Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski

Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
Objetivos. Demostrar las desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
Requisitos. Funciones convexas, criterio de función convexa en términos de su segunda
derivada, la integral de Lebesgue, propiedad monótona de la integral de Lebesgue.
Desigualdad de Young
1. Convexidad de la función exponencial. Consideremos la función exponencial en
el eje real. Para todo x ∈ R se tiene que exp00 (x) = exp(x) > 0, por lo tanto f es convexa.
Esto significa que para todos x, y ∈ R y todos α, β ≥ 0 con α + β = 1 se cumple la
desigualdad
exp(αx + βy) ≤ α exp(x) + β exp(y).
(1)
2. Desigualdad de Young. Sean a, b ≥ 0, p, q > 1,
ab ≤
1 1
+ = 1. Entonces
p q
ap b q
+ .
p
q
(2)
Demostración. Si a = 0 o b = 0, entonces el lado izquierdo de la desigualdad (2) es 0,
mientras al lado derecho es no negativo, y la desigualdad se cumple. Sean a > 0 y b > 0.
Entonces (2) se obtiene de (1) al hacer el siguiente cambio de variables:
1
α= ,
p
1
β= ,
q
x = p ln(a),
y = q ln(b).
3. Tarea adicional. Encuentre otras demostraciones de la desigualdad de Young.
Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski, página 1 de 3
Desigualdad de Hölder
4. Teorema. Sean (X, F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p, q > 1 tales que
1
+ 1q = 1. Entonces
p
1/p 

Z
Z
|f | |g| dµ ≤ 
|f |p dµ

X
X
1/q
Z
|g|q dµ
.
(3)
X
Demostración. Denotemos por α y β a los factores que están en el lado derecho de (3):

1/p

1/q
Z
Z
α :=  |f |p dµ ,
β :=  |g|q dµ .
X
X
Si α = 0, entonces f = 0 casi en todas partes, y la desigualdad (3) se convierte en la
igualdad trivial 0 = 0. De manera similar se considera el caso cuando g = 0. Si α > 0, β > 0
y α = +∞ o β = +∞, entonces el lado derecho de (3) es +∞, y (3) se cumple de manera
trivial.
Consideremos el caso principal cuando α, β ∈ (0, +∞). Denotemos por u y v a las
funciones f y g normalizadas de la siguiente manera:
u :=
f
,
α
v :=
g
.
β
Entonces
Z
1
|u| dµ = p
α
p
X
Z
p
Z
|f | dµ = 1,
X
1
|v| dµ = q
β
q
X
Z
|g|q dµ = 1.
X
Para todo x ∈ X aplicamos la desigualdad de Young a los números |u(x)| y |v(x)|:
|u(x)v(x)| ≤
|u(x)|p |v(x)|q
+
,
p
q
luego integramos ambos lados sobre X respecto a la medida µ:
Z
1 1
|uv| dµ ≤ + = 1,
p q
X
esto es,
R
X
|f g| dµ ≤ αβ.
5. Tarea adicional. Sean (X, F, µ) un espacio de medida, p, q > 0 con p1 + 1q = 1.
Determine qué condición sobre las funciones f y g es necesaria y suficiente para que la
desigualdad de Hölder se convierta en una igualdad.
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Desigualdad de Minkowski
6. Teorema. Sean (X, F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p ∈ [1, +∞).
Entonces

1/p 
1/p 
1/p
Z
Z
Z
 |f + g|p dµ ≤  |f |p dµ +  |g|p dµ .
(4)
X
X
X
Demostración. En el caso p = 1 la demostración es muy simple:
Z
Z
Z
Z
|f + g| dµ ≤ (|f | + |g|) dµ = |f | dµ + |g| dµ.
X
X
X
X
Sea p > 1. Si al menos uno de los sumandos en el lado derecho de (4) es infinito, entonces
la desigualdad se cumple. Supongamos que ambos sumandos son finitos. Definimos un
conjunto auxiliar:
Y = {x ∈ X : |f (x)| ≥ |g(x)|}.
Entonces para todo x ∈ Y acotamos |f (x) + g(x)| por 2|f (x)|:
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ 2|f (x)|,
y para todo x ∈ X \ Y acotamos |f (x) + g(x)| por 2|g(x)|. Usando estas cotas mostramos
que la función |f + g|p es integrable:
Z
Z
Z
p
p
|f + g| dµ = |f + g| dµ +
|f + g|p dµ
X
Y
X\Y
p
Z
≤2
p
|f | dµ + 2
Y
p
Z
p
p
Z
|g| dµ ≤ 2
p
|f | dµ + 2
X
X\Y
p
Z
|g|p dµ < +∞.
X
R
R
Si X |f + g|p dµ = 0, entonces la desigualdad es obvia. Suponemos que X |f + g|p dµ > 0.
Escribimos |f + g|p en forma
|f + g|p = |f + g| |f + g|p−1 ≤ |f | |f + g|p−1 + |g| |f + g|p−1 ,
luego integramos ambos lados y aplicamos la desigualdad de Hölder:

1/p 
1/p  
1/q
Z
Z
Z
Z


|f + g|p dµ ≤   |f |p dµ +  |g|p dµ   |f + g|q(p−1) dµ . (5)
X
X
X
X
De la condición p1 + 1q = 1 sigue que q(p − 1) = p. Dividamos ambos lados de (5) entre
R
p 1/q
|f
+
g|
y notemos que 1 − 1q = p1 .
X
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