Análisis de Carga y Esfuerzo - Completo - U

Diseño de Elementos Mecánicos
ME-5600
Capítulo 3
Análisis de Carga y Esfuerzo
Alejandro Ortiz Bernardin
www.cec.uchile.cl/~aortizb
Departamento de Ingeniería Mecánica
Universidad de Chile
Contenidos del Capítulo
• Diagramas de Cuerpo Libre
• Diagramas de Momento y Corte
• Esfuerzo Plano y Tridimensional
• Deformación Elástica
• Esfuerzo Uniformemente Distribuido
• Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión
∂
• Esfuerzos Cortantes para Vigas en Flexión
• Esfuerzos Debidos a Torsión
• Concentración de Esfuerzos
• Esfuerzos en Cilindros Presurizados
• Esfuerzos en Ajustes a Presión y por Contracción
• Esfuerzos Térmicos
• Esfuerzos
E f
de
d C
Contacto
t t
Análisis de Carga y Esfuerzo
Equilibrio y Diagrama de Cuerpo Libre
 La suma de todas las fuerzas y todos los momentos actuando en
un sistema en equilibrio es cero:
X
X
F =0
M =0
∂
 El objetivo de un diagrama de cuerpo libre es conocer todas las
f
fuerzas
y momentos
t que actúan
tú en un sistema
i t
 Un diagrama de cuerpo libre simplifica el análisis dado que permite
dividir en varias p
partes un sistema complejo
p j p
para analizarlas p
por
separado
Análisis de Carga y Esfuerzo
Equilibrio y Diagrama de Cuerpo Libre (Cont.)
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Diagramas de Corte y Momento en Vigas
 Cortar las vigas en cualquier punto
x1
 Fuerza de corte interna V y momento de flexión M
deben asegurar equilibrio
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Convención de Signos Para Corte y Momento
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Diagramas de Corte-Momento
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Diagramas de Momento en Dos Planos
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Diagramas de Momento en Dos Planos (Cont.)
∂
El momento total es la suma vectorial:
q
M = My2 + Mz2
En el punto B el momento total es:
MB =
p
80002 + 20002 = 8246 lbf-in
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo
• Esfuerzo normal es normal a una superficie y es denotado 
• Esfuerzo de corte tangencial es tangente a una superficie y es
denotado 
• Esfuerzo normal actuando hacia afuera de una superficie es un
esfuerzo de tracción
• Esfuerzo normal actuando hacia adentro de una superficie es un
∂
esfuerzo compresivo
• La
L unidad
id d d
de esfuerzo
f
en ell Si
Sistema
t
IInglés
lé es lib
libras por pulgadas
l d
cuadradas (psi)
• La unidad de esfuerzo en el Sistema Internacional (SI) es Newton
por metro cuadrado (N/m2)
• 1 N/m2 = 1 pascal (Pa)
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo (Cont.)
∂
• Representa el esfuerzo en un punto
• Dirección
Di
ió d
de llas coordenadas
d
d es arbitraria
bi
i
• Si se eligen coordenadas tal que el corte es cero, entonces se
obtienen los esfuerzos p
principales
p
Análisis de Carga y Esfuerzo
Componentes Cartesianas del Esfuerzo
• Definidas por tres superficies
mutualmente ortogonales en un punto
d t de
dentro
d un cuerpo
• Cada superficie puede tener
esfuerzos
f
de
d corte
t y esfuerzos
f
normales
∂
• El primer
i
subíndice
bí di iindica
di lla di
dirección
ió
de la normal a la superficie
• El segundo
d subíndice
bí di iindica
di lla
dirección del esfuerzo de corte
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano)
 Cortando el cubo de esfuerzos en un ángulo arbitrario y
balanceando esfuerzos, se llegan a las siguientes Ecuaciones de
Transformación para esfuerzo plano:
σ=
σx + σy σx − σy
+
cos 2φ + τxy sin 2φ
2
2
σx − σy
τ =−
sin 2φ + τxy cos 2φ
2
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano)
σ=
σx + σy σx − σy
+
cos 2φ + τxy sin 2φ
2
2
 Diferenciando la ecuación de arriba con respecto a φ e igualando
a cero, se obtiene la siguiente ecuación:
2ττxy
tan 2φ
φp =
σx − σy
∂
 Los dos valores para φ definen las dos direcciones principales
 El ángulo entre las direcciones principales es de 90º
 Los esfuerzos en las direcciones principales son los esfuerzos
principales (máximo y mínimo) y son esfuerzos normales
 Los esfuerzos de corte son cero en la superficie que define
alguna dirección principal
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano)
Substituyendo
tan 2φ
φp =
en
σ=
2τxy
σx − σy
σx + σy σx − σy
+
cos 2φ + τxy sin 2φ
2
2
∂
Se obtienen los dos valores no nulos para los esfuerzos principales
máximo
á i
y mínimo:
í i
sµ
¶2
σx − σy
σx + σy
2
σ1 , σ2 =
±
+ τxy
2
2
Observar que σ3 = 0
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano)
 De manera similar, se puede obtener que los esfuerzos de corte
máximos están en superficies ubicadas a ±45º desde las
direcciones principales
 Los dos valores de corte extremos son:
sµ
¶2
σx − σ y
2
τ1 , τ2 = ±
+ τxy
2
∂
Orientación x-y
Orientación esfuerzos
principales
Orientación esfuerzos de corte
máximo
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo Tridimensional General
 Los esfuerzos son en general 3-D
 Elementos en esfuerzo plano tienen una superficie con
esfuerzos nulos
 Para los casos en que no hay superficies con esfuerzos
nulos, los esfuerzos principales se encuentran
resolviendo las raíces de la∂siguiente ecuación cúbica:
σ 3 − (σx + σy + σz )σ 2
2
2
2
+(σx σy + σx σz + σy σz − τxy
− τyz
− τzx
)σ
2
2
2
−(σx σy σz + 2τxy τyz τzx − σx τyz
− σy τzx
− σz τxy
) = 0
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo Tridimensional General (Cont.)
 Siempre hay tres esfuerzos de corte extremos
τ1/2
σ1 − σ2
σ2 − σ 3
σ1 − σ 3
, τ2/3 =
, τ1/3 =
=
2
2
2
 El esfuerzo de corte máximo es el más grande
∂
 Los esfuerzos principales son usualmente ordenados
como σ1 > σ2 > σ3 en cuyo caso
σ 1 − σ3
τmax =
2
Análisis de Carga y Esfuerzo
Deformación Elástica
• Ley de Hooke
σ = Eε
• E es el Módulo de Young o Módulo de Elasticidad
• Tensión en una dirección produce contracción
∂ dirección perpendicular
(deformación negativa) en otra
• Para esfuerzo axial en dirección x,
σx
εx =
;
E
σx
εy = εz = −ν
E
•  es el Coeficiente de Poisson. ( ~ 0.3 para acero)
Análisis de Carga y Esfuerzo
Deformación Elástica (Cont.)
• Para un elemento de esfuerzo que desarrolla
σx , σy , σz simultáneamente,
1
εx = [σx − ν(σy + σz )]
E
1
∂ x + σz )]
εy = [σy − ν(σ
E
1
εz = [σz − ν(σx + σy )]
E
Análisis de Carga y Esfuerzo
Deformación Elástica (Cont.)
• Ley de Hooke para corte
τ = Gγ
• La deformación de corte (), conocida como deformación
i
ingenieril,
i il es ell cambio
bi que d
desarrolla
ll un á
ángulo
l recto
t d
de
un elemento de esfuerzo cuando
está sujeto a corte puro
∂
• G es ell Mód
Módulo
l Elástico
Elá ti d
de C
Corte
t o Mód
Módulo
l d
de Ri
Rigidez
id
• Para un material lineal, isotrópico y homogéneo,
E = 2G(1 + ν)
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo Uniformemente Distribuido
• Esfuerzo uniformemente distribuido se refiere
usualmente a tensión p
pura,, compresión
p
p
pura o corte
puro
• Para tensión y compresión,
compresión
∂
F
σ=
A
• Para corte puro,
V
τ=
A
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión
• Viga recta en flexión positiva
• Eje x es el eje neutral
• Plano xz es el plano neutro
• En este caso, el eje neutral coincide con el eje centroidal
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión (Cont.)
• El esfuerzo de flexión varía linealmente con la distancia
desde el eje neutral,
My
σx = −
I
• I es el segundo momento de área con respecto al eje z
I=
Z
y 2 dA
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión (Cont.)
• El esfuerzo de flexión máximo ocurre cuando y toma el
mayor valor,
Mc
M
=
σmax =
I
Z
• c es la magnitud del mayor valor de y
•Z=
I
es el módulo de sección
∂
c
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos Normales en Vigas - Supuestos
• Estado de flexión pura (no hay carga axial, ni torsional, ni
cargas
g de corte))
• El material es isotrópico y homogéneo
• El material obedece a la ley de Hooke
∂
• La viga
g está inicialmente recta con sección transversal
constante
• Las secciones transversales permanecen planas durante la
flexión
Análisis de Carga y Esfuerzo
Flexión en Dos Planos
• Considerar flexión en los planos xy y xz, simultáneamente
• En sección con dos planos de simetría
simetría,
σx = −
Mz y My z
+
Iz
Iy
∂
• Para una sección circular sólida, el esfuerzo de flexión
máximo es
(My2 + Mz2 )1/2 (d/2)
32
Mc
2
2 1/2
=
=
σmax =
(M
+
M
y
z)
4
3
I
πd /64
πd
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo de Corte en Vigas
∂
VQ
τ=
Ib
Z
c
dM
Q=
y dA
dx
y1
• El esfuerzo de corte transversal está siempre acompañado
por esfuerzo de flexión
V =
• En vigas cuya razón largo/alto es mayor que 10, el esfuerzo
de flexión es dominante y el esfuerzo de corte es despreciable
p
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo de Corte en Vigas (Cont.)
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos de Corte Transversal Máximos
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Torsión
• Momento co-lineal con el eje de algún elemento mecánico
• Una barra q
que está sujeta
j
a torque
q se dice q
que se
encuentra en torsión
• El ángulo
g
de g
giro,, en radianes,, para
p
una barra en torsión es
∂
Tl
θ=
GJ
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzo de Corte Torsional
• Para una barra redonda en torsión, el esfuerzo de corte
torsional es proporcional al radio 
Tρ
τ=
J
• El esfuerzo de corte torsional máximo se encuentra en la
superficie exterior de la barra redonda
∂
Tr
τmax =
J
Análisis de Carga y Esfuerzo
Supuestos para las Ecuaciones de Torsión
• Estado de torque puro
• Punto de interés alejado de cualquier discontinuidad o
punto de aplicación de torque
• El material obedece a la ley de Hooke
∂
• La sección transversal originalmente
g
p
plana y p
paralela,,
permanece plana y paralela
• Las ecuaciones anteriores son aplicables sólo para
secciones transversales redondas
Análisis de Carga y Esfuerzo
Potencia, Velocidad y Torque
• Potencia (H) es igual a torque (T) por velocidad
angular ()
H [W] = T [Nm] ω [rad/s]
• Conversión con velocidad en rpm
∂
H [W]
T [Nm] = 9.55
n [rpm]
• En términos de velocidad (V) y fuerza (F) tangenciales
H [W] = F [N] V [m/s]
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejercicio #2
Resolver el Ejemplo 3-8 del libro guía utilizando un
programa de elementos finitos. Validar/Comparar los
resultados computacionales
p
con los resultados teóricos
dados en el libro. Escribir un informe. Fecha Entrega:
Jueves 3 de Noviembre, en clases.
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Concentración de Esfuerzos
• Crecimiento localizado de esfuerzos cerca de
discontinuidades
• El factor teórico de concentración de esfuerzo es
σmax
Kt =
σ0
∂
τmax
Kts =
τ0
Análisis de Carga y Esfuerzo
Factor Teórico de Concentración de Esfuerzos
• Gráficos disponibles
para configuraciones
estándar
• Ver Apéndice A del
Shigley
• Muchos más
disponibles en el
Peterson’s
Peterson
s StressConcentration Factors
∂
• Kt crece a medida que
la discontinuidad es
más pronunciada
Análisis de Carga y Esfuerzo
Factor de Concentración Condición Estática y Dúctil
• Bajo carga estática y con materiales dúctiles
◦ Las fibras localizadas en la zona de concentración
fluyen (plastificación)
◦ La plastificación es localizada
∂ daño a menos que el
◦ La pieza en conjunto no sufre
esfuerzo de ruptura sea sobrepasado
◦ Efectos debido a concentración de esfuerzos son
comúnmente ignorados cuando se está en presencia de
carga estática con materiales dúctiles
Análisis de Carga y Esfuerzo
Técnicas para Reducir Concentración de Esfuerzos
• Usar radios más grandes
• Usar “zonas muertas” para disminuir tensiones
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo (Cont.)
∂
Fig. A−15 −1
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo (Cont.)
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo (Cont.)
∂
Fig.
g A−15−5
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos en Cilindros Presurizados
 Cilindro con radio interior ri,
radio exterior ro, presión interna pi
y presión externa po
 Esfuerzo radial y esfuerzo
tangencial
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos en Cilindros Presurizados (Cont.)
• Caso especial cuando po = 0
∂
• Si los extremos del cilindro están cerrados
cerrados, entonces hay
esfuerzo longitudinal
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos en Cilindros de Pared Delgada
• Espesor de pared menor o igual que 1/10 del radio
• Esfuerzo radial es muy
y pequeño
p q
con respecto
p
al esfuerzo tangencial
g
• Esfuerzo tangencial (promedio)
• Esfuerzo tangencial máximo
∂
• Esfuerzo longitudinal si extremos están cerrados
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ajustes a Presión y por Contracción
• Dos partes cilíndricas son
ensambladas con una
interferencia radial 
• La presión de interferencia es
∂
• Si los dos cilindros están
hechos con el mismo material
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos en Ajustes a Presión y por Contracción
• Aplicar las ecuaciones de esfuerzo para cilindros presurizados
• Para el cilindro interior, po = p y pi = 0
∂
• Para el cilindro exterior, po = 0 y pi = p
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos Térmicos
 Deformación
D f
ió normall en cuerpo sin
i restricción
t i ió d
debida
bid a expansión
ió
por cambio de temperatura
donde  es el coeficiente de dilatación térmica
 Esfuerzos térmicos ocurren cuando componentes son restringidos
para prevenir deformación durante el cambio de temperatura
∂
 Para una barra recta restringida en ambos extremos, un
i
incremento
t en lla ttemperatura
t
genera un esfuerzo
f
de
d compresión
ió
 Idénticamente, para una placa plana restringida en ambos
extremos
Análisis de Carga y Esfuerzo
Coeficientes de Dilatación Térmica
∂
Análisis de Carga y Esfuerzo
Esfuerzos de Contacto
• Dos cuerpos de superficies curvas
son presionados uno con otro
• Puntos
P t o líneas
lí
de
d contacto
t t se
transforman en áreas de contacto
• Aparecen
pa ece es
esfuerzos
ue os ttridimensionales
d e s o a es
conocidos como Esfuerzos de Contacto
o Esfuerzos de Hertz
∂
• Ejemplos
Ej
l
◦ Ruedas de ferrocarril en riel
◦ Acople entre dientes de engranajes
◦ Cojinetes de contacto rodante
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico
• Dos esferas sólidas de diámetros d1 y d2
son presionadas una con otra por una
fuerza F
• Área de contacto es un círculo de radio a
∂
• La distribución de presión es hemisférica
• La presión máxima es en el centro del
área de contacto
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico (Cont.)
• El esfuerzo máximo (compresivo) ocurre en el eje z
• Los esfuerzos principales, todos de compresión, son
∂
• El esfuerzo de corte máximo es
Análisis de Carga y Esfuerzo
Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico (Cont.)
 Esfuerzos principales y
esfuerzo de corte máximo
en función de la distancia
debajo de la superficie de
contacto.
 Notar
N
que max ocurre
cercano a la superficie
de contacto
∂
 El esfuerzo de corte
máximo es el responsable
de la fatiga
g superficial
(grietas) de los elementos
en contacto
Análisis de Carga y Esfuerzo