Solucionario Cuadernillo Números complejos

SOLUCIONARIO
SCUACAC032MT22-A16V1
Ejercitación Números
complejos
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
EJERCITACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Ítem Alternativa
Habilidad
1
C
Comprensión
2
D
Comprensión
3
E
Comprensión
4
C
Comprensión
5
C
Aplicación
6
E
ASE
7
B
Aplicación
8
E
Aplicación
9
B
Aplicación
10
B
Comprensión
11
D
Aplicación
12
D
Aplicación
13
C
Aplicación
14
A
Comprensión
15
D
Aplicación
16
C
Aplicación
17
B
Aplicación
18
A
Aplicación
19
B
Aplicación
20
D
Aplicación
21
A
Aplicación
22
D
Aplicación
23
B
Aplicación
24
A
ASE
25
B
ASE
2
1. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
Un número imaginario corresponde a un número complejo en el cual su parte real es cero.
Si el número complejo es a + bi, su parte real, representada por a, es cero, por lo tanto
queda expresado por bi.
Por lo tanto, los números imaginarios corresponden a – 5i; 4i; 3i .
2. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo a su parte imaginaria.
Luego, si z  7  2i , entonces, su conjugado es z  7  2i .
3. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
En los números complejos la unidad imaginaria es i, es decir, 0 + i, lo que corresponde al
par ordenado (0, 1).
4. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
Sea el número complejo a  bi , entonces su conjugado es a  bi y el conjugado del
conjugado es a  bi .
Luego al sumar (a  bi)  (a  bi) se obtiene 2a  2bi , que equivale al doble del número
complejo inicial.
3
5. La alternativa correcta es C
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Descomponiendo en potencias de igual base: 𝑖 8𝑛+2 = 𝑖 8𝑛 ∙ 𝑖 2 = (𝑖 4 )2𝑛 ∙ 𝑖 2
Como i4 = 1 e i² = – 1, entonces (𝑖 4 )2𝑛 ∙ 𝑖 2 = 12n · – 1 = 1 · – 1 = – 1
Por lo tanto, el valor de i (8n 2) es – 1.
6. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
Resolviendo el binomio m  2i   m 2  4mi  4i 2  m 2  4mi  4 . Para que la expresión
2


corresponda a un número imaginario, su parte real debe ser cero, es decir m 2  4  0 .
Luego:
I) No es correcta, ya que 3² – 4 = 9 – 4 = 5
II) Es correcta, ya que 2² – 4 = 4 – 4 = 0
III) Es correcta, ya que (– 2)² – 4 = 4 – 4 = 0
Por lo tanto, solo con II y III la expresión (m – 2i)² es un número imaginario.
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
3  2i   2   1  3i  = 3  2i  2  6i = (3  2)  (2i  6i)  5  8i
Por lo tanto, el valor de la expresión es 5  8i .
4
8. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Desarrollando la expresión mediante la multiplicación término a término, con i2 = – 1, se
tiene que
 3i  45  2i   (3i  5)   3i  2i   4  5  4  2i   15i  6i 2  20  8i  14  23i
Por lo tanto, la parte real del producto entre los complejos es 14.
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
1  2  9   4  1  2  9  1  4  1
(Como
1  i )
 i  2 9 i  4 i
 i  2  3 i  2  i
 i  6i  2i
 5i
Por lo tanto, el valor de la expresión es 5i.
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
Interpretando el enunciado y desarrollando la expresión, se tiene que:


22  i   2 4  4i  i 2  24  4i  1  23  4i   6  8i
2
Por lo tanto, el valor de la expresión es 6  8i .
5
11. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Despejando z, se tiene que:
z
 2  3i
1  2i
z  2  3i 1  2i 
z  2  4i  3i  6i 2
z  2  4i  3i  6
z  2  6  4i  3i 
(Como
1  i )
z   4  7i
Por lo tanto, el valor de z es  4  7i .
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Reemplazando valor de z en la expresión
z 2  3z  2 = i  1  3i  1  2
2


= i 2  2i  1   3i  3  2
(Desarrollando potencia)
=  1  2i  1  3i  3  2
=  1  1  3  2   2i  3i 
( 1  i )
(Sumando términos semejantes)
= 1 5i
Por lo tanto, el valor de la expresión es 1 5i .
6
13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
 2i 3  5i  (2i    3   2i   5i   6i  10i 2  6i  10   1  6i  10
Por lo tanto, el valor de la expresión es 6i  10 .
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Comprensión
El triple de la suma entre z y w se traduce como 3 · (z + w). Luego:
3 · (z + w) =
3 · ((5 – 4i) + (3 + 6i)) =
3 · (8 + 2i) =
24 + 6i
(Reemplazando)
(Suma de complejos)
(Multiplicando)
15. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Como i4 = 1 e i² = – 1, entonces:
I)
Falsa, ya que 𝑖 5 ∙ 𝑖 6 = 𝑖 11 = 𝑖 4 ∙ 𝑖 4 ∙ 𝑖 2 · 𝑖 = 1 ∙ 1 ∙ −1 · 𝑖 = −𝑖
II)
Verdadera, ya que i²(i² – i³) = i4 – i5 = 1 – i4·i = 1 – i
III)
Verdadera, ya que
i 3  i 4  i 2 i 3 4  2 i 9
 32  1  i 91  i 8  1
3
2
i i
i
i
Por lo tanto, solo las igualdades II y III son verdaderas.
7
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Sumando ambos números complejos, se tiene:
1 − 4𝑖 + 6 − 𝑏𝑖 = 7 − 4𝑖 − 𝑏𝑖 = 7 – (4 + b)i
Para que sea un número real, la parte imaginaria debe ser cero (4 + b) = 0 si solo si
b=
– 4. Por lo tanto, para que la expresión corresponda a un número real, el valor de b debe ser
– 4.
17. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Desarrollando la expresión
3  mi  2n  3i   5  4i
3  mi  2n  3i  5  4i
3  2n  m  3  5  4i
Para el valor de n se igualan las partes reales, es decir:
3 − 2𝑛 = 5  −2𝑛 = 2  𝑛 = −1
Para el valor de m, se igualan las partes imaginarias de la igualdad, es decir:
𝑚 + 3 = −4  𝑚 = −7
Por lo tanto, el valor de m es – 7 y el valor de n es – 1.
8
18. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
(𝑖 12 − 𝑖 8 ) + (𝑖 3 − 𝑖)2 = (𝑖 4 )3 − (𝑖 4 )2 + (𝑖 2 · 𝑖 − 𝑖)2 . Como i4 = 1 e i² = – 1, resulta:
1³ – 1² + (– 1 · i – i)² = 1 – 1 + (– 2i)² = (– 2)²·i² = 4 · – 1 = – 4
Por lo tanto, el resultado de la expresión es – 4.
19. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Multiplicando ambos lados por i resulta z = 8i – 6i². Como i² = – 1, entonces:
z = 8i – 6 · – 1 = 8i + 6 = 6 + 8i
Por lo tanto, el valor de z es 6 + 8i.
20. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Si bien, es posible representar las coordenadas en el plano como un número complejo de la
forma z  a  bi , es más práctico trabajar mediante la suma vectorial.
2(− 4, 2) − 3(− 1, 3) + (− 2, − 5) = (− 8, 4) − (− 3,9) + (− 2, − 5)
= (− 8 + 3 − 2 , 4 − 9 − 5) = (− 7, − 10)
Por lo que el par que representa la expresión en el plano complejo es (– 7, – 10).
9
21. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Restando (3, – 5) a ambos lados, resulta:
z = (− 7, − 9) – (3, − 5) = (− 10, − 4) = − 10 – 4i
Por lo tanto, el valor de z es – 10 – 4i.
22. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Como hay raíces presentes en el denominador, entonces la expresión se debe racionalizar,
entonces:
4
∙
√2 + √2𝑖
√2 − √2𝑖 √2 + √2𝑖
=
4√2 + 4√2𝑖 4√2 + 4√2𝑖
=
= √2 + √2𝑖
2 − 2𝑖 2
4
Por lo tanto, la expresión equivalente a
4
2  2
es
2  2i .
23. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
Aplicación
Desarrollando la expresión, resulta:
z – 2 = (1 – 2i) · (2 + i) = 2 + i – 4i – 2i² = 2 – 3i + 2 = 4 – 3i
Sumando 2 a ambos lados, resulta:
z = 4 – 3i + 2 = 6 – 3i
Por lo tanto, el valor de z es 6 – 3i.
10
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
(1) − 2𝑎 = 𝑏. Con esta información, es posible determinar el valor de la suma entre ambos
complejos ya que
2 · z + w = 2 · (4 – ai) + 6 – bi = 8 – 2ai + 6 – (− 2a)i = 14 – 2ai + 2ai = 14
(2) 𝑏 = 2. Con esta información, no es posible determinar el valor de la suma de dichos
números complejos, ya que no es posible conocer el valor numérico de a.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
25. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números complejos
ASE
(1) n se encuentra entre veinte y treinta. Con esta información, no es posible calcular el
valor de la expresión i n  2 , ya que entre veinte y treinta hay nueve números naturales (sin
considerar los extremos), y la expresión tomaría distintos valores para cada valor de n.
(2) n es múltiplo de doce. Con esta información, es posible determinar el valor de la
expresión i n  2 , ya que si n = 12k (con k un número natural), entonces
i n2  i12k 2  i 4(3k )2  (i 4 ) 3k  i 2  13k  1  1  1  1.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
11