F´ısica Cuántica: Tarea 09

Jueves, 29 de Nov. 2012
Fı́sica Cuántica: Tarea 09
T09.1 Polinomios ortogonales de Hermite
Usar el método Gram-Schmidt para calcular los polinomios de Hermite (de la fı́sica), H0 (ξ), . . . , H4 (ξ).
En este caso, el producto escalar es dado por
Z ∞
2
dξ f (ξ) g(ξ) e−ξ .
hf |gi =
−∞
T09.2 Conmutadores
Si  y B̂ son dos operadores, se define el conmutador entre ellos como
[Â, B̂] = Â B̂ − B̂ Â .
(a) Calcula el conmutador entre x̂ y p̂, los operadores de posición y momentum. Para ello,
calcula
[Â, B̂] |ψi ,
representando el estado ψ como función de onda ψ(x).
(b) Suponiendo que  es una observable (operador Hermı́tico) se cumple que
hψ |  φi = h ψ | φi .
Utiliza este hecho para demostrar que la varianza de  con respeto al estado cuántico
|ψi es dado por
σ(Â)2 = hÂ2 i − hÂi2 = hf |f i donde |f i = Â − hÂi |ψi .
Con el pre-requisito del inciso (c) y conociendo la desigualdad de Schwarz es fácil comprender
la demostración de la versión generalizada de la relación de incertidumbre de Heisenberg.
Revisa la demostración en un libro de texto (e.g. Griffith).
T09.3 Principio de incertidumbre generalizado
El principio de incertidumbre generalizado para dos operadores hermı́ticos  y B̂, esta dado
por
2
1
2 2
h [Â , B̂] i
σA σB ≥
2i
(a) ¿Qué se obtiene para  = x̂ y B̂ = p̂?
(b) ¿Qué se obtiene par  = x̂2 y B̂ = p̂2 ?
(c) Comprueba que para  = x̂ y B̂ = Ĥ, un Hamiltoniano de tipo Ĥ = (2m)−1 p̂2 + V (x),
que
~2
|hp̂i| .
σx σH ≥
2m
Para estados estacionarios esta desigualdad no nos dice mucho; ¿por qué no?
1
T09.4 Oscilador armónico
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo del oscilador armónico se escribe
Ĥ |ψi = E |ψi ,
Ĥ = −
~2 2 mw2 2
∂ +
x .
2m x
2
Para encontrar soluciones, definimos operadores auxiliares:
r
r
i p̂
i p̂
mw
mw
†
x̂ +
,
â =
x̂ −
.
â =
2~
mw
2~
mw
(a) Expresa el Hamiltoniano Ĥ en términos de los operadores â y ↠.
(b) Demuestra que [â , ↠] = 1 (la identidad).
2