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Guı́a
Semana 15
Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Ingenierı́a Matemática
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Universidad de Chile
Ejercicios
1. Para cada una de las siguientes series se pide encontrar el radio y el intervalo
de convergencia.
(a)
P x2k+1
(b)
P
(c)
(d)
k!
P
(e)
k
√x
.
k2 +3
(f )
√
xk k
.
3k
(g)
1 k
.
k
P
xk 1 +
P
(−1) x2k+1 .
P
xk
kα .
P
(h)
P
xk (1+sen(k))
.
k
.
xk (k+2)(k+1)
2
P ak
k
b
k
(j)
k + k2 x
con a > b > 0.
(i)
k
xk
2k+1 .
P
2. (a) Determine la función e intervalo de convergencia asociada a la serie
∞
P
(−1)k x2k .
k=0
(b) Pruebe que arctan(x) =
∞
P
k=0
(−1)k 2k+1
2k+1 x
en (−1, 1).
(c) Deduzca una serie para calcular π.
π
Z2
∞
X xk
cos(t)
dt =
, con |x| < 1.
2
1 − x sen (t)
2k + 1
k=0
0
P∞
1
= k=0 xk , si |x| < 1.
Indicación: Recuerde que 1−x
3. Demostrar que
Problemas
P1. (a) Para la serie de potencias
∞
X
bk ak
+ 2 (x − 1)k
k
k
0 < b < a,
k=0
encuentre: Radio de convergencia e intervalo de convergencia. Estudie además la convergencia en los extremos derecho e izquierdo del
intervalo.
(b) Demuestre que
Z1
0
Indicación: Recuerde que
(c) Concluya que:
∞
2n
X
1
k a
(−1)
=
.
1 + a2 t2
2n + 1
k=0
1
1+x =
∞
X
arctan(a)
=
a
P∞
k k
k=0 (−1) x .
(−1)k
k=0
a2n
.
2n + 1
P2. (a) Determine el intervalo de convergencia para la serie de potencias
∞
P
k=1
No olvide analizar los extremos del intervalo.
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1 k
kx .
Ingenierı́a Matemática
Universidad de Chile
(b) Encuentre los valores de x ∈
para los cuales la serie
k=1
converge.
(c) Sea f : C ⊆
∞
P
→
la función definida por f (x) =
∞
P
k=1
(c1) Demuestre que f ′ (x) =
1
x k
k ( 1−x )
x k
1
k ( 1−x ) .
1
(1−x)(1−2x) .
(c2) Integrando, encuentre una expresión explı́cita para f (x).
P3. (a) Analizar la convergencia de las series
X (−1)k
X 1
y
.
k ln(k)
k ln(k)
k≥2
(b) Calcular el radio de convergencia de la serie
k≥2
X
k≥2
xk
.
k ln(k)
(c) (c1) Calcular el radio de convergencia R de la serie f (x) =
X
k≥1
xk
.
k(k + 1)
(c2) Demostrar que para todo x ∈ (−R, R) se tiene que (xf (x))′′ =
1
1−x .
(c3) Demostrar que para todo x ∈ (−R, R) \ {0} se tiene f (x) =
1 + (1 − x)(ln(1 − x) − 1)
.
x
P4. (a) Determine la función e intervalo de convergencia asociada a la serie
∞
P
(−1)n x2n .
0
(b) Pruebe que arctan(x) =
∞
P
(−1)n
0
2n+1
x2n+1 en (−1, 1).
(c) Deduzca una serie para calcular π.
P5. Encuentre el desarrollo en serie potencias de las siguientes funciones y determine radio e intervalo de convergencia.
(a) f (x) =
(b) f (x) =
1
x2 +x−2 .
x
(1−x)(1+2x) .
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