Estimacion de tablas de transacciones intersectoriales

Rol£ R. Mantel
Estimación de tablas de t r a s acciones intersectoriales
I n s t i t u t o Torcuato Di Tella
Centro de
Documento de Trabajo.
~ i g i e m b r ede 1973.
Inve~tigacionesEconÓmicas
super$ 1502
Buenos Aires (26)
Argentina
O. IWRDDUCCTON Y RESUMEN
En algunas aplfeacfones econ&nicas, en especial en las del modelo de
Inaumo-producto, es necesaria la estimación de los elementos de una tabla
c e transacciones intersectoriales, cuando no es f a c t i b l e alg6n proeedi-
miento estadfstleo directo.
c.mo
Ea tande d i s p o n i b l e una tabla anterf or , así
eatimcxeiones corrientes sobre 108 totales d e las f i l a s
las cofum-
y
naa , puede ser deseable construir una nueva tabla en haae a esa in£orma-
c16n, que sea consistente
con
los totalee dadoa y que en algún mentido
bien d e f i n i d o , se acerque lo mba paaible a l a estructura anterior,
b e r e el easo cuando ee
neceeite una tabla de fnsuma
-
Este
producto para un
año determinada, y de las cuentas nacionales de eee año e810 se eonoz-
can l o s niveles de producción total de cada sector.
Otra
CASO
se pre-
genta cuando deben ea tablecerse Los flujos interre~j.analesde bienes y
servicias y sblo se han estimado l a s importaciones y expartaeicnes eocales de cada regien, s i n tener a mano una infomaci6n detallada y actua-
I.lzcnda d e l origen y destino de dichas fmpsrtaclonees o r_.xpurraclanrra.
En el caso de tablas no negativas arbftrarias, se rnnrrren varias so-
l u c i o n e ~a l problema, pero éstas no siempre exl~?i.citrine x i t e r i o s d e op-
~imixaei6npara el a j u s t e (1). El presente trabajo anal5zsrZ algunoa d ~ ,
e s t o s criterios :
rnfnimas cuadrados, con o s i n psrnderaei6n de
con o s i n ransideraeión de le l i o s i b i l i d a d de soliirioneu cmr
105
,.L.
toi
a,.?:r m
. .OS nl;:
--
p.ativas; y fa mfnimizaeión del m5ximo error relativo. SE demostrará
(1) Ver loa trabajas de Bacharach (19651, Hatuaxewski, Pitts
(1963 y 1964) y Theil (1967).
,
y Sdwyer
que eete í i l t i m o criterio puede
ser implementado eficientemente, redu-
ci6ndolo a un problema de progratuaci6n lineal, y reeolviéndolo p o r medio
de m algoritfio, basado en una modificación de l o s mEtodos de solucf6n
da problemas de transporte.
L. EL PROBLEMA
Y
SU SOLUCZQN 'CORRIENTE
El plantea del problema puede anunciarse de la siguiente manera: dada una matriz
A
fila8 y
de m
y dados un vactor positivo
y un vector poeitivo
n
de m
b
columas, con elementos no negativos,
elamentúm, de aumaa para las f i l m
, de n elementoe,
de sumas para lae columnas, ha-
llar una matriz D de igualee dimsnsimee que la tabla original. A que
satisfaga las condicionem
( 1)
D e m b ;
e D m c
donde e , el vector suma, as de dimentafbn apropiada y tiene todoe raue d e -
E n t o s iguales a l a unidad.
Lae ecuaciones (1) expreean las condiciones
de coaeistancia de la nueva tabla con 1w
1ua0
marginales dadas.
Por
otra parte esta tabla debe ~proximareelo d a paaible a l a tabla original,
Bscharach (1965) p'rapuao como criterio da ajuete l a condición de que
la nueva matriz @eabiproporcianal a la tabla dada.
Con s e t e término se
expreea l a candici6a de que axietan veataree pneitivas r y
S
de dimen-
-
siones eprapiadao t a b i que ee cumpla la ecuaciún 1/
de donde murga el nombri de 'kdtodo RhSm.
Eeta autor demuestre que la oo-
lueibn puede calcularme por medio de un ,proceeo iterativo, en el cual ae
ajustan en cada etapa primero la8
den con las dad-
filas, de manera
que
las aumae cmcuer-
manteniendo c o n s t a n t s la estructura de cada f i l a , y h e
I/ El acento circunflejo sobre un vector lo convierte en una matriz cua-drada
diagonal con lom elementoe d e l vector a lo largo de la diagonal
principal,
go
lu columu , da mlrllara que 1u wmam concu~rdmcon l a i dadai mante-
niando eon8tuitm r i t r v r i Ii r i t w c t u r r da cada c o l w i ,
vmrgi m i y 8610 8% lu icuacioriri (1) timan usa rolucibn
v i , m i diair, ii y ralo ii rr aump2m I r oondiol*
( C)
EL
proceso coz
D no nrgrti-
da e o n i ~ r t r n a i i ,
EI a i i t r u d. aouroioau (1) a i o ~ ~ ~ i i t i i0i0t. auna i o l u d d . oon
b) prri toda prrtioidn da1 oonjunto bl as dos ruboonjunto8 a x l
hmitfvoi y iraluyintii 1
r 1'
y toda partioibn d i 1
conju!~
t o l4 a ' d o i ,iubeoaju~toraxhruitivor y rxoluymntai J y
J ' , i t L o i ~ a t l o r i n t o ir
da i i m t r i i A i e n a u l ~ m p a ~t0a
2/ M y # npraamtra ilo8 aoajuntor da 1~ p r b e o i m y n nduroi
raA.1i l a runrturrlri, zrrpiotiva~anta, La n o t ~ l d r i C , por rj-lo,
a a todo, la t i a ~ i n o gda iif e n i imdio.ir. ooneiwactái d a ~dolo
dr #materia, pata iiiiorai d i E fndiar d i ihr ooatraidor rn a 1 conjunto
M, La dmortrraibn da l a propoi5cibn qur i Q u i purda rncontrirra, por
ijr~rplo,
ai10 (19601,
Cc aguE en adelante se supondrd que se cumple l a condici6n d e consis
t ~ r ~ c i(C)
a
3
fin de garantizar la existencia de al menos una solución pa-
ra el sistema de ecuaciones (1) con coeficientes no negativos,
Para s hglificar l a notacidn se emplearán las siguiente8 definiciones :
(3)
y se supondrá que
nales posilivaa
Se
la matriz a r i g i n a l A es no negativa, con sumas margi-
.
~ s s a r drevista muy brevemente a d i s t i n t o s criterios basados en
cuadrados n l n i m o s , d t o d o que tiene a su favor La eimplicidad de su a p l i c j ,
ción,
a) :.íEnimos cuadrados siprples
, sin
restriccioaea de no negatividad,
La soluci6n m á s sencilla de calcular e8 la que resulta de ninimizar
31
el s i g u i e n t e objetivo -
(4)
tr
(D
-
Al (D
- A)'
su j e t o a la condición de que la matriz
D cumpla con las ecuaciones (1)
.
Formando la expresf án de Lagrarige
/ El sfmbolo tr índica l a traza de la matriz que le s i g u e , es decir, la
-3suma
de loa eiemen~oad e la diagonal p r i n c i p a l de la matriz. El apóstxa-
fe
'
i n d i c a transposición de la matriz que le antecede.
dondc p y
q
san vectores de multiplicadores d e Lagrange, es ir.nediaca
la cb tencica de la^ coxidicionics necesarias p E r z un ~ f n i m ~anularira::
,
la
L,,
derj-vada y a - c i a l
de
L con res?ecta a 3,
decir
as
de donde pueden eliminarse los multiplicadorez car.
CiCIie;
be las zcuz-
(3.3 >¿ra oLEen~+rla soluci6r, explfc5?x
r=
(5:
(A
-b
T*
C/S)
&nde m
La, p3r e j ~ v p l ~
2 s, ;ia :n;itriz de
+h
CIE
c::¿sn n tnyclj 2:-crnatos ¿E
L~calesrt (ni-1) Jn: y :,os
g m a l ,~iiic:~;aT so::
7
La syuda
:'~:ligs..
-
Iri <=í
of_a:r;;entusr : z l x
, y ? s: Jeflri,: ?e r.:crcrri s i m i l a r , ccii n rz,@npL,??z:.d:j
n
L S*,
El. ~ r S - r . e i p ~iiicon-~cnicnte
1
2c e s t e ? t " 0 c i : ' 5 - ~ t ~ : : CeL ? a ;3;3~51L1:.¿.
d~ 3L.e !.u z:.32ci.?i;
c c a t e ~ g ch?Lrr.,entzs~ a ~ z a t i - ! o 2
c ,e r r puede s u b ~ c a z r c c
ccois.l:zr.~,a,!o 1s r,f!ii¿i:i-5r;
dc que e s t a
~ i c !cccl-ra,
c r ? ~ sc
. ~ PTO;IOEC
-
En c.2. n?é
t o d o ~fguiecte.
9
:
se dese
ct?eer;cn~r:[1> y
?s.?.cttlar r:J n5;:imc Zp Ir.
:
! Ir,
.ri?!:.
:TE:
cor.dici6n t e que La so!.:;cf$r,
e 3 ;'cislb,Le: Fr.?nei.+ar la soluci6n cn fonna cerrz.?-z
1 4 ; r-:ijc!-i: E
~ P rz
F
trc-r
1+ , -
z~gativz,
cr,
I-
?n
~ c u E c : '(5)
~~:
S i n e ~ h n r z et t f l n v f n s e p u e l e caLculxr 3 a ~ c ? l u c i 6 ncan cie:: ts faci?+iri.r.2 :
in:iliz~r.2? ~?;irrc ?e
1.03 rr.8tolcs ?.?~FI rzc:
cuzdrstica con r e ~ t r i c c f a n elineales.
~
T w ? : prrb!.er.üe
,'e p r c g r m a r i 6 r .
c) Mínimos cuadrados ponderados s i n restricciones d e no negatividad
E'
inccnvenfer-te cpe puede presentarse ea l o s mÉtctdoa anteriores
e8
que 108 t é m i n o 6 ciel error no se panderai: d c ccuerdo con la importanciz
r e l a t i v a d e l coeficiente.
En particular, la acluciBn puede 2resetitar coe-
ficientes no nulo8 cuando los de la matriz o r i g i n a l lo son, situacibn en
que puede eer deseable imponer la restrfcci6n de que la solucián también
tenga nulos esos mismos coeficientes.
La otra situación, algo menos ex-
trema, que puede presentarse ee que coeficientes pequeños sufran graridrs
correcciones, rnie~trasque los coeficlentet; myor~lscst&& sujeto::
u
correcciones pequeñas , modif icaildo as2 aprcciab lemerito la estructura dc
l a matriz.
donde w
ij
a m h i -
Ea Ease a estas consideraciuries se arriba al objetivo
representa la importancia asignada al docvfo correspondiente
-un valor m& b a j a indica quc e1 desvfo absolutc debo 6er menor-.
ne que ectov ~ ~ k f i c i e n t ede
e ponderacibn no non n c g a t i v ~ s ,y que
u.. es nula la solvcidn debe cumplir cün 13 igualdad d . . = u .
13
Este
caso
AL
cul;i;dc
CEIG
eii
=J
13
cor,;zira dircctameiite un cosficiciite dcl la zciluci6ri c ~ i luila
de l a tabla c r i g i n a l , es m&
es d e c i r que 138 dos sumas
to
..
Sc l ~ ? p 3
uiiportaiite q ~ cCcs nisui~sG e a n cmpsrablcs,
B
y
u
a e m & magnitud no muy
puede lograrse iriultiplicandu la matriz original
pocitivo conveniente, si fuera necesaria.
A
disfmil.
p o r algGn número
Es-
Como en el caso descripto bajo a)
:
l a solución puede presentarse en
n o t a c i h matricial a f i n de calcularla directamente.
Para ello se proce-
de minimizando el Lagrmgeano
L = 1/2
zMxh' (dij -
a. .)
11
L
/ w..
=J
-p
(D
e
- b)
-
(e
D
-
q
obteniendo las condiciones nec,eaarias
equivalentes a la ecuación malricial
donde W
e
W
m
eR
la matriz de las ponderaciones w
ij '
Definiendo W'e = v ,
u, posmultiplicando la ecuación (7) p o r la columna e , y luego pra-
multiplicándola p o r l a f i l a e
, recordando
los s?mbolos para l a s sumas
de las filas y d e las columnas de las matrices
A
y
D
, se
obtiece la
ecuaci6n
Esra ecuacíEn, puede resolverse p o r medio de una inversión de la ma-
triz d e l sistema, si se cumple un supuesto de interdependencia de 1.0s
coeficíentes 32 ponderacibn
pe
-4! .
Si sc h p c n e la r a c ~ r t c c i á na d i c i o n a l
e q -que e s a d m i s i b l e ya que e x t s t e un g r a d ~de libertad gara l a s
multiplicadarzs dc Lagrange en la s o P ~ c i 6 n -se llega a la C~rmulnci5a
/ Ver el asEndice 1 para una fomulaci5r. ri-guxosa de e s t a condición de
-4interdependcncfú
y Za demoetracibn de que la matriz de coeficientes d e l
sistema es regular.
tos
valores para l o s multiplicadores
matriz
p
y
q
permiten calcular la
D en base a la ecuación (7) , quedando asE resuelto el problema.
El lector podra verificar que tamblgn por metodos lineales se reUno de e l l o s
suelven dos criterios relacionados con el aquf presentado.
c d n s i ~ t een elegir como objetivo la minhización de la expresi6n
mientras que el o t r o utiliza como objetivo la expresión
siendo de ambos casos variables l a s A
l a s ecuaciones (1).
,y
tomaida como restriccioiic::
La expresión (9) p e r m i t e que el proceso de optimi-
zación e l i j a el n i v e l adecuado para l a m a t r i z o r i g i n a l A de transacei~
nes, d e t e r m i ~ a n d odicha n i v e l , indicado por l a variable h
sión (10) permite más f l e x i b i l i d a d
A endbgenamente.
, al
.
La expre-
ajustar cada columna de la matriz
En este caco se supone que: es importante mantener la
estructura de las columnas, coma sucede en aplicaciones d e l modelo de
inaumo-producto.
Un método que considere m$s importante mantener la es-
tructura de las f i l a s se o b t i e n e intercambiando f i l a s y colunmas.
Podrfa pensarse en generalizar aún m á s el problema, permitiendo un
ajuste simult%noo de f i l a s y
columnas, de manera que, por ejemplo, en
A por una variable
(10) se multiplica cada coeficiente de l a matriz
cuyo fndice depende de l a f i l a , ademgs de l a variable cuyo fndice depende
de la c o l m a .
Este criterio expresa el deseo de que la soluci6n se a-
cerque a una matriz b i p roporcional a la original, man teniendo s imultheamente al. mfnimo Pos desvfos , En e s t e caso l a solucí& no puede calculars e por v f a d e l álgebra
l i n e a l Gnicamente, debiendo procederse de manera
parecida a la soluciÓn por el mgtodo RAS.
d) M bimos cuadrados ponderados, con res t r i c c i o n e a de no negatividad
La solución presentada para el método anterior puede contener elementos negativos.
Si es importante excluir esta posibilidad, ser6 nece-
sario minimizar uno de los tres objetivos indicados por las expresiones
(6)
, (9)
o (10) , con consideración de las restricciones (1) y la consi-
deracidn adicional de laa restricciones de no negatividad de las varia-
bles.
Como en el caso presentado bajo b ) , l a solucidn no puede obtener-
ae por medio de una
f8rmula explfcita.
con cierta f a c i l i d a d
, utilizando
Sin embargo se la podrd calcular,
algGn algoritmo para resolver problemas
de programación cuadratiea con restricciones lineales.
Corno comentario general a mfnimos cuadrados ponderados , debe tener-se en cuenta que, si la matriz de ponderaciones
W
no tiene nulo8 los
cuef icientes que corresponden a los ceroe de la tabla de transacciones
original
A, la soluci6n probablemente proporcionará coeficientes no nu-
los donde l a estructura o r i g i n a l tenfa caeficientes n u l o s .
3 . CbLciaó DEL mfiii$G zRT,uk j.&Lks,'f*;:d i,'&ipiCi
En vez de minimizar un promedio de los desvfos cuadrbticos como en
los mEtodos de cuadradas rufnimos , se puede requerir la reducción a su min i m o d e l mayor desvfo relativo absoluto.
En otras palabras, si se defi-
ne como desvfo relativo absoluto a la e x p r c s i h
e s t e objetivo puede expresarse como
s u j e t o a las condiciones
e l de minimizar la expresign
(1) y la no negatividad de la8 variables.
El problema asf planteado no es l i n e a l , ya que en la d e f i n i c i d n (11)
interviene un valor absoluto y un cociente para cada par de Indices.
Sin embargo, es p o s i b l e transformarlo en un problema con objetivo l i n e a l
y restricciones en forma de desigualdades, para l-iaLLar la solución por
medio de l o s ngtodos usuales de programaciS;? l i n e a l .
A f i n de demostrar
esta afirmación, nótese que l a s ecuaciones (11) y (12) pueden resumirse
en laa desigualdades
- ti--(D + AA)
>
D
-
AA
>
-
&(D
+
AA).
L
estas desigualdades se reducen a
P o r medio de las ecuacloncs (1) y sustituyendo l a s sumas de f i l a s y co-
lumnas de las matrices
ciones
A
y
D por
sus s h b o l o s
, se
l l e g a a las condi-
Finalmente, como el numerador de la expresibn (11) nunca excede al denominador -recuErdese que t:inguno de los sfmbolas ea negativa- 81 valor 6p-A
ttmo para 5/2 no excede a la unidad, de ~ a ~ e que
r 3 la defii1ici6n de x
i ~ d i c aqee el mfnimo para </2 ze alcanza cuando
r
ec máximo.
En cor,sc-
cuencia, el problema reformulado consiste en calcular el m k i m o d e x
s u j e t o a las condicionee
(13) y (14) , un probleiiia que es, evidentemente,
d e programación l i n e a l .
h'o es neceeario tetier en cuenta en f ornia explg
cita la condición de no negatividad de loa coeficientes de la matriz
ai de la variable X
, ya
D
que ésta se cumple auco~6ticamenreen la solu-
ción Gel problema derivado.
luede verse que l a s ecuaciones del problema de máximo, as5 plantea-
d a , son siempre consistentes; basta para e l l o sustituir en (131 y (14) a
2, y ,
x
por cero.
En cambio, aunque este heclio no es muy probable, e-
x i s t e la p o s i b i l i d a d de quc la solucibn no esté acotada superiomeiite.
Como i a matriz
2
es:S
crcctada por la matriz o r i g i n a l
A -ver desigual
-
dades (13)- ufi ri5ximú i n f í z i t o requiere que i a su:ras niarginalcr dados
para Ea matriz ajus::asia
G
sea= propcrcionoles a
d f c c t c ~de la& filas p colunuias de la matriz
h.
l a s silmas corresponCcrr,o cero eo cviclciite
con m a ~ i m p l einspeccisn Z E los dato^, este caso puede excluir~epor
poco interesante, y a que la s o l u c i b n consistirá cn una matriz cuyc; ele-
nientos son todos proporcionales a la matriz origifinl.
Si de todos acdoo
sc J e s c a i n c l u i r e s t e c a 3 ~en cl a n á l i s i s , deber2 u t i l i z a r s e un algorit-
z o pare ia solución dsl í r c > l m a que, no
~ 6 1 0iaiiiquc que cl z h j c t i v o nu
e ~ c Sacotado sino quc, prcpcrcime la diraccibn en ,;tic la aoiuciBn puede
aumcntar el objetivo en foma i l i m i t a d a -tales algoritwos han sido impiementadoo aunque no san tfpicos-.
Si bien ea p o s i b l e calcular la solución por medic d e l mgtodo s i m p l e
i~kraprogramación l i n e a l o algún otro algoritmo general, la estructura
dc1 problema p e r m i t e seguir un método mucho m8s eficiente,
cen los valores de x
e
la matriz
y,
2
Si se cono-
se puede determinar par
medio
de un algoritmo para la soiuci6n de problemas d e transporte -ecuaciones
114)- con restricciones sobre la capacidad -desiguaidades (13)-.
Como
más eficientes que e l mgtodo simplex, ya que
oe sabe, e s t o s mgtodos son
tcman en cuenta la estructura especial del problema, que permite calcu-
lar l a s o l u c i ó n por medio de simples sumas y r e s t a s , s i n necesidad de
efectuar multiplicaciones o divisiones.
La estructura d e l presente pro-
blema es a l g o más compleja, pero es p o s i b l e utilizar el metodo de decamposicidn de Dantzig, usando
205
métodoa de deteminacibn de f l u j o s en
redes con limitaciones de capacidad, en uno de l o s subproblemas en que
se descmpone el problema dado. 5 /
-
En aplicacionea del modelo de insumo-producto, como y a ee ha hecho
notar, puede ser importante alterar lo menos posible la estructura de
l a s columnas de la matriz
A, de modo que será deseable aplicar el cri-
t e r i o de Bptiuto a cada columna por separado, reemplazando la definicidn
(11) por
51
-
Ver el apgndice 2 .
con una variable d i s t i n t a para cada una de 1-
columnas que indique la
escala d e l eector correspandiente,
Como en el caso anterior, l e e relaciones (15) y (12) pueden xees-
cribirse ahora como
E(D+ A:
Definiendo t E
x
(1 - E )
2
>
) =
A/(eX);
*
Z E D y
->
-x
&
-<(D+Al
1.
2
CI
A t; y ~ ( -&1 ) / 46 (el);
/ 46 ; estas desigualdades se reducen
Utilizando las ecuaciones (1)
como
a
en el casa previo, se llega a
A estas condiciones debe agregarse la ecuación
que es una consecuencia directa de la definicibn d e
Como se notará
t.
de Inmediato, el sistema resultante no e s l i n e a l , ya
que en las ecuáciones (17) aparece el producto de la variable
vector
t , ambas incógnitas d e l problema.
x
por el
La solución deberá determinar
-
se por medio de aproximaciones sucesivas, en base a vectores
:t
de
prueba, o , mejor aGn , por medio de alguno de l o s algowitmois d i s p o ~ i i b l e s
para l a deteminaci5n de la solución de crecimiento balanceado d e l modelo de von Neumaan, ya que, en el fondo, el presente problema es de le
familia de problemas generalizados de detenninaci6n de vectores caracte-
rfsticos de sistemas l i n e a l e s .
No noa detendremos en g1.
Desde el punto de v i s t a práctico es quizá conveniente la primera
solucion de e s t a sección, que tiene l a ventaja de ser fbcilmente calcu-
lable.
DiaresiÓn sobre la euuivalencia de l a s soluciones obtenidas con d i s t i n tos
conceptos de error relativo.
Considérese l a s i g u i e n t e definición de error relativo entre dos
matrices no negativas
5 = rnaxij
( 1)
/
A
D
y
dij -1 a . . l
1J
/
(t d . .
13
+
(1-tl A a - . )
=J
donde X es un factor de escala calculado de manera de hacer el error relativo
dad.
5 mfnirno, y
t
es un parhetro no negativo y no mayor que la uni-
Se demostrará que el problema de programación l i n e a l , a que puede
ser reducido el problema d e f i n i d o en La sección 3 , d e l t e x t o , es inde-
pendiente d e l valor d e l parhetro
corresponde al valor de t
112.
son los correspondientes a
L
t.
La función objetivo a l l f adoptada
Otros valores particulares de interes
O -errores como porcentajes de la magni-
tud de loa elementos de l a matriz original
A- y t
1 -errores como por-
centajes de la magnitud de los elementos de la matriz estimada D-.
La relaci6n (1) implica
f (t D
(2)
+
(1-t) AA)
que se reduce a
A'
(3)
si
se
>
define
>
2 = 9
>
m
D
-
A A 2 -E
(t D 4- (1-t) A 1 0
Como relaciBn inversa a la primera definición de ( 4 ) puede tomarse
Ahora Lieli, la ~oluci611Óptima del problema d e maximizar x
sujeto
a las condiciones (31 y
(4)
Z e - b y + B x = = e Z - c y + $ x = O
d : ~un valor no negativo (posiblemente infinito) para x ,
lores de
la ecuación (5) i n d i c a que aumentos de x
x
z disminuciones de E , y , por
un mfnimo de F .
uno para
lo tanto, el m%cimo d e x
Para tales vason equivalentes
corresponderl a
Esto es valida aun para l o s valores extremos de cero y
en los cuales la ecuaci6n ( 5 ) deber5 interpretarse como cl
t,
límite que toma esa expresih cuando
t
tiende al valor dado,
Para finalizar ae proporci onarsn las fórmulas a que ae reduce (5) :
(6)
5
m
1 / (1 + 2
X)
E
=
2 (1+2 x
-
Apéndice 1.
-
para t
2J*)»')
Existencia
= 2
O 6 1
d z -
)2
para
t = 112.
de una s ~ l u c i hGnica en el caso de minlmos
cuadrados ponderados.
Eii e l texto sr! iia afimado que 13 matriz, cuya inversa se indica en
la ecuacizn (81, ea regular -es decir, su inversa existe-, si se cumple
la condición.
(1) 'Lnterdependencia. -
W
Loa coeficientes de la matriz de ponderaciones
corresponden a un sistema interdependiente, si para dos
subconjuntos arbitrarios
I y
J
de
M
y
N, respectivaen-
t e , s e cumple sieinpre la desigualdad estricta
' I ~ J Wij
donde 1'
M y
y
Jt
5I'XJ
+
{J..
o ,
>
1
,
I y
representan los complmentos de
J en
N , respectivamente.
Esta condición se d~ siempre en la práctica, s i a coeficientes posi-
tivas da la matriz
trtz
A
A
correspanden ponderaciones p o s i t i v a s , pue8 la ma-
cumple con esta condición cuando hay, al menos, un sector que
rcaliza trans~ccionesen forma directa o indirecta con cada uno ¿e l o s
dcmzs.
Si e s t a cundición no se cumple, el sistema econ&fco se divide
en dos partes completamente independientes entre sf , y entonces es posi-
ble analizar a cada una de ellos por separado,
Para demostrar que la matriz mencionada es regular, resulta s u f i -
En otras palabras, si se la
c i e n t e demostrar que es p o s i t i v a d e f i n i d a .
pre-
y posmultiplica por un vector arbitrario (x ,y)
, debe
dc~o~trerse
que el resultado no es p o s i t i v o 8610 si este v e c t o r es nulc.
Efactuan-
do dicho producto, se obtiene
-
E
m
w . . (xi + y . ) ' +
11
J
(ex
-
e y) 2
donde se ha u t i l i z a d o la definici6n de l o s . v e c t o r s s u
ponderaciones
y
v.
Como l a s
no son negativas, e s t e expreaian no puede eer negativa,
ya que ea una suma de términos no negativoe.
Ademh, para que la expre-
sicri
mulc es i:eccsilrio
>!,fFca,
i3il
1jciil-Jura.-
{ i ! x, = :<,).
J.
c
?l c o i i j ~ ~ ~di::
b ocoardcl:zdil:;
Si I
Ec.:tc s i g -
ps3iier :.usar, anular cl ~ar2:itesiz 9ue si.gue a cada
1
7
r;Z:.i.;iuos.
se 3nuL~:; t o d o s sus
<;:?
igu01es a la irrinera dc
C!C
no c o i n c i i l ~can ti, o si. 3
x
con sig--
no coincide con X , la c o n d i c i z n (1)
i a d i c a que
cs d e c i r , qzc existe, o bien a l g h par ( i , j ) con i
q ~ e
la
poiidcraciói; es p o s i ~ i v ay por lu t a i i t o
~ G i ipar
1.
'j
i ~ ,1,
c:
-x
i
j c .3' para cl
=
--.*
"*1
o I,-i.cin
a,;.
., -
(i. , j ) cori i c i 1' , J a 3 para el q u c l a i i a ~ d ~ r a c i 6 ies:
i licsitivs
-
dcfinici5i1 de 5 , mientras quc an cl scgundo ijc contraciicc la defiilici5iz
d e 1; por e l l o todos l o u clcmentos d c
es
x
c y
deben ser p x ~ p c r c i o n a l c ~
decir
x =
c; y
Cotiio tat:ibi$ii cl
-1
2,
Ciltiiiio ~¿Qriiiii;o
dc
12 c ~ ~ r c s i . 6
:>ajo
~ ; ~ 3 t u J i . 0 CICUC ;:.-
ririharsc?, ;?uec!c vcrSL dc iil;:iciliato que J. dc5e
cordcecueiicia tanto
u r k c i ~ i odc
s. coica
'
C S L ~ap6-L L G
* LC~.
y.
:.ti~
nulr;, i;ie:~da iiaf.or
cii
E s t o deniucciera la rifiazaci~iihcchn al
Apéndice 2 . -
Algoritmo para minimizar e9 error relativo máximo.
Si bien es p o s i b l e determinar la solución d e l problema planteado en
la s e c c i h 3 d e l texto por medio d e l m&todo simplex, la estructura especial d e l sistema de restricciones sugiere la p o s i b i l i d a d de hallar algGn
mstodo m&
eficiente que un algoritmo general, El algoritmo que se preeen--
tará a continuación toma en cuenta dos de las caracterfsticas del problema. La primera es evidente en las desigualdades en (13) del t e x t o , que
muestra que un número considerable de restricciones -exactamente n x mconsisten Gnieamente de una cota superior a las variables ,ademh de la cota inferior usual en l o s problemaa de programación lineal dada por les
condiciones de no negatividad,
En lugar de incorporar estas
cotas su-
periores explf citamente al problema, es más eficiente tratarlas de acuerdo con el mgtodo ideado por Dantzig (1963) para cotas superiores, de
manera que las eeuaciones se reducen a las m
-t.
n en (14) del texto, A su
vez, estas Ú l t i m a s ecuaciones presentan la estructura especial de un problema de transporte, en lo que se refiere a %os coeficientee de l a s va-
riables i n c l u i d a s en l a matriz
2.
cientes de Las variables
y ; por tal motivo no es p o s i b l e calcular
x
e
Esto no es cierto para l a s coefi-
l a eolución por medio de un algoritmo para resolver problemaa de trane-
porte,
Sin embargo, SI
es p o s i b l e descomponer el problema en dos,
acuerdo con el mgtodo de descomposicilh de Dantzig
de
(1963) aplicado al
problema duaP, o el de Beale aplicado al problema directo.
Uno de
l o s subproblemas tendrá entonces la estructura adecuada para la a p l i c a
ciÓn de un algoritmo de transporte.
EP algoritmo detallado a continua-
eiÚn está inspirado en estas cmsideraciones, con una aimplificaci6n
-
a d i c i o n a l , permitida por el hecho de que las sucesivas tases son casi
triangulares, que p o s i b i l i t a hallar la solución exacta d e l problema,
-
A fin de poder describir la solución necesitamos formular el proble
ma y su dual.
El problema directo o primal es
(P>
mex
x
sujeto a
c
<
Q = Z - A
Z e t b y + 8
x u O
e ~ - c y + 8X
Por m d i o de una matriz
= O
M y dos vectorea
p
y
q
de dimensiones
apropiadas podemos escribir la función de Lagrauge , eumando las res tric-
ciones convenientemente multiplicadas:
+
tu x
donde el sfrnbolo
tx
(A-Z)
-p
(&-by+
Bx)
f (e2-cy-1-$x)
q
indica la traza -es decir la suma de l o s elementos
tr
d e la diagonal- de la matriz que fe s i g u e , mientras que el apóstrofe
'
.
indica transposición
Los tihninos independientes de las variable8 del primal no8 dan la
funci6n objctivo d e l dual, mientras
que l a s restricc5ones de é s t e se ob-
tienen calculando 1 s derivada6 d e l b~rangeanocon respecto a las varia
bles d e l p r i m a l , tenZendo en cuenta las restricciones de no-negatividad.
21 resultado es el problema d u d
(DI
min
PB
tr l!' A sujeto a
-
1
=
p b - c q
=
0
Lcs fines del aPgorit=io nos interesan en particular las relaciones
de cmplenentaxidad entre los dos problemas, (P) y (D),
Estas se dedu-
cen conparsndo las primeras restricciones de (P) con las Últimas de
ID) ,
y en forma explIcita s m
implica q
Eliminado
j
lcs coeficientes. de la matriz
tf;?a.;r e ~ t x i c c i o n e sd e
P. > q
3
j
Pi < q j
(DI
II
con lz ayuda de las 61-
se llega a la formulación equivalente
implica
zij
implica
2..
-
= a..
33
13
A fin de simplificar la exposici&,
problemas de coLuciones degeneradas.
O
supondremos que no se presentan
Si b i e n , debido a. la e s t r u c t u r a es-
pecial del problema, ea muy p o s i b l e que en alguna de l a s iteraciones no
se produzca
un aumentc en el valor de la función objetivo, en la práctica
E s t o no ofrece problemas, pudiendo
resolverse l o s casos en que hay varios
candidatos para abandonar la base, por medio de alguno de los procedimientos conocidos -orden lexicogrgf i c o
A continuación s e explicarán
lag
, perturLac5Ói,
selección al azar-,
etapas principalea d e l algoritmo, d e j m-
da para el final un sencillo ejemplo num&rico.
Iniciacibn d e l algoritmo
El primer paso consiste en la determinación de una solucí611 básica
arbitraria a las restricciones de
nula.
(P) , con e l agregado de que x sea
Dada la condicián d e consistencia
rá una e o l u c i 6 n
no
d e l texto, siempre existí-
(C)
negativa a l a s ecuaclone~
t a l que los elementos de la matriz
Z correspandientea a elementos nulos
de la matriz no negativa A , son nulos. En base a teoremas del Qlgebra
elemental -véase, por ejemplo, Dantzig (1963)- existirg una s o i u c i d n bá-
sica que se denominar5 ZO
Y'
que es&
mientras que los elementos de evta matriz
en la b a s e -en nGmero igual a mi-n-1 debido al supuesto de no
degeneración- formar& el conjunto t 5 s i c o S
e s t a base i n i c i a l podr6
O
.
Para la deeermínaci5n de
utilizarse cualquiera de las mÉtodas pzra re8ol-
ver el problema de transporte con restricciones sobre las rutas, por lo
c u a t no se presentar&
106
detalles.
A f i n de cumplir con les c o t a s superiores indicadas por l a s primeras
r e s t r i c c i o n e ~de (P), e s s u f i c i e n t e inulti.plicar la aoluciSn básica inic i a l p o r un nGraero s o s i t i v o detcrmicado.
Tomando el mayor número p o s i t i -
vo , t a l que se cuui~lm. Isc cotas superiores, y d e n o m i n h d o l o y O se ten-
drá que
s a t i s f a c e n la8 restricciones de (P).
conjunto
B O , que
se obtiene de
Las varhbles idsicas formar& un
So de la siguiente manera.
Debido a la
definición de yO habrá un elemento de ZO igual a su c o t a superior.
Esta
variable, p o r lo t a n t o , se excluirá de La base, debiendo ser considerada,
como variable no b s i c a en su c o t a s u p e r i o r .
Por o t r a parte y
O
es p o s i -
t i v a , de manera que habrá que incluirla en la base.
'3
es igual a
yendo a
Euma
y
O
.
Esto significa que
s i n una de las variables en su c o t a superior pero iriclu-
SO
O
EL conjunto S
recibe el nombre de seudobase, y será de
u t i l i d a d durante el cblculo,
El práximo paso consiste en in.troducir x
en la base.
Para simpli-
f i c a r la soluciSn, aprovechando la estructura d e l problema, es Útil des-
componer la matriz
Se supondrá que Z
de
Y
Z de acuerdo con la ecuación
satisface las ecuacianes (2) y
manera que l a matriz
las ecuacioncs en
(P).
Z
satisface
d e f i n i d a en (3) satisface automáticamente
Para calcular las matrices 2
rá la seudobase ccrriente; los valores de
x e
Y
y
Z se empleaX
y se determinarán de ma-
nera que las variables en la seudabase, que no son básicas, no se a l t e -
ren.
Además su n i v e l debe ser tal que, a l i n t r o d u c i r una nueva variable
en la base, se elinine alguna de las anteriores.
Al iniciar el primer p a s o del algoritmo deberá entonces deter1
minarse 2 de manera de que se satisfaga la ecuación ( 2 ) por medio de la
Y
seudobase S
O
.
Por supueato, la solucián será simplemente
Como la seudobase es triangular,
1
el cálculo de ZX
es inmediato, ya
que sólo es necesario realizar restas en e l orden conveniente.
Si el
elemento (k,h) de la matriz
pero eaeá en l a seudo-base,
e s no básico
Z
s e calculará la matriz auxiliar
donde dyl =
nulo.
1
1
(X)kh
; dx =
1
para que el elemento (k,h) de 'D
sea
L
Podrá entonces calcularse el nueva valor Z para la m a t r i z Z en
base a la fórmula
debiendo t
1
ser máximo h a j o la condiei6n de que se cumplan laa c o t a s su-
periores e Inferiores para La matriz
2
dadas en {P) , es d e c i r ,
r debe
Si ( i , j ) son l o s subfndices de un elemento h s s i c o para el que una de las
desigualdades en la d e f i n i c i c n ( 7 ) es una igualdad, o sea, el elemento
que mL=s restringe el incremento en t , se habrá hallada la variahle que
debe abandonar: l a hase.
Restimiendo:
Una vcz i n i c i a l a d o el ~ l g o r i t m oen l o forma descripta, re puede proseguir con los p a s o s s i g u i e n t e s .
¿escril;ciÉn dcl cicLc gccgricc
sür d 2 los d a t o s c o n c c i d o ~x
i
Como
$SLOS
son s i n i l a r e s , darezos l a
k , para IE= 1, 2, 7,
, y~ , Zk , 3k , S k
k
..., que permite pa-
a los necesarios para
el
ciclc s i g u i e ~ t e .
Ciclo k
c i c l o se cmpoae d e varios pasos.
C:i!a
s i la soPuci& eorrrente
termtr:,;.
El primero cofisiste en de-
es o no 6ptima.
Si lo es, ei problema
sc h a l l a rcsuelt:~,mientras que si no lo es r e s u l t a necesario determinar
la nueva variable que debe
como y
ingresarse a la b a s e .
Es obvio que tanto x
siempre serán básicas, de modo que sólo habrá que analizar los
elementos de la m a t r i z
2.
Finalmente será necesario modificar las va-
rcables b á s i c a s hasta que ar.a de gstas abandone la base, hallando así
l o s nuevos valores para las variables, la nueva base, y la nueva seudo-
base.
Se describir5 a continuacibn cada uno de estos pasos.
a) Cálcula de las variables del d u a í , a f i n de detectar la soluciÓn
6p-
tima
Como surge d e l
a n á l i s i s de l o s problemas de transporte, una base en
t a l e s problemas es siempre triangular, e s decir, el sistema de ecuaciones
-
para hallar loa valores de las variables bSisicas es triangular, permitfen
do calcular una a una en forma recureiva, s i n necesidad de resolver si#temas de ecuaciones eimuitheas,
En el problema presente la hase consta,
como en l o s problemas de transporte, de rrir-n-1 variablee.
no todas son elementos de l a matriz
l l a n siempre presentes.
2, y a que t a n t o
x
Sin embargo,
como y
se ha-
En cada ciclo, l a seudobase se mantiene trian-
g u l a r , como sí fuera la base de un problema de transporte.
Desde el pun-
to de vista de la teorla de las redes, l a sed cuyos nodos son 3.a~ f i l a s
y columnas de la matriz, y cuyas aristas son las variables básicas,
forma una arborescencia,-es decir, no contiene ciclos-.
Ai pasar
de la
seudobase a la base hay q ~ eeliminar dos m i s t a s -la base contiene dos
elementos menos que la matriz 2- y Estas neeeaariameate dividen a la
arborescencia en tres partes inconexas.
Las condiciones en (1) implican
, de modo que las cansiqj
deraciones anteriores dan la clasificación de las filas y columnas en
que si (i , j ) está en la base, entances p i =
tres clases, con precios -variables del d u d p y
las f i l a s y columas en una de las tres clases,
q-iguales para todas
Como no todas las ecua-
ciones son independientes -resultado conocido de l o s problemas d e trans-
porte
- será p o s i b l e asignar un valor arbitrario a los precios en una
de estas claaes, cera por s i m p l i c i d a d .
Asignando el valor de
precios cn otra de las clases y el valar de
S
r
a los
a l o s de la tercera, e
intxoduciendn estos valores en l a s primeras dos e c u c i a n e s de (D), se
obtendrán dos ecuaciones en l a s dos incdgnites
r
s u e l t a s , permitir& determinar t o d o s los p r e c i o s .
se cumplen las condiciones
y
G
que, una vez re-
S i con e s t o s precios
(1) para las cmbinaclones d e subfndices r,c
Lasicas, se habrá llegado a la solución 6 p t i m a .
En caso contrzrio será
necesario modificar los valores de las variables, efectuando l o s 2 ~ s c s
siguientes.
b) De terminación de la nueva variable 5ásica
Esta etapa es sencilla.
Ai verificar las condiciones (1)
brán presentado casos en que éstm no se cumplen.
s e ha-
Cualquiera de ellas
da una indicación da que la variable correspondieree p ~ e d eser introdu-
cida c m provecho.
E 2 u s v a l introducir l a varia5le para la que el cri-
terio da la diferencia mayor, aunque e s t o no asegura llegar a la s o l u -
c)
!ktemi.naciÚn de la nueva s c u d o t a s ~
Las variables que s3n elementos de la matriz
Z
y que se hallan
1c
en la base c c i r r i e ~ tE'~ , jcnto ecn 12 Cueva variable deteminada en la
sección =teriapr,
nc pueden formar una red qae contenga un ciclo, ya que
e l l o no e r a c i e r t o para dichas variables b%icas
,y
ej. la variable nueva
cerrara el c i c l o , ésta tendrfe que ocupar un lugar para el que p.J.
E
qj
1-, por lo t a n t o , nc padpta hzlier sido seleccionada pzrz cntrar en la La-
sa.
A f i n de c o n s t r r i i e lo nueva seudobaso
sk'l
e s suficieate completar
e s t a a r b o r ~ c c c n c i ade rnh-2 arista8 a una con una arista m&,
elegida ar-
bitrariamente entre laa p o s i b l e s variables que no cíerran un ciclo con
las anteriores.
For brevedad, E s t a variable adicional recibir5 e l nora-
brrl d c la variabie seud~55s;ca,
-üurique lo r s
cn ,tc+l
3
kv¡-1-,
i3
las variables básicas
d>;Cs?cula 6r los can;F,ios
Conociendo la seudabsse S
so inicial, lüs mabriscs 2
X
ncn
(S)
pero en realidad ns es la Gnica en
k+l se calculan rápidameate, como en el pa-
y
zk'l,
Y
que deben cumplir con las eiuacio-
y ( 2 ) , re~pectivancnte, Como en el paso i n i c i a l , también se
ki-1
k4-3.
kfl
determinan dx
)h
; d~
kl-1
)hu
- '%
, donde
(h,u) se
rcf iere a l a variable s e u d c b ~ s i c a ,y
El v a l o r d e l nivel ea
<LE
deben ser incrementadas l a s variablcs eocarlí
dado par
(91
,k+l
nalt
: - z k = t D ~3-1
k
" A - Z )
de manera que
cumpla con las cotas impuestas por las primeras relaciones de
(P).
Nue-
vamente habra un par de subfndices (i,j) para lo^ cuales l a s restricciones que definen a tH1 son e£ectivas.
que debe eer eliminada de la base B
La variable correspmdieote es la
k para convertirla en Bk-l-1, incorpo-
rando por supuesto la variable b h i c a nueva determinada en el paeo b)
.
Si z resulta ser la variable que se intentaba introducir en la base, ee
ij
tendrá B k-kl = Bk
Como antes, se calculan l o s valores
y se repite la secuencia de
z o , una vez
operaciones d e l c i c l o t í p i c o desde el cwiien-
incrementado el valor de k en una unidad.
El l e c t o r puede verificar, que la secuencia de soluciones básicas
ea la misma que ee obtendrá de una aplicaciBn directa d e l método s i m p l e
al problema (P); por lo
t a n t o queda asegurada
l a terminacih d e l aigoxit-
mo en un nGmero f i n i t o de c i c l o s , si se trata debidamente el problema de
bases degeneradas.
e l paso
3
La terminacih puede darse al alcanzar el Sptimo ea
o por obtener un
''kt
exacta, es d e c i r con
ci&
so en
el paeo d ) , indicando una solu-
error relativo nulo, del problema -inicial,por
ser proporcionales las sumas marginales de la matriz
triz
D deseada,
Si b
-
6 p
c = s
la
nnluci6n ser$ obvimente
'd
A y las d e la ma-
6A
€ = O
Ej mplo numérico
Suphgase dada La matriz
con sumas marginales
siendo las sumas marginales de l a matriz
(39,93,113) ;
b' = ( 6 4 , 1 0 5 , 7 6 ) ; c
Se desea calcular la matriz
D buscada
S
D que presente el menor
= 245
desvSo relativo
6-
xiruo p o s i b l e .
-
Iniciación
Debida a que la matriz
inicial es muy s e n c i l l a .
A es p o s i t i v a , la determinacibn de la base
La matriz
2'
Y
se ha calculado de la siguiente manera,
En primer lugar s e anotaron en
loa márgenes los t o t a l e s , es decir, los vectores
b
y
c.
Comenzando
por la primera f i l a , se inscribid en el. mayor valor consistente con loa
totales de l o s márgenes, de modo de no excederlos.
agotar la primera f i l a .
l i z a r con la tercera,
Asf se continud haata
Luego se continub con lz segunda f i l a , para finaEsto procedimiento siempre produce una soluci6n bá-
sica, como ae sabe por el análisis de sistemaa de transporte,
Los elemen-
t o s de l a base i n i c i a l
S
O
, son los elementos positivo8 de la matriz asf
hallada,
Para calcular el valor inicial de
mento de
y
es
necesario d i v i d i r cada ele-
o
A por el correspondiente de 2 señalado con un a s t e r i s c o , danY
do un valor
Ciclo O
La matriz
se
calculb anotando en primer lugar los totciles marginales dados por los
vectores B y
f.
Como los elementos de
SO
corresponden a una base, es
siempre p o s i b l e llenar l o s distintos espacios de una mancra Gnica, cons i s t e n t e con las sumas marginales y la condicidn de que los elemento^ no
básicos aean nulos.
En e s t e caso se ve de inmediato que hay un s o l o ele-
mento en la primera columna, de modo que &te
cha columna.
debe igualar la suma de di-
Restando e s t e niímero del total de la primera f i l a e igno-
rando la primera columna en lo sucesivo, puede notarme que
primera f i l a
e8
ahora l a
la que contiene un solo elemento bssico, procediéndose a
anotar el total nuevo de la f i l a
en
ese lugar.
E s t a s paso8 siempre pue-
den ser cumplidos, puesto que la red asociada con la base es una arbores-
cencia, d e modo que, al @liminar aristas, siempre queda alguna -al menos
dos- i n c i d e n t e en un nodo que no está ligado a otra arista.
Ai calcular yo
será
v2 ; por lo
se
determin6 que uno de los elementos eeudobásicos
t a n t o se fendr3.
Aplicando (7) para calcular t I se obtiene
señalándose con un asterisco el elemento de la matriz
a
Pa variable
que d c j a
la base,
D1 correspondiente
ñecordando las f 6mulas correspondientes ,
se t i e n e
Ndtese que todas l a s variables tienen denominador carnGn& = 17.
mixador d e t1
El deno-
era 425 = 25 x 17; el factor 25 e r a el denominador contGaín
d e las variables antes de comenzar el ciclo.
Este Iiltimo factor pudo
ser s i m p l i f i c a d o , pues 20s numeradores resultantea, después de aplicadas
ias f6mulas para efectuar el cambio de los valores de las variables, son
mÚltiplos d e l mismo.
Esta propiedad se mantiene constantemente, y es una
consecuencia de l a casi triangularidad de la base, que garantiza que las
variables tomen valores racionales con denominadores que son deteminant e s de orden
2
formados con sumas marginales de las dos matrices, es
d e c i r , con elementos de los vectores b, c,#3 y
6.
Por o t r a parte debe no-
k
k
tarse que las matrices Z y Z se calculan, en cada c i c l o , por medio de
Y
x
sumas y r e s t e , s i e n d o , por lo tanto, enteros si los datos originales son
k
enteroa, Tambign la matriz D estar6 en ese caso formada por elementos enEsta propiedad puede ser empleada para calcular la solucidn racio-
teros,
nal
exacta al problema, como se hará con el ejemplo,
Ciclo 1
a) Precios
Recugrdese la matriz 2
1
que ha sido multiplicada por el denominador comGn
dad.
1
para mayor cmodi-
Loa elementos bgsicos han s i d o inscriptos en un clrculo, y en los
mfrgenes se han
anotado los precios.
mento básico alguno, e l p r e c i o
Del mismo modo el precio
8
r
Como en la primera fila no hay ele-
corresponde Gnicamence a esa fila.
correeponde Gnicamente a la primera columna.
En cambio el tercer grupo de fila6 y columnas corresponde a las f i l a s
y
3
y a las columnas
2
y
2
3 , que e s t h relacionadas entre sf por ser
b ás ieos los elementos zZ2 ,z2 j, y
=33*
Por lo t a n t o les corresponde el
mismo p r e c i o , que se iguala a cero por comodidad -recuérdese que uno de
l o s precios puede ser asignado arbitrariamente.
A fin de calcular
x
y
s
se u t i l i z a n las dos primeras ecuaciones de
(D), bastando
con
reempla-
zar la unidad de la primera ecuación. por un niímero positivo arbitrario,
gracias a l a homogeneidad del. sistema de ecuaciones.
Se tiene asf
que puede ser simplificad^ a
7 r > 4 s
,
64 r u39 s
r
sistema que tiene una s o l u c i h
Reemplazando
w
y
s
e
39; s
u
64
por sus valores en (121, es p o s i b l e verificar
el cumplimiento de las condiciones (1).
Se verd entmcea que Estas no se
cumplen para las combinaciones de subhdices I 1 , 2 ) ,(2,1), y (3,1), ya que
le deberfa ser nula, miensus cotas superiores. En con-
las relaciones entre los precios indican que e
tras que zZ1
y
z31 deberfen ser iguales
i
secuencia se ha señalado en (12) el hecho de que ea necesario reducir a l
1
valor de r1
12 y aumentar l o s valores de z 21 y .zi1 con Elecliae indicando
la dirección del cambio.
b ) Nueva variable b&ica
,
Se elige
al azar
una de l a s
consistentes cm l o s precios.
tres variables
cuyos
vitiores son h-
En este caso se e i i g i d z21, aeñaiándola can
ua asterisco en (12).
c) Nueva seudobaae
Tres son l a s candidatas para la s e u d o b a ~ e ,
la^ otras dos variables no básicas,
=31 Y 232'
51,212,
y z13,
ya que
e s t h situadas de manera
de formar, con algunas de laa básicas, los
vértices de un rect&gulo, in-
dicando la presencia de un ciclo en la red asociada.
Arbitrariamente se
e l i g e como seudobdsica a z13, de modo que
La variable a e u d o b ~ s l c ar l J se ha i n s c r i p t o en un cuadrado en (12).
d) Cambio de base
A continuaci6n s e omiten l o s comentarios, por ser la secuencia de
las operaciones similar a las ya efectuadas.
. .
.'
. Ciclo 2
,Nota: igual base significa iguales precios
Ciclo 5
Nota: igual baae a i g n i f i e a iguales precios que en el ciclo anterior,
Aquf todaa las condiciones (1) sobre las relaciones entre precios y valo-
res de lae variables se cumplen.
6ptha.
Por lo tanto l a solucidn corriente es la
El error relativo máximo es
y la matriz ajustada
D
m
D es
(I/Y) (2 +
X
A)
mientras que el factor de escala es
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Bacharach
, M. O .L.
"Estimating matrices frwr marginal data" en Internat i o n a l Economic Review vol. 6 , nr, 3 , setiembre
Dantzig, G,B.
Linear Programiw and extensions; Princeton University , Press Princetun, 1963
Gale , D,
The theory of Linear Ecoaomic Kodels, Mc-Graw
New York, 1960
P f t t s , P,R.
ccef f icients l! en Ccinadim .Joumnb of-~eonomies and
Political Science 3 0 , 1964'pags.'203-210,
Sawyer, J.A.
-Hill
"L'ajustement periodique des sistemee de relatious
interindustriellee, en ''Econometrica
p a e , 90-110.
32 (1963)