Análisis de varias variables
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Análisis de varias variables
Tarea 12
Fecha de entrega: 19 de mayo 2006
Problema 1. Muestra que si T : V k → R es alternante y σ ∈ Sk , entonces
T (vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(k) ) = sgn(σ)T (v1 , . . . , vk ),
donde Sk es el grupo simétrico de k objetos y
(
1
si σ es par
sgn(σ) =
−1 si σ es impar.
Problema 2. Sean ω, η 1-formas en Rn . Muestra que, para cada p ∈ Rn , v, u ∈ Rnp ,
ω(p)(v) ω(p)(u)
ω ∧ η(p)(v, u) = det
.
η(p)(v) η(p)(u)
Es decir, el producto exterior de 1-formas coincide con el producto de transformaciones en
(Rnp )∗ .
Problema 3. Calcula ω ∧ η, para las siguientes formas en R3 .
1. ω = xdx − ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz;
2. ω = dx + dy + dz, η = dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz;
3. ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, η = ω.
Problema 4. Sea ω la 2-forma en R2n dada por
w = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . . + dx2n−1 ∧ dx2n .
Calcula
n veces
z
}|
{
ω ∧ ω ∧ ... ∧ ω.
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