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V Campeonato Escolar
de Matemáticas
PRIMERA FECHA – 21 de Abril 2007
Soluciones
Cuarto Nivel
(1) Un número de cuatro dı́gitos se llama genial si el número formado por las decenas y unidades
sumado al formado por la unidad de mil y centena da como resultado el número formado por
los dos dı́gitos centrales. Por ejemplo, 2307 es genial pues 23 + 07 = 30.
(a) ¿Cuál es el menor número genial que es mayor que 2307?
(b) ¿Cuántos números geniales hay? Recordar que deben ser de cuatro dı́gitos.
Solución. Sea abcd un número genial de dı́gitos a, b, c, d. La condición de ser genial equivale a
10a + b + 10c + d = 10b + c ⇒ 10a + d = 9(b − c),
por lo cual deducimos que 10a + b es un múltiplo de 9. Si d = 0, entonces b − c serı́a múltiplo
de 10, lo cual es imposible a menos que b = c = 0 y a = 0 lo que es imposible. Como a > 0,
entonces sólo hay 8 posibilidades para el valor de 10a + d:
18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81,
de manera que 2 ≤ b − c ≤ 9.
Si, por ejemplo b − c = 9, la única posibilidad es b = 9, c = 0. Sólo hay una posibilidad en este
caso. Si, por ejemplo b − c = 8, hay dos posibilidades, b = 9, c = 1 y b = 8, c = 0. Siguiendo de
este modo vemos que el total de posibilidades son
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
Con lo que sabemos es fácil calcular el siguiente número genial luego de 2307. En este caso
b − c = 3 y b = 3, c = 0. Si cambiamos d también debemos cambiar a, por lo que el número
genial se agranda mucho. Si agrandamos c en 1 y b en 1 podemos ver que el número genial que
sucede a 2307 es el número 2417.
(2) En un triángulo ABC, con incentro I y circunferencia circunscrita K, la bisectriz del ángulo
∠ABC intersecta a K en el punto M . Además, llamamos D al punto de intersección de la
bisectriz del ángulo ∠ABC con la bisectriz exterior del ángulo ∠BAC.
Pruebe que M es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo AID.
Solución. Para demostrar este hecho nos basaremos en figura siguiente
Como las bisectrices interior y exterior de un ángulo son perpendiculares, el triángulo IAD es
rectángulo en A. Como en un triángulo rectángulo el circuncentro coincide con el punto medio
de la hipotenusa, debemos demostrar que IM = M D.
Afirmación: M I = M A. Como ambos ángulos subtienden el mismo arco M C, se tiene que
∠CBM = ∠M AC. De esta manera ∠M AI = ∠M AC + ∠CAI = ∠CBM + ∠IAB = ∠IBA +
∠IAB = ∠M IA, pues este último es el ángulo exterion no adyacente a ∠IBA y ∠IAB en el
triángulo IAB. Con esto, el triángulo M IA es isósceles de base IA y M I = M A.
Afirmación: M A = M D. Por ser rectángulo el triángulo IAD, tenemos que ∠M DA = 90◦ −
∠M IA = 90◦ − ∠M AI = ∠M AD. Luego el triángulo ADM es isósceles de base AD y M A =
M D.
Juntando lo probado en las dos afirmaciones se obtiene M I = M D, por lo que M es centro de
ID y luego circuncentro del triángulo AID.
Justifique su respuesta y sea cuidadoso y ordenado en su presentación.