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Ondas - Curso 2014
Facultad de Ciencias - Instituto de Fı́sica
Práctico 4
Fecha de entrega de los ejercicios: Martes 13 de Mayo
1. A partir de las ecuaciones de estado, continuidad y Euler, junto con sus definiciones, demuestre
que el potencial de velocidades, la sobrepresión y la condensación cumplen con la ecuación de
ondas.
2. Encuentre el potencial de velocidades, la densidad de energı́a y la intensidad para las ondas:
a) p = P ei(ωt−kx)
b) p = P cos(ωt) cos(kx)
3. Para una onda plana con velocidad u = U ei(ωt−kx) , encuentre las expresiones para el número
de Mach U/c en función de:
a) P , ρ0 y c.
b) la condensación s.
4. Sea el potencial de velocidades de una onda esférica
Φ(r) =
A i(ωt−~k.~r)
e
r
a) Exprese la velocidad radial, la presión y la impedancia acústica.
b) Escriba una ecuación diferencial entre vr y p
5. (*) Velocidad del sonido:
a) Asumiendo que la presión del gas es poco modificada por la perturbación generada por una
onda, exprese la relación entre la sobrepresión p y la condensación s en términos del módulo
de compresibilidad B = ρ0 ( ∂P
∂ρ )ρ0 (Sugerencia: represente la relación con una expansión de
Taylor).
b) A partir de la deducción de la ecuación de onda para la sobrepresión encuentre una relación
entre la velocidad y el módulo de compresibilidad.
c) Asumiendo que el proceso de propagación de la onda es adiabático, halle la velocidad del
sonido para el aire (datos: ρaire (T = 273 K) = 1,239 kg/m3 , γaire = 1,402).
d ) Usando la ley de los gases ideales halle la dependencia de la velocidad del sonido con la
temperatura del gas.
6. (*) Se considerará la propagación de ondas de presión a lo largo de un tubo de sección transversal
A que varı́a lentamente.
a) A partir de la ecuación de continuidad de la masa obtenga la expresión para la sobredensidad
con sobrepresión cero:
∂ζ
ζ ∂A
ρ0 = ρ(1 +
+
)
∂x A ∂x
b) Obtenga la ecuación para la propagación ondulatoria:
∂2ζ
∂ 1 ∂
= c2 (
(Aζ))
2
∂t
∂x A ∂x
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c) Estudie los casos en que A(x) = A0 e2ax y A(x) = A0 x.
7. Un tubo rı́gido de largo L y sección S uniforme, está abierto en ambos extremos. Si el tubo
contiene aire, hallar el movimiento resultante luego se ser perturbado momentáneamente.
8. (*) Un tubo rı́gido de largo L y sección S uniforme, está abierto en el extremo x = 0 y cerrado en
el extremo x = L. Hallar el movimiento resultante luego se ser perturbado momentáneamente.
9. Derive una ecuación para el aumento adiabático de temperatura ∆T producido en un gas debido
a la propagación de una onda sonora. ¿Cuál es este aumento si la onda se propaga en aire a
20◦ C a presión normal y tiene una intensidad de 10 W/m2 ?
10. Una onda plana de 50 P a de presión efectiva y 1 kHz de frecuencia incide normalmente en la
frontera agua-aire desde el agua.
a) ¿Cuál es la presión efectiva de la onda plana transmitida hacia el aire?
b) ¿Cuál es la intensidad de la onda incidente en el agua y la transmitida hacia el aire?
c) Expresar en decibeles la razón de intensidad de la onda transmitida al aire con respecto a
la incidente en el agua.
11.
a) Una onda acústica plana de presión p1 = P01 ei(ωt−k1 x) incide normalmente desde un medio
I semi-infinito y se trasmite hacia un medio III a través de una capa II de caras paralelas
separadas una distancia L. Deducir los coeficientes de transmisión en potencia del medio
I al medio III y de reflexión en potencia hacia el medio I. Estudiar en particular para
qué relación entre las respectivas impedancias acústicas (z = ρc) la transmisión es total.
¿Cuál es el valor de la longitud de la onda en el medio II en ese caso?
b) Si cada medio tiene impedancias Z1 , Z2 y Z3 respectivamente, determinar la presión transmitida al medio III para los casos:
1) Z1 = Z3 y Z2 Z1
2) Z2 sin(k2 L) 1
12. Dada una onda plana de 2 kHz en el agua que incide normalmente en una placa de acero
(ρacero = 7850 kg/m3 , cacero = 6100 m/s) de 1,5 cm de espesor.
a) ¿Cuál es la pérdida por transmisión, expresada en decibeles, a través de la placa si al otro
lado también hay agua?
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b) ¿Cuál es el coeficiente de reflexión de potencia de la placa?
13. Ecuación de la Eikonal: Asuma que la velocidad de la onda sonora depende de la posición
1
∂2
(∇2 − c2 (x,y,z)
)p(x, y, z, t) = 0. Demuestre que p(x, y, z, t) = A(x, y, z)eiω(t−Γ(x,y,z)/c0 ) es
∂t2
solución si se asumen las condiciones:
ω2
∇2 A
A c2
∇2 Γ ωc
∇Γ.∇A ω
cA
Una de las ecuaciones resultante da la Ecuación de la Eikonal, donde se define el coeficiente de
c20
refracción como n2 = c2 (x,y,z)
. Interprete las aproximaciones realizadas.
14. Si la velocidad del sonido en el agua es de 1500 m/s en la superficie e incrementa linealmente
con la profundidad a un ritmo de 0,017 1s , encuentre la distancia a la cuál un rayo emitido
horizontalmente a una profundidad de 100 metros alcanza la superficie.
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