casos especiales
6.1. Inferencias inmediatas . .
6.1.1. Por subalternación
6.1.2. Por oposición . . . .
6.1.3. Por conversión . . .
6.1.4. Por contraposición
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37
38
38
40
41
41
7. Mapas de inclusión
43
8. Esquemas de pensamiento
51
9. Resumen
53
10.Si... ya sé
55
11.
57
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Capı́tulo 1
Preámbulo
En el mundo de la lógica y todas sus variantes, existe una correlación entre
varias disciplinas como son la lógica proposicional, la lógica simbólica, la lógica
silogı́stica y la teorı́a de conjuntos.
Lamentablemente para el autor, los expertos las tratan de manera separada
y salvo algunos ejemplos que las relacionan, no existe en la bibliografı́a actual
alguna referencia de cómo se pueden representar las estructuras del pensamiento como las leyes de implicación y los silogismos deductivos en forma
simbólica o en forma gráfica con diagramas de Venn.
Y es que el comportamiento de los mismos tiene diferencias importantes
con respecto a las inferencias inmediatas. Las cuales han sido ampliamente
ejemplificadas y referidas con tablas lógicas y fórmulas simbólicas, ası́ como con
los diagramas de Venn.
Partiendo de la necesidad de conocimiento y de una explicación satisfactoria
de todas las interrogantes que se le presentan al respecto, el autor se propuso
encontrar alguna metodologı́a de representación de las leyes de implicación y de
los silogismos deductivos, encontrando en el camino muchas interrogantes más y
muchas etapas de confusión y frustración, que poco a poco han sido superadas
y se ha encontrado al fin una propuesta que es demostrable tanto en forma
gráfica (diagramas de Venn y mapas de inclusión de Euler), como de manera
simbólica. Representada además de forma binaria con sus valores expresados en
sistema decimal (esto último como hallazgo de investigación y valor agregado).
Queda pues en manos del lector el valor crı́tico de su apreciación, esperando
que tal vez sea arduo el camino de la comprensión de este modelo, pero no
imposible de integrar.
Aún le quedan al autor realizar adecuaciones de estilo y forma que se fortalecerán con la acertada opinión del lector. Por lo que queda la invitación a
colaborar con una mejor exposición de este trabajo.
5
6
CAPÍTULO 1. PREÁMBULO
Capı́tulo 2
Introducción
Para este trabajo y propuesta, partimos de la representación del conjunto
Universo incluyendo a los tres conjuntos (p,q,r) con un esquema o diagrama
de 8 áreas como el siguiente:
Figura 2.1: figura básica
Para representar un área especı́fica se colorea, por ejemplo el diagrama que
representa al conjunto p es:
Figura 2.2: p
Como podemos notar, las áreas representadas se colorean con un tono gris
claro, lo que les da un valor de ‘VERDADERO’ y las áreas en blanco se consideran con valor ‘FALSO’. A diferencia de otras propuestas que representan estos
valores invertidos. Aunque otra forma de representarlas dentro de esta propuesta Palabras clave:
es de forma ‘tridimensional’, es decir como una superposición de capas, en donde tridimensional
si las ocho áreas se cubren de color se ‘anulan’ y pasan a ser la base de otra
representación.
7
8
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
Por ejemplo, el conjunto p también puede ser representado como en el siguiente diagrama.
Figura 2.3: p en relieve
Esto tiene una base natural, ya que el cerebro anula una capa regular y toma
en cuenta las capas en relieve (alto o bajo). Es como un letrero, si las letras son
de unicel resaltarán de la superficie donde se escribe, pero es igual si están en
una superficie plana del mismo material, sólo se toman en cuenta las letras que
sobresalen para poder leer el mensaje.
Los diagramas de los otros conjuntos los podemos representar con este sistema:
Figura 2.4: q
Figura 2.5: r
Las funciones más importantes se representan también con este método: La
función ‘NO’ queda:
Figura 2.6: ∼ p
Figura 2.7: ∼ q
9
Figura 2.8: ∼ r
Para la disyunción (‘OR’), se considera ‘VERDADERO’ cualquier área coloreada (sin importar si es simple o doblemente coloreada):
FORMA PROPUESTA:
FORMA ‘CLÁSICA’:
Figura 2.9: p ∨ q
Figura 2.10: p ∨ q
Figura 2.11: p ∨ r
Figura 2.12: p ∨ r
Figura 2.13: q ∨ r
Figura 2.14: q ∨ r
Para este caso se considera una disyunción inclusiva o incluyente.
En el caso de una disyunción exclusiva o excluyente (‘XOR’), se usan los
mismos diagramas de la izquierda, pero se toman en cuenta las áreas coloreadas
UNA SOLA VEZ (es decir, de color gris claro), quedando con valor de ‘FALSO’
las de color blanco y gris oscuro.
10
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
Y para el caso de la conjunción ‘Y’, se usan los mismos diagramas (figs.
9,10,11), pero se toman en cuenta sólo las áreas de color gris obscuro (doblemente
coloreadas), tomando valor ‘FALSO’ las otras (en blanco y gris claro).
En los esquemas clásicos, en la función ‘Y’ se muestran sólo las áreas doblemente coloreadas(gris oscuro).
Es interesante ver que con este sistema, la conjunción y disyunción toman
el mismo esquema pero lo que cambia son los valores de verdad y falsedad de
las áreas. Pero es necesario usar TODAS las áreas para las interacciones que
despúes se van a realizar.
Se debe tener en cuenta la representación de las diferentes interacciones para
las secciones siguientes, cuando se traten las leyes de implicación y los silogismos
deductivos. Por ejemplo, la expresión:
Figura 2.15: p → q
Queda ası́ por la superposición de las imágenes de las figuras 2.4 y 2.6.
Los siguientes esquemas se encuentran en las diferentes figuras, premisas
y conclusiones de los diferentes silogismos. Se recomienda como ejercicio mental que el lector trate de visualizar los esquemas básicos superpuestos que los
conforman (como en el diagrama anterior).
Figura 2.16: q → p
Figura 2.17: r → q
Figura 2.18: q → r
Figura 2.19: r → p
11
Figura 2.20: r ∧ p
Figura 2.21: p ∧ q
Figura 2.22: q ∧ r
Figura 2.23: p →∼ q
Figura 2.24: q →∼ r
Figura 2.25: r →∼ p
Figura 2.26: q∧ ∼ p
Figura 2.27: r∧ ∼ q
12
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
Capı́tulo 3
Representación binaria
Los diagramas de Venn utilizados hasta ahora, también tienen una representación binaria propuesta en este sistema. Al utilizar un diagrama con 8 áreas,
las hacemos coincidir con un byte binario, de tal manera que cada área representa un bit del byte.
Figura 3.1: figura base (pág. 7 )
De esta forma, su representación binaria queda:
0
8
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
Tenemos entonces que el conjunto p está formado por las áreas (bits):
{1,2,3,4}, el conjunto q está formado por las áreas {1,2,5,6} y r está formado por las áreas {1,3,5,7}.
Obtenemos los siguientes valores binarios para los tres conjuntos:
conjunto
p
∼p
q
∼q
r
∼r
bits
1,2,3,4
5,6,7,8
1,2,5,6
3,4,7,8
1,3,5,7
2,4,6,8
13
binario
00001111
11110000
00110011
11001100
01010101
10101010
valor
15
240
51
204
85
170
14
CAPÍTULO 3. REPRESENTACIÓN BINARIA
De esta suerte, podemos representarlos de manera binaria, octal, hexadecimal,etc.. Lo que nos facilita su expresión dentro de las funciones lógicas en un
programa de PC.
Asimismo, se pueden representar todas las interacciones o funciones lógicas
entre los mismos. Lo que también nos facilita la representación de las leyes de
implicación y de los silogismos categóricos, de acuerdo a la sección anterior.
Las inferencias inmediatas o ‘planas’ se pueden representar fácilmente
con una sola capa como funciones simples:
p∧q :
0 0 0 0 1 1 1 1 p
0 0 1 1 0 0 1 1 q
0 0 0 0 0 0 1 1 p∧q
Que equivale a los diagramas:
∧
=
Figura 3.2: p
Figura 3.4: p ∧ q ‘plano’
Figura 3.3: q
Otro asunto es cuando intentamos representarlos de forma ‘tridimensional’
(como en las leyes de implicación y en los silogismos deductivos).
∧
=
Figura 3.5: p
Figura 3.6: q
Figura 3.7: p ∧ q
‘tridimensional’
El tercer diagrama (p ∧ q ), a nivel numérico binario se representa de esta
manera:
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1 Complemento disyuntivo
1 Base ‘plana’(OR)
Es decir, se tiene que representar como 2 capas superpuestas de bytes. Los
bits 1 y 2 de la tabla superior representan las áreas 1 y 2 del diagrama de Venn
(capa gris obscuro).
15
Prácticamente todas las interacciones a nivel binario se han representado con
interacciones y fórmulas ‘planas’, ya que cumplen con las tablas de verdad de las
que se habla en los textos. Pero ha habido dificultad para representar las leyes
de implicación y los silogismos categóricos bajo las mismas condiciones
debido a que son ‘tridimensionales’.
Palabras clave:
Otra dificultad es la representación binaria de tales interacciones, las cuales disyunción agregada
se deben representar como una disyunción agregada a la conjunción básica.
Por ejemplo en la fórmula:
[(p → q) ∧ p] → (p ∧ q) ( Fórmulas e interacciones ‘planas’ )
∧
=
Figura 3.8: p→q
Figura 3.9: p
Figura 3.10: p ∧ q ‘plano’
Se cumple con la tabla de verdad de una inferencia simple por subalternación
de un juicio a a un juicio i. Como se demuestra en la siguiente tabla de verdad
tradicional. 1
p
v
v
v
v
f
f
f
f
q
v
v
f
f
v
v
f
f
r
v
f
v
f
v
f
v
f
∼p
f
f
f
f
v
v
v
v
∼p∨q
v
v
f
f
v
v
v
v
(∼ p ∨ q) ∧ p
v
v
f
f
f
f
f
f
p∧q
v
v
f
f
f
f
f
f
En cambio, la misma fórmula [(p → q) ∧ p] nos da un resultado diferente
cuando se trata de una ley de implicación:
[(p → q) ∧ p] → q
¿Cómo sucede esto?, bién pues por efecto de una interacción ‘tridimensional’:
(diagramas ‘tridimensionales’)
1 Se hace uso de una tabla de tres conjuntos, debido a que en este trabajo usaremos los
tres conjuntos básicos (p,q,r). Aunque en este caso no se involucra a r
16
CAPÍTULO 3. REPRESENTACIÓN BINARIA
∧
Figura 3.11: p→q
=
Figura 3.12: p
Figura 3.13: q
‘tridimensional’
Esto equivale a un Modus Ponendo Ponens, cuya aplicación y significado
difiere de manera importante con su contraparte ‘plana’.
3.1.
Propuesta
Atendiendo a las funciones lógicas básicas, el primer caso ‘plano’ lo representamos de este modo:
[(p0 ∨ q) ∧ p] → (p ∧ q)
Y a nivel binario (se anotan sus números en decimal):
[(240 ∨ 51) ∧ 15] → 3
palabras clave:
complemento disyuntivo
Mientras que en el segundo caso ‘tridimensional’ lo representamos:
[((p0 ∨ q) ∧ p)∨(p0 ∧ q) ] → q
Y en binario:
[((240 ∨ 51) ∧ 15)∨(240 ∧ 51)] → 51
Se propone con lo anterior, que las representaciones ‘tridimensionales’ requieren de aplicar una disyunción a la propuesta ‘plana’: ((∼ p ∨ q) ∧ p), que
corresponde con su ‘complemento disyuntivo’: (∼ p ∧ q).
Se aclara que el complemento mencionado se aplica a la implicación tomando
en cuenta que: ∼ p ∨ q = p → q
Por lo que, el ‘complemento disyuntivo’ de:
p→q
es:
∼p∧q
Asimismo, el complemento disyuntivo de una conjunción:
p ∧ q será:
p∨q
Y en lugar de una disyunción, se agregará como una conjunción:
∧(p ∨ q)
El nombre de complemento disyuntivo se toma de que los principales términos de una premisa se manejan como una implicación.
POR CONVENCIÓN, propuesta por el autor, las fórmulas simbólicas de las
leyes de implicación y de los silogismos deductivos analizados posteriormente se
3.1. PROPUESTA
17
plantearán solamente con la versión ‘plana’ (sin el ‘complemento disyuntivo’).
con el objeto de simplificar la expresión simbólica y esperando que esto sea
más entendible. Baste decir que las fórmulas son ‘tridimensionales’ para las
LEYES DE IMPLICACIÓN y los SILOGISMOS DEDUCTIVOS analizados en
este trabajo.
Con esto se da un intento por explicar el comportamiento binario de los
silogismos categóricos y las leyes de implicación.
Analizamos los puntos de esta propuesta:2
1. Se usan diagramas de Venn planos de ocho áreas, representando al conjunto Universo y a los tres conjuntos (p,q,r), para representar las diferentes
interacciones tradicionales (infererencias inmediatas).
2. Se usan los mismos diagramas de Venn modificados tridimensionales
para representar las interacciones de las leyes de implicación y de los
silogismos deductivos clásicos, con imágenes básicas (figs. 2.2—2.8 ),
que se van superponiendo para realizar las interacciones.
3. Se proponen fórmulas simbólicas para las leyes de implicación y los
silogismos deductivos de acuerdo a la demostración gráfica de los mismos.
4. Se propone la representación binaria de los conjuntos y su valor numérico binario y decimal, con base a la homologación del diagrama de Venn
básico de ocho áreas con un byte binario.
5. Se propone el complemento disyuntivo para las fórmulas simbólicas de
los silogismos y leyes de implicación, ası́ como su expresión numérica
en decimal.
6. Se proponen los mapas de inclusión(pág. 43 ) basados en los diagramas
de Euler a la par de la simbologı́a de la teorı́a de conjuntos para establecer
las relaciones de orden y magnitud de los términos de los silogismos en
los diferentes modos.
7. Se propone incluir a los juicios singulares como una modalidad de los
juicios tipo i y o, dando un total de seis combinaciones posibles, ası́ como
su sintaxis propia.
2 El
autor considera que ya está gran parte de este conocimiento disperso en diferentes
publicaciones, pero no está hilvanado ni estructurado como en el presente trabajo, por lo que
se considera este documento como pionero en este campo
18
CAPÍTULO 3. REPRESENTACIÓN BINARIA
Capı́tulo 4
Leyes de implicación
Este es un artı́culo anterior el cual fué la base de este trabajo, se anexa por
ser el primer intento de interpretación y manejo de este modelo. Posteriormente
se hizo extensivo a los silogismos, pero los principios que se presentan son los
mismos para el siguiente capı́tulo.
1. El Modus Ponendo Ponens (MPP) se puede esquematizar con diagramas
de Venn de la siguiente manera:
∧
Figura 4.1: p→q
=
Figura 4.2: p
Figura 4.3: q
Por superposición
imágenes
En este caso, se toma como referencia la zona más obscura.
Fórmula:
[(p → q) ∧ p] → q
Ejemplo:
Si es yucateco es mexicano
Es yucateco
...Luego ...
Es mexicano
En donde:
19
de
20
CAPÍTULO 4. LEYES DE IMPLICACIÓN
p= “es yucateco”
q= “es mexicano”
Condición: p ⊂ q
2. El Modus Ponendo Tollens (MPT) se comporta como un XOR quedando:
∧
Figura 4.4: p →∼ q
=
Figura 4.6: ∼ q
Por superposición
de imágenes
Figura 4.5: p
Fórmula:
[(p →∼ q) ∧ p] →∼ q
Ejemplo:
Si es español no es mexicano
Es español
...luego ...
no es mexicano
En donde:
p= “es español”
q= “es mexicano”
Condición: p ∧ q = φ (son conjuntos disjuntos).
3. El Modus Tollendo Tollens (MTT) se representa:
∧
Figura 4.7: p → q
Fórmula:
=
Figura 4.8: ∼ q
Figura 4.9: ∼ p
Por superposición
de imágenes
21
[(p → q)∧ ∼ q] →∼ p
Ejemplo:
Si es yucateco es mexicano
no es mexicano
...Luego ...
no es yucateco
Condición: p ⊂ q
4. El Modus Tollendo Ponens (MTP) se revela como:
∧
Figura 4.10: ∼ p → q
También: p ∨ q
=
Figura 4.11: ∼ p
Figura 4.12: q
Por superposición
de imágenes
Fórmula:
[(∼ p → q)∧ ∼ p] → q
Ejemplo:
Si no es español es mexicano
No es español
...luego ...
Es mexicano
Condición: p ∧ q = φ (son conjuntos disjuntos).
5. El Silogismo Hipotético es una de las leyes más utilizadas:
∧
Figura 4.13: p → q
=
Figura 4.14: q → r
Figura 4.15: p → r
Por superposición
de imágenes
22
CAPÍTULO 4. LEYES DE IMPLICACIÓN
Fórmula:
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Ejemplo:
Si es catalán es español
Si es español es europeo
...Luego ...
Si es catalán es europeo
En donde:
p=“ es catalán”
q=“ es europeo ”
Condición: p ⊂ q ⊂ r
Capı́tulo 5
Silogismos deductivos
Los silogismos categóricos se agrupan en cuatro figuras de acuerdo a la posición de sus términos. 1
5.1.
FIGURA I
La figura I tiene los términos en la siguiente forma:
MP (premisa 1)
SM (premisa 2)
SP (conclusión)
Recordemos que los términos de un silogismo categórico son: mayor (P),
medio (M) y menor (S). ... y la figura I tiene los modos:
1. Barbara 5.1.1
2. Celaren 5.1.2
3. Darii 5.1.3
4. Ferio 5.1.4
Igualando los conjuntos: p = P; q = M; r = S y aplicando los modos en
forma de gráficas, (diagramas de Venn). Tenemos: (Como ya se mencionó, Los
diagramas de Venn hay que visualizarlos como áreas superpuestas para formar
una imagen tridimensional, al final de la interacción se quita la capa que se
completó para aclarar los tonos de grises y se visualice mejor el resultado).
Tal vez sea bueno imaginar que los diagramas están en una transparencia
tipo acetato y se van superponiendo entre sı́.
Aclarando entonces, que de acuerdo con la propuesta del autor, los silogismos deductivos y las leyes de implicación son interacciones en donde las
1 El
tı́tulo original de este capı́tulo es:Silogismos deductivos, lógica simbólica y teorı́a
de conjuntos. Por razones de espacio fué modificado, ya que afectaba la cabecera de página
del libro (no supe cómo remediarlo, por el momento).
23
24
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
disyunciones y conjunciones se expresan de forma ‘tridimensional’, es decir
como capas superpuestas de conjuntos.
Comenzamos con el análisis de la figura I y sus modos.
5.1.1.
Modo Barbara
Tiene las proposiciones: a a a . Es decir, la primera y segunda premisas son
del tipo ‘a’ , ası́ también lo es la conclusión:
∧
→
a=q→p
a=r→q
a=r→p
simplificando
Recordamos que en este caso es básico tomar en cuenta la equivalencia
de: ( q → p ), con:(∼ q ∨ p), para mejor comprensión de los diagramas de
Venn.
La fórmula simbólica del modo Barbara es pues:
[(q → p) ∧ (r → q)] → (r → p)
(5.1)
Nótese que en la conclusión hay al menos una capa completa sombreada
(tautologı́a). Asimismo, se aprecian varios tonos de grises que significan una,
dos o tres capas superpuestas. Las partes en blanco significan ausencia de
capas.
Ejemplo del modo Barbara: (todos los ejemplos están tomados del libro:
“Curso de Lógica”, Carlos Dión Martı́nez, Mc Graw Hill, Tercera edición,1992).2
Los ejemplos de la derecha son adaptados al lenguaje de la lógica simbólica
para mejor comprensión de las implicaciones.
Todos los seres vivos son mortales
Todos los humanos son seres vivos
... luego ...
Todos los humanos son mortales
En donde:
p= “es mortal”
q= “es ser vivo”
r= “es humano”
(ver fórmula)
|
|
|
|
Si
Si
...
Si
es ser vivo es mortal
es humano es ser vivo
luego...
es humano es mortal
2 La pretensión original del autor, fué de usar en este trabajo sólo los ejemplos de la lógica
simbólica expuestos a la derecha, pero: “honor a quien honor merece”, se prefirió hacer referencia del trabajo y autor que motivó a la realización de este documento. De paso es una
invitación a la lectura de este gran libro de texto del maestro Carlos Dión Martı́nez(„).
5.1. FIGURA I
5.1.2.
25
Modo Celaren
Tiene las proposiciones: e a e.
∧
e = q →∼ p
a=r→q
La fórmula del modo Celaren es:
→
e = r →∼ p
simplificando
[(q →∼ p) ∧ (r → q)] → (r →∼ p)
(5.2)
Ejemplo:
Ningún mamı́fero respira por
branquias
Todos los solı́pedos son mamı́feros
... luego ...
Ningún solı́pedo respira por branquias
En donde:
p= “respira por branquias”
q= “es mamı́fero”
r= “es solı́pedo”
5.1.3.
| Si es mamı́fero no respira por branquias
| Si es solı́pedo es mamı́fero
... luego...
| Si es solı́pedo no respira por branquias
Modo Darii
Tiene las proposiciones: a i i
∧
a=q→p
i=r∧q
La fórmula del modo Darii es:
→
i=r∧p
simplificando
[(q → p) ∧ (r ∧ q)] → (r ∧ p)
Ejemplo:
Todos los cetáceos son acuáticos
Algunos mamı́feros son cetáceos
... luego ...
Algunos mamı́feros son acuáticos
En donde:
| Si es cetáceo es acuático
| Es mamı́fero y es cetáceo
... luego...
| Es mamı́fero y es acuático
(5.3)
26
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
p= “es acuático”
q= “es cetáceo”
r= “es mamı́fero”
5.1.4.
Modo Ferio
Tiene las proposiciones: e i o.
∧
e = q →∼ p
i=r∧q
La fórmula del modo Ferio es:
→
o = r∧ ∼ p
[(q →∼ p) ∧ (r ∧ q)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
º
simplificando
(5.4)
Ningún protozoario vive a más de 100 | Si es protozoario no vive a más de 100°
La amiba es un protozoario
| Es amiba y es protozoario
... luego ...
... luego...
La amiba no vive a más de 100
| Es amiba y no vive a más de 100°
En donde:
p= “vive a más de 100 C”
q= “es protozoario”
r= “es amiba”
º
5.2.
º
Figura II
La figura II tiene los términos en la siguiente forma:
PM (premisa 1)
SM (premisa 2)
SP (conclusión)
... y tiene los modos:
1. Cesare 5.2.1
2. Camestres 5.2.2
3. Festino 5.2.3
4. Baroco 5.2.4
5.2. FIGURA II
5.2.1.
27
Modo Cesare
Tiene las proposiciones: e a e.
∧
e = p →∼ q
a=r→q
La fórmula de modo Cesare es:
→
e = r →∼ p
[(p →∼ q) ∧ (r → q)] → (r →∼ p)
simplificando
(5.5)
Ejemplo:
Ningún hombre de ciencia es irrespon- | Si es hombre de ciencia no es irresponsable
sable
Todos los ociosos son irresponsables
| Si es ocioso es irresponsable
... luego ...
... luego...
Ningún ocioso es hombre de ciencia
| Si es ocioso no es hombre de ciencia
En donde:
p= “es hombre de ciencia”
q= “es irresponsable”
r= “es ocioso”
5.2.2.
Modo Camestres
Tiene las proposiciones: a e e.
∧
a=p→q
e = r →∼ q
La fórmula del modo Camestres es:
→
e = r →∼ p
[(p → q) ∧ (r →∼ q)] → (r →∼ p)
simplificando
(5.6)
Ejemplo:
Todos los mamı́feros son de sangre caliente | Si es mamı́fero es de sangre caliente
| Si es reptil no es de sangre caliente
Ningún reptil es de sangre caliente
... luego ...
...luego ...
Ningún reptil es mamı́fero
| Si es reptil no es mamı́fero
En donde:
28
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
p= “es mamı́fero”
q= “es de sangre caliente”
r= “es reptil”
5.2.3.
Modo Festino
Tiene las proposiciones: e i o.
∧
e = p →∼ q
i=r∧q
La fórmula del modo Festino es:
→
o = r∧ ∼ p
[(p →∼ q) ∧ (r ∧ q)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
Ningún pez respira por pulmones
La ballena respira por pulmones
... luego ...
La ballena no es pez
En donde:
p= “es pez”
q= “respira por pulmones”
r= “es ballena”
5.2.4.
simplificando
(5.7)
| Si es pez no respira por pulmones
| Es ballena y respira por pulmones
... luego...
| Es ballena y no es pez
Modo Baroco
Tiene las proposiciones: a o o.
∧
a=p→q
o = r∧ ∼ q
La fórmula del modo Baroco es:
→
o = r∧ ∼ p
[(p → q) ∧ (r∧ ∼ q)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
simplificando
(5.8)
5.3. FIGURA III
29
Todas las personas educadas son atentas | Si es persona educada es atenta
Algunos funcionarios no son atentos
| Es funcionario y no es atento
... luego ...
...luego ...
Algunos funcionarios no son personas | Es funcionario y no es persona educaeducadas
da
En donde:
p= “es persona educada”
q= “es atento”
r= “es funcionario”
5.3.
FIGURA III
La figura III tiene los términos en la siguiente forma:
MP (premisa 1)
MS (premisa 2)
SP (conclusión)
... y tiene los modos:
1. Darapti 5.3.1
2. Felapton 5.3.2
3. Disamis 5.3.3
4. Datisi 5.3.4
5. Bocardo 5.3.5
6. Ferison 5.3.6
5.3.1.
Modo Darapti
Tiene las proposiciones: a a i.
∧
a=q→p
→
a=q→r
a = q → (r ∧ p)
i=r∧p
Aquı́ la expresión más propia de la conclusión serı́a: [q → (r ∧ p)], podemos
ver que es un caso sui géneris de silogismo, ya que no cumple con al menos una
capa de áreas cubiertas en su totalidad (tautologı́a), por lo que podemos deducir
que es un ejemplo más bién de la sı́ntesis de dos implicaciones o también como
la ley distributiva inversa:
[q → (r ∧ p)] ≡ [(q → r) ∧ (q → p)]
30
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
Otro caso también es que sea por subalternación (de a a i ) y por ley de
simplificación de la conclusión ( personalmente, creo que es la mejor opción ):
[ q → ( r ∧p)] → subalternación → [q ∧(r ∧p)] → simplificación → (r ∧p)
Quedarı́a pues, de acuerdo a este sistema gráfico-simbólico propuesto, la
fórmula del modo Darapti:
[(q → p) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
Ejemplo:
Todos los ácidos son corrosivos
Todos los ácidos tienen hidrógeno
... luego ...
Algo que tenga hidrógeno es corrosivo
En donde:
p= “es corrosivo”
q= “es ácido”
r= “tiene hidrógeno”
5.3.2.
(5.9)
| Si es ácido es corrosivo
| Si es ácido tiene hidrógeno
...luego ...
| Tiene hidrógeno y es corrosivo
Modo Felapton
Tiene las proposiciones: e a o.
∧
e = q →∼ p
a=q→r
→
a = q → (r∧ ∼ p)
o=r∼p
Al igual que en el caso anterior, la conclusión correctamente expresada
es:[q → (r∧ ∼ p)], pero también se aplican la subalternación ( de e a o ) y
la ley de simplificación:
[q → (r∧ ∼ p)] →subalternación → [q ∧ (r∧ ∼ p)] → simplificación → (r∧ ∼ p)
Tenemos entonces la fórmula del modo Felapton:
[(q →∼ p) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
(5.10)
5.3. FIGURA III
31
Ningún gas tiene volumen constante
| Si es gas no tiene volumen constante
Todos los gases son cuerpos
| Se es gas es cuerpo
... luego ...
...luego ...
Algunos cuerpos no tienen volumen | (Es gas y ...) Es cuerpo y no tiene voconstante
lumen constante
En donde:
p= “tiene volumen constante”
q= “es gas”
r= “es cuerpo”
5.3.3.
Modo Disamis
Tiene las proposiciones: i a i.
∧
i=q∧p
→
a=q→r
i=r∧p
simplificando
La fórmula de modo Disamis queda:
[(q ∧ p) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
Ejemplo:
Algunos triángulos son equiláteros
Todos los triángulos son polı́gonos
... luego ...
Algunos polı́gonos son equiláteros
En donde:
p= “es equilátero”
q= “es triángulo”
r= “es polı́gono”
5.3.4.
(5.11)
| Es triángulo y es equilátero
| Si es triángulo es polı́gono
...luego ...
| Es polı́gono y es equilátero
Modo Datisi
Tiene las proposiciones: a i i .
∧
a=q→p
i=q∧r
La fórmula del modo Datisi queda:
→
i=r∧p
simplificando
32
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
[(q → p) ∧ (q ∧ r)] → (r ∧ p)
(5.12)
Ejemplo:
Todo movimiento produce calor
| Si es movimiento produce calor
Algunos movimientos producen reac- | Es movimiento y produce reacción
ciones quı́micas
quı́mica
... luego ...
...luego ...
Algo que produce reacciones quı́micas | Produce reacción quı́mica y produce
produce calor
calor
En donde:
p= “produce calor”
q= “es movimiento”
r= “produce reacción quı́mica”
5.3.5.
Modo Bocardo
Tiene las proposiciones: o a o.
∧
o = q∧ ∼ p
a=q→r
La fórmula del modo Bocardo queda:
→
o = r∧ ∼ p
[(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
simplificando
(5.13)
Ejemplo:
| Es insecto y no tiene alas
Algunos insectos no tienen alas
Todos los insectos son animales articulados | Si es insecto es animal articulado
... luego ...
...luego ...
Algunos animales articulados no tienen alas | Es animal articulado y no tiene alas
En donde:
p= “tienen alas”
q= “es insecto”
r= “es animal articulado”
5.3.6.
Modo Ferison
Tiene las proposiciones e i o.
5.4. FIGURA IV
33
∧
e = q →∼ p
i = q∧r
La fórmula del modo Ferison queda:
→
o = r∧ ∼ p
[(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
Ninguna novela es libro de texto
Algunas novelas son interesantes
... luego ...
Algo interesante no es libro de texto
En donde:
p= “es libro de texto”
q= “es novela”
r= “es interesante”
5.4.
simplificando
(5.14)
| Si es novela no es libro de texto
| Es novela y es interesante
...luego ...
| Es interesante y no es libro de texto
FIGURA IV
La figura IV tiene los términos en la siguiente forma:
PM (premisa 1)
MS (premisa 2)
SP (conclusión)
... y tiene los modos:
1. Bamalip 5.4.1
2. Calemes 5.4.2
3. Dimatis 5.4.3
4. Fesapo 5.4.4
5. Fresison 5.4.5
5.4.1.
Modo Bamalip
Tiene las proposiciones: a a i.
∧
a=p→q
→
a=q→r
a=p→r
i=r∧p
34
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
Se puede observar que el caso de la conclusión debe ser: ( p → r ) o bién:
(∼ r →∼ p) para seguir la estructura de la figura, pero como en casos anteriores
( ver: Darapti y Felapton), se lleva a cabo una SUBALTERNACIÓN (de a a i):
(p → r) →subalternación → (p ∧ r) →conmutativa → (r ∧ p)
También podemos ver el modo Bamalip como una modificación de la conclusión del Silogismo hiṕotético, ya analizado en el capı́tulo anterior.
La fórmula del modo Bamalip queda:
[(p → q) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
Ejemplo:
Todos los genios son coléricos
Todos los coléricos son poco sociales
... luego ...
Algunos poco sociales son genios
En donde:
p= “es genio”
q= “es colérico”
r= “es poco social”
5.4.2.
(5.15)
| Si es genio es colérico
| Si es colérico es poco social
...luego ...
| es poco social y es genio
Modo Calemes
Tiene las proposicones: a e e.
∧
a=p→q
e = q →∼ r
La fórmula del modo Calemes queda:
→
e = r →∼ p
[(p → q) ∧ (q →∼ r)] → (r →∼ p)
Ejemplo:
Todos los atletas cuidan su salud
Nadie que cuida su salud es vicioso
... luego ...
Nadie que sea vicioso es atleta
En donde:
p= “es atleta”
q= “cuida su salud”
r= “es vicioso”
5.4.3.
Modo Dimatis
Tiene las proposiciones: i a i.
simplificando
(5.16)
| Si es atleta cuida su salud
| Si cuida su salud no es vicioso
...luego ...
| Si es vicioso no es atleta
5.4. FIGURA IV
35
∧
i=p∧q
a=q→r
La fórmula del modo Dimatis queda:
→
i=r∧p
simplificando
[(p ∧ q) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
Ejemplo:
Algunos mexicanos son socialistas
Todos los socialistas son reformistas
... luego ...
Algunos reformistas son mexicanos
En donde:
p= “es mexicano”
q= “es socialista”
r= “es reformista”
5.4.4.
(5.17)
|Es mexicano y es socialista
|Si es socialista es reformista
...luego ...
|Es reformista y es mexicano
Modo Fesapo
Tiene las proposiciones: e a o.
∧
e = p →∼ q
→
a=q→r
a = q → (r∧ ∼ p)
o = r∧ ∼ p
Como ya se ha visto, en este caso la conclusión es transformada por subalternación y por simplificación.
[q → (r∧ ∼ p)] →subalternación→ [q ∧ (r∧ ∼ p)] →simplificación→ (r∧ ∼ p)
La fórmula del modo Fesapo queda:
[(p →∼ q) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
(5.18)
Ejemplo:
Ninguna figura con diagonales es
triángulo
| Si tiene diagonales no es triángulo
Todos los triángulos son polı́gonos
| Si es triángulo es polı́gono
... luego ...
...luego ...
Algunos polı́gonos no tienen diagonales | Es polı́gono y no tiene diagonales
En donde:
p= “tiene diagonales”
q= “es triángulo”
r= “es polı́gono”
36
CAPÍTULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS
5.4.5.
Modo Fresison
Tiene las proposiciones: e i o.
∧
e = p →∼ q
i=q∧r
La fórmula del modo Fresison queda:
→
o = r∧ ∼ p
[(p →∼ q) ∧ (q ∧ r)] → (r∧ ∼ p)
Ejemplo:
Ninguna cosa venenosa es alimento
Algunos alimentos son hongos
... luego ...
Algunos hongos no son venenosos
En donde:
p= “es venenoso”
q= “es alimento”
r= “es hongo”
simplificando
(5.19)
| Si es venenoso no es alimento
| Es alimento y es hongo
...luego ...
| Es hongo y no es venenoso
Capı́tulo 6
Casos especiales
Como pudimos notar, prácticamente la totalidad de los silogismos cumplen
como tautologı́as.
Mención aparte de los modos Darapti y Felapton; y Bamalip y Fesapo de
las figuras III y IV; que sufren una transformación en su conclusión. En realidad
se trata de explicarse como una inferencia simple o inmediata de la conclusión,
en las que, a partir de un juicio (premisa), se obtiene una conclusión. Esto tal
vez los haga verse como sorites progresivos más que como silogismos puros (lo
cual serı́a cierto si atendemos la definición de sorites).
Aquı́ coincidimos con Copi-Cohen en cuanto a no considerar silogismos puros
a los 4 casos mencionados (no cumplen con la regla 6).
Reglas de Copi-Cohen:
1. Un silogismo categórico de forma estándar válido debe contener exactamente tres términos, cada uno de los cuales se usa en el mismo sentido en
todo el argumento.
2. En un silogismo categórico de forma estándar válido, el término medio
debe estar distribuido por lo menos en una de las premisas.
3. En un silogismo categórico de forma estándar válido, si cualquier término
está distribuido en la conclusión, entonces debe estar distribuido en las
premisas.
4. Ningún silogismo categórico de forma estándar que tiene dos premisas
negativas es válido.
5. Si cualquier premisa de un silogismo categórico de forma estándar es negativa, la conclusión debe ser negativa.
6. Ningún silogismo categórico de forma estándar con una conclusión particular puede tener dos premisas universales.
Repasemos pues, cuales son las inferencias inmediatas o simples.
37
38
CAPÍTULO 6. CASOS ESPECIALES
Recordemos que las inferencias inmediatas son del tipo plano, y que sólo
para los silogismos y leyes de implicación se aplican de manera tridimensional. De acuerdo con la propuesta del autor.
6.1.
Inferencias inmediatas
6.1.1.
Por subalternación
Se pasa de un juicio universal válido a otro particular análogo. Sólo hay dos
tipos:
De modo a a i
(análisis de caso p, q )
→
a=p→q
i=p∧q
(diagramas ‘planos’)
La fórmula de esta inferencia es:
[(p → q) → (p ∧ q)] 1
Ejemplo:2
| Si es texto es útil
Todos los textos son útiles
...luego ...
...luego...
| Es texto y es útil
Este texto es útil.
Aquı́ se aplica la ley de ejemplificación universal:
(∀x)P x⊥P a
Aunque en realidad es la simplificación de una forma ‘plana’ tipo silogismo:
| Si es texto es útil
Todos los textos son útiles
| Es texto
Este es un texto
...luego ...
luego...
| Es texto y es útil
Este texto es útil.
Cuya fórmula es:
[(p → q) ∧ p] → (p ∧ q) (fórmulas ‘planas’)
1 Se
puede hacer para el caso ( q,p ); ( r,q ); ( q,r ). Sólo se muestra un ejemplo.
la mención de que los ejemplos son tomados del libro de Carlos Dión Martı́nez,
excepto su adaptación al lenguaje simbólico del lado derecho.
2 Reitero
6.1. INFERENCIAS INMEDIATAS
39
∧
→
a=p→q
p
i = p ∧ q (diagramas ‘planos’)
La tabla de verdad de esta inferencia se describió en la pág. 15
Equivale a un Modus Ponendo Ponens ‘plano’.3
Posteriormente, por ley de simplificación se puede concluir:
p∧q →q
p
Quedando completa la transformación:
(p → q) → (p ∧ q) → q
Primero por subalternación y luego por simplificación. (Ver modo Darapti,
fórmula 5.9, en la pág. 30; el modo Felapton, pág. 30; el modo Bamalip, pág.
34 y el modo Fesapo, pág. 35).
Del modo e a o
→
e = p →∼ q
o = p∧ ∼ q
(diagramas ‘planos’)
La fórmula de esta inferencia es:
(p →∼ q) → (p∧ ∼ q)
Ejemplo:
| Si es gas no tiene volumen constante
Ningún gas tiene volumen constante
...luego ...
luego...
| Es helio y no tiene volumen constante
El helio no tiene volumen constante
Igualmente que el acaso anterior, es una simplificación de la forma ‘plana’
tipo silogismo:
Ningún gas tiene volumen constante
| Si es gas no tiene volumen constante
El helio es un gas
| Es helio y es gas
luego...
...luego ...
El helio no tiene volumen constante
| Es helio y no tiene volumen constante
Cuya fórmula queda:
[(p →∼ q) ∧ p] → (p∧ ∼ q) (fórmulas ‘planas’)
Algo ası́ como un Modus Ponendo Tollens ‘plano’.
Nótese que el juicio a es la negación del juicio o y viceversa, ası́ como el
juicio e con el juicio i
3 Esta forma de descripción de la inferencia es propuesta por el autor, ya que tiene la misma
base de premisas sin el ‘complemento disyuntivo’.
40
CAPÍTULO 6. CASOS ESPECIALES
Tenemos ası́ los diagramas de Venn ‘planos’ de los cuatro tipos de juicios: a,
e, i, o (para los conjuntos: p,q).
a=p→q
palabras clave:
conjunción plana
e = p →∼ q
i=p∧q
o = p∧ ∼ q
Con estos diagramas se ha realizado el cuadro de oposición clásico de los
juicios.
Podemos decir que las inferencias inmediatas por subalternación se dan
por una conjunción plana de a con p, ası́ como de e con p, de forma ‘plana’
(ver los diagramas).
Para las leyes de implicación y los silogismos deductivos se usan en esta
propuesta los diagramas ‘tridimensionales’ (ejemplos con los los conjuntos p,q).
a=p→q
e = p →∼ q
i=p∧q
o = p∧ ∼ q
Aunque como ya vimos en el capı́tulo anterior, dependiendo de la figura
serán los conjuntos que interactuarán en cada juicio.
6.1.2.
Por oposición
En donde la negación de a nos da o, y la negación de e nos da i. como se
puede apreciar en los diagramas anteriores.
Aquı́ conviene hacer la observación, con base en lo anteriormente explicado
que tenemos los siguientes cuadros de equivalencias:
Iniciamos con las equivalencias de los cuatro juicios con su correspondiente
fórmula simbólica:
6.1. INFERENCIAS INMEDIATAS
a
e
i
o
41
p→q
p →∼ q
p∧q
p∧ ∼ q
(Ver figuras anteriores)
Y en combinación con las inferencias inmediatas ya expuestas tenemos que:
a = i∨ ∼ p
a =∼ o
a =∼ e∨ ∼ p
e = o∨ ∼ p
e =∼ i
e =∼ a∨ ∼ p
i=a∧p
i =∼ e
i =∼ o ∧ p
o=e∧p
o =∼ a
o =∼ i ∧ p
Se invita al lector a hacer la tabla de verdad de las proposiciones anteriores,
ası́ como su diagrama de Venn.
6.1.3.
Por conversión
simple
Casos válidos:
Para a: (p → q) − − − − > (q → p) ( sólo definiciones ), es decir p = q.
Para e: (p →∼ q) − −− > (q →∼ p) ( equivale a la contraposición de e )
Para i: (p ∧ q) − −− > (q ∧ p) ( equivale a la ley conmutativa )
por accidente
Único caso válido
Para a (p → q)−−− > (q ∼ p) ( equivale a subalternación y ley conmutativa)
6.1.4.
Por contraposición
Se intercambian los términos ( p , q ) y se niega toda la proposición.
Casos válidos:
juicio
a
e
o
Proposición
p→q
p →∼ q
p∧ ∼ q
Intercambio de términos
q→p
q →∼ p
q∧ ∼ p
Negación y transformación
∼ q →∼ p
∼q∧p
∼q∧p
42
CAPÍTULO 6. CASOS ESPECIALES
Capı́tulo 7
Mapas de inclusión
Dentro de el estudio de los silogismos y la teorı́a de conjuntos está el análisis
de las estructuras de las proposiciones, esto ha dado lugar a confusiones ya que
hay cierto parecido entre los mapas de inclusión y los diagramas de Venn.
Esperando aclararlo dentro de esta propuesta:
Los diagramas de Venn son muy útiles para representar las proposiciones y
las fórmulas de las mismas ( ya mostradas en este documento ), ası́ como sus
interacciones al llevarlas a cabo; también nos permiten estandarizar el modelo
de interacciones (diagrama con p, q y r y ocho áreas), pero no nos informan
acerca de sus relaciones de orden y magnitud.
Los mapas de inclusión (cı́rculos de Euler), nos dan una visión más estructurada de las relaciones entre los juicios, es decir nos ubican en la relación
de orden y de magnitud entre los términos de los mismos (Mayor, Medio y
Menor). Pudiendo visualizarse los términos como un conjunto ( p,q,r), siendo parte de otro conjunto o siendo conjunto disjunto (relación de orden y de
jerarquı́a o magnitud).
Aqui el autor propone el uso de los mapas de Euler en conjunto con las
simbologı́a de la teorı́a de conjuntos para establecer estas relaciones que no se
dan con los diagramas de Venn
Tenemos los cinco arreglos tı́picos de los cı́rculos de Euler:
p=q
p⊂q
q⊂p
43
44
CAPÍTULO 7. MAPAS DE INCLUSIÓN
p∧q
p∧q =φ
Aunque en este caso se hace una modificación debido a que en los juicios
categóricos analizados, se utilizan tres conjuntos ( p,q,r ).
Quedando entonces diagramas en donde p, q y r, se van alternando la posición de acuerdo a la relación de orden y magnitud (inclusión), dentro del juicio,
modo, figura y silogismo.
Los ejemplos han sido para el caso p,q, que corresponderı́an a las interacciones de los términos M y P de la premisa 1 de los silogismos. Aunque se
pueden obtener los diagramas para el caso q,r, o para p,r.
Tradicionalmente se usan principalmente 4 tipos de juicios (a,e,i,o), debido
a la combinación de los juicios universales y particulares, en esta propuesta se
toman en cuenta todos los tipos de juicios y sus combinaciones que son 6,
con la salvedad de que los juicios singulares se ingresan como una modalidad
de los tipos i, o.
Partiendo entonces de que existen 3 tipos de juicios con su expresión positiva (afirmativa) y negativa, tenemos 6 expresiones de Euler para los juicios
(aunque se reconocen sólo 4). 1
Tipo de juicio
Universal
Particular
Singular
Palabras clave
Positivo
Negativo
“todo (s)... es (son)” a
“Ningún (o,os)... es (son)”,
“Nadie” ... es” e
“algún (o, os)... es(son)” i “Algún (os) ... no es(son)” o
“(el/la) x es...” i
“(el/la) x no es...” o
Los mapas de inclusión de los juicios quedan:
1. Juicios universales:
a) Positivo: p→q “Todo p es q”
b) Negativo:p →∼ q “Ningún p es q”
1 Derivada
de esta propuesta, está pendiente una revisión de los silogismos con la cuantificación tanto del sujeto como del predicado, tal y como lo propone Hamilton, la cual estará incluida en una próxima revisión.
45
2. Juicios particulares
a) Positivo: p ∧ q “Algún(os) p es(son) q”
b) Negativo: p∧ ∼ q “algun(os) p no es(son) q”
Otra forma positiva es:
3. Juicios singulares
a) Positivo: p ∧ q “Px es q”
b) Negativo: p∧ ∼ q “Px no es q”
46
CAPÍTULO 7. MAPAS DE INCLUSIÓN
En los juicios singulares se usa la misma nomencalatura simbólica que
en los particulares, sólo cambia la expresión en la proposión refiriéndose a un
elemento o elementos en particular.
Podemos analizar los silogismos deductivos bajo esta perspectiva para obtener sus mapas de inclusión, y al mismo tiempo preparar su demostración tanto
gráfica como simbólica.
Se usa la simbologı́a de la teorı́a de conjuntos para especificar la relación de
orden y magnitud de los términos de los silogismos.
Éstos son pues los mapas de inclusión propuestos para los ejemplos de los
silogismos ya expuestos (capı́tulo 4 ). Los modelos pueden variar de acuerdo al
ejemplo dado, por lo que es posible hallar otros mapas de inclusión para
el mismo modo.
Se recuerda que al igual que en los diagramas de Venn, las áreas representadas con valor verdadero se colorean.
1. Figura I
a) Modo Barbara 5.1.1 :
r⊂q⊂p
b) Modos Celaren 5.1.2 y Ferio 5.1.4 :
r ⊂ q;
q∧p=φ
c) Modo Darii 5.1.3:
q ⊂ p;
q ⊂ r;
r∧p=q
q⊂p
p⊂r
47
2. Figura II
a) Modos Cesare 5.2.1 y Festino 5.2.3 :
r ⊂ q;
q∧p=φ
b) Modo Camestres 5.2.2 :
p ⊂ q;
r∧q =φ
c) Modo Baroco 5.2.4 :
p⊂q
q⊂r
p=q
q⊂r
3. Figura III
a) Modo Darapti 5.3.1 :
q ⊂ r;
q ⊂ p;
r⊂p
q ⊂ r;
r∧p=q
b) Modo Felapton 5.3.2 :
p ⊂ r;
q ⊂ r;
q ⊂ r;
r∧p=φ
p ∧ q = φ;
48
CAPÍTULO 7. MAPAS DE INCLUSIÓN
q = ¬p
c) Modo Disamis 5.3.3 :
p ⊂ q;
q⊂r
d ) Modo Datisi 5.3.4 :
q ⊂ p;
q ⊂ r;
r∧p=q
e) Modo Bocardo 5.3.5 :
p ⊂ q;
q⊂r
f ) Modo Ferison 5.3.6 :
r ⊂ q;
q∧p=φ
49
4. Figura IV
a) Modo Bamalip 5.4.1 :
p ⊂ q;
q⊂r
b) Modo Calemes 5.4.2 :
p ⊂ q;
r∧q =φ
c) Modo Dimatis 5.4.3 :
q ⊂ p;
q⊂p
q ⊂ r;
p⊂r
r∧p=q
d ) Modo Fesapo 5.4.4 :
p ⊂ r;
q⊂r
p ∧ q = φ;
q = ¬p
50
CAPÍTULO 7. MAPAS DE INCLUSIÓN
e) Modo Fresison 5.4.5 :
r ⊂ q;
p ⊂ r;
q ∧ p = φ;
q⊂r
r∧p=φ
p ∧ q = φ; q = ¬p
Capı́tulo 8
Esquemas de pensamiento
Estas son algunas fómulas simbólicas de los tipos de razonamiento.
1. Razonamiento deductivo:
(∀x)(Sx → P x)
Sa
..
.
(Sa→Pa)
Se parte de lo general a lo particular.
2. Razonamiento inductivo:
a, b, c ∧ s
a, b, c ∧ p
..
.
s→p
Se parte de lo particular a lo general.
3. Razonamiento analógico:
S∧P
a≈S
a≈P
Se aplica el mismo principio a situaciones o eventos similares.
51
52
CAPÍTULO 8. ESQUEMAS DE PENSAMIENTO
Capı́tulo 9
Resumen
En esta tabla se trata de resumir las fórmulas de la propuesta del autor. Las
fórmulas y las condiciones tienen sus diagramas correspondientes mostrados en
este documento.
Ley/silogismo
Modus ponendo ponens
Modus ponendo tollens
Modus tollendo tollens
Modus tollendo ponens
Silogismo hipotético
Modo Barbara
Modo Celaren
Modo Darii
Modo Ferio
Modo Cesare
Modo Camestres
Modo Festino
Modo Baroco
Modo Darapti
Modo Felapton
Modo Disamis
Modo Datisi
Modo Bocardo
Modo Ferison
Modo Bamalip
Modo Calemes
Modo Dimatis
Modo Fesapo
Modo Fresison
Fórmula
[(p → q) ∧ p] → q
[(p →∼ q) ∧ p] →∼ q
[(p → q)∧ ∼ q] →∼ p
[(∼ p → q)∧ ∼ p] → q
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
[(q → p) ∧ (r → q)] → (r → p)
[(q →∼ p) ∧ (r → q)] → (r →∼ p)
[(q → p) ∧ (r ∧ q)] → (r ∧ p)
[(q →∼ p) ∧ (r ∧ q)] → (r∧ ∼ p)
[(p →∼ q) ∧ (r → q)] → (r →∼ p)
[(p → q) ∧ (r →∼ q)] → (r →∼ p)
[(p →∼ q) ∧ (r ∧ q)] → (r∧ ∼ p)
[(p → q) ∧ (r∧ ∼ q)] → (r∧ ∼ p)
[(q → p) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
[(q →∼ p) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
[(q ∧ p) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
[(q → p) ∧ (q ∧ r)] → (r ∧ p)
[(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
[(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)] → (r∧ ∼ p)
[(p → q) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
[(p → q) ∧ (q →∼ r)] → (r →∼ p)
[(p ∧ q) ∧ (q → r)] → (r ∧ p)
[(p →∼ q) ∧ (q → r)] → (r∧ ∼ p)
[(p →∼ q) ∧ (q ∧ r)] → (r∧ ∼ p)
53
Condición(es)
p⊂q
p∧q =φ
p⊂q
p∧q =φ
p⊂q⊂r
r⊂q⊂p
r ⊂ q; q ∧ p = φ
q ⊂ p; q ⊂ r; r ∧ p = q||q ⊂ p; p ⊂ r
r ⊂ q; q ∧ p = φ
r ⊂ q; q ∧ p = φ
r ⊂ q; q ∧ p = φ
r ⊂ q; q ∧ p = φ
p ⊂ q; q ⊂ r||p = q; q ⊂ r
q ⊂ p; q ⊂ r; r ∧ p = q||q ⊂ r; r ⊂ p
p ⊂ r; q ⊂ r; p ∧ q = φ; q = ¬p||q ⊂ r; p ∧ q = φ
q ⊂ r; p ⊂ q
q ⊂ r; q ⊂ p; r ∧ p = q
p ⊂ q; q ⊂ r
r ⊂ q; q ∧ p = φ
p⊂q⊂r
p ⊂ q; q ∧ r = φ
q ⊂ r; q ⊂ p; p ∧ r = q||q ⊂ p; p ⊂ r
p ⊂ r; q ⊂ r; p ∧ q = φ; q = ¬p
q ∧ p = φ; r ⊂ q||p ⊂ r; q ⊂ r; q = ¬p
54
CAPÍTULO 9. RESUMEN
Capı́tulo 10
Si... ya sé
Que al principio de este documento se habló del complemento disyuntivo
y que las fórmulas tridimensionales lo requieren. Por lo que se anexan las mismas
fórmulas con sus complementos disyuntivos y su valor en decimal. Insistiendo en
que el complemento disyuntivo (de una implicación) expresa el ‘byte superior’,
mientras que la fórmula ‘plana’ expresa el ‘byte inferior’ del par. Si se trata de
una conjunción(juicios particulares y singulares) la expresión se invierte.
Como podemos ver, las fórmulas son algo complejas si usamos el complemento disyuntivo, es mejor visualizar las fórmulas desde la perspectiva de la
tabla del capı́tulo anterior (pág. 53 ).
El objetivo de la presente tabla es como referencia para quienes quieran
trabajar con programas de computadora y necesiten realizar las operaciones
binarias/numéricas requeridas, asimismo para aquellos que quieran realizar las
tablas de verdad de cada una de las implicaciones y silogismos (asunto que no
se contempla en este documento por considerarse recursivo).1
Bién... espero que no haya reclamos.
Es muy difı́cil decir que el conocimiento está terminado, por el contrario,
ahora surgen nuevas preguntas:
¿Cómo encontraron las leyes del pensamiento los grandes como Aristóteles,
Platón, Kant... y un largo etcétera?
El autor se apoyó en la tecnologı́a y gracias a ello pudo llevar a cabo las
comprobaciones necesarias, pero queda en el aire la admiración por quienes sin
‘ayudas’ tecnológicas lograron establecer las bases de lo que hasta ahora sigue
siendo objeto de estudio y comprensión.
1 Los modos en negritas son los que no se consideran silogismos puros por no cumplir la
regla 6 de Copi-Cohen(pág. 37).Por lo que su resultado binario se altera, se presentan ambos
resultados binarios.Se recomienda ver en el capı́tulo 4 la aclaración correspondiente a estos
modos.
55
56
CAPÍTULO 10. SI... YA SÉ
Ley/silogismo
Fórmula con complemento disyuntivo
Modus ponendo ponens
[((p → q) ∧ p)∨(∼ p ∧ q)] → q
[((240 ∨ 51) ∧ 15)∨(240 ∧ 51)] → 51
[((p →∼ q) ∧ p)∨(∼ p∧ ∼ q)] →∼ q
[((240 ∨ 204) ∧ 15)∨(240 ∧ 204)] → 204
[((p → q)∧ ∼ q)∨(∼ p ∧ q)] →∼ p
[((240 ∨ 51) ∧ 204)∨(240 ∧ 51)] → 240
[((∼ p → q)∧ ∼ p)∨(p ∧ q)] → q
[((15 ∨ 51) ∧ 240)∨(15 ∧ 51)] → 51
Binario
Modus ponendo tollens
Modus tollendo tollens
Modus tollendo ponens
Silogismo hipotético
[((p → q) ∧ (q → r))∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q ∧ r))] → (p → r)∨(∼ p ∧ r)
221
[((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 85))] → (240 ∨ 85)∨(240 ∧ 85)
Modo Barbara
[((q → p) ∧ (r → q))∨((∼ q ∧ p) ∨ (∼ r ∧ q))] → (r → p)∨(∼ r ∧ p)
[((204 ∨ 15) ∧ (170 ∨ 51))∨((204 ∧ 15) ∨ (170 ∧ 51))] → (170 ∨ 15)∨(170 ∧ 15)
175
Modo Celaren
250
Modo Darii
5
Modo Ferio
80
Modo Cesare
250
Modo Camestres
250
Modo Festino
80
Modo Baroco
80
Modo Darapti
205/5
Modo Felapton
220/80
Modo Disamis
5
Modo Datisi
5
Modo Bocardo
80
Modo Ferison
80
Modo Bamalip
245/5
Modo Calemes
250
Modo Dimatis
5
Modo Fesapo
220/80
Modo Fresison
80
[((q →∼ p) ∧ (r → q))∨((∼ q∧ ∼ p) ∨ (∼ r ∧ q))] → (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)
[((204 ∨ 240) ∧ (170 ∨ 51))∨((204 ∧ 240) ∨ (170 ∧ 51))] → (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)
[((q → p) ∧ (r ∧ q))∨((∼ q ∧ p) ∧ (r ∨ q))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((204 ∨ 15) ∧ (85 ∧ 51))∨((204 ∧ 15) ∧ (85 ∨ 51))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[((q →∼ p) ∧ (r ∧ q))∨((∼ q∧ ∼ p) ∧ (r ∨ q))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((204 ∨ 240) ∧ (85 ∧ 51))∨((204 ∧ 240) ∧ (85 ∨ 51))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[((p →∼ q) ∧ (r → q))∨((∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ r ∧ q))] → (r →∼ p)∨(∼ r∨ ∼ p)
[((240 ∨ 204) ∧ (170 ∨ 51))∨((240 ∧ 204) ∨ (170 ∧ 51))] → (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)
[((p → q) ∧ (r →∼ q))∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ r∧ ∼ q))] → (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)
[((240 ∨ 51) ∧ (170 ∨ 204))∨((240 ∧ 51) ∨ (170 ∧ 204))] → (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)
[((p →∼ q) ∧ (r ∧ q))∨((∼ p∧ ∼ q) ∧ (r ∨ q))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((240 ∨ 204) ∧ (85 ∧ 51))∨((240 ∧ 204) ∧ (85 ∨ 51))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(p → q) ∧ (r∧ ∼ q)∨((∼ p ∧ q) ∧ (r∨ ∼ q))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((240 ∨ 51) ∧ (85 ∧ 204))∨((240 ∧ 51) ∧ (85 ∨ 204))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(q → p) ∧ (q → r)∨((∼ q ∧ p) ∨ (∼ q ∧ r))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((204 ∨ 15) ∧ (204 ∨ 85))∨((204 ∧ 15) ∨ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[(q →∼ p) ∧ (q → r)∨((∼ q∧ ∼ p) ∨ (∼ q ∧ r))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((204 ∨ 240) ∧ (204 ∨ 85))∨((204 ∧ 240) ∨ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(q ∧ p) ∧ (q → r)∨((q ∨ p) ∧ (∼ q ∧ r))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((51 ∧ 15) ∧ (204 ∨ 85))∨((51 ∨ 15) ∧ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[(q → p) ∧ (q ∧ r)∨((∼ q ∧ p) ∧ (q ∨ r))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((204 ∨ 15) ∧ (51 ∧ 85))∨((204 ∧ 15) ∧ (51 ∨ 85))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)∨((q∨ ∼ p) ∧ (∼ q ∧ r))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((51 ∧ 240) ∧ (204 ∨ 85))∨((51 ∨ 240) ∧ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)∨((∼ q∧ ∼ p) ∧ (q ∨ r))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((204 ∨ 240) ∧ (51 ∧ 85))∨((204 ∧ 240) ∧ (51 ∨ 85))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(p → q) ∧ (q → r)∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q ∧ r))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[(p → q) ∧ (q →∼ r)∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ r))] → (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)
[((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 170))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 170))] → (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)
[(p ∧ q) ∧ (q → r)∨((p ∨ q) ∧ (∼ q ∧ r))] → (r ∧ p)∧(r ∨ p)
[((15 ∧ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((15 ∨ 51) ∧ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)
[(p →∼ q) ∧ (q → r)∨((∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ q ∧ r))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((240 ∨ 204) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 204) ∨ (204 ∧ 85))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
[(p →∼ q) ∧ (q ∧ r)∨((∼ p∧ ∼ q) ∧ (q ∨ r))] → (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)
[((240 ∨ 204) ∧ (51 ∧ 85))∨((240 ∧ 204) ∧ (51 ∨ 85))] → (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)
Capı́tulo 11
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“Porque el conocimiento...
Ha de ser compartido.”
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