Continuidad y derivabilidad (relación de ejercicios)

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
1º DE BACHILLERATO
1.-Dada la curva de ecuación y = x3 -3x. Calcular la ecuación de su recta tangente en el
punto de abscisa x= -1. Comprobar si existe algún punto de ella en el cual su derivada
valga 0. Soluc: ERT y = 2. f´(x) = 3x2 – 3 = 0 , en x = 1 y x= -1.
 a  x 2 si  2  x  0
2.-Dada la función f(x) =  x
. Calcular el valor de a para que sea
e  a si 0  x  2
continua. Comprobar en este caso si sería derivable en x = 0 , y calcular su función
derivada. Solución : a= 1/2. f´-(0) =0  f´+(0) = 1  no es derivable en 0.
 2 x si  2  x  0

La función derivada es : f´(x) =  no existe si x  0 .
e x
si 0  x  2

3.- Calcular el valor de k para que la derivada de la función f(x) =
k· x  1
, en el punto
2x  k
7
x = 2, valga 1. Solución: k =  .
4
4.- Dada la función f(x) = k·x3 -4x2+k·x-1. ¿ Cuánto debe valer k para que las tangentes
en los puntos A(0,f(0)) y B(1,f(1)) sean paralelas ?. Solución: k = 8/3.
2 x3  ax 2  1 si x  1

 a
si  1  x  1 .Determinar a y b para que sea
5.-Dada la función f(x) = 
 2x x1
si x  1
 e  2b
contínua, y comprobar su derivabilidad en x=1.
Solución : a=2, b=0, no derivable en x=1, porque f´+(1)=1  f´-(1)=-1.
6.- Calcular el valor de m para que la pendiente de la recta tangente a la función
m· x 2  1
f(x) =
, en el punto x = 1/2, valga 1. Solución: m =-2.Nota: se hace f´(1/2)=1.
2x  m
1
7.- Calcular la ecuación de la recta normal a la curva f(x) =
, en el punto x = 1.
1  x2
1
Solución: y- = 2·( x-1 ).
2
8.- Dada la función f(x) = k·x3+6x2 -k·x-18.a) ¿ Cuánto debe valer k para que las
tangentes en los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) sean paralelas ?.b) Determina las
ecuaciones de ambas tangentes. Solución: k = 4. b) y+12=20·(x-1), y+18=20·(x+2).
9.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación y = x3 -2x si
deben ser paralelas a la recta y = x. Nota: Se igualan la derivada de f a la pendiente de
la recta, que es m=1 que deben ser iguales por ser paralelas.
Solución: f´(x)=3x2 -2=1  x =  1. ERT y+1=1·(x-1), y-1=1·(x+1).
x  1
 k si

10.- Calcular el valor de k para que función sea continua f(x) =  1
si x  1

 x 1
en el punto x = -1. Solución: No existe valor de k porque la fun. es discont. asintótica.
11.- Determinar los valores de a y b para que la función f sea continua en todos sus
puntos, y comprobar su derivabilidad en x=0 y x = 2.
si x  0
 x

f(x) = 3 x  b si 0  x  2 .
 ax 2
si x  2

3
, b=0, no derivable en x=0, porque f´+(0)=-1  f´-(0)=3 , y, no derivable
2
en x=2, porque f´+(2)=3  f´-(2)=6.
Solución : a=
12.- Determinar los valores de a y b para que la función f sea continua en todos sus
puntos, y comprobar su derivabilidad en x=-1 y x = 0.
 2x  a
si x  1

f(x) = ax  b si  1  x  0 .
3 x 2  2
si x  0

3
ln 2
3
 f´-(-1)= , y, no
Solución : a= , b=2, no derivable en x=-1, porque f´+(-1)=
4
2
4
3
derivable en x=0, porque f´+(0)=  f´-(0)=0.
4
x2 1
13.-¿ En qué puntos la función f(x) = 3
no es derivable ?
x  7x  8
Solución : Df =  1 , no será continua en x=1, y por lo tanto no derivable.
x
será derivable en el intervalo 0,3 ? Razona la respuesta.
x 4
Solución : Df =  2, 2 , no será continua en x=2, puesto que 2  0,3 , y por lo
tanto tampoco será derivable en dicho intervalo.
14.-La función f(x) =
2
15.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x 3+3x-1
en el punto de abscisa x = 2. Solución: m =7.Nota: se hace f´(2)=7.
16.-Calcular la tasa de variación instantánea de la función f(x) = x2+2x-1 en el punto de
abscisa x = 3.
Solución: tvi(x=3) = f´(3)=8.
17.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
f(x) = x2 -5x-3 en el punto x=1.
1
Solución : ERT y+7=-3·(x-1), y ERN y+7= ·(x-1).
3
18.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x 2 en el
punto de abscisa x = 1. Solución: m = f´(1)=2.
19.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) =
punto de abscisa x = 3. Solución: m = f´(3)= 
6
en el
x
2
.
3
20.-Comprobar si la función f(x) = x3 -5x2+1 tiene algún punto en el cual su derivada
valga -7. Solución : x = 1.
21.- Comprobar si hay algún punto de la función f(x) = x2+7x-3 en el cual su tasa de
variación instantánea valga 11. Solución : sí x = 2.
22.- Comprobar si hay algún punto de la función f(x) = x2 -5x+2 en el cual la pendiente
de su recta tangente valga -11. Solución : sí en x = -3.
23.- Determinar los valores de m y n para que la función f sea continua en todos sus
puntos.
mx  n
si x  1

4
33

2
f(x) = 2mx  2n  3 si  1  x  2 . Solución : m =
, b=
.
7
7
2
3 x  3m  2n  1 si x  2

24.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f(x) =
punto x=1. Solución : ERT
2x
en el
3x  2
y-0=1·(x-0).
25.-Comprobar si es derivable la función f(x) = x  8  5x en el punto x = 8.
Solución : No derivable en x=8, porque f´ +(8)=-6  f´-(8)=-4.
26.- Comprobar si es derivable la función f(x) = x  5x  2 en el punto x = 0.
Solución : No derivable en x=0, porque f´+(0)=-6  f´-(0)=-4.
27.- Comprobar si es derivable la función f(x) = x 1  5x  3 en el punto x = 1.
Solución : No derivable en x=1, porque f´ +(1)=4  f´-(1)=6.
28.- Comprobar si es derivable la función f(x) = x  5  5x  7 en el punto x = -5.
Solución : No derivable en x=-5, porque f´+(-5)=4  f´-(-5)=6.
29.- Comprobar si es derivable la función f(x) = x  3  2 x  2 en el punto x = 3.
Solución : No derivable en x=3, porque f´ +(3)=1  f´-(3)=3.
30.- Comprobar si es derivable la función f(x) = x 1  7 x  2 en el punto x = 1.
Solución : No derivable en x=1, porque f´ +(1)=6  f´-(1)=8.
x  5 7x 1

en el punto x = 5.
3x
x
2
8
 f´-(5)=
Solución : No derivable en x=5, porque f´+(5)=
.
75
75
31.- Comprobar si es derivable la función f(x) =
32.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
x2 1
1
f(x) =
en el punto x=1.Solución : ERT y-0=2·(x-1), y ERN y-0= ·(x-1).
x
2
33.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
x3  2
9
2
f(x) =
en el punto x=2.Solución : ERT y-3= ·(x-2), y ERN y-3=
·(x-2).
x
2
9
34.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
x3  2
3 1
3
f(x) =
en el punto x=-1.Solución: ERT y+ = ·(x+1), y ERN y+ = 4 ·(x+1).
x 1
2 4
2
35.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
x2  2 x
1
f(x) =
en el punto x=-2.Solución : ERT y-0=2·(x+2), y ERN y-0= ·(x+2).
x 1
2
x2  5x
36.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f(x) = 3
en el
x 1
punto x=0. Solución: ERT y = 5x.
37.-Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =
punto no sería derivable? Solución: En x =
1
, en el punto x = 2. ¿ En qué
2x  5
5
por no ser contínua.
2
1
, en el punto x = 1. ¿ En qué
x 1
punto no sería continua? Solución: En x =1 sería continua. Además sería continua
siempre porque el denominador no se anula.
38.- Estudiar la continuidad de la función f(x) =
2
x 0
 x  3 si
39.- Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =  2
en el punto
si x  0
 x 3
x = 0. Solución : No derivable en x=0, porque f´ +(0)=0  f´-(0)=1.
 x 2  2 si
x 0
40.- Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = 
en el punto
si x  0
 x  2
x = 0. Solución : No derivable en x=0, porque f´ +(0)=0  f´-(0)=-1.
41.-¿Existe algún punto de la curva y = x3 -3x2 en el que su recta tangente sea paralela
al eje OX? Solución : Sí , en x=0 y x= 2.
42.-Dada la curva y = 3x2 -8x+2.¿En qué punto la la pendiente de su recta tangente
valdrá 4 ? Solución : pdte recta tg = f´+(x)=4  x=2  P=(2,-2).
43.- .-¿Existe algún punto de la curva y =6x2 +8 en el que su recta tangente forme con
1
el eje OX un ángulo de 45 o ? Solución : Sí , en x= . Nota: Pendiente recta tangente =
12
derivada f´+(x) = tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal =tg  =tg45o.
44.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
1
f(x) = 2 x en el punto x=0.Solución : ERT y-1=ln2·(x-0), y ERN y-1=
·(x-0).
ln 2
45.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
ex  3
f(x) =
en el punto x=0.Solución : ERT x-7y+4=0, y ERN 7x+y+4=0.
7
46.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación
f(x) = x2 -3x +2 en el punto de abscisa x=2.Solución : ERT x-y-2=0, y ERN
x+y+2=0.
 x 2 si
x 0

47.- Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =  x
en el punto
si x  0

1  x
x = 0. Solución : No derivable en x=0, porque f´ +(0)=1  f´-(0)=0.
48.- Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =
x
en el punto de abscisa x=1.
x2
Solución : Sí es derivable en x=1, y f´+(1) = -2.
49.- Calcula la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación f(x) = x en el punto
x=4.b) Calcular el ángulo que forma dicha normal con el eje OX.
Solución: ERN y = -4x+18. b)  =104o 2´.
50.-Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva de ecuación y=
x3 x 2
  2x
3 2
es paralela al eje OX.
Solución : f´(x) = 0  x = 1 y x = -2. Los puntos serán : P(1, 
7
10
) y P´(-2, ).
6
3