GUÍA-Area de una Superficie de Revolución

En esta sección se desarrolla una fórmula para expresar el área de un
sólido de revolución como una integral indefinida . En particular se
muestra que el área de la superficie de una esfera es cuatro veces el área de
una sección transversal que pasa a través de su centro (descubrimiento de
Arquímedes en el siglo III A.C)
Supongamos una función f(x) contínua en [a, b] .Asumiendo que f(x)
es ≥ 0 en ese intervalo .Cuando su grafica gira en torno al eje ox, barre una
superficie, como se muestra en la figura.
Para desarrollar una integral indefinida, para el área de esta
superficie, se utiliza la aproximación informal.
Consideremos una sección muy corta del grafico y=f(x) . Es casi
recta .Aproximemos por un pequeño segmento muy corto de longitud ds ,
un número muy pequeño .Cuando este pequeño segmento gira en torno al
eje x barre una franja angosta
Se puede estimar el área de esta franja, entonces se obtiene una
aproximación local del área de la superficie. A partir de la aproximación
local se puede establecer una integral definida para el área de la superficie
entera
Supóngase que la franja se corta y se estira, .Parece razonable que el
área de esta franja extendida, sea cercana al área de un rectángulo
extendido de longitud 2 π y y ancho ds, como se indica.
La aproximación local del área esta entonces dada por:
Aproximación local =2 π y ds
Que conduce a la formula:
si
Área de la superficie de revolución: ∫ 2πf ( x)ds
s0
Para la curva que gira en torno al eje ox , en el intervalo [a, b] . Esta dada
por:
b
ds
∫ 2πf ( x) dx dx
, como:
a
b
Esto da la fórmula:
ds
2
= 1 + ( f ´( x) )
dx
∫ 2π f ( x)
1 + [ f ´( x)] dx
2
a
Ejercicios de aplicación:
1.- Hallar el área de la superficie obtenida mediante rotación en torno al eje
y de la parte de la parábola y= x 2 , que se encuentra entre x=1 y x= 2
π 
3
2
3
2

( 17 − 5 
6


2.- hallar el área de la curva que gira en torno a un eje, según el intervalo
que se indica.
2.1.- y=x 3 en [1,2] , en torno al eje x
2.2.- y=x 3 en [1,2] , si la curva gira en torno al eje y=-1
2.3.- y=x 3 en [1,2] , gira en torno al eje y
3.- halle el área de la superficie de revolución obtenida mediante rotación
en torno al eje x de la parte de la curva y = e x , que se encuentra sobre
[0,1]
4.- y=2x 3 para x en [0,1] , en torno al eje x
5.- y=
1
para x en [1,2] , en torno al eje x
x
6.- y=x 2 , para x en [1,2] , en torno al eje x
4
3
7.- y= x , para x en [1,8] , en torno al eje y
2
3
8.- y= x , para x en [1,8] , en torno a la recta y=1
9.- Deducir la superficie de una esfera de radio R
10.- Deducir la superficie lateral de un cilindro de radio basal R y altura H
11.- Deducir la superficie lateral de un cono de radio basal R y generatriz g