PROGRAMACION LINEAL CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE

PROGRAMACION LINEAL
L a p r o g r a m a c i ó n l i n e a l d a re s p u e s t a a s i t u a c i o n e s e n l a s q u e s e
e x i g e m a x i m i z a r o m i n i m i z a r f u n c i o n es q u e s e e n c u e n t r a n s u j e t a s a
d e t e rm i n a d a s l i m i t a c i o n e s , q u e l l a m a re m o s r es t r i c c i o n e s .
Su e mp le o es frec ue nte e n ap lic a c iones d e la indu s tria, la ec onomía , la
e s t ra t e g ia m i l i t a r , e t c .
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
Los modelos de programación matemática mantienen una relación indirecta con la
computación. El término “Programación” no debe ser confundido con el utilizado en la
ciencia de los computadores.
En el campo de la programación matemática, “Programación” resulta equivalente a
planificación, en el sentido más amplio de este término. No obstante, la magnitud de
muchos de los problemas tratados, el elevado número de datos y relaciones, hace
impensable su resolución sin el soporte informático.
Tal vez la característica común a todos los modelos de programación matemática radica
en su finalidad: son modelos de optimización. Cada modelo de programación matemática
es concebido con el objetivo de encontrar, para el problema que representa, la solución (o
las soluciones), de entre las existentes, que alcance el valor máximo o mínimo de acuerdo
a cierto criterio que denominamos objetivo.
De forma particular, este capítulo se centrará en la construcción de modelos de
programación lineal continuos, enteros, mixtos, y en algún caso modelos que presentan
no linealidades, analizando para ellos alguna posible formulación lineal aproximada.
Los modelos lineales, como ya se vio en los primeros capítulos del libro, exigen que la
función objetivo y las restricciones del problema sean lineales. En algunas situaciones
esta consideración resulta excesiva y supone ciertamente una limitación a la hora de
modelar.
En algunas ocasiones, las expresiones no lineales pueden ser tratadas, obteniéndose un
modelo final lineal.
A pesar de estas observaciones, resulta más fácil, de forma general, resolver modelos
lineales, de aquí su importancia y su amplia utilización.
De manera específica, un modelo lineal consta de tres bloques diferenciados. La función
Construcción de modelos de Programación Lineal, objetivo, las restricciones y la
definición de signo o tipo de las variables. El proceso de modelado consiste en la
especificación de estos tres bloques. No existe ninguna metodología específica para
modelar problemas, la experiencia resulta fundamental, es en este sentido en el que el
proceso de modelar es a veces llamado “arte” de modelar. No obstante, en el presente
capítulo se reflejarán las situaciones más comunes que se presentan en el modelado de
problemas lineales. Posteriormente se complementará lo expuesto desarrollando de forma
minuciosa algunos casos concretos.
En los diferentes modelos expuestos se ha seguido una procedimiento de modelado
similar.
Así, analizaremos el horizonte temporal para el que se construye el modelo, en el caso de
situaciones que presentan variaciones a lo largo del tiempo. Definiremos en cada caso las
variables de decisión del problema. Para ello nos basaremos principalmente en los datos
disponibles, a veces en los costes unitarios de las variables y en otros casos en los
relacionados con la estructura de las restricciones del problema.
Conocidas las variables de decisión, formularemos las restricciones del problema, a partir
de la descripción formal del mismo, incluyendo las variables auxiliares que resulten
necesarias. De forma adicional surgirán restricciones implícitas al modelo como
consecuencia de la elección inicial de determinadas variables, de procesos de
linealización y de la relación entre variables de decisión y auxiliares.
En último lugar, aunque no siempre será así, formularemos el objetivo del problema.
F unción ob jetiv o
E n e s e n c i a l a p ro g ra m a c i ó n l i n e a l c o n s i s t e e n o p t i m i z a r ( m a x i m i z ar o
m i n i mi z a r )
una
función
ob jetiv o ,
que
es
una
función
lineal
de
varias variables:
f(x,y) = ax + by.
R es t r i c c i o n e s
La
func ión
ob je tivo
está
s uje ta
a
e x p re s a d a s p o r i n e cu a c i o n es l i n e a l es :
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
...
...
...
anx + bny ≤cn
una
serie
de
r es t r i c c i o n es ,
C a d a d e s i g u a l d a d d e l s i s t e m a d e r e s t r i c c i o n e s d e t e rm i n a u n s e m ip l a n o .
Solución factib le
E l c o n j u n t o i n t e r s e c c i ó n , d e t o d o s l o s s e m ip l a n o s f o r m a d o s p o r l a s
r e s t r ic c i o n e s , d e t e r m i n a u n r e c i n t o , a c o t a d o o n o , q u e re c ib e e l n o m b r e
d e r e g i ó n d e v a l i d ez o z o n a d e s o l u ci o n e s f a c t i b l es .
Solución óp tima
El
c onjunto
s o l u ci o n es
s o l u ci ó n
de
los
v é r t ic e s
f a c t i b l es
óp tima
se
del
b á s i c as
llama
re c into
y
el
solución
se
vértice
de nomina
d onde
má x i m a
(o
se
c onjunto
de
p re s e n t a
mínima
la
s eg ún
el
caso).
Valor d el pr og r ama lineal
E l v a l o r q u e t o m a l a f u n c i ó n o b j e t i v o e n e l v ér t i c e d e s o l u c i ó n
ó p t i m a s e l l a m a v a l o r d el p r o g r am a l i n ea l
E je r cicio s
d e p r o g r a m a ció n line a l ( a p lica cio ne s)
C o n e l c o m i e n z o d e l c u r s o s e va a l a n z a r u n a s o f e rt a s d e m a t e r i a l e s c o l a r .
U nos
a lma ce ne s
q u ie r e n
ofrecer
600
cua de rnos ,
500
c a rp e t a s
y
400
b o l í g r a f o s p a r a l a o f e r t a , e m p a q u e t á n d o l o d e d o s f o rm a s d i s t i n t a s ; e n e l
p rime r
b loq ue
p ond rá
2
c u a d e rn o s ,
1
c a rp e t a
y
2
b o l í g ra f o s ;
en
el
s e g u n d o , p o n d rá n 3 c u a d e r n o s , 1 c a r p e t a y 1 b o l í g ra f o . L o s p re c i o s d e
c a d a p a q u e t e s e r á n 6 . 5 y 7 €, re s p e c t iv a m e n t e . ¿ C u á n t o s p a q u e t e s le
c o n v i e n e p o n e r d e c a d a t i p o p a ra o b t e n e r e l m á x i m o b e n e f i c i o ?
1 Elec c ión d e las incóg nitas.
x = P1
y = P2
2 F unción ob jetivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3 R es t r i c c i o n es
P1 P2
Disponibles
C u a d e r no s
2
3
600
Carpetas
1
1
500
B o l í g r a f os
2
1
400
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 H a l l a r e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n es f a c t i b l e s
5 C a l c u l a r l a s c o o rd e n a d a s d e l o s v é r t i c e s d e l r e c i n t o d e l a s
s o l u c i o n e s f a c t ib l e s .
6 C a l c u l a r e l v al o r d e l a f u n ci ó n o b j e t i v o
f ( x , y ) = 6 . 5 · 2 0 0 + 7 · 0 = 13 0 0 €
f ( x , y ) = 6 . 5 · 0 + 7 · 2 0 0 = 1 40 0 €
f ( x , y ) = 6 . 5 · 1 5 0 + 7 · 1 00 = 1 6 7 5 €
Má ximo
La s oluc ión óp tima s on 150 P 1 y 100 P2 con la q ue se ob tie ne n 1675 €
EJERCICIOS
1. Explique cuáles son los parámetros para la construcción de modelos de
programación lineal
2. Que es la función objetivo y explique cuál es la finalidad e importancia en el
cálculo de máximos y mínimos en una función.
3. Consulte un ejercicio donde se ponga en práctica las definiciones anteriores,
hallando el mínimo o máximo de la función en dicho problema.
4. Explique que es región de soluciones optimas
5. Explica cual es la finalidad del estudio de los métodos de programación lineal
en el programa de formación que actualmente usted desempeña en la
Universidad.
6. Realice un paralelo entre los conceptos aprendidos de algebra Lineal y los que
empieza a relacionar en programación lineal.