Mecanismo de Rueda dentada - Universidad Tecnológica de Pereira

LECCIÓN No 12
ENGRANAJES
12.1 GENERALIDADES
Los engranajes sirven para transmitir par de torsión y velocidad angular en una amplia variedad de
aplicaciones. El engranaje cilíndrico recto, el tipo más simple, se diseña para funcionar sobre ejes paralelos.
Otros tipos de engranajes como el helicoidal, el cónico y el tornillo sinfín, operan en ejes no paralelos; el
engranaje helicoidal también funciona sobre ejes paralelos. Cuando los ejes se cortan, se transmite la rotación
por medio de engranajes cónicos y por medio de engranajes hiperboidales y de tornillo sin fin cuando los ejes
se cruzan formando cualquier ángulo.
Los engranajes son uno de los más eficientes medios para la transmisión de movimiento, ya que el
deslizamiento entre los dientes es limitado por el tamaño de los dientes por lo que presentan pares y fuerzas
de fricción pequeñas.
La utilización de los engranajes en la industria responde a las restricciones económicas que conducen a la
adopción de soluciones simples con un nivel de buen comportamiento, estandarización en su cálculo y del
control de su proceso de manufactura. En muchas aplicaciones en que se requiere tamaño compacto,
garantizar el balanceo y la exactitud en la transmisión, los engranajes representan una buena solución de
diseño.
12.2 TRANSMISIÓN DE LA ROTACIÓN ENTRE EJES
Se llama transmisión mecánica a un dispositivo que transforma los parámetros de movimiento de un motor a
la vez que lo transmite a los órganos de ejecución de la máquina, Fig 12.1.
motor
transmisión
carga
Fig 12.1 Sistema de transmisión
La necesidad de introducir la transmisión como eslabón intermedio entre el motor y el órgano de ejecución de
la máquina está unida a la solución de varios problemas técnicos. Por ejemplo, en los motores y otros medios
de transporte se necesita cambiar la magnitud de la velocidad y la dirección del movimiento, en las subidas y
en el arranque aumentar varias veces el momento de giro en las ruedas conductoras. El motor del automóvil
por si mismo no puede cumplir con estas exigencias, ya que sólo trabajo de manera estable en un estrecho
diapasón de cambios de momento y de velocidad angular. Cuando el régimen de trabajo del motor sale de este
diapasón, el motor se detiene (se ahoga). De manera similar al motor de combustión interna, también tienen
una mala auto - regulación muchos otros motores entre ellos la mayoría de los motores eléctricos.
La concordancia del régimen de trabajo del motor con el régimen de trabajo de los órganos de ejecución de
la máquina se realiza por medio de las transmisiones.
En algunos casos la regulación de los motores es posible, pero inconveniente desde el punto de vista
económico, ya que los motores poseen un bajo rendimiento fuera de los límites del régimen normal de trabajo.
La masa y el costo del motor, a igual potencia, bajan al aumentar su velocidad de giro; resulta mejor,
entonces, utilizar motores rápidos junto con una transmisión para bajar la velocidad angular, en vez de utilizar
motores lentos sin transmisión. El papel de las transmisiones en la técnica moderna ha crecido al generalizarse
el uso de motores más rápidos. En algunos casos utilizan las transmisiones para transformar el movimiento de
giro en lineal, helicoidal, etc.
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
Una corta relación de las principales funciones de las transmisiones permite nombrar su alto significado para
la técnica. Por esto se presta tanta atención a su perfeccionamiento y estudio: se amplían los límites de las
potencias y velocidades transmitidas, se disminuyen sus medidas y su masa, se aumenta su fiabilidad y tiempo
de servicio.
La transmisión del movimiento de rotación es necesaria por motivos tales como:
•
La existencia de ejes no coincidentes por razones funcionales. Este es el caso de un diferencial de
un vehículo con motor longitudinal, necesario para transmitir el movimiento de salida de la caja de
cambios a las ruedas.
•
La necesidad de establecer una relación de velocidad precisa entre dos ejes. Por ejemplo, el ciclo
termodinámico de un motor de 4 tiempos impone que el árbol de levas gire exactamente a la mitad
de la velocidad del eje del cigüeñal.
•
La necesidad de invertir el sentido de giro de un eje. Es el caso del mecanismo que permite a una
motonave invertir el sentido de giro de la hélice para maniobrar.
•
La adecuación de la velocidad del motor a las características de la carga. Por ejemplo, la turbina de
un avión de turbohélice gira a una velocidad demasiada elevada para poderse conectar directamente
con la hélice con un rendimiento aceptable, se ha de interponer un reductor entre ellos. Otro ejemplo
es el de un aerogenerador en el que las palas giran demasiado lento para accionar al generador
eléctrico, se ha de interponer un multiplicador.
En la industria mecánica se usan transmisiones mecánicas, eléctricas, neumáticas y sus combinaciones. Nos
concentraremos aquí en las transmisiones mecánicas. Todas las transmisiones mecánicas se dividen en dos
grupos principales: transmisiones basadas en el uso de la fricción (de correa, de fricción), transmisiones
basadas en el uso del engranaje (dentadas, de tornillo sin fin, de cadena y de tornillo)
En cada transmisión (Fig. 11.2) se diferencian dos árboles principales: de entrada y de salida, o conductor y
conducido. Entre estos dos árboles en las transmisiones con varios escalonamientos, están los árboles
intermedios.
ω1
Entrada
P1
ω2
Transmisión
T1
P2 Salida
T2
Fig 12.2 Características de la transmisión
Las principales características de una transmisión son, la potencia P1 en la entrada y P2 en la salida en Watios
(W) ó HP); rapidez de giro, la cual se expresa por la revoluciones n1 a la entrada y n2 a la salida, (en r.p.m. ó
min-1), o la velocidad angular ω1 y ω2 (en s-1). Estas características son necesarias y suficientes para realizar
los cálculos de diseño de cualquier transmisión.
Además de las principales existen las características complementarias: coeficiente de rendimiento mecánico
η = P 2 / P 1,
relación de transmisión, determinada en la dirección del flujo de la potencia :
i = ω1 / ω2 = n1 / n2
12.2
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Es también común usar las características complementarias en vez de las principales. Por ejemplo la
transmisión puede ser determinada con la ayuda de P1, n1, i y η.
Cuando i > 1, n1 > n2 la transmisión es un reductor.
Cuando i < 1, n1 < n2 la transmisión es un multiplicador.
Como en la mayoría de los casos la rapidez del órgano de ejecución es menor que la rapidez del motor, son
más difundidos los reductores.
Las transmisiones pueden tener relación constante o variable, tanto unas como las otras son comunes. La
regulación de la relación de transmisión puede ser escalonada o no escalonada (llamada regulación infinita).
La regulación escalonada se usa en las cajas de velocidades con ruedas dentadas, en las transmisiones por
correa con poleas escalonadas etc. ; la regulación no escalonada se hace con ayuda de variadores de fricción o
de cadena. El uso de uno u otro método de regulación de la relación de transmisión depende de las
condiciones concretas de trabajo de la máquina servida por la transmisión. Las transmisiones mecánicas de
regulación escalonada con ruedas dentadas poseen un alto desempeño y por eso se usan en el transporte y en
la industria de las máquinas herramientas y semejantes. Las transmisiones mecánicas con regulación no
escalonada poseen menos capacidad de carga y son menos comunes. Se usan por lo general para pequeñas
potencias ( hasta 10...15 kW). La competencia a estas transmisiones la hacen las transmisiones electrónicas, e
hidráulicas, las cuales permiten transmitir grandes potencias y poseer un sistema relativamente sencillo de
regulación automática.
Para el cálculo de transmisiones con frecuencia se usan las siguientes relaciones entre los distintos
parámetros: expresión de la potencia P (en W) a través de la fuerza tangencial Ft en (en N) y la velocidad
tangencial v (en m/s) de la rueda, polea, tambor, etc.
P = Ft . v;
expresión del momento T (en N⋅m), a través de la potencia P (en W) y la velocidad angular ω (en s-1) ;
T = P / ω,
donde
ω = π n / 30;
relación entre los pares T1 y T2 en los árboles en función de la relación de transmisión i y el rendimiento η en
la dirección del flujo de potencia:
T2 = T1 i η.
Transmisión por fricción
En algunos mecanismos usados en la técnica moderna se hace uso de las fuerzas de fricción en calidad de
fuerzas impulsoras del movimiento de los eslabones o fuerzas de frenado del movimiento de los mismos. Los
mecanismos en los que se utilizan las fuerzas de fricción se denominan mecanismos de fricción. En la Fig.
11.3. se muestran dos mecanismos de fricción con ruedas cilíndricas. La transmisión del movimiento de la
rueda 1 a la rueda 2 se realiza por medio de la fuerza de fricción entre las superficies cilíndricas externas de
las ruedas, fuerza esta causada por la presión de una rueda sobre otra con cierta fuerza.
Estos mecanismos realizan transmisión del movimiento con velocidad angular constante. El centro
instantáneo de giro del movimiento relativo es el punto es el punto P0 de contacto de las ruedas 1 y 2. El
mecanismo mostrado en la Fig. 11.3.a es un mecanismo con contacto externo de las ruedas en el cual las
velocidades angulares ω1 y ω2 de los eslabones 1 y 2 tienen signos contrarios. El mecanismo mostrado en la
Fig. 11.3.b es un mecanismo con contacto interno de las ruedas en el cual las velocidades angulares ω1 y ω2
de los eslabones 1 y 2 tienen signos iguales.
12.3
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
En la Fig 12.3 se presentan dos ruedas que giran sin deslizamiento, teniendo contacto externo, Fig 12.3.a, y
contacto interno, Fig 12.3.b. En el primer caso, la distancia entre centros es igual a la suma de los radios de
las ruedas; en el segundo es igual a la diferencia de sus radios.
C = r1 ± r2
donde C es la distancia entre centros y r1 y r2 los radios de las ruedas de fricción 1 y 2, correspondiendo el
signo positivo a las ruedas de contacto externo y el negativo a la de contacto interno.
ω2
ω1
ω1
ω2
P0
O1
O2
P0
v P0
v P0
r1
O1
O2
r2
r2
r1
a) Contacto externo
b) Contacto interno
Fig 12.3 Ruedas de fricción
En el punto de contacto P0 las ruedas poseen una velocidad común vP0 igual a
vP0 = ω1 r1 = ω2 r2,
La relación de transmisión para este tipo de mecanismos es
i12 =
ω1 n1
r
=
=∓ 2 ,
ω2 n2
r1
donde n1 y n2 son la rapidez de giro de las ruedas 1 y 2, el signo superior se refiere al contacto externo y el
inferior al interno.
Las ruedas de fricción cónicas representan por lo general dos conos truncados 1 y 2 (Fig. 11.4), los ejes de
rotación A y B de estos conos se intersecan en el punto O. El contacto de las ruedas tiene lugar por una
generatriz común. Con ayuda de fuerzas de fricción es posible llevar a cabo el giro de estas ruedas bajo
velocidades angulares ω1 y ω2.
La relación de transmisión de los conos de fricción es igual
i12 =
ω1 n1 r2 sin δ 2
=
= =
ω2 n2 r1 sin δ1
donde n1 y n2 son la rapidez de giro de las ruedas 1 y 2 .
12.4
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P0
δ2
B
r2
ω2
ω2
B
r1
A
P0
δ1
δ2
0
ω1
0
r2
ω1
r1
δ1
A
a) Contacto externo
b) Contacto interno
Fig 12.4 Conos de fricción
Si el ángulo δ = δ1 + δ2 entre los ejes 1 y 2 es igual a 90°
i12 =
ω1 n1 r2
=
= = tan δ1 = cotan δ2
ω2 n2 r1
Para las ruedas con contacto interno δ siempre es menor que 90°.
La forma y el material de las ruedas de una transmisión por fricción están determinadas por su destinación y
su esquema constructivo. Las principales exigencias hacia el material de las ruedas de fricción son la
resistencia al desgaste de la superficie (esto determina la vida útil de la transmisión), un coeficiente de
rozamiento alto (lo que determina una menor fuerza de presión entre las ruedas), un módulo de elasticidad
alto (esto ayuda a la disminución de las pérdidas por fricción debidas al deslizamiento elástico; estas pérdidas
están condicionadas por las medidas del área de contacto). La selección del material para las ruedas en cada
caso concreto se determina por las particularidades del trabajo de cada transmisión. Las combinaciones de
materiales más difundidas para las ruedas de fricción son: acero templado sobre acero templado; acero sobre
plástico; acero o fundición sobre cuero, asbesto prensado o caucho con lona.
El par que se puede transmitir utilizando ruedas o conos de fricción es proporcional a la presión de contacto y
al radio de la rueda. En la mayoría de las aplicaciones, para transmitir el par necesario con ruedas de fricción
sería necesaria una presión superior a la admisible o una radio muy grande, de manera que las ruedas de
fricción no son una solución adecuada. Es preferible transmitir el par por medio de fuerzas normales entre
superficies, lo que hace necesario la utilización de dientes en las ruedas. Otra solución es utilizar son las
poleas con correas o las ruedas con cadenas.
12.3 ENGRANES
En la transmisión entre dos ejes en la que se requiera una relación de velocidad exacta o una fuerza o potencia
altas es preferible utilizar ruedas dentadas en lugar de los discos o conos de fricción. La fuerza de contacto en
las ruedas dentadas es normal al diente en el punto de contacto, y no tangencial como en los cuerpos de
fricción, por lo que los esfuerzos de contacto son menores.
A fin de obtener soluciones viables para la transmisión del movimiento entre ejes mediante dientes, se confía
la transmisión de movimiento a una pareja de dientes nada más durante una pequeña fracción de vuelta. Para
garantizar la continuidad en la transmisión se dispone de una sucesión de parejas de perfiles uniformemente
espaciados de manera que, antes que el punto de contacto abandone la superficie física de un par de dientes,
se inicie el contacto con la siguiente.
Los mecanismos dentados son los más usados para las transmisiones en las máquinas. En la Fig. 11.5 se
muestran tres mecanismos dentados de tres eslabones, compuesto de las ruedas cilíndricas dentadas 1 y 2.
12.5
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
Cada eslabón es un cilindro circular, en la superficie del cual se han tallado dientes. Dos ruedas dentadas que
transmite el movimiento por el contacto de dientes forman una transmisión dentada.
ω1
r2
r1
O1
ω2
O2
P
a) Ruedas dentadas externas
ω1
ω1
ω2
r1
O2
r1
P
O1
O1
P
r2
b) Contacto interno
c) Rueda cremallera
d) Ruedas cónicas
e) Corona y tornillo sin fin
Fig 12.5 Ruedas dentadas
12.6
v2
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En la Fig. 11.5a se muestra un mecanismo con engranaje externo. Las velocidades angulares ω1 y ω2 tienen
signos contrarios. En la Fig. 11.5.b se muestra un mecanismo con engranaje interno, las velocidades angulares
ω1 y ω2 de las ruedas 1 y 2 tienen signos iguales. En la Fig. 11.5.c se muestra un mecanismo de engranaje con
cremallera en el cual la rueda 2 tiene forma de cremallera recta.
De los cursos de mecánica se conoce que el movimiento complejo de un cuerpo rígido (en nuestro caso un
eslabón de un mecanismo) puede ser representado en cada momento como el giro alrededor de un punto
denominado centro instantáneo de giro, punto P en la Fig. 11.5. Si observamos el movimiento del eslabón
como relativo con respecto a otro eslabón móvil, podemos también determinar el centro instantáneo de giro
en el movimiento relativo de los dos eslabones observados. Denominaremos centroide al lugar geométrico de
los centros instantáneos de giro. De la misma manera se puede definir los centroides en el movimiento
relativo de dos eslabones.
Como se dijo, en los mecanismos de transmisión de fricción estudiados, el centro instantáneo de giro es el
punto de contacto que pertenece a la superficie de las ruedas. Es decir, las superficies de contacto son al
mismo tiempo los centroides en el movimiento relativo de las ruedas.
En las Fig. 11.5.a y 11.5.b se muestran mecanismos de ruedas dentadas cilíndricas en los cuales los radios r1 y
r2 son los radios de los centroides en el movimiento relativo de los eslabones 1 y 2; y el punto P (contacto de
los dos eslabones) es el centro instantáneo de giro en el movimiento relativo. Si, como ya se dijo, en los
mecanismos de transmisión de fricción los centroides son dos ruedas lisas cilíndricas, en los mecanismos de
transmisión dentada para transmitir el movimiento se cuenta con dientes, cuyo perfiles representan curvas con
determinadas propiedades (se desplazan mutuamente por el contorno de la otra). Como se puede observar en
las Fig. 11.5.a y 11.5.b parte del perfil de los dientes se ejecuta fuera de los límites de los centroides de radio
r1 y r2 y parte dentro de los centroides. Las circunferencias de radios r1 y r2 se denominan comúnmente
circunferencias primitivas.
12.4 PERFILES CONJUGADOS
Dos perfiles planos k1 y k2 que forman un par superior plano y giran, respectivamente, alrededor de los puntos
O1 y O2 se denominan conjugados y se dice que cumplen la condición de engranaje si mantienen constante la
relación de transmisión i12 = ω1 / ω2. El centro instantáneo de rotación relativo entre ambos sólidos se
encuentra en la intersección de la línea de centros y la línea de presión, Fig 12.6.
A
O1
t
k1
φ
rb1
2
n
P r2
a,b
r1
ω1
n
1
O2
ω2
t
B
pv, O2
rb2
k2
a) Perfiles conjugados
b) plano de velocidades
Fig 12.6 Condición de engranaje
Para obtener la relación de transmisión, se traza los vectores normal y tangente, n y t, de los perfiles k1 y k2 en
el punto de contacto. El mecanismo de barras equivalente es dado por O1ABO2 mostrado en la Fig. 11.6.a.
Tomando como conductor el eslabón O1A planteamos las ecuaciones para construir el plano de velocidades
del mecanismo.
vB = vA + vBA , vB = vO2 + vBO2
12.7
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
Del plano se deduce, como es evidente, que vB = vA
De otro lado
vA = ω1 ⋅ rb1
y
vB = ω2 ⋅ rb2
De donde
ω1 ⋅ rb1 = ω2 ⋅ rb2
De donde obtenemos la relación de transmisión como
i12 =
ω1 rb2
=
ω2 rb1
(1.16)
De los triángulos semejantes O1AP y O2BP tenemos
rb2
rb1
=
O2 B r2 O2 P
= =
O1 A r1 O1 P
La fórmula (1.16) toma entonces la forma definitiva
i12 =
ω1 O2 P r2
=
=
ω2 O1 P r1
(1.17)
La igualdad (1.17) se llama el teorema fundamental del engranaje. Este teorema puede ser formulado así:
La normal en el punto de contacto de los elementos de un par superior divide la línea de centros en partes,
inversamente proporcionales a las velocidades angulares.
El punto P, que es el centro instantáneo de giro en el movimiento relativo, se denomina polo de engranaje.
Cuando la relación de transmisión i12 es variable, el polo de engranaje P ocupa a lo largo de la línea de centros
O1O2 posiciones variables. Para que la relación de transmisión i12 sea constante el polo de engranaje debe
ocupar siempre la misma posición sobre la línea O1O2.
El lugar geométrico de los puntos que va ocupando el punto de contacto C a medida que los perfiles van
girando se denomina línea de engrane. En el estudio de los engranajes, la orientación de la línea de engrane
suele caracterizarse mediante el ángulo φ de presión que forma la línea de presión con la perpendicular a la
línea de centros.
12.5 PERFIL DE EVOLVENTE
La forma de la curva más comúnmente usada dada a los dientes de los engranes es la que se conoce como la
evolvente de un círculo. En la Fig 12.8.a se presenta un círculo alrededor del cual se tiene una cuerda fina
inextensible. Al desenrollar la cuerda del cilindro, manteniendo tensa la cuerda, se obtiene la curva evolvente
de la trayectoria que genera el extremo de la cuerda. Otra forma de considerar la curva evolvente es basada de
la trayectoria que genera el punto de una línea recta al girar sin deslizar sobre un cilindro. Al desenrollar la
cuerda siempre será tangente al cilindro, el centro de la curvatura de la curva generada está en el punto de
tangencia de la cuerda con el cilindro y la tangente a la evolvente es siempre tangente a la cuerda, cuya
longitud es el radio de curvatura instantáneo de la curva evolvente.
12.8
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1'
a
2'
ω1
3'
O1
1
2
r1
P
perfil de
diente
φ
ω2
φ
rb2
O2
r2
C
rb1
3
a) Desenrollar la cuerda de un cilindro
b) Engrane de 2 perfiles de evolvente
Fig 12.8 Perfil de evolvente
Para entender su generación, también se puede imaginar dos ejes, 1 y 2 de la Fig 12.8.b, con cierta relación de
transmisión. Los dos rodillos tienen un hilo que, sin deslizar, se va enrollando en un rodillo y desenrollando
del otro. Los radios rb1 y rb2 de los rodillos se denominan radios base y determinan la relación de transmisión,
i12 = ω1 / ω2. A continuación se elige un punto C, fijo al hilo, y se observa su trayectoria en las referencias
solidarias en cada una de los rodillos, esta trayectoria observada en su respectiva referencia genera las curvas
del perfil evolvente. Este punto siempre tiene, en las referencias solidarias a las poleas, velocidad
perpendicular al hilo y, por tanto, las trayectorias del punto respecto a estas referencias, en todo momento,
perpendiculares al hilo y tangentes entre sí en el punto C. El par superior formado por los perfiles definidos de
las curvas dibujados por el trazador genera exactamente el mismo movimiento que el hilo.
12.6 TERMINOLOGÍA
Para construir los perfiles conjugados de los dientes, es necesario tener dados los centroides en el movimiento
relativo de las ruedas a proyectar. Entonces los perfiles de los dientes, los cuales representan curvas (las
cuales se contornean mutuamente), pueden ser construidas como se mostró arriba, si se dan como datos de
partida o los puntos de la línea de engranaje, o la configuración de uno de los perfiles. ¿Qué consideraciones
deben seguirse para escoger estos datos?
Para escoger estos datos en la práctica hay que hacer uso de consideraciones de índole cinemático, dinámico,
tecnológico y por último de explotación.
Las consideraciones cinemáticas consisten en que los perfiles de los dientes conjugados deben ser construidos
por medio de construcciones geométricas sencillas y cumplan con la condición i12 = const.
Las consideraciones de índole dinámico son múltiples, algunas son: es necesario procurar que cuando la
transmisión transmita una potencia constante, la presión sobre los dientes y los apoyos del mecanismo sean
constantes en dirección y magnitud; que los dientes posean una forma que ayude a que la resistencia mecánica
de los dientes sea alta y que el desgaste de los dientes sea el mínimo.
Las consideraciones de índole tecnológico son básicamente que los perfiles de los dientes sean fácilmente
manufacturados con las máquinas herramientas disponibles.
Las consideraciones de explotación son: que el mecanismo posea un vida útil lo suficientemente larga; que la
transmisión sea silenciosa y trabaje sin golpes y que sea fácilmente ensamblada y desmontada. Por último es
muy importante la consideración, de que si una o las dos ruedas se desgastan puedan ser sustituidas por
nuevas. Esta condición se denomina intercambiabilidad de las ruedas dentadas. En la producción en serie de
engranajes la condición de intercambiabilidad se cumple estableciendo estándares para las formas y las
medidas de las ruedas.
12.9
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
Es por esto que aunque teóricamente se pueda construir un mecanismo dentado con los más diversos perfiles
de dientes, en la práctica la selección de los perfiles está limitada por las consideraciones arriba descritas.
Como consecuencia de lo anterior en la industria se utilizan sólo unos cuantos tipos de curvas en calidad de
perfiles para los dientes. De estas curvas nos detendremos a analizar la llama evolvente de la circunferencia
(propuesta por Euler en 1760), el cual es el principal tipo de curva que se aplica en los mecanismos de dientes
modernos.
Antes de pasar al estudio de los perfiles de dientes de evolvente, definiremos algunos términos usados en los
engranajes. Los centroides de las ruedas dentadas cilíndricas, Fig 12.7, se llaman circunferencias primitivas.
El arco de circunferencia primitiva que comprende un diente (sin la cavidad) se llama ancho primitivo del
diente o simplemente ancho del diente y se designa con t. El arco de circunferencia primitiva que comprende
una cavidad (distancia entre dos dientes vecinos) se llama ancho primitivo de la cavidad o simplemente ancho
de la cavidad y se designa con e. El arco de circunferencia primitiva que comprende un ancho primitivo del
diente y un ancho primitivo de la cavidad se paso sobre la circunferencia primitiva o simplemente paso
circular y se designa con p. De esta manera el paso circular p es igual
p = t + e.
Cuando se transmite un movimiento continuo entre dos ruedas conjugadas el paso circular de ellas es igual.
Como se dijo antes la relación de transmisión se expresa en función de los radios de las circunferencias
primitivas
i12 =
ω1 r2
=
ω2 r1
donde r1 y r2 son los radios primitivos de las ruedas.
Teniendo en cuenta las definiciones anteriores los perímetros de las circunferencias primitivas son
2π r1 = z1 p
y
2π r2 = z2 p
(1.18)
Sustituyendo estos valores en la expresión de la relación de transmisión, podemos expresar la relación de
transmisión en función del número de dientes de las ruedas
i12 =
ω1 r2 z2
= =
ω2 r1 z1
De la fórmula (1.18) se deduce que el paso p sobre la circunferencia primitiva es:
p=
2π r1 2π r2
=
.
z1
z2
Aquí se ve, que el paso del engranaje siempre se expresa a través del radio o a través del diámetro por medio
de un número irracional, ya que en la parte derecha de esta expresión está el número transcendente π. Esto
dificulta la selección de medidas para las ruedas dentadas cuando se proyectan y su medición práctica. Por
eso, para determinar las principales medidas de las ruedas dentadas en calidad de unidad principal se ha
definido cierto parámetro denominado módulo del engranaje. El módulo de engranaje se mide en milímetros
y se representa con la letra m. La magnitud del módulo es
m=
p
π
12.10
(1.19)
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rb2
PIÑÓN
r1
02
rd1
hd
ra1
ha
rb2
φ
D
I12
C
B
C
h
A
ángulo de
presión φ
círculo
primitivo
p
línea de
presión
φ
rb1
r1
hd
ha
rd1
t
ra1
01
círculo
base
e
RUEDA
pb
rf
círculo de
dedendum
Fig 12.7 Terminología
12.11
círculo de
addendum
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
Los dientes de las ruedas dentadas se tallan en máquinas herramientas especiales con una herramienta de corte
cuyas medidas y forma dependen de la magnitud del módulo. Para disminuir la nomenclatura de herramientas
en las fábricas se han estandarizado dos series preferidas de módulos.
En la primera serie preferida están los siguientes módulos en mm: 0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,2; 0,25;
0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 60; 80; 100.
La segunda serie es la de los números intermedios de la primera serie, por ejemplo 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11 etc.
El perfil de cada diente tiene una parte que sobresale a la circunferencia primitiva y que se denomina cabeza
primitiva del diente; y una parte que se encuentra dentro de la circunferencia primitiva, denominada base
primitiva del diente.
Como todas las dimensiones de los dientes de la rueda son iguales, entonces todas las cabezas de los dientes
de un engranaje externo están limitadas desde afuera por la circunferencia de cabeza de radios ra1 y ra2; y
todas las bases de los dientes están limitadas por la circunferencia de pie de diente o dedendum, de radios rd1
y rd2.
La distancia entre la circunferencia de cabeza y la circunferencia primitiva, medida a lo largo de un radio, se
denomina altura de cabeza primitiva del diente y se representa por ha, Fig 12.7 (también se denomina
adendo). La distancia entre la circunferencia de base y la circunferencia primitiva, medida a lo largo de un
radio, se denomina altura de base primitiva del diente y se representa por hd (también se denomina dedendo).
De esta manera, la altura total de diente h es
h = h a + h d.
Las medidas de los dientes se pueden expresar como funciones del módulo; miremos:
Según la fórmula (1.18)
2π r1 = z1 p
y
2π r2 = z2 p
Los diámetros primitivos se pueden calcular como
d1 = 2 r1 =
p
z1 = mz1 ,
π
(1.20)
p
d 2 = 2 r2 = z2 = mz2 ,
π
La altura del diente ha por lo general se toma como ha= m, y la altura del pie del diente hd, se toma por lo
general hd =1,25 m.
Entonces los diámetros da1 y da2 de las circunferencias de cabeza se pueden calcular como
da1 = d1 + 2 ha = m z1 + 2 m = m (z1 + 2)
(1.21)
da2 = d2 + 2 ha = m z2 + 2 m = m (z2 + 2)
Los diámetros dd1 y dd2 de las circunferencias de pie del diente o dedendum correspondientemente, serán
iguales a
dd1 = d1 - 2 hd = m z1 - 2,5 m = m (z1 - 2,5)
(1.22)
dd2 = d2 + 2 hd = m z2 - 2,5 m = m (z2 - 2,5)
12.12
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA – FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
La distancia C entre los centros O1 y O2 de las ruedas, también puede ser expresada en función del número de
dientes y el módulo del engranaje
C=
d1 d 2 m z1 m z2 m
+
=
+
= ( z1 + z2 )
2
2
2
2
2
(1.23)
Las variables son: r1 y r2 radios de los círculos primitivos, rb1 y rb2 radios de los círculos base, p y pb paso
circular y paso base, t espesor del diente, φ ángulo de presión
Tabla No 12.1
Posición relativa de
los ejes
Relación de transmisión
Tipos de engranajes
Paralelos
1a8
(máximo: 10)
- Engranajes simples:
Engranaje exterior, interior, engranaje con
rueda intermedia
- Ejes coaxiales:
Tren planetario
Engranajes simple en serie
Trenes planetarios simples en serie
Tren planetario especial
Engranaje simple
Engranaje cónico y engranaje paralelo en serie
Engranaje cónico o e sinfín y engranajes
paralelos en serie
Engranaje helicoidal para cargas leves
Engranaje corona - sinfin
Engranaje corona – sin fin y engranajes
paralelo en serie
Engranajes corona – sin fin y engranajes
paralelos en serie
>8
Concurrentes
1a6
6 a 40
> 40
Perpendiculares
pero no
concurrentes
1 a 20
20 a 60
60 a 250
> 250
Fuente: Henriot, 1968
12.7 TRENES DE ENGRANAJES
Un tren es una serie de cilindros o de conos rodantes, engranes, poleas, o disposiciones similares que sirven
para transmitir potencia de un eje a otro. La necesidad de utilizar más de un engranaje puede quedar
justificada por los motivos siguientes:
•
•
•
•
•
Obtención de una relación de transmisión muy alta. En el caso de obtener un reductor 1/20 de ejes
paralelos, la relación de transmisión está fuera de rango aconsejable con un único engranaje.
Necesidad de disponer de una gama de relaciones de transmisión. Es el caso de una caja cambios de un
vehículo.
Limitaciones del espacio disponible. Si se necesita transmitir el movimiento entre dos ejes paralelos muy
alejados utilizando solo dos ruedas dentadas, éstas tendrían un tamaño excesivo.
Transmisión del movimiento de un eje a diversos, simultáneamente. Por ejemplo, el motor paso a paso de
un reloj mecánico acciona simultáneamente las tres agujas que señalan los segundos, minutos y horas.
Obtención de un mecanismo con más de un grado de libertad. Es el caso del diferencial empleado en los
automóviles.
Existen 3 configuraciones de los trenes de engranajes: Tren simple, tren compuesto y tren planetario.
12.13
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
12.7.1 TREN SIMPLE
Un tren de engranajes es un conjunto de dos o más ruedas dentadas conectadas. El tren de tipo simple es aquel
en el que cada eje tiene sólo una rueda dentada, constituye el tren más básico, Fig 12.9. La relación de
velocidad del engranaje se encuentra desarrollando la relación de transmisión entre cada par de ruedas.
ω2
ω3
ω1
O1
ω4
O4
O3
O2
N3
N1
N4
N2
Fig 12.7 Tren de engranaje simple
i14 =
ω1 ω1 ω2 ω3  z2  z3   z4 
z
=
=  −  −   −  = − 4
ω4 ω2 ω3 ω4  z1  z2  z3 
z1
o en términos generales, la relación de transmisión de un tren simple es dada por la relación entre el número
de dientes de la última y la primera rueda dentada. El signo se obtiene observando el sentido de giro de ambas
ruedas, siendo positivo si giran en el mismo sentido.
12.7.2 TREN COMPUESTO
Para obtener una relación de transmisión mayor que 10:1, con engranajes rectos, helicoidales o cónicos, o una
combinación de ellos, se necesita de un tren de engranajes compuesto o un tren planetario. Un tren compuesto
es aquel en que al menos un eje tiene más de una rueda dentada. En el tren compuesto mostrado en la Fig.
11.8, las ruedas dentadas 2 y 3 están fijos sobre el mismo eje y tienen la misma velocidad angular.
ω4
ω2
ω1
3
O1
O2
O3
N3
N1
N4
N2
Fig. 11.8 Tren de engranaje compuesto
La relación de transmisión es ahora:
12.14
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA – FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
i14 =
ω1 ω1 ω3  z2   z4 
z z
=
=  −  −  = − 2 4
ω4 ω2 ω4  z1  z3 
z1 z3
Se puede considerar que la rueda 1 impulsa a la rueda 2, que la rueda 3 impulsa a la rueda 4 con lo que se
obtiene una expresión general del tren compuesto
i=
ωent
producto del número de dientes de las ruedas impulsadas
=±
ωsal
producto del número de dientes de las ruedas motoras
El signo de la relación de transmisión depende del sentido de giro de la rueda conducida con respecto al
sentido de la conductora.
Ejemplo 12.1
En la Fig 12.9 se presenta una combinación de tren compuesto y de tren simple. Los diámetros de las ruedas
dentadas son d1 = 175 mm, d2 = 375 mm, d3 = 225 mm, d4 = 750 mm, d5 = 225 mm, d6 = 400 mm, la
velocidad angular de la rueda 1 es ω1 = 5 rad/s en sentido horario. Determine la velocidad y dirección de
rotación de las ruedas 5 y 7.
ω1
3
1
2
5
4
6
Fig 12.9 Ejemplo de tren simple y compuesto
En el tren de engranajes compuestos entre las ruedas 1 y 4, la entrada es desde la rueda 1 y la salida es la
rueda 4, la relación de velocidades angulares es:
ω 4 z1 z 3 d1d 3 175 ⋅ 225
=
=
=
= 0,14
ω1 z 2 z 4 d 2 d 4 375 ⋅ 750
Por lo tanto, ω4 = 0,7 rad/s en sentido horario. En el tren simple entre las ruedas 4 y 6, la relación de
velocidades angulares es:
ω 6 z 4 d 4 750
=
=
=
= 1,875
ω 4 z 6 d 6 400
Por lo tanto, ω6 = 1,3125 rad/s en sentido horario.
12.7.3 TREN DE ENGRANAJES PLANETARIOS O EPICÍCLICOS
Un tren planetario es un mecanismo de dos 2 grados de libertad en el que alguna rueda no gira alrededor de un
eje fijo. Un tren planetario se dice que es simple si consta de 2 ruedas y un brazo porta-satélites coaxiales. Los
satélites forman un tren de ejes fijos al brazo y transmiten el movimiento entre las dos ruedas coaxiales. La
Fig 12.10 muestra un tren de engranajes planetario, en el que la rueda dentada 1 recibe el nombre de planeta o
planetario, la rueda 2 recibe el nombre de satélite. El brazo 3 mueve al satélite alrededor del planeta que es
una rueda dentada con centro de rotación fijo.
12.15
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
ω1
planeta
satelite
brazo
O1
3
B
N1
ω2
ωb
N2
Fig 12.10 Engranaje planetario o epicíclico
Si se analiza el sistema desde el brazo, no es más que un tren fijo. Tomando el mismo convenio de signos para
las velocidades angulares absolutas de los 3 elementos, se obtiene:
i12 =
ω1b ω1 − ωb
z
=
=− 2
ω2b ω2 − ωb
z1
Ejemplo 12.2
En la Fig 12.11 se muestra un engranaje planetario y su representación simbólica. El número de dientes de
cada rueda es: z1 =18, z2 = 24, z3 = 18, z4 = 42, z5 = 20, z6 = 40. La rueda 2 y el brazo son solidarios y giran
sobre unos cojinetes instalados en el eje B, la rueda 3 es solidaria con este eje. El eje A gira a 200 min-1 en
sentido antihorario al ser observado desde la parte superior. Determine la velocidad angular del eje C si el eje
B gira a 500 min-1 en sentido antihorario al ser observado desde la parte superior.
A
B
2
2
1
b
4
A
B
4
1
brazo
3
3
6
5
6
5
C
C
Fig 12.11 Ejemplo de tren planetario
La velocidad angular del brazo se obtiene al analizar el tren simple entre las ruedas 1 y 2. La relación de
velocidades angulares entre estas ruedas es dado por la siguiente expresión:
n2
z
=− 1
n1
z2
En este ejemplo, se considera positivo en sentido antihorario. La velocidad angular de la rueda 2, es:
n 2 = nb = −
18
200 = −150 min −1
24
12.16
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA – FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
El signo negativo indica que la rueda 2 y el brazo giran en sentido horario.
El tren planetario está compuesto por las ruedas 3, 4, 5 y 6, y por el brazo solidario a la rueda 2. Considerando
la rueda 3 como la rueda conductora y la 6 como la conducida, se obtiene la siguiente relación de transmisión:
i=
n3b n3 − nb 42 ⋅ 40 14
=
=
=
n6 b n6 − nb 18 ⋅ 20 3
La velocidad angular del eje C coincide con la velocidad angular de la rueda 6. De la anterior relación es
posible obtener esta velocidad:
n 6 = n b + (n 3 − n b ) / i = −150 + (500 − ( −150 ) ) /(14 / 3) = −10,71min −1
Ejemplo 12.3
En la Fig 12.12 se presenta una transmisión
compuesto por dos trenes planetarios. El primer tren
comprende el brazo y las ruedas 2, 3, 4 y la corona 1
que es fija, el segundo tren está compuesto por las
ruedas 2, 3, 4 y 5. Si la velocidad angular de la rueda
2 es ω2 = 3 rad/s en sentido horario, observado desde
la izquierda, determine la velocidad angular de la
rueda 5.
1 (80)
3 (32)
b
En esta transmisión se requiere analizar el primer
tren planetario ya que la corona es fija con lo que es
posible determinar la velocidad angular del brazo.
i 21 =
4 (22)
2 (26)
5 (36)
ω 2b ω 2 − ω b
32 ⋅ 80
640
=
=−
=−
ω1b ω1 − ω b
26 ⋅ 22
143
Tendiendo en cuenta que ω1 = 0 y después de
agrupar términos, se obtiene
ωb =
ω2
1 − i 21
=
3 rad / s
= 0,548 rad / s
1 − (−640 / 143)
Fig 12.12 Tren planetario doble
La velocidad angular del brazo es en el mismo sentido de la velocidad angular de la rueda 2. Con este dato, es
posible calcular la velocidad angular de la rueda 5. La relación de transmisión del segundo planetario es:
i 25 =
ω 2b ω 2 − ω b 32 ⋅ 36 288
=
=
=
ω 5b ω 5 − ω b 26 ⋅ 22 143
La velocidad angular de la rueda 5 es:
ω5 = ωb +
ω2 − ωb
i 25
= 0,548 +
12.17
2 − 0.548
= 1,269 rad / s
288 / 143
LECCIÓN No 12. ENGRANAJES
PROBLEMAS
12.1 En la Fig. P12.1 se muestra un tren de engranajes compuesto, planetario de varias etapas en la que se
indica el número de dientes de cada rueda dentada. El eje de motor sirve de apoyo para las ruedas 4 y5, la
rueda 1 y el brazo son fijos al eje del motor. Determine la velocidad angular de la rueda 8 si el motor gira a
1700 min-1 en sentido antihorario.
2 (40)
3(20)
8 (72)
6 (12)
7 (12)
motor
brazo
1 (15)
4 (35)
5 (48)
Fig. P.12.1 Tren compuesto y planetario
12.2 En el mecanismo de la Fig. P.12.2, se representa una transmisión en el que el eje de entrada es el eje
solidario con la ruedas 1 y 9; observado desde la derecha gira en sentido contrario a las manecillas del reloj
con una velocidad angular de 10 rad/s. Determine la velocidad angular y el sentido de giro de la rueda 11. El
número de dientes de las ruedas son z1 = 20, z2 = 40, z3 = 30, z4 = 40, z5 = z7 = 44, z6 = 20, z8 = 30, z9 = 100, z10
es un tornillo sin fin de doble entrada a izquierda, z11 = 60.
11
3
4
5
8
6
10
7
2
1
9
12.5 La velocidad angular del eje C es 10 rad/s en sentido horario visto desde la izquierda, y el eje B gira a
12,5 rad/s en sentido antihorario. Determine la velocidad angular del eje A. El número de dientes de las
ruedas son: z1 = 40, z2 = 20, z3 = 36, z4 = 12, z5 = 16, z6 = 64.
12.18
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA – FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
2
C
5
4
1
6
3
7
A
B
12.19