6.10 propiedades de los puntos notables de un triángulo

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.
TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo.
En todo triángulo se cumple:
1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina
Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
circunferencia inscrita en el triángulo).
2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina
Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una
distancia de 2
3
del vértice y a 1 sobre el extremo de ésta sobre el lado
3
respectivo.
3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del
triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del
triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo).
4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no
necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro.
(Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar
geométrico y respecto a la proporcionalidad).
Demostración de 1
Sean ABC , AK bisectriz de BAˆ C , BS bisectriz de ABˆ C . (Ver figura 110).
 
 AK intersecta al Int BC en el punto T,
por el Teorema de la barra transversal.
(1).
 
 AS intersecta al Int AT en el punto P,
por el Teorema de la barra transversal.
(2).
 Determinemos PH1  AC , PH2  AB ,
Figura 110.
PH3  BC Teorema perpendicular única
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“bajada” desde un punto exterior. (3).

PH 1  PH 2 propiedad de la bisectriz
AT . (4).

PH2  PH3 propiedad de la bisectriz
BS . (5).
PH1  PH3 transitividad de (4) y (5).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al

(6).
 CP es bisectriz de ACˆ B , de (6)
propiedad de la bisectriz.
Figura 111.
En consecuencia P  Int ABC  , corresponde a la intersección de las tres bisectrices y
equidistan de los tres lados.
Demostración de 3.
Sean ABC , MK mediatriz de AB , NS mediatriz de BC (Ver figura 112).

MK intercepta a NS en un punto P. corolario del Teorema 34.
Figura 112.
Determinemos los segmentos PA , PB y PC . (Ver figura 113).

PA  PB propiedad de la bisectriz PM . (1).

PB  PC propiedad de la bisectriz PN . (2).
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
PA  PC transitividad de (1) y (2). (3).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
P está sobre la mediatriz de AC de (3) propiedad de la mediatriz.
Figura 113.
En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres
vértices.