Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional
Teorema de Bayes para probabilidades
condicionales:
Variables aleatorias
Definición:
Sea S el espacio muestral de un experimento.
Una función real definida sobre el espacio S
es una variable aleatoria.
Las variables aleatorias puede ser:
- Discretas (número de valores finito o infinito
contable)
- Continuas (valores en la recta real)
Variables aleatorias
Ejemplo:
Se lanza una moneda 10 veces y sea X
(variable aleatoria) el número de caras que
se obtiene.
En este experimento X es 0,1,2,...,10
Variables aleatorias
Ejemplo:
Una moneda se lanza 5 veces. El
tamaño del espacio muestral es
entonces 25. Sea X la función real que
cuenta el número de caras de un
posible resultado.
Por ejemplo, para la serie s=cara, cara,
cruz, cara, cruz,
X(s)=3
Variables aleatorias
Cuando se específica una medida de
probabilidad sobre el espacio muestral se
pueden determinar las probabilidades
asociadas con los valores posibles que toma
la variable aleatoria X.
La colección de todas las probabilidades de X
es la distribución de X.
Variables aleatorias
Ejemplo:
Se lanza una moneda 10 veces y sea X la
variable aleatoria que corresponde al número
de caras que se obtienen.
Variables aleatorias
Función de probabilidad y soporte: Si una
variable aleatoria X tiene una distribución
discreta, la función de probabilidad de X se
define como la función f tal que para cada
número real x,
f(x)=Pr(X=x)
La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le
llama soporte de la distribución.
Variables aleatorias
Función de probabilidad:
Si X es una variable aleatoria discreta que
toma los valores x1,x2,... con probabilidades
p1,p2,..., respectivamente, la función de
probabilidad (pf) asigna probabilidades a
todos los posibles valores de X tal que
f(x)=Pr(X=x)=pi
si x=xi
f(x)=0
Además
de otra forma
Variables aleatorias
Función de probabilidad cumulativa:
Se define la función de probabilidad
cumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la
probabilidad que
:
Además con la función de probabilidad cumulativa
podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre
entre los valores
Variables aleatorias
3 ejemplos de distribuciones discretas:
- Distribución de Bernoulli
- Distribución uniforme
- Distribución binomial
Variables aleatorias
Distribución de Bernoulli:
Una variable aleatoria X que toma
únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con
Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución
de Bernoulli con parámetro p:
Pr(X=1)=p
y Pr(X=0)=1-p
Función de probabilidad:
Variables aleatorias
Distribución uniforme:
Sea a y b números enteros (
). Suponga
que la variable aleatoria es igualmente
probable para cada uno de los enteros a,...,b.
Se dice entonces que la variable aleatoria X
tiene una distribución uniforme sobre los
enteros a,...,b.
Variables aleatorias
Distribución Uniforme:
Teorema. Si X tiene una distribución uniforme
sobre los enteros a,...,b,la función de
probabilidad de X está dada por
Variables aleatorias
Distribución binomial:
Esta distribución describe procesos que
consisten de un número de intentos
independientes con dos posibles resultados.
Es usual llamar a los posibles resultados:
“éxitos” y “fracasos”
Variables aleatorias
Distribución binomial:
Digamos que tenemos los eventos A y B, con
Si la probabilidad de que ocurra un éxito es
Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un
fracaso es Pr(B)=q=1-p
Si se realizan n intentos, entonces la variable
aleatoria X está dada por:
X=número de veces que A ocurre (éxitos).
Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n
Variables aleatorias
Si se realizan n intentos y x son éxitos una
posible secuencia es:
Variables aleatorias
Distribución binomial:
La función de probabilidad de que en n
intentos x sean éxitos está dada por:
Comment: para
n=1, tenemos la fp de Bernoulli
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
Brown
Einstein
(~1820)
(1905)
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
- Brownian motion (movie)
- Caminante aleatorio 1D (movie)
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
Caminante aleatorio en 1D:
Una partícula salta una distancia l en un
tiempo (promedio)
Al tiempo t la partícula ha dado
saltos
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
Supongamos que R saltos han sido hacia la
derecha y L saltos hacia la izquierda.
De este modo
n= R + L
Ahora supongamos que la partícula dió m
saltos más hacia la derecha, es decir,
m=R-L
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
Usando la distribución binomial encontramos
que la función de probabilidad de encontrar a
la partícula en m, después de n saltos, es:
de donde:
Movimiento Browniano
(enfoque de Einstein-Smoluchowski)
Suponiendo que
con
utilizando la aproximación:
se encuentra que
o bien
Con coeficiente de difusión D:
y