Problemas de máximos y mínimos

Problemas de máximos y mínimos
En ocasiones nos interesa resolver situaciones en las que hay que hallar un valor que haga máximo
o mínimo otro, estos problemas se llaman de "optimización". Los problemas de optimización se
reducen a obtener los extremos relativos de una función.
Estos problemas a menudo requieren un planteamiento previo que, resumiendo, es el siguiente:
Determinar la función de la que se quiere obtener el máximo o el mínimo. Es fácil que ésta
dependa de más de una variable; en este caso buscar la relación entre ellas para que sólo
tengamos una incógnita.
Calcular el máximo o el mínimo pedido, imponiendo las condiciones necesarias en sus
derivadas.
MÁXIMO
f'(x0)=0 y f''(x0)<0
MÍNIMO
f'(x0)=0 y f''(x0)>0
Criticar la solución obtenida, comprobando que los resultados tienen sentido en el contexto
del enunciado.
Maximizar
Tomamos un rectángulo de perímetro 8
unidades, ¿cuáles serán sus dimensiones para
que tenga área máxima?.
Llamemos x a uno de los lados,
como el perímetro es 8,
el otro lado será 4-x,
luego el área: x·(4-x)
Escribimos la función:
f(x)=4x-x2
Calculamos su derivada: f'(x)=4-2x
y la segunda derivada:
f''(x)=-2
Calculamos x para que f' sea 0:
f'(x)=4-2x=0 ⇒ x=2
Dado que en este caso f''<0, esta función sólo
tiene máximo que alcanza en x=2, el valor del
máximo es f(2)=4.
Minimizar
Tomamos un rectángulo de área 4 unidades,
¿cuáles serán sus dimensiones para que el
perímetro sea mínimo?.
Llamemos x a uno de los lados,
como el área es 4, el otro lado será 4/x,
perímetro: 2x+(4/x)·2
Escribimos la función:
Calculamos su derivada:
y la segunda derivada:
luego el
f(x)=2x+8/x
f'(x)=2-8/x2
f''(x)=16/x3
Calculamos x para que f' sea 0:
f'(x)=2-8/x2=0 x2=2 x=±2
⇒
⇒
Para x=2, f''(2)=16/8=2>0 y hay mínimo, de
valor f(2)=8, este es el perímetro mínimo que se
obtiene con un cuadrado de lado 2.
MªJosé García Cebrian, 2006