Calculo I - Capitulo 5

Parte II
CALCULO DIFERENCIAL.
165
167
En esta parte veremos el Cálculo diferencial en forma precisa.
168
Capı́tulo 1
Axiomas Para los Números Reales.
En este capı́tulo daremos las bases en las cuales se fundamenta el Cálculo Diferencial e Integral.
En forma más precisa, daremos una serie de afirmaciones [llamadas axiomas] que supondremos son
verdaderas y a partir de ellas deduciremos muchas otras usando sólo implicaciones lógicas.
1.1
Introducción.
Todas las propiedades habituales del conjunto de los números reales pueden ser demostradas a
partir de ciertas propiedades, que llamamos axiomas. Estos axiomas son de tres tipos distintos.
Los axiomas algebraicos [que se detallarán en la sección 1.2] que son propiedades de la suma
y multiplicación de números reales, los axiomas de orden [que se detallarán en la sección 1.3]
que, como su nombre lo indica, son propiedades del orden < y un axioma topológico [que se
detallará en la sección 1.4] que nos permitirá tener una buena noción de continuidad. Usando esta
terminologı́a, tenemos el siguiente
Axioma Fundamental. Existe un conjunto R que satisface los axiomas algebraicos, de orden y
topológico.
Todo resultado que se obtenga a partir de este axioma será un teorema. Se acostumbra usar
el término proposición para denotar un teorema que no es muy importante, el término corolario
para denotar un teorema que es consecuencia inmediata de otro y el término lema para denotar
un teorema que, a pesar de no ser interesante en si mismo, es muy útil para demostrar teoremas
importantes. Es claro que estas diferencias son puramente subjetivas. Es importante notar que los
axiomas también son teoremas.
Una consecuencia de esta definición es que todos los teoremas del Cálculo Diferencial e Integral
son expresiones del tipo: Si el Axioma Fundamental es verdadero, entonces cierta afirmación es
verdadera.
√
Por ejemplo, es posible demostrar que la existencia de
2 es deducible del Axioma Fundamental. Por lo tanto, la afirmación: “Existe r ∈ R tal que x2 = 2 ” es un teorema, cuya forma
169
170
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
más precisa es: “Si se cumple el Axioma Fundamental, entonces existe r ∈ R tal que x2 = 2 ”.
La siguientes preguntas surgen de inmediato: ¿De qué sirve darse tanto trabajo para demostrar
los teoremas si no demostramos el Axioma Fundamental? ¿Por qué agregar los resultados que nos
interesan a lo axiomas para no tener que demostrarlos?
La respuesta a la primera pregunta es que cuando se aplica la Matemática a una situación real,
se construye un modelo simplificado y, si se considera que las propiedades del Axioma Fundamental
se aplican en el modelo, entonces se pueden usar todos los teoremas del Cálculo. Si esto conduce
a resultados que son falsos en el mundo real, entonces hay que cambiar de modelo y usar otros
axiomas que conducirán a otros teoremas. En otras palabras, a pesar de que la Matemática no
dice nada sobre el mundo real, es muy útil para comprenderla.
En cuanto a la segunda pregunta, notamos que si agregamos un nuevo axioma que es demostrable a partir de los otros axiomas, nos ahorramos mucho trabajo pero el que quiera usar esta teorı́a
tendrá que comprobar más propiedades que debe satisfacer su modelo. Pero si se agrega un axioma que es falso [es decir, tal que su negación es demostrable a partir de los axiomas], entonces
tenemos una teorı́a totalmente inútil ya que en ella toda afirmación es verdadera y también es falsa.
No profundizaremos más en esto ya que ello nos llevarı́a a escribir otro libro. Sin embargo,
para conveniencia del lector, en el Apéndice veremos algunos conceptos de Lógica y de Teorı́a de
Conjuntos.
1.2
Axiomas Algebraicos.
Los axiomas algebraicos, que establecen la existencia de las operaciones suma y multiplicación
de números reales y sus propiedades básicas, son los siguientes:
Axiomas de la Suma.
AS1. Para todo x, y ∈ R existe un único elemento de R que denotaremos por x + y y que
llamaremos la suma de x e y .
AS2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R .
AS3. (x + y) + z = x + (y + z)) para todo x, y, z ∈ R .
AS4. Existe un elemento de R , que denotaremos por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R .
AS5. Para cada x ∈ R existe y ∈ R al que x + y = 0 .
Axiomas del Producto.
AP1. Para todo x, y ∈ R existe un único elemento de R que denotaremos por xy [ó por x · y ]
y que llamaremos el producto de x e y .
AP2. xy = yx para todo x, y ∈ R .
171
1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.
AP3. (xy)z = x(yz)) para todo x, y, z ∈ R .
AP4. Existe un elemento de R , que denotaremos por 1 tal que x1 = x para todo x ∈ R .
AP5. Para cada x ∈ R tal que x 6= 0 , existe y ∈ R tal que xy = 1 .
Axiomas Mixtos.
AM1. 1 6= 0 .
AM2. (x + y)z = xz + yz para todo x, y, z ∈ R .
A continuación demostraremos algunas propiedades que aparentemente, no necesitan demostración.
Teorema 1. i. 0 + x = x para todo x ∈ R .
ii. 1x = x para todo 0 6= x ∈ R .
iii. x(y + z) = xy + xz para todo x, y, z ∈ R .
Demostración. i. Si x ∈ R , entonces
0+x=x+0
=x
[por AS2]
[por AS4]
ii. Si x ∈ R y x 6= 0 , entonces
1x = x1 =
=x
[por AP2]
[por AP4]
iii. Si x, y, z ∈ R , entonces
x(y + z) = (y + z)x
= yx + zx
= xy + xz
[por AP2]
[por AM2]
[por AP2]
2
A continuación demostraremos la unicidad de los elementos de R cuya existencia está garantizada en los axiomas AS4, AS5, AP4 y AP5.
Teorema 2. i. Si 00 ∈ R es tal que x + 00 = x para todo x ∈ R , entonces 0 = 00 .
ii. Si 10 ∈ R es tal que x · 10 = x para todo x ∈ R , entonces 1 = 10 .
iii. Si x ∈ R , entonces existe un único y ∈ R tal que x + y = 0 .
iv. Si 0 6= x ∈ R , entonces existe un único y ∈ R tal que xy = 1 .
172
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Demostración. i. Si x + 00 = x para todo x ∈ R , entonces
0 = 0 + 00
= 00 + 0
= 00
[ya que x + 00 = x para todo x ∈ R ]
[por AS2]
[por AS4]
ii. Si x · 10 = x para todo x ∈ R , entonces
1 = 1 · 10
= 10 · 1
= 10
[ya que x · 10 = x para todo x ∈ R ]
[por AM2]
[por AP4]
iii. Sean x, y, y 0 ∈ R tales que x + y = x + y 0 = 0 . Entonces
y =y+0
= y + (x + y 0 )
= y + (y 0 + x)
= (y + y 0 ) + x
= (y 0 + y) + x
= y 0 + (y + x)
= y 0 + (x + y)
= y0 + 0
= y0
[por
[por
[por
[por
[por
[por
[por
[por
[por
AS4]
hipótesis]
AS2]
AS3]
AS2]
AS3]
AS2]
hipótesis]
AS4]
iv. La demostración es igual a la anterior, reemplazando + por · y usando los axiomas AP2,
AP3 y AP4.
2
Si x ∈ R , entonces denotamos por −x al único elemento de R tal que x + (−x) = 0 y, si
x 6= 0 , denotamos por x−1 al único elemento de R tal que xx−1 = 1 .
La siguiente consecuencia inmediata del Teorema es muy útil.
Corolario. i. Sea x ∈ R . Entonces y = −x si y sólo si x + y = 0 .
ii. Sea 0 6= x ∈ R . Entonces y = x−1 si y sólo si xy = 1 .
2
Los siguientes resultados se demuestran usando los axiomas y algunos de los teoremas ya demostrados. Es importante que el lector justifique cada paso de la demostración indicando el axioma
o teorema que se ha usado.
Teorema 3. i. x0 = 0 para todo x ∈ R .
ii. Sean x, y ∈ R tales que xy = 0 . Entonces, x = 0 ó y = 0 .
1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.
173
iii. −x = (−1)x para todo x ∈ R .
iv. −(x + y) = (−x) + (−y) para todo x, y ∈ R .
v. Si x, y ∈ R son tales que x 6= 0 6= y , entonces (xy)−1 = x−1 y −1 .
vi. x + y = x + z si y sólo si y = z .
vii. Si x 6= 0 , entonces xy = xz si y sólo si y = z .
Demostración. i. Por el Corolario del Teorema 2 basta demostrar que x + x0 = x y, para ello
notamos que
x + x0 = x1 + x0
= x(1 + 0)
= x1
=x
ii. Si x = 0 , no hay nada que demostrar. Si x 6= 0 , entonces como x−1 existe, se tiene que
y = 1y
= (x−1 x)y
= x−1 (xy) =
= x−1 0
=0
iii. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que x + (−1)x = 0 y, para ello notamos
que
x + (−1)x = 1x + (−1)x
= (1 + (−1))x
= 0x
=0
iv. Usando la propiedad iii, tenemos que
−(x + y) = (−1)(x + y)
= (−1)x + (−1)y
= (−x) + (−y)
174
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
v. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que (xy)(x−1 y −1 ) = 1 y, para ello notamos
que
(xy)(x−1 y −1 ) = (xy)(y −1 x−1 )
= x(y(y −1 x−1 ))
= x((yy −1 )x−1 )
= x(1x−1 )
= xx−1
=1
vi. Si x + y = x + z , entonces
y =0+y
= ((−x) + x) + y
= (−x) + (x + y)
= (−x) + (x + z)
= ((−x) + x) + z
=0+z
=z
Además es claro que si y = z , entonces x + y = x + z .
vii. Si xy = xz , entonces
y = 1y
= (x−1 x)y
= x−1 (xy)
= x−1 (xz)
= (x−1 x)z
= 1z
=z
Además es claro que si y = z , entonces xy = xz .
2
Ejemplo 1. El Teorema 3 nos permite demostrar que no existe no existe y ∈ R tal que 0y = 1 .
En efecto, como si existiera, tendrı́amos que 0 = 0y = 1 lo cual es falso ya que el Axioma
AM1 dice que 0 6= 1 .
Es importante notar que, a pesar de que el Axioma AP5 dice que para todo x 6= 0 existe y
tal que xy = 1 , no dice que no existe y tal que 0y = 1 . El resultado que demostramos es
consecuencia de los otros axiomas.
3
1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.
175
Ejemplo 2. El método de demostración usado en Ejemplo 1 tiene la siguiente justificación. Si
queremos demostrar que una afirmación P es verdadera, basta demostrar que si es falsa, entonces
podemos deducir que una afirmación falsa es verdadera.
En forma más precisa, demostramos que ¬P ⇒ Q [ ¬P es la afirmación “ P es falsa”] es
verdadera y, por lo tanto, que Q es verdadera. Como una afirmación no puede ser verdadera y
falsa, tenemos que no es posible que 6= P sea verdadera y, por lo tanto, que P es verdadera
[para mayores detalles ver Apéndice].
3
A continuación demostraremos dos resultados muy conocidos. El lector deberá justificar los
pasos de la demostración.
Teorema 4. Sean x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R tales que y1 6= 0 6= y2 . Entonces
i. (x1 y1−1 )(x2 y2−1 ) = (x1 x2 )(y1 y2 )−1 o, usando la notación habitual,
x1 x2
x1 x2
=
y1 y2
y1 y2
ii. x1 y1−1 + x2 y2−1 = (x1 y2 + x2 y1 )(y1 y2 )−1 o, usando la notación habitual,
x1
x2
x1 y2 + x2 y1
+
=
y1
y2
y1 y2
Demostración. i. Por el Teorema 3v, se tiene que (y1 y2 )−1 = y1−1 y2−1 . Entonces
(x1 x2 )(y1 y2 )−1 = (x1 x2 )(y1−1 y2−1 )
= (x1 y1−1 )(x2 y2−1 )
ii. Basta notar que
(x1 y2 + x2 y1 )(y1 y2 )−1 = (x1 y2 + x2 y1 )y1−1 y2−1
= x1 y2 y1−1 y2−1 + x2 y1 y1−1 y2−1
= x1 y2 y2−1 y1−1 + x2 1y2−1
= x1 1y1−1 + x2 y2−1
= x1 y1−1 + x2 y2−1
2
Por último demostraremos un resultado muy útil.
Teorema 5. Sean a, b ∈ R . Entonces ab = 0 si y sólo si a = 0 ó b = 0 .
Demostración. Nótese que queremos demostrar que ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 .
[⇒] Supongamos que ab = 0 . Si a = 0 , no hay nada que demostrar. Si a 6= 0 , entonces existe
a−1 y
b = b(aa−1 )
= baa−1
= 0a−1
=0
176
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
[⇐] Si a = 0 , por el Teorema 3, ab = 0b = 0 y si b = 0 , también ab = a0 = 0 .
2
Ejemplo 3. Si consideramos el conjunto {0} y definimos
0+0=0
y 0·0=0
es fácil comprobar que se cumplen todos los axiomas algebraicos salvo AM1. Esta es la razón por
la cual se incluye este axioma, a pesar de que es “evidente”.
3
Ejemplo 4. Si a, b , queremos resolver la ecuación ax = b . Esto significa que queremos encontrar
el conjunto
S = {x ∈ R | ax = b}
Ingenuamente, se podrı́a decir que S = {ba−1 } . Sin embargo, esto no es verdadero cuando a = 0 .
Por lo tanto, tenemos que considerar tres casos distintos:
i. Si a = b = 0 , entonces como para todo x ∈ R se cumple que 0x = 0 , se tiene que
S=R
ii. Si a = 0 y b 6= 0 , como no existe x ∈ R tal que 0x = b 6= 0 , se tiene que
S=∅
iii. Si a 6= 0 , entonces si x ∈ S , se tiene que ax = b y, por lo tanto, x = a−1 b . Ası́
hemos comprobado que x ∈ S ⇒ x ∈ {a−1 } que es lo mismo que S ⊂ {a−1 b} . Por último si
x = a−1 b [que es lo mismo que x ∈ {a−1 b} ], como ax = aa−1 b = b , concluimos que x ∈ S y,
por lo tanto, {a−1 b} ⊂ S . Hemos demostrado que
S = {a−1 b}
3
En la Parte I definimos N = {1, 2, 3, · · · } . Sin embargo, esta “definición” es totalmente inadecuada ya que no sabemos que significan los sı́mbolos 2, 3, . . . . Si bien es cierto que podemos
definir 2 = 1 + 1 y 3 = 2 + 1 , no podemos definirlos todos. Nótese que tampoco podemos recurrir
a la inducción ya que esta es una propiedad del conjunto que queremos definir. Esta dificultad es
insalvable y tenemos que usar ideas totalmente distintas.
Diremos que S ⊂ R es un conjunto inductivo ssi satisface las dos propiedades siguientes:
I1. 1 ∈ S .
I2. Si x ∈ S , entonces x + 1 ∈ S .
Es claro que R es un conjunto inductivo. Además, nuestra idea intuitiva nos dice que N
debe ser el conjunto inductivo más pequeño ya que sólo debe contener a los números reales que se
obtienen sumando 1 un número finito de veces.
1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.
177
Por lo tanto, definimos
N=
\
{S | S es un conjunto inductivo }
= {x ∈ R | x ∈ S para todo conjunto inductivo S}
Dicho de otra manera, N es el conjunto de todos los elementos de R que pertenecen a todos los
conjuntos inductivos.
El siguiente resultado resume las propiedades principales del conjunto N llamadas Propiedades de Peano.
Teorema 6. i. 1 ∈ N .
ii. Si n ∈ N entonces n + 1 ∈ N .
iii. Si N ⊂ N es un conjunto inductivo, entonces N = N .
Demostración. i. Como 1 ∈ S para todo conjunto inductivo S , concluimos que 1 ∈ N .
ii. Sea n ∈ N . Entonces n ∈ S para todo conjunto inductivo S y, por lo tanto, n + 1 ∈ S
para todo conjunto inductivo S . Ası́ hemos comprobado que n + 1 ∈ N . , tenemos que demostrar
que si S es un conjunto inductivo, entonces n + 1 ∈ S .
iii. Como N ⊂ N , sólo nos falta demostrar que N ⊂ N . Para ello, basta notar que, por
definición, si n ∈ N , como N es un conjunto inductivo [por definición de N ] n ∈ N .
2
Nótese que hemos demostrado que N es el conjunto inductivo más pequeño, es decir, que N
es inductivo y está contenido en todos los conjuntos inductivos.
Usando este resultado, podemos demostrar el Principio de Inducción que, como vimos en la
Parte I, es un arma muy poderosa.
Corolario (Principo de Inducción). Para cada n ∈ N , sea Pn una afirmación y supongamos
que
i. P1 es verdadera.
ii. Si Pm es verdadera, entonces Pm+1 es verdadera.
Entonces Pn es verdadera para todo n ∈ N .
Demostración. Las hipótesis dicen exactamente que el conjunto
{n ∈ N | Pn es verdadera } ⊂ N
es inductivo. Por el Teorema 6, N = N que es lo que querı́amos demostrar.
Usaremos el Principio de Inducción para demostrar el siguiente importante resultado.
2
178
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Teorema 7. Si m, n ∈ N , entonces m + n, mn ∈ N .
Demostración. Sea m ∈ N . Entonces tenemos que demostrar que m + n ∈ N y mn ∈ N para
todo n ∈ N . Dicho de otra manera, tenemos que comprobar que
Ns = {n ∈ N | m + n ∈ N} = N
y
Np = {n ∈ N | mn ∈ N} = N
para lo cual, basta demostrar que los conjuntos Ns y Np son inductivos.
Primero demostraremos que Ns es inductivo. Para ello notamos que, como m + 1 ∈ N , se
tiene que 1 ∈ Ns .
Además, si n ∈ Ns , entonces m + n ∈ N y, como m + n + 1 ∈ N , concluimos que n + 1 ∈ Ns .
Por último, demostraremos Np es inductivo. Para ello notamos que, como m1 = m ∈ N , se
tiene que 1 ∈ Np .
Además, si n ∈ Np , entonces mn ∈ N y, como m(n + 1) = mn + m ∈ N , concluimos que
n + 1 ∈ Np .
2
Sea a ∈ R . Entonces definimos a1 = a y an+1 = aan . De esta manera, hemos definido an
para todo n ∈ N .
En efecto, como el conjunto
{n ∈ N | an está definido } ⊂ N
es inductivo de N , se tiene que es igual a N .
Usando el Principio de Inducción se demuestra fácilmente el siguiente resultado.
Teorema 8. Sea a ∈ R . Entonces, am+n = am an para todo m, n ∈ N .
Demostración. Ejercicio.
2
Terminamos esta sección recordando las definiciones de los siguientes subconjuntos de R .
Z = N ∪ {0} ∪ {−n | n ∈ N}
;
Q=
nm ¯
o
¯
¯ m, n ∈ Z n 6= 0
n
;
I=R\Q
Z se llama el conjunto de los enteros, Q el conjunto de los números racionales y I el
conjunto de los números irracionales.
El siguiente resultado es consecuencia casi inmediata del Teorema 4.
Teorema 9. Q satisface todos los Axiomas Algebraicos.
Demostración. Ejercicio.
2
1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.
179
Ejemplo 5. En I.1.1.6 Teorema 3 [ver p. 22] vimos que Q 6= R [en el Capı́tulo 2 demostraremos
este resultado a partir del Axioma Fundamental]. Nótese que esta afirmación es equivalente a
I 6= ∅ .
Algunas propiedades del conjunto I son las siguientes:
i. Si x ∈ I , entonces −x ∈ I y x−1 ∈ I .
En efecto, si −x 6∈ I , entonces −x ∈ Q y, por lo tanto, existen m, n ∈ Z tales que
−x = m/n . Como esto implica que x = −m/n ∈ Q , contradicción que demuestra que −x 6∈ I
es falso.
En forma análoga, se demuestra que si x ∈ I entonces x−1 ∈ I .
ii. Si x, y ∈ I no se puede concluir que x + y ∈ I y tampoco que xy ∈ I .
En efecto, si x ∈ I , entonces −x, x−1 ∈ I y x + (−x) = 0 ∈ Q y xx−1 = 1 ∈ Q .
iii. Si x ∈ Q y y ∈ I , entonces x + y ∈ I .
En efecto, si z = x + y ∈ Q , entonces y = z − x ∈ Q , lo cual es falso.
iv. Si x ∈ Q y y ∈ I , entonces xy ∈ I .
En efecto, si z = xy ∈ Q , entonces y = zx−1 ∈ Q , lo cual es falso.
Ejercicios. 1. Demuestre, a partir de los axiomas, que x + (y + z) = (y + x) + z
v(x + (y + z)) = vy + (x + z)v .
y que
2. Demuestre que si x, y ∈ R son tales que x + y = x , entonces y = 0 .
3. Si x, y ∈ R son tales que x 6= 0 y xy = x , demuestre que y = 1 .
Aplique este resultado para demostrar que si x, y ∈ R son tales que xy = y , entonces x = 0
ó y = 1 .
4. Demuestre de dos maneras distintas que (−x)−1 = −x−1 para todo 0 6= x ∈ R .
5. Determine cuales son los axiomas algebraicos que son válidos para cada uno de los conjuntos
N , Z y Q.
6. Sean a, b, c ∈ R tales que a 6= 0 y que existe r ∈ R tal que r2 = b2 − 4ac . Encuentre el
conjunto {x ∈ R | ax2 + bx + c = 0} .
7. Revise el Capı́tulo I.1, demostrando, a partir de los axiomas algebraicos, todos los resultados
que allı́ aparecen.
180
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
1.3
Axiomas de Orden
Los axiomas de orden, establecen la existencia la existencia de una relación < en R que
satisface ciertas propiedades que llamaremos Axiomas de Orden. El significado de este concepto
es que para cada x, y ∈ R es posible definir si x < y es verdadero o falso.
De manera más precisa, existe un conjunto O ⊂ R × R tal que x < y si y sólo si (x, y) ∈ O .
Axiomas de Orden.
O1. Si x, y ∈ R , entonces se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
x<y
;
x=y
;
y<x
O2. Si x < y e y < z , entonces x < z .
O3. Si x < y , entonces x + z < y + z para todo z ∈ R .
O4. Si x < y y 0 < z , entonces xz < yz .
Usaremos las siguientes notaciones:
i. x 6 y ssi x < y ó x = y .
ii. x > y [ x > y ] ssi y < x [ y 6 x ].
A continuación veremos algunos ejemplos de resultados que pueden ser demostrados usando los
axiomas algebraicos y de orden.
Teorema 1. i. Si x < y , entonces −y < −x .
ii. Si x < y y z < 0 , entonces yz < xz .
iii. 0 < n para todo n ∈ N .
iv. x2 > 0 para todo x 6= 0 .
v. Si x + y = 0 y x, y > 0 , entonces x = y = 0 .
vi. x2 + y 2 = 0 si y sólo si x = y = 0 .
vii. Si x < y y x0 < y 0 , entonces x + x0 < y + y 0 .
viii. Si x < y y x0 < y 0 , entonces x − y 0 < y − x0 .
Demostración. i. Supongamos que x < y . Entonces por O3
0=x−x<y−x
1.3. AXIOMAS DE ORDEN
181
y, también por O3,
−y = 0 − y < (y − x) − y = −x
y, por lo tanto, −y < x .
ii. Supongamos que x < y y que z < 0 . Entonces, como por i, 0 < −z , usando O4,
concluimos que
−xz = x(−z) < y(−z) = −yz
Por i, concluimos que yz < xz .
iii. Como es de separar, la demostración es por inducción.
Para demostrar que 0 < 1 , supongamos que es falso [veremos que esto conduce a una contradicción]. Como [por M1] 0 6= 1 , [por O1] concluimos que 1 < 0 y, por ii, que 0 < −1 .
Entonces usando O4, tenemos que
−1 = 1(−1) < 0(−1) = 0
En resumen, si suponemos que 0 < 1 es falso, entonces se cumple que 0 < −1 y −1 < 0 , lo
cual es falso.
Para terminar la inducción, supongamos que 0 < n . Entonces
0<1<n+1
y, por O2, concluimos que 0 < n + 1 .
iv. Si x 6= 0 , por O1 sólo existen dos posibilidades 0 < x y x < 0 . En el primer caso,
usando O4, tenemos que 0 = 0x < xx = x2 . En el segundo caso, por ii, tenemos que 0 < −x y,
por ii, tenemos que
−x2 = x(−x) < 0
y, por i, conclimos que 0 < x2 .
v. Si x = 0 ó y = 0 , el resultado es evidente. Si suponemos que x 6= 0 6= y entonces, como
x > 0 y −y < 0 no se puede cumplir que x = −y [en efecto, esto viola O1].
vi. Como por iv, x2 > 0 y y 2 > 0 si x2 + y 2 = 0 , por v se tiene que x2 = y 2 = 0 y, por lo
tanto x = y = 0 .
Además, es claro que si x = y = 0 , entonces x2 + y 2 = 0 .
vii. Supongamos que x < y y x0 < y 0 . Entonces, por O3
x + x0 < y + x0
y
y + x0 < y 0 + x0
182
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
y, por O2, concluimos que x + x0 < y + y 0 .
viii. Supongamos que x < y y x0 < y 0 . Entonces, como −y 0 < −x0 , por vii, concluimos que
x − y 0 < y − x0 .
2
Ejemplo 1. Si x > 0 [ x < 0 ], entonces x−1 > 0 [ x−1 < 0 ].
En efecto, supongamos que x > 0 y que es falso que x−1 > 0 . Entonces, como x−1 6= 0
[¿por qué?] por O3 se tiene que x−1 < 0 . Por O4, concluimos que 1 = x−1 x < 0x = 0 ,
contradicción que demuestra que x−1 > 0 .
Para demostrar la otra afirmación se puede usar un argumento análogo o usar la propiedad
(−x)−1 = −x−1 [ver 1.2 Ejercio 4].
3
Ejemplo 2. . Si 0 < x < y ó x < y < 0 ] entonces y −1 < x−1 .
En efecto, si 0 < x < y , entonces 1 = xx−1 < yx−1 y, por lo tanto,
y −1 = y −1 1 < y −1 yx−1 = x−1
El caso en 0 < x < y se comprueba en forma análoga o usando que, −y < −x < 0 .
3
Ejemplo 3. A veces es conveniente usar la siguiente propiedad, cuya demostración es muy sencilla:
Sean x, y ∈ R . Entonces x < y si y sólo si y − x > 0 .
La siguiente consecuencia es interesante: Sean m, n ∈ N . Entonces m > n si y sólo si
m−n∈N.
3
Ejemplo 4. Es conveniente no innovar y definir los siguientes números naturales:
2=1+1
5=4+1
8=7+1
3=2+1
6=5+1
9=8+1
4=3+1
7=6+1
10 = 9 + 1
Nótese que podemos demostrar fácilmente que
1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10
También es fácil demostrar que 2 + 3 = 5 y que 5 + 7 = 10 + 2 . Sin embargo, no es posible
demostrar que 5 + 7 = 12 ya que no hemos definido el número 12 .
3
Usaremos la notación D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y diremos que los elementos de D son los
dı́gitos. A continuación demostraremos que todos los números naturales pueden ser expresados
en forma única como sumas de la forma
ck ck−1 · · · c1 c0 =
k
X
i=0
ci 10i
donde
ci ∈ D ∀ i = 0, 1, · · · k
y
ck 6= 0
1.3. AXIOMAS DE ORDEN
183
Por ejemplo,
36980 = 0 · 100 + 8 · 101 + 9 · 102 + 6 · 103 + 3 · 104
Nótese que, si no pudieramos demostrar este resultado a partir de los axiomas, no tendrı́amos un
buen modelo de los números reales.
Es claro que podemos demostrar que 999 + 1 = 1000 . En efecto,
999 + 1 = 9 · 100 + 9 · 101 + 9 · 102 + 1
= 10 + 9 · 100 + 9 · 101 + 9 · 102
= 0 · 100 + 101 + 9 · 101 + 9 · 102
= 0 · 100 + 0 · 101 + 102 + 9 · 102
= 0 · 100 + 0 · 101 + 0 · 102 + 1 · 103
= 1000
En forma general, tenemos el siguiente resultado que, obviamente, se demuestra por inducción.
Lema. Para todo k ∈ N ∪ {0} ,
k
X
9 · 10i + 1 = 10k+1
i=0
Demostración. Es claro que el resultado es verdadero para k = 1 . Para completar la inducción,
supongamos que es válido para k . Entonces
k+1
X
9 · 10i + 1 =
i=0
k
X
9 · 10i + 9 · 10k+1 + 1
i+0
= 10k+1 + 9 · 10k+1
= 10k+2
2
Ahora podemos demostrar el siguiente resultado que dice que los números naturales son lo que
usamos en la vida diaria para contar.
Teorema 2. El conjunto N ∪ {0} es igual al conjunto de todos los números reales de la forma
k
X
ci 10i
i=0
tales que k ∈ N ∪ {0} y ci ∈ D para todo 0 6 i 6 k .
Demostración. Es claro que tenemos que demostrar que si
( k
)
X
N=
ci 10i | k ∈ N ∪ {0} y ci ∈ D ∀0 6 i 6 k
i=0
184
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
entonces N = N ∪ {0} .
Primero notamos que, por 1.2 Teorema 7, usando inducción, se tiene que N ⊂ N ∪ {0} . Por
lo tanto, para terminar la demostración sólo tenemos que demostrar que m = N \ {0} ⊂ N es un
conjunto inductivo.
Para ello, notamos que 1 = 1 · 100 ∈ M y que si m ∈ M , entonces
m=
k
X
ci 10i
i=0
Entonces, si c0 6= 9 , si definimos
c0i
(
c0 + 1
=
ci
si i = 0
si i > 0
es claro que
m+1=
k
X
c0i 10i
i=0
y luego usamos una inducción [cuyos detalles dejamos al lector] notando que, si
ci = 9
para i = 0, 1, · · · , j
y
cj+1 6= 9
entonces, si definimos


0
0
c i = cj+1 + 1


ci
si i = 0, 1, · · · , j
si i = j + 1
si i > j + 1
entonces, se tiene que, como
0
m+1=
k
X
c0i 10i
i=0
y, por lo tanto, m + 1 ∈ M .
2
Recordemos que, si x ∈ R entonces definimos |x| ∈ R , llamado valor absoluto de x , por
(
x
si x > 0
|x| =
−x
si x 6 0
Las siguientes propiedades se demuestran fácilmente.
1.3. AXIOMAS DE ORDEN
185
Teorema 3. i. |x| = 0 si y sólo si x = 0 .
ii. |xy| = |x||y| .
iii. |x| = | − x| para todo x ∈ R .
iv. Sea a ∈ R tal que a > 0 . Entonces |x| 6 a si y sólo si −a 6 x 6 a .
Demostración. i, ii y iii se demuestran fácilmente.
iv. Primero demostraremos que |x| 6 a ⇒ −a 6 x 6 a . Para ello supongamos que |x| 6 a .
Entonces tenemos dos posibilidades: x > 0 y x 6 0 .
Si x > 0 , como |x| = x 6 a , tenemos que
−a 6 −x 6 0 6 x = |x| 6 a
y, por lo tanto, −a 6 x 6 a .
Si x 6 0 entonces, como |x| = −x 6 a , tenemos que
−a 6 x 6 0 6 a
y, por lo tanto, −a 6 x 6 a .
Finalmente demostraremos que −a 6 x 6 a ⇒ |x| 6 a . Para ello supongamos que
−a 6 x 6 a . Nuevamente, tenemos que distingir dos casos: x > 0 y x 6 0 .
Si x > 0 , entonces |x| = x 6 a . Si x 6 0 , entonces |x| = −x y, por lo tanto
−a 6 x = −|x| , lo que implica que |x| 6 a .
2
El siguiente resultado es una de las propiedades más importantes del valor absoluto.
Teorema 4 (Desigualdad Triangular). Sean x, y, z ∈ R , entonces |x + y| 6 |x| + |y| .
Demostración. Como −|x| 6 x 6 |x| y −|y| 6 y 6 |y| , se tiene que
−(|x| + |y|) 6 x + y 6 |x| + |y|
y, por lo tanto, |x + y| 6 |x| + |y| .
2
La siguiente variación de la desigualdad triangular también es muy útil.
Corolario. Sean x, y, z ∈ R , entonces |x − y| > | |x| − |y| | .
Demostración. Aplicando ii dos veces, tenemos que
|x| = |y + (x − y)| 6 |y| + |x − y|
y
|y| = |x + (y − x)| 6 |x| + |y − x|
186
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
de donde concluimos que
−|x − y| 6 |x| − |y| = |y − x|
y, por lo tanto, que |x − y| > ||x| − |y|| .
2
Recordemos que si a, b ∈ R , son tales que a 6 b , definimos los siguientes subconjuntos de
R:
1.
3.
5.
7.
9.
]a, b[ = {x | a < x < b}
[a, b[ = {x | a 6 x < b}
]a, ∞[ = {x | a < x}
[a, ∞[ = {x | a 6 x}
] − ∞, ∞[ = R
2.
4.
6.
8.
[a, b] = {x | a 6 x 6 b}
]a, b] = {x | a 6 x 6 b}
] − ∞, b[ = {x | x < b}
] − ∞, b] = {x | x 6 b}
donde ∞ = +∞ y −∞ son dos sı́mbolos [que podrı́amos reemplazar por cualquier otra cosa].
Diremos que un conjunto es un intervalo ssi es uno de estos conjuntos. Nótese que ∅ = [a, a[ es
un intervalo.
Es conveniente usar una notación que puede parecer muy complicada pero que tiene la virtud
de que permite grandes simplificaciones. Si definimos
R∗ = R ∪ {±∞}
y
−∞<a<∞ ∀a∈R
entonces si a, b ∈ R∗ , usaremos la notación ha, bi para un intervalo en que h y i denotan [
ó [ . También diremos que a es el extremo izquierdo y que b es el extremo derecho del
intervalo ha, bi . Nótese que si a = −∞ , entonces h = ] y que si b = ∞ , entonces i = [ .
Usando esta notación, podemos definir sucintamente las siguientes nociones. Sean a, b ∈ R∗
tales que a 6 b , entonces diremos que
i. El intervalo ha, bi es acotado inferiormente ssi a ∈ R . Nótese que no es acotado
inferiormente si y sólo si a = −∞ y h = ] .
ii. El intervalo ha, bi es acotado superiormente ssi b ∈ R . Nótese que no es acotado
superiormente si y sólo si b = ∞ y i = [ .
iv. El intervalo ha, bi es abierto por la izquierda ssi h = ] .
v. El intervalo ha, bi es abierto por la derecha ssi i = [ .
vi. El intervalo ha, bi es abierto ssi es abierto por la izquierda y por la derecha.
vii. El intervalo ha, bi es cerrado por la izquierda ssi a = −∞ ó ; a ∈ R y h = [ .
viii. El intervalo ha, bi es cerrado por la derecha ssi b = ∞ ó ; b ∈ R y h = ] .
1.3. AXIOMAS DE ORDEN
187
ix. El intervalo ha, bi es cerrado ssi es cerrado por la izquierda y por la derecha.
Nótese que, R y ∅ son los únicos intervalos que son a la vez abiertos y cerrados. Esto no
deberı́a causar problemas ya que ellos no son puertas.
La siguiente propiedad de los intervalos es muy importante. Más adelante veremos que caracteriza a los intervalos.
Teorema 5. Sean I un intervalo y x, y ∈ I tales que x 6 y . Entonces z ∈ I para todo z ∈ R
tal que x 6 z 6 y .
Demostración. . Veremos sólo el caso en que I = [a, b[ [intervalo del tipo 2]. La demostración
en todos los otros casos es análoga [y se recomienda al lector demostrarla en otros casos].
Si x, y ∈ [a, b[ entonces a 6 x < b y a 6 y < b . Por lo tanto, si x 6 z 6 y , se cumple que
a6x6x6y<b
y concluimos que a 6 z < b , lo cual es equivalente a z ∈ [a, b[ .
2
Este resultado también puede ser expresado de la siguiente manera.
Corolario. Sean I un intervalo y x, y ∈ I tales que x 6 y . Entonces [x, y] ⊂ I .
Demostración. Basta notar que x 6 z 6 y si y sólo si z ∈ [x, y] .
2
El siguiente resultado será usado a menudo.
Teorema 6. Sean x, a, ε ∈ R tales que ε > 0 . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i. |x − a| < ε .
ii. a − ε < x < a + ε .
iii. x ∈ ]a − ε, a + ε[ .
Demostración. Como por el Teorema 3, ii es equivalente a iii, sólo demostraremos que i y ii son
equivalentes [es decir que i ⇒ ii y que ii ⇒ i .
[i⇒ii] Si |x − a| < ε , entonces
−ε < a − x < ε
y, por lo tanto,
a−ε<x<a+ε
188
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
[ii⇒i] Si a − ε < x < a + ε , entonces
−ε < a − x < ε
y, por lo tanto, |x − a| < ε .
2
Ejemplo 5. Sean I1 = ha1 , b1 i y I2 = ha2 , b2 i dos intervalos tales que b1 < a2 . Entonces
I1 ∪ I2 no es un intervalo.
Para i = 1, 2 , sean xi ∈ Ii . Entonces, a pesar de que
x1 6 b1 <
b1 + a2
< a2 6 x2
2
se comprueba fácilmente que
b1 + a2
∈
/ I1 ∪ I2
2
y, por el Teorema 5, I1 ∪ I2 no puede ser un intervalo.
Sin embargo, se comprueba fácilmente que
ha, c] ∪ ]c, bi = ha, bi
y
ha, c[ ∪ [c, bi = ha, bi
3
Ejercicios. 1. Repase el Capı́tulo I.1 resolviendo losproblemas que no haya hecho.
2. Encuentre todos los x ∈ R tales que
1
1
+
>0
x 1−x
3. Encuentre y demuestre un criterio para que ck ck−1 · · · c0 < dl dl−1 · · · d0 .
4. Demuestre el algorı́tmo usual para la suma de dos números naturales.
5. Sean m, n ∈ N tales que m2 /n2 < 2 . Demuestre que
(m + 2n)2
m2
<4− 2
2
(m + n)
n
6. Si x, y ∈ R son tales que (x + y)2 = x2 + y 2 , demuestre que x = 0 ó y = 0 .
7. Si x, y ∈ R son tales que x2 + y 2 > 0 , demuestre que
4x2 + 6xy + 4y 2 > 0
8. Sea f : [a, b] −→ R una función tal que para todo x, y ∈ [a, b] tales que x 6 y se cumple
que f (x) 6 f (y) . Demuestre que im f ⊂ [f (a), f (b)] . Encuentre un ejemplo en que estos dos
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
189
conjuntos no son iguales.
9. Sean I1 , I2 dos intervalos. Demuestre que I1 ∩ I2 es un intervalo [posiblemente ∅ ]. [Note
que tiene que considerar varios casos. Asegúrese de que los ha considerado todos.]
10. Demuestre que un intervalo I es abierto si y sólo si para cada x ∈ I existe ε > 0 tal que
]x − ε, x + ε[ ⊂ I .
11. Demuestre que un intervalo I es abierto si y sólo si para cada x ∈
/ I existe ε > 0 tal que
]x − ε, x + ε[ ∩ I = ∅ .
1.4
Axioma Topológico.
Es fácil comprobar que Q satisface
los axiomas algebraicos y los axiomas topológicos. Sin
√
2 6∈ Q
embargo, como vimos en I.1.1.6
√ . Por lo tanto, los Axiomas Algebraicos y de Orden
no permiten demostrar la existencia de
2 . Por lo tanto, agregaremos un último axioma que,
además solucionar esto, nos permitirá construir una teorı́a satisfactoria del Cálculo.
Antes de introducir este axioma, necesitamos algunas definiciones. Si A ⊂ R , entonces una
sucesión en A [o simplemente una sucesión cuando A = R ] es una función a : N −→ A .
Usaremos la notación a = (an | n ∈ N) [o simplemente (an ) cuando no haya peligro de confusión].
Es muy importante notar que si a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) son dos sucesiones en
A ⊂ R , entonces
a=b
⇔ an = bn
para todo n ∈ N
Ejemplo 1. Nótese que para definir una sucesión es necesario definir su primer [ a1 ], su segundo
elemento [ a2 , que puede ser igual a a1 ], su tercer elemento que es a3 , etc. Por lo tanto, una
sucesión (an | n ∈ N) es algo muy diferente del conjunto {an | n ∈ N} .
3
Ejemplo 2. Veamos algunos ejemplos sencillos de sucesiones.
i. Si k ∈ R , entonces la función a : N −→ R tal que a(n) = k para todo n ∈ N es
la sucesión (an | n ∈ N) tal que an = k para todo n ∈ N y que también denotamos por
(k | n ∈ N) = (k) . También podemos decir que (k) es la sucesión k, k, · · · , k, · · · .
Es importante notar que {an |∈ N} = {k} , que es algo muy distinto de (k | n ∈ N)
ii. La función a : N −→ R tal que a(n) = 1/n para todo n ∈ N es la sucesión
(1/n | n ∈ N) que también denotamos por (1/n) . También podemos decir que (1/n) es la
sucesión 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · .
iii. La función a : N −→ R tal que a(n) = (−1)n para todo n ∈ N es la sucesión
((−1)n | n ∈ N) que también denotamos por ((−1)n ) . También podemos decir que ((−1)n ) es
la sucesión −1, 1, −1, · · · , (−1)n , · · · .
190
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Es importante notar que esta sucesión es distinta de la sucesión b tal que b(n) = (−1)n+1
para todo n ∈ N . Nótese que ((−1)n+1 ) es la sucesión 1, −1, 1, · · · , (−1)n+1 , · · · .
Sin embargo, {an | n ∈ N} = {bn | n ∈ N} = {−1, 1} , a pesar de que las dos sucesiones son
distintas.
3
Ejemplo 3. La fórmula an = 1/(230 − n) no define una sucesión ya que a230 no está definido.3
Si a = (an ) y b = (bn ) son dos sucesiones en A ⊂ R , podemos construir la siguientes nuevas
sucesiones en A .
i. La suma de a y b que es la sucesión a + b tal que para todo n ∈ N
(a + b)(n) = a(n) + b(n)
Dicho de otra manera, se tiene que
(an | n ∈ N) + (bn | n ∈ N) = (an + bn | n ∈ N)
o, cuando no hay peligro de confusión (an ) + (bn ) = (an + bn ) .
ii. El producto de a y b que es la sucesión ab tal que para todo n ∈ N
(ab)(n) = a(n)b(n)
Dicho de otra manera, se tiene que
(an | n ∈ N)(bn | n ∈ N) = (an bn | n ∈ N)
o, cuando no hay peligro de confusión (an )(bn ) = (an bn ) .
iii. Si bn 6= 0 para todo n ∈ N , el cuociente de a y b es la sucesión a/b tal que para
todo n ∈ N
(a/b)(n) = a(n)/b(n)
Dicho de otra manera, se tiene que
(an | n ∈ N)/(bn | n ∈ N) = (an /bn | n ∈ N)
o, cuando no hay peligro de confusión (an )/(bn ) = (an /bn ) .
iv. Si A ⊂ R y f : A −→ B es una función tal que B ⊂ R , la sucesión f ◦ a que es la
sucesión en B tal que c = (cn ) = (f (an )) tal que para todo n ∈ N
(f ◦ a)(n) = f (a(n))
Dicho de otra manera, se tiene que
f ◦ (an | n ∈ N) = (f (an ) | n ∈ N)
191
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
o, cuando no hay peligro de confusión f ◦ (an ) = (f (an )) .
La siguiente definición es el concepto básico de todo el Cálculo. Sean a una sucesión y a ∈ R .
Entonces diremos que a converge a a ssi para todo ε ∈ R tal que ε > 0 existe N ∈ N tal
que |a − an | < ε para todo n > N . Además, diremos que una sucesión a es convergente ssi
existe a tal que a converge a a .
Intuitivamente, esto dice que cuando n es suficientemente grande, la distancia entre an y a
es pequeña. Por lo tanto, este concepto es la formalización de la idea de acercarse a a que usamos
en la Parte I.
La siguiente formulación de la definición de sucesión convergente ayuda a una mejor comprensión de este concepto.
Teorema 1. Sea a una sucesión y a ∈ R . Entonces a converge a a si y sólo si para todo
ε > 0 existe N ∈ N tal que
an ∈ ]a − ε, a + ε[
para todo n > N .
Demostración. Basta notar que, por 1.2 Teorema 6,
|a − an | < ε
⇔
an ∈ ]a − ε, a + ε[
2
A continuación veremos que una sucesión no puede converger a dos números distintos.
Teorema 2. Sean a una sucesión y a, a0 ∈ R tales que a converge a a y a a0 . Entonces
a = a0 .
Demostración. Comprobaremos que si suponemos que a 6= a0 obtenemos una contradicción.
En efecto, si a converge a a y a a0 y
|a − a0 |
>0
2
entonces existen N, N 0 ∈ N tales que
|a − an | < ε
∀n > N
y
|a0 − an | < ε
∀n > N 0
Si elegimos cualquier k > N, N 0 [por ejemplo, k = N + N 0 ], se tiene que
|a − a0 |
y
2
y usando la desigualdad triangular, tenemos que
|a − ak | <
|ak − a0 | <
|a − a0 | = |(a − ak ) + (ak − a0 )|
6 |a − ak | + |a− a0 |
<ε+ε
|a − a0 | |a − a0 |
+
2
2
= |a − a0 |
=
|a − a0 |
2
192
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
y, por lo tanto, concluimos que |a − a0 | < |a − a0 | , lo cual es falso.
2
En vista de este resultado, si a = (an | n ∈ N) es una sucesión convergente, diremos que
a ∈ R es el lı́mite de a y usaremos la notación
a = lı́m a = lı́m (a | n ∈ N) = lı́m (an )
ssi a = (an ) converge a a [a veces, para evitar confusiones usaremos la notación lı́m n (an ) ]. 3
Ejemplo 4. En casi todos los textos de Cálculo se usa la notación
lı́m an
n→∞
para denotar el lı́mite la sucesión (an ) . Sin embargo, preferimos no usarla ya que introduce el
sı́mbolo ∞ cuyo significado no se explicita y sólo conduce a confusión. Por ejemplo, es común
oı́r a principiantes que afirman que ∞ es un número real y que, de alguna manera se tiene que
lı́m n (an ) = a∞ .
3
Ejemplo 5. El siguiente ejemplo no matemático y algo irreal puede ayudar a una comprensión
intuitiva del concepto de lı́mite de una sucesión. Supongamos que queremos medir una cierta
distancia y que su valor [que nadie conoce] es a . Para ello efectuamos mediciones todos los años
usando instrumentos cada vez más precisos, obteniendo en el año n una medida aproximada
an . Entonces, a pesar de que an no necesariamente es igual a a , si queremos un valor con
un error [que consideramos pequeño] basta usar la medida efectuada en el año n para un n
suficientemente grande.
Dicho de otra manera, si queremos que |a − an | sea pequeño, basta tomar n suficientemente
grande.
3
Ejemplo 6. A continuación veremos algunos ejemplos de sucesiones convergentes. Sin embargo,
no es posible dar ejemplos interesantes ya que, para ello necesitamos el Axioma Topológico [que
asegura que ciertas sucesiones son convergentes].
i. Sea a = (a | n ∈ N) [es decir, an = a(n) = a para todo n ∈ N ]. Entonces [como es de
esperar], a es convergente y lı́m a = a .
Para demostrarlo notamos que si ε > 0 , entonces podemos elegir N = 1 y se tiene que
|a − an | = |a − a| = 0 < ε para todo n > 1 = N . Nótese que podrı́amos haber elegido cualquier
otro N ∈ N .
ii. Sea a = (an | n ∈ N) la sucesión tal que
(
0
a(n) = an =
a
si n 6 8
si n > 8
193
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
Nótese que esta sucesión no es la misma de i. Demostraremos que lı́m a = a .
Para ello, si ε > 0 , elegimos
|a − an | = |a − a| = 0 < ε .
N = 9
y entonces, si
n > 9 = N , se tiene que
iii. Sea a = ((−1)n | n ∈ N) la sucesión tal que an = (−1)n para todo n ∈ N .
Demostraremos que a no es convergente.
Para ello, demostraremos que si suponemos que a es convergente, obtenemos una contradicción.
En efecto, si a converge a a , como ε = 1 > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | < 1 para
todo n > N . En particular, tenemos que
|aN − aN +1 | = |(−1)N − (−1)N +1 |
= |(−1)N + (−1)N |
=2
tenemos que
2 = |aN − aN +1 |
= |(aN − a) + (a − aN +1 |
6 |a − aN | + |a − aN +1 |
<1+1
=2
es decir, 2 < 2 , lo cual es falso.
3
Ejemplo 7. Es intuitivamente claro que lı́m (1/n |
basta elegir N ∈ N tal que N > 1/ε y, entonces si
¯
¯
¯
¯
¯0 − 1 ¯ =
¯
n¯
n ∈ N) = 0 ya que, dado varepsilon > 0 ,
n>N ,
1
n
1
6
N
<ε
Sin embargo, este razonamiento no es válido ya que no se puede demostrar que para todo
x ∈ R existe N ∈ N tal que N > x .
En efecto, esta propiedad es equivalente a la llamada Propiedad Arquimediana que dice que
no existe K ∈ R tal que n < K para todo n ∈ N . Existen ejemplos de conjuntos que satisfacen
los Axiomas Algebraicos y de Orden y que no satisfacen la Propiedad Arquimediana [estos objetos
matemáticos se llaman Cuerpos No Arquimedianos].
3
La siguiente definición es necesaria para enunciar el Axioma Topológico: Sea a una sucesión. Entonces diremos que C ∈ R es una cota superior [cota inferior] de a ssi an 6 C
194
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
[ an > C ] para todo n ∈ N . Además, diremos que a es acotada superiormente [acotada
inferiormente] ssi existe una cota superior [cota inferior] de a y que es acotada ssi es acotada
superiormente e inferiormente.
Las siguientes afirmaciones se demuestran fácilmente.
Teorema 3. Sea a = (an ) una sucesión. Entonces
i. C ∈ R es cota superior de a si y sólo si −C es cota inferior de la sucesión −a = (−an ) .
ii. Si C es cota superior [cota inferior] de a y C 0 > C [ C 0 6 C ] entonces C 0 es cota
superior [cota inferior] de a .
iii. a es acotada si y sólo si existe C tal que |an | 6 C para todo n ∈ N .
iv. a es acotada si y sólo si existen N ∈ N y C ∈ R tales que |an | 6 C para todo n > N .
Demostración. Las demostraciones de i , ii y iii son muy sencillas y son dejadas al lector.
iv. [⇒] Es muy sencilla y es dejada al lector.
[⇐] Supongamos que |an | 6 C para todo n > N . Entonces si
C 0 = máx {|a1 |, |a2 |, · · · , |aN −1 |, C}
se tiene que |an | 6 C 0 para todo n ∈ N .
2
El siguiente resultado muestra la relación que hay entre las sucesiones convergentes y las sucesiones acotadas.
Teorema 4. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración. Sea a una sucesión convergente y a = lı́m a . Entonces existe N tal que
|a − an | < 1 para todo n > N y, por lo tanto, para todo n > N
|an | = |an − a + a| 6 |an − a| + |a|
< 1 + |a|
Por el Teorema 3, concluimos que a es acotada.
2
Nótese que la implicación inversa no es verdadera; es decir, las sucesiones acotadas no necesariamente son convergentes. Por ejemplo, la sucesión ((−1)n ) es acotada y [como vimos en el
Ejemplo 5] no es convergente.
Más adelante usaremos la siguiente propiedad que se demuestra en forma análoga.
Teorema 5. Sea a = (an ) una sucesión convergente tal que lı́m a = a 6= 0 . Entonces existe
N ∈ N tal que |an | > |a|/2 para todo n ∈ N .
195
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
Demostración. Como |a|/2 > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | 6 |a|/2 para todo n > N .
Entonces si n > N , se tiene que
|a| = |a − an + an |
6 |an − a| + |an |
<
y, por lo tanto, |an | >
|a|
+ |an |
2
|a|
.
2
2
Otra propiedad útil es la siguiente.
Teorema 6. Sean c ∈ R y a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente tal que an 6 c [ an > c ]
para todo n ∈ N . Entonces lı́m a 6 c [ lı́m a > c ].
Demostración. Sea a = lı́m a . Si suponemos que a > c , obtendremos una contradicción. En
efecto, como a − c > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | < a − c para todo n > N . Entonces,
como a − an < a − c , concluimos que an > c para todo n ∈ N , lo cual es falso.
El caso en que an > c se demuestra en forma análoga.
2
Es importante notar que si lı́m a es una sucesión convergente tal que an < c para todo
n ∈ N entonces sólo se puede afirmar que lı́m a 6 c . Más adelante veremos un ejemplo en que
esto no se cumple.
El siguiente resultado es exactamente lo que es de esperar.
Teorema 7. Sean a y b dos sucesiones convergentes. Entonces
i. a + b es convergente y lı́m (a + b) = lı́m a + lı́m b .
ii. ab es convergente y lı́m ab = lı́m a lı́m b .
iii. Si además bn 6= 0 para todo n y lı́m b 6= 0 , entonces lı́m a/b = lı́m a/ lı́m b .
Demostración. Para simplificar la notación, sean a = lı́m a y b = lı́m b .
i. Sea ε > 0 . Entonces, como
|(a + b) − (an + bn )| = |(a − an ) + (b − bn )|
5 |a − an | + |b − bn |
tenemos que encontrar N ∈ N tal que para todo n > N
|a − an | < ε/2
y
|b − bn | < ε/2
Para ello notamos que, como ε/2 > 0 , existen N1 , N2 ∈ N tales que
|a − an | <
ε
2
∀n > N1
y
|b − an | <
ε
2
∀n > N2
196
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
si elegimos N > N1 , N2 , tenemos que para todo n > N
|(a + b) − (an + bn )| 5 |a − an | + |b − bn |
ε ε
< +
2 2
=ε
ii. Es conveniente ver primero el caso en que b = 0 . Sea ε > 0 . Entonces, por el Teorema 4,
podemos elegir C > 0 tal que |an | 6 C para todo n ∈ N y, como
|ab − an bn | = |an ||bn | < C|bn |
si elegimos N ∈ N tal que |bn | < ε/C para todo n ∈ N , tenemos que para todo n ∈ N
|ab − an bn | < C|bn | < Cε/C = ε
Veamos el caso en que b 6= 0 . Entonces como [usando C > 0 tal que |an | < C para todo n ]
|ab − an bn | = |an bn + (an b − an bn )|
5 |ab − an b| + |an b − an bn |
= |a − an ||b| + |an ||b − bn |
6 |a − an ||b| + C|b − bn |
tenemos que encontrar N tal que para todo n > N
|a − an ||b| < ε/2
y
C|b − bn | < ε/2
Para ello notamos que, si elegimos N1 , N2 ∈ N tales que
|a − an | <
ε
2|b|
∀n > N1
y
|b − bn | <
ε
2C
∀n > N − 2
y elegimos N ∈ N tal que N > N1 , N2 , se tiene que para todo n > N
|ab − an bn | 6 |a − an ||b| + C|b − bn |
ε
ε
<
|b| + C
2|b|
2C
ε ε
= +
2 2
=ε
iii. Primero demostraremos que si b−1 = (1/bn | n ∈ N) , entonces lı́m b−1 = b−1 . Para ello,
sea ε > 0 . Entonces, como
¯
¯ ¯
¯
¯1
¯ ¯
¯
¯ − 1 ¯ = ¯ b − bn ¯ = 1 1 |bn − b|
¯ bn
b ¯ ¯ bn b ¯ |bn | |b|
si elegimos N1 , N2 ∈ N [en la elección de N1 usamos el Teorema 5] tales que
1/|bn | < 2/|b|
∀ > N1
y
|bn − b| < |b|2 ε/2
∀ n > N2
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
197
Entonces si elegimos N ∈ N tal que N > N1 , N2 , se tiene que para todo n > N ,
¯
¯
¯1
¯
¯ − 1 ¯ = 1 1 |bn − b|
¯ bn
b ¯ |bn | |b|
2 1 |b|2 ε
6
|b| |b| 2
=ε
Finalmente, para demostrar el caso general, basta notar que
a/b = ab−1
y usar el caso especial y ii.
2
Antes de introducir el Axioma Topológico veremos un resultado sumamente útil, que será usado
muy a menudo.
Teorema 8 (Teorema del Sandwich). Sean a = (an ) y b = (bn ) dos sucesiones convergentes tales que lı́m a = lı́m b = a y c = (cn ) una sucesión tal que an 6 cn 6 bn para todo
n ∈ N . Entonces c es convergente y lı́m c = a .
Demostración. Sea ε > 0 . Elijamos N1 , N2 ∈ N tales que
|a − an | < ε ∀ n > N1
y
|a − bn | < ε ∀n > N2
Si elegimos N ∈ N es tal que N > N1 , N2 entonces, para todo n > N
a − ε < an 6 cn 6 bn < a + ε
y, por lo tanto, |a − cn | 6 ε .
2
El nombre de este resultado se debe a que si consideramos an , bn como el pan de un sandwich
y cn el jamón entonces el jamón sigue al pan.
Ejemplo 8. Espero que a nadie se le ocurra la aberración de demostrar que lı́m (1/n) = 0 usando
el Teorema 7 para concluir que
µ ¶
1
1
1
lı́m
=
=
=0
3
n
lı́m (n)
∞
Ejemplo 9. Si c ∈ R y a = (an | n ∈ N) es una sucesión, entonces definimos la sucesión
ca = (can | n ∈ N) = (c | n ∈ N)(an | n ∈ N)
Por el Teorema 7 se tiene que lı́m ca = c lı́m a .
3
198
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Ejemplo 10. Si a = (an | n ∈ N) es una sucesión y a ∈ R , entonces definimos la sucesión
a−a = (an −a | n ∈ N) . Entonces, a es convergente y lı́m a = a si y sólo si a−a es convergente y
lı́m (a−a) = 0 . Para demostrarlo, basta escribir el significado de cada una de estas afirmaciones.3
Para enunciar el Axioma Topológico necesitamos una última definición. Diremos que una
sucesión a es creciente [decreciente] ssi an ≤ an+1 [ an > an+1 ] para todo n ∈ N .
Nótese que a es creciente [decreciente] si y sólo si −a es decreciente [creciente].
Finalmente, podemos enunciar el último axioma de R .
Axioma Topológico.
AT. Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
El siguiente resultado es equivalente al Axioma Topológico.
Teorema 9. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.
Demostración. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión decreciente y acotada inferiormente. Entonces la sucesión −a = (−an | n ∈ N) es creciente y acotada superiormente. Por el Axioma
Topológico, es convergente y, por el Teorema 7, a es convergente.
2
A continuación veremos algunos resultados importantes que se deducen fácilmente del Axioma
Topológico.
Teorema 10. No existe K ∈ R tal que n 6 K para todo n ∈ N .
Demostración. Queremos demostrar que la sucesión (n | n ∈ N) no es acotada superiormente.
Si suponemos que es acotada superiormente, como es creciente, por el Axioma Topológico, deberı́a
convergente. Veremos que esto nos lleva a una contradicción.
En efecto, si lı́m (n | n ∈ N) = a , entonces existe N ∈ N tal que |a − n| < 1/2 para todo
n > N y, por lo tanto,
1 = |(N + 1 − a) + (a − N )|
6 |N + 1 − a| + |a − N |
1 1
< +
2 2
=1
es decir, 1 < 1 , lo cual es falso.
2
Este resultado también puede ser expresado de la siguiente manera.
Corolario (Propiedad Arquimediana). Sean ε > 0 y K ∈ R . Entonces existe n ∈ N tal
que nε > K .
Demostración. Supongamos que la afirmación es falsa, es decir, que existe K ∈ R tal que
nε 6 K para todo n ∈ N . Entonces la sucesión (εn) es acotada superiormente y, como también
es creciente, ella es convergente, lo cual es falso.
2
Usaremos el Teorema 10 para dar ejemplos interesantes de sucesiones convergentes.
199
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
Teorema 11. La sucesión (1/n | n ∈ N) es convergente y lı́m (1/n | n ∈ N) = 0 .
Demostración. Sea ε > 0 . Entonces [por el Teorema 10] existe N ∈ N tal que N ε > 1 .
Entonces, para todo n ∈ N tal que n > N se tiene que
¯ ¯
¯1¯
¯ ¯= 1 6 1 <ε
¯n¯ n
N
lo cual significa que lı́m n (1/n) = 0 .
2
El siguiente resultado es será usado en el próximo capı́tulo.
Teorema 12. Sean a una sucesión y a± las sucesiones tales que
(
(
an
si an > 0
0
−
+
an =
y
an =
0
si an 6 0
an
si an > 0
si an 6 0
Entonces lı́m a = 0 si y sólo si lı́m a± = 0 .
Demostración. [⇒] Supongamos que lı́m a = 0 y sea ε > 0 . Elijamos N ∈ N tal que
|an | < ε para todo n > N . Entonces, para todo n > N
|a±
n | 6 |an | < ε
[⇐] Como a = a− + a+ , concluimos que
lı́m a = lı́m a− + lı́m a+ = 0
2
Ejemplo 11. La propiedad arquimedeana dice que, por pequeño que sea ε y, por grande que sea
K , es posible obtener un número más grande que K sumando ε un número suficiente de veces.
Este es el principio del ahorro: si uno ahorra diariamente una cantidad pequeña, entonces al cabo
de un tiempo suficientemente grande se ha ahorrado una cantidad apreciable.
Este fenómeno crea problemas en el uso de computadores ya que si se hacen muchos un cálculos
con errores pequeños se puede obtener un resultado con un error muy grande.
3
Ejemplo 12. Para todo k ∈ N
µ
lı́m
¶
1
|
n
∈
N
=0
nk
En efecto, basta notar que para todo n ∈ N ,
06
1
1
6
nk
n
y usar el Teorema 11 y el Teorema del Sandwich.
3
200
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Ejemplo 13. Sean a una sucesión convergente y b la sucesión tal que
b1 = 0
y
bn = an−1
∀n > 1
Entonces b es convergente y lı́m b = lı́m a . En forma más resumida este resultado se expresa
diciendo que
lı́m (an−1 | n ∈ N) = lı́m (an | n ∈ N)
Para demostrarlo, sea lı́m a = a . Entonces, si ε > 0 , existe N1 ∈ N tal que para todo
n > N1
|a − an | < ε
Por lo tanto, si n > N = N1 + 1 , como bn = an−1 , y n − 1 > N − 1 = N1 , se tiene que
|a − bn | = |a − an−1 | < ε
3
Ejemplo 14. Usaremos el ejercicio anterior para demostrar que, si 0 6 a < 1 , entonces
lı́m (an | n ∈ N) = 0
Para ello notamos que (an | n ∈ N) es convergente ya que es decreciente y acotada inferiormente. Si c = lı́m (an | n ∈ N) , entonces
c = lı́m (an | n ∈ N)
= lı́m a(an−1 | n ∈ N)
= a lı́m (an−1 | n ∈ N)
= a lı́m (an | n ∈ N)
= ac
Entonces, como c = ac y a 6= 0 , concluimos que c = 0 .
Nótese que, si suponemos que a > 1 , podrı́amos hacer el mismo cálculo y concluir algo falso
ya que en este caso el lı́mite no existe. Esto es un ejemplo de los errores que se pueden cometer
haciendo cálculos a ciegas, sin tener una buena teorı́a.
3
Como aplicación de la noción de lı́mite de sucesiones, demostraremos que todos los números
reales tienen un desarrollo decimal. Es decir, daremos un sentido preciso a afirmaciones tales como
1/2 = 0, 5000 · · ·
;
1
= 0, 3333 · · ·
3
;
π = 3, 141582653589793 · · ·
y demostraremos que todos los números reales pueden ser expresados de esta manera.
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
201
Como la demostración es bastante larga, la separaremos en lemas más manejables. Esto permite que el lector omita o postergue las demostraciones de algunos de estos resultados para obtener
ası́ una idea cabal de la demostración.
En primer lugar notamos que si (αn | n ∈ N) es una sucesión en D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
[es decir, que αn ∈ D para todo n ∈ N ], entonces podemos definir una nueva sucesión a = (an )
tal que
1
1
1
+ α2 2 + · · · + αn n
10
10
10
n
X
=
αi 10−i
an = α1
i=1
= 0, α1 α2 · · · αn
[donde la última igualdad es la definición del sı́mbolo 0, α1 α2 · · · αn ]. Por ejemplo,
1/2 = 5
1
= 0, 5
10
1
25
1
1
=
= 2 + 5 2 = 0, 25
4
100
10
10
y
Nuestra primera meta es demostrar que a es convergente. Para ello demostraremos que es
creciente y acotada superiormente.
Lema a. La sucesión a = (an ) es creciente.
Demostración. Como
an+1 − an =
n+1
X
αi 10−i −
i=1
n
X
αi 10−i
i=1
= αn+1 10−(n+1)
>0
concluimos que an 6 an+1 para todo n ∈ N .
2
Antes de demostrar que a es acotada superiormente, estableceremos una fórmula muy útil
que usaremos en muchas oportunidades. Su demostración es un truco muy sencillo y permite
reconstruir la fórmula en caso de olvido.
Lema b. Para todo r 6= 1 , se cumple que
n
X
i=1
ri =
r
(1 − rn )
1−r
Demostración. Si S = r + r2 + · · · + rn , entonces
rS = r2 + r3 + · · · + rn+1
= −r + r + r2 + r3 + · · · + rn + rn+1
= −r + S + rn+1
202
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
y, despejando S , obtenemos la fórmula.
2
Ahora podemos demostrar el resultado que queremos.
Lema c. La sucesión a es convergente y lı́m a 6 1 .
Demostración. Demostraremos que an 6 1 para todo n ∈ N . Para ello, notamos que
an =
n
X
αi
i=1
n
X
1
10i
1
i
10
i=1
¶i
n µ
X
1
=9
10
i=1
6
9
1
10
µ
µ ¶n ¶
1
=9
1−
1
10
1−
10
= 1 − 10−n
<1
[donde usamos el Lema b con r = 1/10 ].
Como a es creciente y acotada superiormente, [por el Axioma Topológico] es convergente y
[por el Teorema 6], lı́m a 6 1 .
2
En vista de este resultado definimos
0, α1 α2 · · · = lı́m (an | n ∈ N)
= lı́m (0, α1 α2 · · · αn | n ∈ N)
Es importante notar que
Ã
!
n
X
9
0, 999 · · · = lı́m
|n∈N
10n
i=1
µ
¶
1
= lı́m 1 − n | n ∈ N
10
=1
En forma análoga se puede demostrar que 0, 333 · · · = 1/3 [Ejercicio].
Lema d. x ∈ [0, 1] si y sólo si existe una sucesión (αn ) en D tal que x = 0, α1 α2 · · · .
Demostración. En el Lema c demostramos que 0, α1 α2 · · · ∈ [0, 1] . Demostraremos la afirmación inversa.
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
203
Sea x ∈ [0, 1] . Como sabemos que 1 = 0, 999 · · · , podemos suponer que 0 6 x < 1 . El
problema se reduce a encontrar una sucesión (αn | n ∈ N) tal que
0 6 x − an = x −
n
X
αi 10−i < 10−n
i=1
ya que [por el Teorema del Sandwich]esto implica que lı́m (x − an | n ∈ N) = 0 y, por lo tanto,
que
x = lı́m a = 0, α1 α2 · · ·
La construcción de (αn | n ∈ N) es por inducción en n . Para n = 1 , como 0 6 10x < 10
[ya que 0 6 x < 1 ] existe un único α1 ∈ D tal que α1 6 10x < α1 + 1 y, por lo tanto,
0 6 x − α1 10−1 = x − a1 < 10−1
Para completar la inducción, supongamos que hemos definido αn de modo que
0 6 x − an < 10−n
Entonces, como
0 6 10n+1 (x − an ) < 10
existe un único αn+1 ∈ D tal que
αn+1 6 10n+1 (x − an ) < αn+1 + 1
y, como esto implica que
0 6 x − an − αn+1 10−(n+1) = x − an+1 6 10−(n+1)
hemos terminado la inducción.
2
Ahora podemos enunciar y demostrar el resultado que queremos.
Teorema 13. Sea 0 6 x ∈ R . Entonces existen c0 , c1 , · · · ck ∈ D y una sucesión (αn | n ∈ N)
en D tales que ck 6= 0 y
x=
k
X
ci 10i + 0, α1 α2 · · ·
i=0
= ck ck−1 · · · c0 , α1 α2 · · ·
Demostración. Basta notar que, como x = n + y , donde n ∈ N ∪ {0} e y ∈ [0, 1[ , el resultado
es consecuencia inmediata de 1.3 Teorema 2 y del Lema d.
2
El Teorema 12 dice que el conjunto R cuya existencia postulamos como axioma, es el conjunto
de los objetos que estamos acostumbrados a llamar números reales. Además, concluimos que R
es esencialmente único.
Una consecuencia importante del Teorema 12 es el siguiente resultado.
204
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Teorema 14. Para todo x ∈ R existe una sucesión a en Q tal que x = lı́m a .
Demostración. Basta considerar el caso en que x > 0 . Por el teorema 12, tenemos que
ck ck−1 · · · c0 , α1 α2 · · ·
y, por lo tanto, si para cada n ∈ N definimos
an = ck ck−1 · · · c0 , α1 α2 · · · αn
obtenemos una sucesión en Q tal que x = lı́m a .
2
Ejemplo 15. El desarrollo decimal x = α1 α2 · · · no es necesario único. En efecto, se comprueba
[Ejercicio] que si αk < 9 , entonces
0, α1 α2 · · · αk 9999 · · · = 0, α1 α2 · · · αk−1 αk0 0000 · · ·
donde αk0 = αk + 1 .
Es más difı́cil comprobar que estas son los únicos ejemplos en que hay dos desarrollos decimales.
[Conviene empezar comprobando que si 1 = 0, α1 α2 · · · entonces αn = 9 para todo n .]
3
Ejemplo 16. Es interesante notar que ck · · · c0 , α1 α2 · · · es racional si y sólo si existen N y l
tales que αn+l = αn para todo n > N . Por ejemplo, el número real
37, 2597123123123 · · ·
satisface esta propiedad con N = 5 y k = 3 . [Ejercicio: Demuestre que es racional.] La
demostración de una de las implicaciones no es difı́cil la otra es más complicada.
3
Ejercicios. 1. Sean a, b dos sucesiones tales que existe M tal que an = bn para todo n > M .
Demuestre que a es convergente si y sólo si b es convergente y que si son convergentes y que, si
son convergentes, entonces lı́m a = lı́m b .
2. Para cada n ∈ N sea P (n) una afirmación que depende de n . [Ejemplos: las afirmaciones “|a − an | < ε00 y “n es primo”, etc.] Entonces diremos que P (n) es verdadera
para casi todo n ∈ N ssi P (n) es falsa sólo para un número finito de n ∈ N . Por ejemplo, la afirmación “ n > 4 ” es verdadera para casi todo n ∈ N ya que es falsa si y sólo si n = 1, 2, 3 .
Demuestre que P (n) es verdadera para casi todo n ∈ N si y sólo si existe N tal que P (n)
es verdadera para todo n > N .
A continuación veremos algunos ejemplos de la aplicación de este concepto ya que es útil para
simplificar el manejo de la definición de lı́mite.
205
1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO.
i. Demuestre que lı́m (an | n ∈ N) = a si y sólo si para todo ε > 0 se cumple que |a − an | < ε
para casi todo n ∈ N .
ii. Demuestre que lı́m (an | n ∈ N) = a si y sólo si para todo ε > 0 se cumple que
an ∈ ]a − ε , a + ε − an [ para casi todo n ∈ N .
iii. Compruebe que en el Ejercicio 1 demostró que si an = bn para casi todo n ∈ N , entonces
lı́m an = a si y sólo si lı́m bn = a .
iv. Demuestre la siguiente versión del Teorema del Sandwich. Sean a, b, c sucesiones tales
que lı́m a = lı́m b = a y an 6 cn 6 bn para casi todo n ∈ N . Entonces lı́m c = a .
3. Sean a, b dos sucesiones tales que lı́m a = a y bn = a2n para todo n ∈ N . Demuestre
que lı́m b = a .
Trate de demostrar la siguiente generalización: Sean a una sucesión convergente y ϕ : N → N
una función tal que ϕ(n) < ϕ(n + 1) para todo n . Entonces la sucesión b = a ◦ ϕ = (aϕ(n) ) es
convergente y lı́m b = lı́m a .
¿Por qué es necesario imponer una condición a la función ϕ ? ¿Es verdad que si b es convergente, entonces a es convergente?
4. Demuestre que lı́m a = a si y sólo si para todo m ∈ N existe N tal que |a − an | < 1/m
para todo n > N .
p(n)
5. Sea p un polinomio de grado k > 0 . Demuestre que lı́m k es el k-ésimo coeficiente
n
de p .
6. Sean p un polinomio de grado k , q un polinomio de grado l y a la sucesión tal que
para todo n ∈ N
an =
p(n)
q(n)
Determine cuando a es convergente y encuentre su lı́mite cuando existe. [Note que el Ejercicio
5 es un caso especial.]
7. Demuestre que, para cada r ∈ R existe un único n ∈ Z tal que n 6 r < n + 1 . [Note que
esto fué usado en la demostración de 1.4 Teorema 13.]
8. Si (an ) es una sucesión, demuestre que lı́m (an | n ∈ N) = 0 si y sólo si lı́m |an | = 0 .
¿Qué puede decir sobre la siguiente afirmación:
lı́m |an | = |a| ?
lı́m (|an | | n ∈ N) = |a|
si y sólo si
206
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
9. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones convergentes tales que an 6 bn
para casi todo n [es decir, existe M tal que an 6 bn para todo n > M ]. Demuestre que
lı́m a 6 lı́m b
Si an < bn para casi todo n , demuestre que lı́m a 6 lı́m b y encuentre un ejemplo en el
cual lı́m a = lı́m b .
10. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones convergentes tales que
lı́m b = 0 y |an | 6 bn para casi todo n . Demuestre que lı́m an = 0 .
11. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente y creciente. Demuestre que an 6 lı́m a
para todo n ∈ N .
Si sólo suponemos que an 6 an+1 para casi todo n ∈ N demuestre que an 6 lı́m a para casi
todo n ∈ N .
12. Sean a, b, c sucesiones tales que lı́m a = lı́m b = a y para todo n ∈ N
cn = an
ó
cn = bn
Demuestre que lı́m c = a .
13. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente tal que lı́m a = a 6= 0 . Demuestre que
existe N ∈ N tal que an 6= 0 para todo n > N . Además demuestre que si c 6= 0 y b es la
sucesión tal que para todo n ∈ N
(
si n < N
c
bn =
an
si n > N
entonces lı́m b−1 = 1/a .
Esto justifica que se diga [descuidadamente] que si lı́m a 6= 0 , entonces lı́m a−1 = 1/ lı́m a .
14. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones tales que lı́m a = 0 y b es
acotada. Demuestre que lı́m ab = 0 .
Encuentre un ejemplo en que b no es acotada y lı́m ab = 1 y otro en que b no es acotada
y ab no es convergente. [Hay ejemplos muy sencillos.]
15. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente en Z [es decir, tal que an ∈ Z para todo
n ∈ N ]. ¿Qué puede decir sobre a ?
16. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente tal que lı́m a = 0 y an > 0 para todo
n ∈ N . Demuestre que existe n0 ∈ N tal que an 6 an0 para todo n ∈ N .
207
1.5. PROBLEMAS.
17. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesión convergente. Demuestre que, para todo ε > 0 existe
N ∈ N tal que para todo n, m > N
|an − am | < ε
18. Demuestre que si a, b son números reales, entonces existen [infinitos] números r, t ∈ R
tales que r es racional, t es irracional y a < r < b y a < t < b ]. [Use el desarrollo decimal de
a y de b .]
19. Si x = ck · · · c0 , α1 α2 · · · , encuentre el menor m ∈ N tal que
|x − ck · · · c0 , α1 α2 · · · αn | <
1
10m
Use esto para demostrar que para todo x ∈ R y ε > 0 , existe r ∈ Q tal que |x − r| < ε .
1.5
Problemas.
1. Sean n0 ∈ Z y I = {n ∈ Z | n > n0 } y para cada n ∈ I una afirmación Pn . Si se
cumplen las siguientes propiedades:
i. Pn0 es verdadera.
ii. Si n ∈ I y Pn es verdadera, entonces Pn−1 es verdadera.
Demuestre que Pn es verdadera para todo n ∈ I .
2. Si a, b, c, d ∈ Q , demuestre que
√
√
a+b 2=c+d 2
⇔
a=cy b=d
3. Sea P = {x ∈ R | x > 0} . Demuestre las siguientes propiedades:
P1. Si x, y ∈ P , entonces x + y ∈ P .
P2. Si x, y ∈ P , entonces xy ∈ P .
P3. Si x ∈ P , entonces −x ∈
/P.
P4. Si x ∈ R , entonces x = 0 ó x ∈ P ó x ∈
/P.
Inversamente, demuestre que si P ⊂ R satisface las propiedades P1, P2, P3 y P4, entonces
para todo x, y ∈ R , se cumple que x < y si y sólo si y − x ∈ P .
4. Si x ∈ R definimos inductivamente
x1 = x
y
xn+1 = xn x
208
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
Demuestre que xm+n = xm xn y (xm )n = xm n para todo n, m ∈ N .
5. Sean n ∈ N y x > −1 . Demuestre que (1 + x) > 1 + nx .
6. Demuestre que si ∅ 6= M ⊂ N es un conjunto finito, entonces existe un único m ∈ M tal
que x 6 m para todo x ∈ M . [Use inducción en el número de elementos de M .]
7. Sean x, y, ε números reales tales que |x − y| < ε . Demuestre que
|y| − ε < |a| < |b| + ε
8. Sean x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R . Demuestre que
(x21 + x22 )(y12 = y22 ) = (x1 y1 + x2 y2 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2
y deduzca la desigualdad de Schwratz
q
x1 y1 + x2 y2 6
q
x21 + x22
y12 + y22
9. Exprese los siguientes números si usar valores absolutos [usando distinos casos cuando sea
necesario]
i. |a + b| − |b| .
ii. ||α| − 1| .
iii. |x| − |x2 | .
iv. u − |u − |u|| .
10. Demuestre que la sucesión a tal que para todo n ∈ N
an =
1 + n2
1 + n4
es acotada.
11. Sean a una sucesión y b la sucesión tal que para todo n ∈ N
bn =
n
X
ai
i=1
Demuestre que si b es convergente entonces lı́m a = 0 .
12. Sean a una sucesión y b la sucesión tal que bn = a2n para todo n ∈ N . Si b es
convergente y a2n+1 = a2n + 1/n para todo n ∈ N , demuestre que a también es convergente y
encuentre la relación entre los lı́mites.
209
1.5. PROBLEMAS.
13. Sea a una sucesión convergente tal que lı́m a = 0 y an > 0 para todo n ∈ N .
Demuestre que existe n0 ∈ N tal que an 6 an0 para todo n ∈ N .
14. Sean a y b dos sucesiones tales que lı́m (a2 + b2 ) = 0 . Demuestre que
lı́m a = lı́m b = 0
15. Sea ? un sı́mbolo [que no tiene ningún sentido especial] y definamos
R? = {(x, ?) | x ∈ R}
[Intuitivamente podemos pensar que hemos tomado todos los números reales y los hemos pintado
de otro color.] Si definimos
(x, ?) + (y?) = (x + y, ?) ;
(x, ?) · (y, ?) = (x · y, ?)
(x, ?) < (y?) ssi x < y
demuestre que R? satisface el Axioma Fundamental. [Probablemente después de demostrar unos
pocos axiomas, verá que esto es trivial.]
Nótese que la función
siguientes propiedades:
F : R −→ R?
i. F (x + y) = F (x) + F (y) y
tal que F (x) = (x, ?) es biyectiva y satisface las
F (xy) = F (x)F (y) para todo x, y ∈ R .
ii. Si x < y entonces F (x) < F (y) .
iii. Si lı́m a = a entonces lı́m F ◦ a = F (a) .
Compruebe que F ← satisface las mismas propiedades.
A pesar de que hay muchos ejemplos de conjuntos que satisfacen el Axioma Fundamental, es
posible demostrar que R es “esencialmente” único. En forma precisa, si R0 es otro comjunto
que satisface el Axioma Fundamental, existe una única función biyectiva F : R −→ R0 tal que
F y F ← satisfacen las propiedades i,ii,iii.
A continuación indicaremos los pasos a seguir para construir F , dejando los detalles al lector.
a. En primer lugar, notamos que tenemos que definir F (0) = 00 y F (1) = 10 [con notación
evidente].
b. En segundo lugar, notamos que debemos definir F : N −→ N0
F (n + 1) = F (n) + 10 y podemos demostrar que F es biyectiva.
inductivamente por
c. En tercer lugar, notamos que si n ∈ N , tenemos que definir F (−n) = −F (n) . De esta
manera tenemos una biyección F : Z −→ Z0 .
210
CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES.
d. En cuarto lugar definimos la biyección F : Q −→ Q0 tal que
F
³m´
n
=
F (m)
F (n)
e. Por último, si a ∈ I , tomamos una sucesión a en Q tal que lı́m a = a y definimos
F (a) = lı́m F ◦ a
Nótese que hay que demostrar que esto tiene sentido y que es independiente de la sucesión escogida.