Tarea 13

Problemas
Análisis de Varias Variables
Tarea 13
Problema 1. Sean ω, η 1-formas en Rn . Muestra que, para cada p ∈ Rn , v, u ∈ Rnp ,
ω(p)(v) ω(p)(u)
ω ∧ η(p)(v, u) = det
.
η(p)(v) η(p)(u)
Es decir, el producto exterior de 1-formas coincide con el producto de transformaciones en
(Rnp )∗ .
Problema 2. Calcula ω ∧ η, para las siguientes formas en R3 .
1. ω = xdx − ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz;
2. ω = dx + dy + dz, η = dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz;
3. ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, η = ω.
Problema 3. Sea ω la 2-forma en R2n dada por
w = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . . + dx2n−1 ∧ dx2n .
Calcula
n veces
z
}|
{
ω ∧ ω ∧ ... ∧ ω.
Problema 4 (Operación estrella de Hodge). Para ω una k-forma en Rn , definimos la
(n − k)-forma ∗ω a través de
∗(dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik ) = sgn(I, J)dxj1 ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxj(n−k) ,
donde (I, J) = (i1 , i2 , . . . , ik , j1 , j2 , . . . , j(n−k) ) es la permutación en Sn tal que
i1 < i 2 < · · · < i k
y j1 < j2 < · · · < j(n−k) .
Calcula ∗ω para las siguientes formas.
1. La 2-forma en R3 dada por
ω = ω12 dx ∧ dy + ω13 dx ∧ dz + ω23 dy ∧ dz.
2. La 1-forma en R2 dada por
ω = ω1 dx + ω2 dy.
Problema 5. Muestra que ∗ ∗ ω = (−1)k(n−k) ω.