Descargar

Introducción a los Conceptos
Fundamentales de la Acústica
III
José Damián Mellado Ramı́rez
Marcos Vera Coello
28/9/2005
Índice
1. Propagación de las ondas sonoras
1.1. Definición. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ondas acústicas tridimensionales . . . . . . . . . . .
1.4. Amortiguación del sonido en una y tres dimensiones
1.5. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2. Soluciones de la ecuación de ondas
2.1. Ondas armónicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Impedancia acústica . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Intensidad acústica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ondas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Impedancia acústica . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Intensidad acústica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Suma de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Acústica geométrica: ondas y rayos . . . . . . . . . . .
2.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Ecuación fundamental de la acústica geométrica
2.4.3. La ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Transmisión y reflexión de las ondas acústicas . . . . . .
2.5.1. Coeficientes de transmisión y reflexión . . . . .
2.5.2. Incidencia normal en un fluido . . . . . . . . . .
2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido . . . . . . . . . .
2.6. Absorción de las ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Análisis en frecuencia
3.1. Superposición de soluciones . . . . . . . . .
3.2. Descomposición en armónicos . . . . . . . .
3.3. Funciones periódicas y desarrollo de Fourier .
3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier .
3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias
3.6. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . .
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
6
6
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
9
9
9
10
11
11
12
12
12
15
16
16
17
18
19
20
.
.
.
.
.
.
21
21
21
22
24
24
24
ÍNDICE
4. Modelos de Fuentes sonoras
4.1. Modelo de esfera pulsante
4.2. Fuente lineal sonora . . . .
4.3. Pistón pulsante . . . . . .
4.4. Factor de directividad . . .
4.5. Ejercicios y cuestiones . .
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
26
27
27
28
29
5. Sumario de términos
5.1. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Frecuencia, perı́odo, longitud de onda y tonos puros
5.3. Presión sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Velocidad de las partı́culas fluidas . . . . . . . . .
5.5. Intensidad, potencia y densidad de energı́a sonora .
5.6. Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Adición de niveles de ruido . . . . . . . . . . . . .
5.9. Sonoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
30
31
31
32
33
33
35
35
Referencias
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
Capı́tulo 1
Propagación de las ondas sonoras
1.1. Definición. Tipos de ondas
Una onda es una perturbación de una magnitud fı́sica que se propaga en el espacio y
en el tiempo. Matemáticamente se expresa como una función de la posición y del tiempo,
pudiendo corresponder a magnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, los
impulsos eléctricos que rigen los latidos del corazón, o incluso la probabilidad de encontrar
una partı́cula en mecánica cuántica. Otro ejemplo de ondas son las ondas elásticas (longitudinales o transversales) que aparecen en los sólidos. Nosotros nos centraremos aquı́ en las
ondas de presión correspondientes a las ondas sonoras. En este caso, la función representa
las perturbaciones de presión que se propagan en el seno de un fluido formando lo que se
conoce como campo acústico.
Veamos qué caracterı́sticas debe tener una función del espacio y del tiempo, que en principio no tiene por qué propagar información, para que represente efectivamente una onda
que se propaga.
Empecemos por el caso mas sencillo. Imaginemos una función que, en lugar de depender
de la posición y del tiempo por separado, lo hace a través de la combinación ψ = x − at,
esto es
f (x, t) = g(x − at) = g(ψ).
donde c es una constante y la función g(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Pues
bien, para cada valor de ψ existe un único valor de g (en nuestro caso tendrı́amos un valor
de la presión). Sin embargo, a cada valor de ψ no le corresponden unos valores de t y x
determinados unı́vocamente, sino todos los que cumplan x − at = ψ. De este modo, un
cierto valor de g(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio.
Analicemos con un poco más de detalle en qué consiste en este caso la propagación.
Recordemos que g se mantiene constante si ψ permanece constante, y esto ocurre sobre la
recta x − at = cte. Desplazarse sobre esta recta una distancia ∆x supone esperar un tiempo
∆x = a∆t, pues de no ser ası́ dejarı́amos de estar sobre la recta. Conforme pasa el tiempo,
permanecer en la recta supone moverse a velocidad a, en cuyo caso g es una constante. Esto
es, un valor dado de g se propaga a velocidad a. Este es el sentido de la propagación de las
funciones de la forma g(x − at). A las funciones de esta forma se las llama ondas.
1
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
2
De manera similar, también se les puede llamar ondas a funciones de la forma f (x, t) =
A(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor de f se propaga. La diferencia respecto al caso anterior
es que la onda se deforma debido a que los coeficientes A(x, t) y a(x, t), que representan respectivamente la amplitud de la onda y la velocidad de propagación, ya no son constantes.
El criterio para poder llamar onda a un proceso fı́sico se hace un poco difuso a medida que
A(x, t) y a(x, t) empiezan a depender fuertemente de la posición y del tiempo.1
Como ejercicio, se recomienda al alumno que dibuje en función de la distancia y para
varios instantes de tiempo una magnitud arbitraria que represente una onda en el sentido
arriba explicado.
f(x-ct)
1
0.5
0
10
10
5
x
5
t
Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma.
A(x,t)f(x-c(x,t)t)
1.5
1
0.5
0
10
x
10
5
5
t
Figura 1.2: Onda viajera que se deforma.
1
En estas notas consideraremos únicamente ondas cuya velocidad es independiente de la longitud de onda,
conocidas como ondas no dispersivas. Por el contrario, las ondas cuya velocidad varı́a con la longitud de onda
se denominan dispersivas.
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
3
1.2. La ecuación de ondas
Para derivar la ecuación que gobierna la propagación de las ondas tomaremos aquı́ el
ejemplo más sencillo: la propagación del sonido en una dimensión. Vamos a ocuparnos
aquı́ de la propagación en gases, pues la derivación para lı́quidos y sólidos es completamente
análoga. En resumidas cuentas, la fı́sica del fenómeno de las ondas sonoras comprende tres
procesos:2
1. El gas se mueve y varı́a la densidad.
2. La variación de densidad provoca variaciones de presión.
3. Las variaciones de presión generan movimientos en el gas, y volvemos al punto 1.
Consideremos primero el punto 2 relacionando las variaciones de densidad con las de
presión. Antes de que llegue la onda, tenemos equilibrio a una presión p0 y una densidad
ρ0 . En general, la presión p del gas está ligada con la densidad por una relación del tipo
p = f (ρ) y, en particular, la presión p0 de equilibrio está dada por p0 = f (ρ0 ). En el caso del
sonido, las variaciones de presión, p ′ = p − p0 , y de densidad, ρ′ = ρ − ρ0 , respecto a los
valores de equilibrio son extremadamente pequeñas.3 Podemos entonces desarrollar en serie
de Taylor las variaciones de presión en función de las variaciones de densidad y quedarnos
con el primer término del desarrollo:
∂p
′
p =
ρ′
(1.1)
∂ρ 0
Como establece el principio de estado de la termodinámica [6], cualquier variable termodinámica de un sistema simple compresible (en nuestro caso un gas) puede determinarse como
función de dos propiedades termodinámicas independientes. La relación anterior serı́a entonces incorrecta, pues faltarı́a sumar la derivada de la presión respecto a una segunda variable multiplicada por las variaciones de dicha variable. Sin embargo, realizando estimaciones
de órdenes de magnitud se puede demostrar que en una onda sonora el tiempo en que una
cierta porción de aire se comprime, y por lo tanto se eleva su presión y temperatura, es mucho más corto que el tiempo que tardarı́a esa porción de aire en transmitir calor por difusión
a otras regiones vecinas menos comprimidas y por tanto mas frı́as. Esto quiere decir que el
proceso de compresión es tan rápido que no ha tenido tiempo de ceder ni recibir calor de los
alrededores, lo que nos permite suponer que los procesos de compresión y expansión del gas
2
La derivación de la ecuación de ondas que se presenta aquı́ se basa en la discusión sobre las ondas sonoras
que realiza Feynman [3, Cap. 47].
3
Para el oı́do humano, el umbral de sonido, por debajo del cual no se percibe sonido alguno, corresponde a
perturbaciones de presión, p ′ = p − p0 , del orden de p ′ /p0 ∼ 10−10 , mientras que perturbaciones tales que
p ′ /p0 ∼ 10−1 corresponden al umbral de dolor. En ambos casos, las variaciones de presión son mucho más
pequeñas que la propia presión, es decir, p ′ /p0 ≪ 1. (Una discusión más detallada de las escalas espaciales y
temporales y del orden de magnitud de las perturbaciones que aparecen en las ondas sonoras puede encontrarse
en el libro de Barrero y Pérez-Saborid [4, Cap. 11].)
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
4
ξ(x, t)
Nuevo
Volumen
Volumen
Original
x
x + ∆x
x + ξ(x, t)
x + ∆x + ξ(x + ∆x, t)
ξ(x + ∆x, t)
Figura 1.3: El desplazamiento del gas en x es ξ(x, t), y en x + ∆x es ξ(x + ∆x, t). El
volumen original de aire para un área unitaria de la onda plana es ∆x; el nuevo volumen es
∆x + ξ(x + ∆x, t) − ξ(x, t).
en la propagación de las ondas sonoras suceden de manera adiabática. La adiabaticidad es
muy importante porque implica que se conserva la entropı́a, de manera que si escribimos la
presión en función de la densidad y la entropı́a, p = p(ρ, s), la variación de la densidad se
produce a entropı́a constante y podemos despreciar el término que falta en la ecuación (1.1).
Consideremos a continuación el punto 1 para tratar de relacionar los desplazamientos del
gas respecto a su posición inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas.
Supondremos que x es la posición de equilibrio de una partı́cula fluida, es decir la posición
que tenı́a dicha porción de fluido antes de que ninguna onda pasara por allı́; esta es la posición a la que regresará la partı́cula después de que pasen las ondas.4 Como comentamos más
arriba, nos centraremos en el caso de propagación de ondas unidimensionales y cuando escribamos alguna relación entenderemos que estamos hablando de magnitudes por unidad de
área de la onda plana. Vamos a llamar ξ(x, t) al desplazamiento en tiempo t debido al sonido
de la partı́cula fluida respecto de su posición de equilibrio, x; nótese que debido a la pequeña
intensidad de las ondas de presión, este desplazamiento va a ser muy pequeño. La cantidad
de masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porción de fluido
que se encuentra entre x y x + ∆x era ρ0 ∆x. Como se muestra en la Fig. 1.3, cuando la onda
esta pasando, la partı́cula fluida que inicialmente se encontraba en el punto x ocupa ahora
la posición x + ξ(x, t), y la partı́cula que se encontraba en x + ∆x ocupa ahora la posición
x + ∆x + ξ(x + ∆x, t). La cantidad de masa que hay ahora entre estas dos partı́culas fluidas
puede expresarse en la forma ρ[x + ∆x + ξ(x + ∆x, t) − x − ξ(x, t)], donde ρ es la densidad
media de la región de fluido considerada en el instante t. Si tomamos ∆x muy pequeño la
relación anterior se convierte en una diferencial, e igualando la masa inicial y final tenemos
ρ′ = −ρ0
4
∂ξ
∂x
(1.2)
Hasta ahora y de aquı́ en adelante estamos suponiendo que no existe movimiento convectivo del gas,
solamente movimiento ocasionado por las ondas sonoras; evidentemente, si hubiera corrientes convectivas las
partı́culas fluidas se moverı́an y el movimiento del sonido habrı́a que superponerlo al movimiento convectivo
del fluido.
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
5
La expresión anterior se puede generalizar fácilmente al caso de una onda plana que se
propaga en una dirección arbitraria del espacio dada por el vector de desplazamiento ξ(x, t),
en cuyo caso hubiéramos obtenido
ρ′ = −ρ0 |∇ξ|
(1.3)
donde ∇(·) = ∂(·)/∂x~i + ∂(·)/∂y ~j + ∂(·)/∂z ~k representa el operador nabla.
Para terminar consideremos el punto 3. Necesitamos una ecuación para describir el desplazamiento producido por las variaciones de presión. Para ello aplicaremos la segunda ley
de Newton para relacionar las variaciones espaciales de presión con las aceleraciones generadas en el fluido. En resumen, la resultante de las fuerzas exteriores (de presión) que actúan
sobre la región de fluido situada entre x y x + ∆x es igual al producto de la masa de fluido
contenida en el elemento por la aceleración que experimenta el fluido. Procediendo de un
modo similar al utilizado para derivar las dos ecuaciones anteriores (se deja como ejercicio
al lector), se obtiene
∂2ξ
∂p ′
= −ρ0 2
(1.4)
∂x
∂t
Al igual que antes, resulta fácil generalizar esta expresión para el caso de una onda plana que
se propaga en una dirección arbitraria del espacio
∇p ′ = −ρ0
∂2ξ
∂u
= −ρ0
2
∂t
∂t
(1.5)
Combinando las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.4) obtenemos finalmente la ecuación de
ondas para el desplazamiento ξ(x, t):
2
∂2ξ
∂p
2∂ ξ
2
= c0 2
siendo
c0 =
,
(1.6)
2
∂t
∂x
∂ρ S
donde hemos añadido el subı́ndice S a la constante (∂p/∂ρ)S para enfatizar que la derivada
ha de tomarse a entropı́a constante. La raı́z cuadrada de esta cantidad, que tiene dimensiones de velocidad, representa la velocidad de propagación de las pequeñas perturbaciones
o velocidad del sonido, y se suele designar por c0 . Es fácil comprobar que las variaciones
de densidad, presión y velocidad, ρ′ , p ′ y ∂ξ/∂t, satisfacen todas exactamente la misma
ecuación de ondas que el desplazamiento, ξ. Pero como la magnitud que se puede medir más
fácilmente de las tres es la presión, a partir de ahora hablaremos de ondas de presión.
Veamos por qué se llama a esta ecuación diferencial la ecuación de ondas. El motivo
es muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos visto,
p ′ = f (x ± at), comprobamos que la ecuación (1.6) se cumple si la velocidad de la onda a
coincide con la velocidad del sonido c0 . Esto nos dice que las soluciones a la ecuación (1.6)
son efectivamente ondas que se mueven a velocidad c0 , motivo por el cual a esta constante
se la denomina velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuación (1.6) son por tanto:
p ′ = f (x ± c0 t)
(1.7)
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
6
f(r-ct)/r
1
0.5
0
-0.5
20
15
10
5
y
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
5
0
10
15
20
x
Figura 1.4: Variaciones de presión de una onda acustica tridimensional sin viscosidad.
1.3. Ondas acústicas tridimensionales
Si hubiéramos realizado el análisis de la sección anterior suponiendo que las ondas se
propagan radialmente de manera isótropa en el espacio a partir de un punto formando esferas
hubiéramos obtenido, en lugar de (1.6), la ecuación de ondas tridimensional
2 ′
∂2p ′
∂ p
∂2p ′ ∂2p ′
2
− c0
+
+
=0
(1.8)
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
Las soluciones a la ecuación diferencial (1.8) que sólo dependen del radio son del tipo
p ′ = f (r ± c0 t)/r
(1.9)
donde r es la distancia radial recorrida por la onda. (Para el alumno interesado, esta solución se obtiene
introduciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esféricas ∆ ≡
1 ∂
2 ∂
r ∂r y haciendo el cambio P = p ′ r.)
r 2 ∂r
1.4. Amortiguación del sonido en una y tres dimensiones
Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9), observamos una diferencia esencial entre
ambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan (salvo por efectos debidos
a viscosidad, que aquı́ estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales sı́.
Estas últimas avanzan, pero la amplitud de las perturbaciones de presión decae con el inverso
de la distancia al origen de la perturbación.
1.5. Ejercicios y cuestiones
1. Explique en qué consiste la linealidad de la ecuación de ondas acústica. Comente
qué pasarı́a si las variaciones de presión y densidad fueran del mismo orden que la
presión y densidad atmosféricas.
CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS SONORAS
7
2. Explique por qué una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas débil mientras
que una onda plana mantiene su amplitud.
3. Definiendo la impedancia acústica como Z = p ′ /u, calcule el valor de esta impedancia
para una onda plana unidimensional de la forma
u = sin[w(x/c − t)].
Calcule este mismo valor para una onda acústica tridimensional de la forma
u = sin[w(r/c − t)]/r.
Nota: en el siguiente capı́tulo se explicará cómo es mas útil ver las soluciones de onda
planas como funciones de variable compleja, definiéndose a continuación la impedancia compleja acústica, que en general será una cantidad compleja.
4. Represente gráficamente una onda tridimensional en el ordenador.
Capı́tulo 2
Soluciones de la ecuación de ondas
2.1. Ondas armónicas planas
Como se vio en el capı́tulo anterior, las ondas armónicas planas son soluciones de la
ecuación de ondas de la forma
p ′ = A cos(wt − kx + φ).
(2.1)
Es común utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonométricas para representar estas
ondas, puesto que es mucho más fácil operar con exponenciales que con senos y cosenos. El
cálculo elemental de variable compleja establece que
exp(iθ) = cos θ + i sen θ,
(2.2)
luego la onda plana (2.1) se puede escribir como la parte real de una función compleja
p ′ = Re{A exp[i(wt − kx + φ)]} = Re{A′ exp[i(wt − kx)]},
(2.3)
A′ = A exp(iφ)
(2.4)
donde
representa una amplitud compleja. Esta notación es tan utilizada que normalmente cuando
escribimos una onda en forma compleja se sobreentiende que se toma la parte real, por lo
que se suele escribir
p ′ = A′ exp[i(wt − kx)],
(2.5)
sabiendo que la presión es en realidad la parte real de esta expresión. La forma compleja
también puede utilizarse para expresar la velocidad u, la densidad ρ′ y todas las demás variables que satisfacen la ecuación de ondas, sobreentendiéndose siempre que se debe tomar la
parte real.
Gracias a la linealidad de la ecuación de ondas cualquier suma de ondas planas es también
solución de la ecuación de ondas. Esta propiedad será analizada con mayor detalle en el
capı́tulo siguiente, en el que se expondrá la teorı́a de descomposición de una onda arbitraria
como superposición de ondas planas (armónicos).
8
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
9
2.1.1. Impedancia acústica
En el capı́tulo anterior obtuvimos la ecuación de cantidad de movimiento para el campo
acústico
∂u
ρ0
= −∇p ′ .
(2.6)
∂t
Para una onda plana expresada en su forma compleja, esta ecuación permite escribir
u=
p′
.
ρ0 c0
(2.7)
Se define la impedancia acústica, Z, como la cantidad, en general compleja,
Z=
p′
.
u
(2.8)
Sin embargo, según la ecuación (2.7), para una onda plana la impedancia acústica es una
cantidad real
Zonda plana = ρ0 c0 .
(2.9)
2.1.2. Intensidad acústica
Se define la intensidad acústica, I, como la media temporal en un punto del espacio del
producto de la presión por la velocidad (ambas magnitudes reales), es decir
Z
1 T
′
I = < Re[p ] Re[u] >T =
Re[p ′ ] Re[u] dt.
(2.10)
T 0
Esta cantidad representa la cantidad de energı́a que atraviesa por unidad de tiempo (potencia)
la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Por definición
la intensidad acústica es siempre una magnitud real.
Para una onda plana tenemos
Z
1 T 2 cos2 (wt − kx + φ)
A2
Ionda plana =
A
dt =
T 0
ρ0 c0
2ρ0 c0
2.2. Ondas esféricas
Las ondas esféricas son soluciones con simetrı́a esférica de la ecuación de ondas tridimensional
∂2p ′
− c20 ∇2 p ′ = 0.
(2.11)
∂t2
Como vimos en el capı́tulo anterior, tienen la forma general
1
1
p ′ = f1 (c0 t − r) + f2 (c0 t + r),
r
r
(2.12)
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
10
lo que se puede comprobar fácilmente si escribimos la parte radial del laplaciano en esféricas
∇2r =
∂2
2 ∂
+
.
∂r 2 r ∂r
(2.13)
y sustituimos (2.13) y (2.12) en la ecuación de ondas (2.11). El primer término de la solución
general (2.12) representa una onda divergente que se propaga radialmente hacia todos lados
a partir del origen de coordenadas, mientras que el segundo término representa una onda que
converge hacia el centro.
Vemos que las ondas planas no son solución de la ecuación de ondas esférica, pero sin
embargo sı́ que son soluciones funciones de la forma
p′ =
A
cos(wt − kr + φ)
r
que, como las ondas planas, también pueden representarse en forma compleja
′
A
′
exp[i(wt − kr)]
p = Re
r
(2.14)
(2.15)
donde A′ = A exp(iφ) vuelve a ser una amplitud compleja. Conviene hacer notar que estas
ondas también pueden expresarse como superposición de ondas planas siempre que hagamos
esta superposición para cada punto fijo del espacio, en cuyo caso r será fijo y su contribución
podrá absorberse en el coeficiente A′ .
2.2.1. Impedancia acústica
Para calcular el campo de velocidades en el caso de ondas esféricas introducimos (2.15)
en la ecuación de cantidad de movimiento
ρ0
∂u
∂p ′
A′
A′
=−
= 2 exp[i(wt − kr)] + i k exp[i(wt − kr)],
∂t
∂r
r
r
e integramos una vez con respecto al tiempo, de donde se obtiene
A′
1
i
1 − i/kr
′
u=
exp[i(wt − kr)]
−
=p
r
ρ0 c0 ρ0 c0 kr
ρ0 c0
(2.16)
(2.17)
lo que nos permite observar que en este caso la impedancia acústica
Z=
p′
ρ0 c0
(kr)2
kr
=
= ρ0 c0
+ iρ0 c0
.
2
u
1 − i/kr
1 + (kr)
1 + (kr)2
(2.18)
no es real, sino compleja.
A la parte real de la impedancia se le denomina resistencia acústica especı́fica, y a la
parte imaginaria se le llama reactancia acústica especı́fica. Cuando kr → ∞ la impedancia
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
11
acústica tiende a contener tan solo la parte real, que además coincide con la de las ondas
planas. Podemos calcular el módulo y la fase de la impedancia de una onda esférica,
Z = |Z| exp(iψ),
donde
|Z| = p
(2.19)
ρ0 c0 kr
= ρ0 c0 cos ψ,
1 + (kr)2
#
"
#
"
kr
1
= arccos p
.
ψ = arcsen p
1 + (kr)2
1 + (kr)2
(2.20)
(2.21)
2.2.2. Intensidad acústica
La intensidad acústica de una onda esférica viene dada por (el resultado es trivial y se
deja como ejercicio al lector)
Z
1 T
A2
I=
Re[p ′ ]Re[u]dt =
,
(2.22)
T 0
2ρ0 c0 r 2
que como puede observarse decae con el cuadrado de la distancia al origen. Desde un punto
de vista fı́sico, esto se debe al hecho de que el flujo total de energı́a asociado a la onda se
reparte sobre una superficie cuyo área crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia
al origen. Obsérvese que la expresión para la intensidad coincide con la de una onda plana
si definimos una amplitud de presión que decaiga linealmente con la distancia al origen,
P = A/r, en cuyo caso
P2
.
(2.23)
I=
2ρ0 c0
2.3. Suma de sonidos
En esta sección estudiaremos la suma en un punto del espacio de los sonidos provenientes
de dos o más fuentes distintas. En general los sonidos tendrán distinta amplitud, fase y frecuencia. Debido a la linealidad de la ecuación de ondas, la presión resultante en dicho punto
será la suma de las presiones individuales
p ′total
=
n
X
j=1
Re[A′j
exp(iwj t)] =
n
X
Ai cos(wi t + φ),
(2.24)
i=1
aunque con carácter general no podremos decir nada sobre la amplitud de este sonido. Sin
embargo, la intensidad del sonido resultante será (en este caso T ya no representa el perı́odo,
sino un intervalo de tiempo suficientemente grande como para que estén incluidos muchos
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
ciclos de todos los sonidos)
" n
# " n
#
Z
X
X
1 T
I=
Re
p i′ Re
ui dt
T 0
i=1
i=1
Z T
Z
n
n X
n
X
X
1 T
1
′
=
Re[p i ]Re[ui ]dt +
Re[p ′i ]Re[uj ]dt.
T
T
0
0
i=1
i=1 j=1
12
(2.25)
j6=i
El primer término de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos,
y es un término siempre positivo. El segundo término representa una suma de integrales de
productos de pares de funciones periódicas de frecuencias que no son iguales. Es casi imposible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matemáticamente el conjunto de valores
de frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen cero en el espacio de frecuencias). De este modo, en primera aproximación la intensidad total podremos
calcularla simplemente como la suma de las intensidades de los sonidos individuales, es decir
n
X
A2i
.
I≃
2ρ0 c0
i=1
(2.26)
Sin embargo, si los sonidos son producidos por fuentes idénticas la frecuencia será la misma,
con lo que si en algún punto del espacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad del
sonido resultante ya no será igual a la suma de las intensidades de los sonidos por separado.
2.4. Acústica geométrica: ondas y rayos
2.4.1. Introducción
Una onda plana se distingue porque su dirección de propagación y su amplitud son las
mismas en todo el espacio. En el mundo real las ondas sonoras no gozan de esta propiedad,
en lugar de ondas planas encontramos haces de sonido cuya sección transversal y dirección
de propagación van cambiando al atravesar el medio. Sin embargo, existen casos donde una
onda sonora no plana puede considerarse como plana en una pequeña región del espacio. Para
ello es necesario que la amplitud y la dirección de la onda varı́en muy poco en distancias del
orden de la longitud de onda.
Cuando se satisface esta condición, resulta conveniente introducir la noción de rayos en
el sentido de lı́neas cuyas tangentes coinciden en todo punto con la dirección de propagación
de la onda [5, Cap. 8]. Se puede hablar entonces de la propagación del sonido a lo largo de los
rayos sin prestar atención a su naturaleza ondulatoria. El estudio de las leyes de propagación
del sonido se enmarca entonces en el ámbito de la acústica geométrica.
2.4.2. Ecuación fundamental de la acústica geométrica
En muchas ocasiones resulta por tanto más útil pensar en términos de rayos que en lugar
de ondas. Esta utilidad se debe a la idea intuitiva, justificada matemáticamente bajo ciertas
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
13
Figura 2.1: La aproximación de un haz de sonido por un rayo está justificada si la sección
transversal del haz es grande frente a la longitud de onda, A ≫ λ. En el centro, el haz se
comporta como una onda plana. En el borde, donde la amplitud varı́a en distancias del orden
de la longitud de onda, deja de ser válida la aproximación por rayos.
Figura 2.2: Ejemplo de aplicación de la acústica geométrica: debido a la difracción la barrera
contra el sonido es más efectiva para las frecuencias altas que para las bajas.
condiciones, de que la energı́a viaja a lo largo de los rayos. De un modo formal, un rayo se
define como una lı́nea perpendicular en todos los puntos a las superficies de fase constante.
Para poder interpretar las ondas en términos de rayos estas han de cumplir las siguientes
condiciones:
1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del orden
de la longitud de onda.
2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden de
la longitud de onda.
En ese caso, si ∇Γ es un vector perpendicular a las superficies de fase constante y n =
c0 /c(x, y, z) es el ı́ndice de refracción, definido como la velocidad del sonido en algún punto
fijo dividida por la velocidad del sonido como función del espacio, obtenemos la ecuación
de la Eikonal en una de sus formas
d
(∇Γ) = ∇n.
(2.27)
ds
En los ejercicios de final de capı́tulo se exploran más a fondo las consecuencias de esta
ecuación.
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
14
Figura 2.3: Evolución temporal de una porción de superficie de fase constante.
Quizás la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si un sonido consiste
en un haz de una determinada sección transversal A, tal que A1/2 ≫ λ, entonces podemos
aproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comporta como una onda plana (véase
Fig. 2.2). En el borde del haz de sonido, donde la amplitud varı́a rápidamente, no se puede
aproximar las ondas por rayos, pues aparece la difracción. En resumen, la acústica geométrica será tanto más aproximada cuanto menor sea la longitud de onda del sonido, o mayor sea
la frecuencia.
A continuación se da la demostración matemática de (2.27), que por su complejidad se
deja como lectura voluntaria.
Consideremos la ecuación de ondas tridimensional
∂2p ′
− [c(x, y, z)]2 ∇2 p ′ = 0
∂t2
(2.28)
donde la velocidad del sonido c puede ser función de la posición. Deseamos obtener una ecuación
para un vector perpendicular a las superficies de fase constante. Para un haz de sonido que atraviesa
un fluido homogéneo (c = cte) o inhomogéneo (c =función de la posición), podemos esperar que
la amplitud de la onda varı́e con la posición y que las superficies de fase constante estén dadas por
funciones complicadas de la posición. Ası́ pues, probamos soluciones de la forma
p ′ (x, y, z) = A(x, y, z) exp{iw[t − Γ(x, y, z)/c0 ]}
(2.29)
donde A tiene unidades de presión, Γ tiene unidades de longitud y c0 es una constante arbitraria que
representa la velocidad del sonido de referencia. Las superficies de fase constante son por definición
las superficies Γ(x, y, z) = cte, de modo que ∇Γ es un vector perpendicular en cada punto a una de
estas superficies. Por ejemplo, si A = cte y Γ = x, la solución (2.29) se reduce a p ′ = A exp[iw(t −
x/c0 )], que es una solución de (2.28) de tipo onda plana si c = cte = c0 . Asimismo, nótese que
∇Γ = ~i tiene modulo unidad y apunta siempre en la dirección de propagación de la onda (la dirección
x en este sencillo ejemplo).
Introduciendo la solución de prueba (2.29) en la ecuación de ondas (2.28) se obtiene
∇2 A
−
A
w
c0
2
∇Γ · ∇Γ +
w 2
c
w
−i
c0
∇A
2
· ∇Γ + ∇2 Γ
A
=0
(2.30)
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
15
Esta ecuación es tan complicada que aparentemente el tratamiento de ondas por rayos no ofrece
ninguna ventaja. Sin embargo (w/c0 )2 es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la longitud
de onda es mucho mas pequeña que las longitudes caracterı́sticas de variación de A o Γ en el problema
los dos términos dominantes en la ecuación resultan ser el segundo y el tercero. La ecuación (2.30)
adopta entonces la forma simplificada
∇Γ · ∇Γ = n2
donde
n(x, y, z) =
c0
c(x, y, z)
(2.31)
(2.32)
es el denominado ı́ndice de refracción. La ecuación (2.31) se conoce como ecuación de la Eikonal,
y las simplificaciones que introduce ya sı́ que justifican el tratamiento de las ondas por rayos. La
ecuación de la Eikonal implica que ∇Γ debe tener la forma
∇Γ = n (cos θx~i + cos θy~j + cos θz~k)
(2.33)
donde cos θx , cos θy y cos θz representan los cosenos directores del vector ∇Γ, paralelo en todos los
puntos a los rayos. Si llamamos s a la distancia medida a lo largo de un rayo, la derivada del vector
∇Γ con respecto a s viene dada por la ecuación 1
d
(∇Γ) = ∇n
ds
(2.34)
que es precisamente la ecuación (2.27).
2.4.3. La ley de Snell
Un resultado muy potente que se deriva de (2.27) es la conocida como Ley de Snell. Se
puede obtener un enunciado simple de esta ley si consideramos que la velocidad del sonido
es sólo función de x. Si nos restringimos por sencillez a la propagación en el plano x, y, el
vector ∇Γ se puede escribir
∇Γ = n(cos ϕ~i + sen ϕ ~j)
(2.35)
donde ϕ es el ángulo de elevación del rayo sobre la horizontal, definida por el eje x. En el
caso n = n(x) las dos componentes de (2.27) se reducen a
d c0
sen ϕ = 0,
ds c
d c0
c0 dc
cos ϕ = − 2 .
ds c
c dx
(2.36)
Integrando la primera ecuación se obtiene la siguiente relación
sin ϕ
= cte,
c(x)
1
La demostración de este resultado puede encontrarse en el libro de Kinsler et al. [1, Sec. 5.13]
(2.37)
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
16
que constituye uno de los enunciados de la ley de snell. Esta ley establece que la dirección
en que se propaga un rayo, ϕ, queda determinada de manera unı́voca una vez conocida la
dirección ϕ0 del rayo en otra posición x0 donde la velocidad del sonido c0 es conocida:
sin ϕ
sin ϕ0
=
c(x)
c0
(2.38)
Conviene destacar que (2.38) sigue siendo válida incluso si la función c(x) es discontinua.
Como veremos más abajo esto permite, por ejemplo, ligar los ángulos de la onda incidente
y transmitida en la incidencia oblicua de una onda plana en la interfase con un fluido de
distintas propiedades.
2.5. Transmisión y reflexión de las ondas acústicas
Cuando una onda plana viaja en un medio 1 e incide sobre la superficie de separación
con otro medio 2, la onda sufre en general una reflexión y una refracción, produciéndose dos
nuevas ondas cuyas amplitudes y fases son en general distintas a las de la onda incidente.
Parte de la energı́a transportada por la onda incidente continúa propagándose por el segundo
medio, dando lugar a lo que se conoce como onda transmitida, mientras que otra parte
rebota en la entrefase entre los dos medios y vuelve como una onda reflejada en sentido
contrario a la original. De este modo, en el medio 1 el movimiento resulta de la superposición
de dos ondas (la incidente y la reflejada) mientras que en el medio 2 sólo hay una (la onda
transmitida o refractada). La relación existente entre estas tres ondas viene determinada por
las condiciones de contorno en la superficie de separaración. Estas condiciones de contorno
se resumen en que la presión y la velocidad normal a la entrefase deben ser continuas a través
de la misma.
2.5.1. Coeficientes de transmisión y reflexión
Si p i′ es la presión compleja de la onda incidente y p t′ y p r′ las de las ondas transmitidas
y reflejadas, respectivamente, podemos definir los coeficientes de transmisión y reflexión
de presión, que en general serán complejos, como
p t′
T = ′,
pi
p ′r
R= ′.
pi
(2.39)
También se suelen usar los coeficientes de transmisión y reflexión de intensidad denotados
por TI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la onda
incidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente,
TI =
It
,
Ii
RI =
Ir
.
Ii
(2.40)
Estos coeficientes son reales y pueden expresarse en función de los anteriores como
ρ01 c1 2
TI =
|T | ,
RI = |R|2
(2.41)
ρ02 c2
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
17
En general no tendremos ondas planas, sino haces de sonido, pero vimos en la sección
anterior que cuando el área de la sección de los haces es grande frente a la longitud de onda,
estos se comportan como una onda plana en un dominio finito; en ese caso los coeficientes
de transmisión y reflexión son igualmente aplicables. Evidentemente, aun teniendo un haz
que cumpla las condiciones de rayo, si el objeto que provoca la reflexión es de tamaño
comparable a la longitud de onda se producen interferencias (difracción) y las relaciones
que presentamos aquı́ dejan de ser aplicables.
Un parámetro importante en un haz de sonido es la potencia que transmite el haz. Ésta
se calcula multiplicando la intensidad del haz por su área de sección. De manera análoga a
la presión e intensidad se pueden definir coeficientes de transmisión y reflexión de potencia,
Tπ y Rπ , que no coincidirán en general con los de intensidad, porque aunque el área del haz
reflejado es igual al área del incidente (Ai ), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefase
el haz transmitido tiene un área distinta (At ), de donde
Tπ =
At ρ01 c1 2
|T | ,
Ai ρ02 c2
Rπ = |R|2
(2.42)
Como consecuencia de la conservación de la energı́a, la potencia del rayo incidente debe
repartirse entre los rayos transmitido y reflejado, luego se debe cumplir que
Tπ + Rπ = 1.
(2.43)
2.5.2. Incidencia normal en un fluido
Los coeficientes de transmisión y reflexión para el caso de incidencia normal en la frontera entre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presión como la velocidad normal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser
Rπ =
1 − r1 /r2
,
1 + r1 /r2
TI =
2
,
1 + r1 /r2
(2.44)
donde se han definido las impedancias ri = ρi ci . Los coeficientes de transmisión y reflexión
de intensidad son
2
1 − r1 /r2
r1 /r2
RI =
,
TI = 4
,
(2.45)
1 + r1 /r2
(1 + r1 /r2 )2
que son iguales a los de potencia, puesto que el área de los tres haces es igual en este caso.
El coeficiente de reflexión es positivo cuando r1 < r2 , y negativo en caso contrario, lo
cual implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estar
en fase con la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario, T siempre
es positivo, por lo que en la frontera la onda transmitida siempre está en fase con la onda
incidente.
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
1
18
2
ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA
ONDA REFLEJADA
Figura 2.4: Reflexión y refracción por la incidencia normal de una onda en una frontera de
dos fluidos.
2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido
Cuando una onda incide oblicuamente formando un ángulo θi con la frontera de separación entre dos fluidos como muestra la figura, resulta que de aplicar la continuidad de
presiones obtenemos que el ángulo de la onda reflejada, θr , debe cumplir
sen θi = sen θr ,
(2.46)
mientras que por la ley de Snell el ángulo de la onda transmitida, θt , viene dado por
sen θi
sen θt
=
.
c1
c2
(2.47)
√
Utilizando ahora la relación trigonométrica cos θt = 1 − sen2 θt junto con la expresión
anterior se obtiene
q
cos θt = 1 − (c2 /c1 )2 sin2 θi .
(2.48)
Este resultado permite extraer una importante conclusion. Para que exista onda transmitida
debe cumplirse la relación
sen θi
c2
< 1.
(2.49)
c1
Como vemos, es posible que esta última ecuación no tenga solución, lo cual ocurrirá para
ángulos de incidencia θi tales que
c1
(2.50)
sen θi > ,
c2
en cuyo caso no existirá onda transmitida y se producirá una reflexión total. Existe por tanto
un ángulo de incidencia crı́tico θc , definido por
c1
θc = arcsen
,
(2.51)
c2
tal que para ángulos de incidencias mayores no existe onda transmitida.
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
1
19
2
θr
θi
θt
Figura 2.5: Reflexión y refracción por la incidencia oblicua de una onda en una frontera de
dos fluidos.
Aunque podrı́a parecer que siempre deberı́a existir onda reflejada, esto no es cierto. De
aplicar continuidad en la componente normal de la velocidad obtenemos la siguiente expresión para el coeficiente de reflexión R, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida,
siendo igual a uno en caso contrario,
R=
(ρ2 c2 /ρ1 c1 ) − (cos θt / cos θi )
.
(ρ2 c2 /ρ1 c1 ) + cos θt / cos θi
(2.52)
Vemos que cuando ρ2 c2 /ρ1 c1 = cos θt / cos θi el valor de R es igual a cero por lo que deja de
existir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminando cos θt obtenemos el valor del
ángulo de incidencia θI para el que esto ocurre, llamado ángulo de intromisión, que viene
dado por
s
1 − (ρ1 c1 /ρ2 c2 )2
sen θI =
.
(2.53)
1 − (ρ1 /ρ2 )2
2.6. Absorción de las ondas sonoras
Aunque no ha habido ninguna mención sobre el efecto de la disipación del sonido debido
a que hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una onda
sonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirtiéndose en energı́a
térmica. Las causas de esta disipación se encuentran tanto en el seno del propio fluido como
en la frontera de este fluido con superficies sólidas u otros fluidos que se hacen importantes
en medios porosos, en tubos finos o en conductos pequeños. Las causas de estas pérdidas son
varias, siendo las mas importantes las pérdidas por viscosidad, las pérdidas por conducción
térmica y las pérdidas por intercambios moleculares.
Un estudio completo del efecto de estas pérdidas cae fuera del objetivo de estas notas.
Aquı́ solo queremos señalar que el efecto más importante es en su forma más simple provocar
CAPÍTULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
20
un decaimiento en la amplitud de tipo exponencial, de manera que la solución en lugar de
ser por ejemplo una onda plana es de la forma
p ′ = A′ exp[i(wt − kx)] exp(−x/δ)
(2.54)
donde δ es una distancia caracterı́stica de relajación que depende en general de la frecuencia. Normalmente los fenómenos de disipación de la energı́a acústica ocurren a lo largo de
muchas longitudes de onda, siendo por tanto δ ≫ λ.
2.7. Ejercicios y cuestiones
1. Repita el problema 3 del capı́tulo anterior usando esta vez la impedancia compleja.
2. Calcule numéricamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases arbitrarias en un
punto fijo del espacio. Calcule (I1 + I2 + I3 )2 y compare este valor con I12 + I22 + I32 .
3. Considerando la propagación de un rayo en el eje x, y, demuestre que si la velocidad
del sonido c es sólo función de x, entonces dϕ/ds = (sin ϕ0 /c0 ) dc/dx, con ϕ = ϕ0
para c = c0 , donde ϕ es el ángulo de elevación del rayo sobre la horizontal. Determine
el radio de curvatura R del rayo en el caso dc/dx = cte.
4. Calcule los ángulos de reflexión y refracción de una onda plana que viaja en el aire e
incide con un ángulo de incidencia de 30o sobre el agua.
Capı́tulo 3
Análisis en frecuencia
3.1. Superposición de soluciones
Debido a la linealidad de la ecuación de ondas, si tenemos dos soluciones de la forma
p ′1 = A 1′ exp[i(w1 t − k1 x)],
p ′2 = A 2′ exp[i(w2 t − k2 x)],
(3.1)
(3.2)
′
la suma p 12
= p1 + p2 también es solución de la ecuación. Esta nueva solución no tendrá una
frecuencia definida, sino que será la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se dice que
la nueva onda p ′12 contiene dos armónicos de frecuencias w1 y w2 . En general podemos
obtener una onda con tantos armónicos como queramos simplemente sumando otras tantas
ondas elementales de frecuencias puras.
En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio y analizaremos la
presión en dicho punto como función del tiempo. Consideraremos por tanto armónicos de la
forma
p ′n = An ′ exp(iwn t).
(3.3)
3.2. Descomposición en armónicos
Los resultados de la sección anterior son más o menos triviales, y se pueden resumir
como sigue: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintas
ondas sonoras que no son puras. Sin embargo, también se puede demostrar en sentido inverso
gracias al análisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas de
frecuencia pura (tonos puros o armónicos). En general, harán falta infinitos armónicos para
reconstruir una onda genérica f (t), esto es
f (t) = A 1′ exp(iw1 t) + A ′2 exp(iw2 t) + A 3′ exp(iw3 t) + · · ·
21
(3.4)
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EN FRECUENCIA
22
3.3. Funciones periódicas y desarrollo de Fourier
En vista de los resultados de la sección anterior, nos planteamos ahora el siguiente problema: dada una función f (t) periódica de perı́odo T deseamos calcular los armónicos de
forma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la función original
f (t). Para ello, suponemos que f (t) puede desarrollarse como suma de armónicos,
f (t) =
∞
X
An exp(iwn t).
(3.5)
n=−∞
Nótese que, en principio, la función f (t) puede ser compleja. A este desarrollo se le llama
desarrollo de Fourier para funciones periódicas, y a los coeficientes An , que en general son
números complejos, se les llama coeficientes de Fourier. Al ser la función f (t) periódica de
periodo T , se puede demostrar que los armónicos también han de serlo. Esto implica que las
frecuencias wn sólo pueden ser las siguientes,
wn = 0,
2πn
2π 4π
,
, ··· ,
, ···
T T
T
(3.6)
luego el desarrollo para f (t) queda de la forma,
f (t) =
∞
X
n=−∞
An exp
i2πnt
T
.
(3.7)
Para calcular los coeficientes An aplicamos la condición de ortogonalidad de las funciones
base. Multiplicando los dos miembros de (3.7) por exp(−iwm t) e integrando en un perı́odo,
se obtiene
Z T
∞ Z T
X
−i2πmt
i2π(n − m)t
f (t) exp
dt =
An exp
dt.
(3.8)
T
T
0
0
n=0
La integral del término de la derecha se anula si m 6= n, al tratarse de la integral de una
función periódica sobre un perı́odo, sólo es distinta de cero si m = n, en cuyo caso
Z T
−i2πnt
f (t) exp
dt = T An ,
(3.9)
T
0
de donde se obtiene finalmente la conocida expresión para los coeficientes de Fourier,
Z
1 T
−i2πnt
An =
f (t) exp
dt.
(3.10)
T 0
T
Es interesante estudiar lo que sucede cuando el perı́odo de f (t) tiende a infinito. Lo
primero que se observa es que la diferencia wn − wn+1 entre los valores de las frecuencias
de dos armónicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollo
de Fourier de una señal no periódica contenga un espectro de frecuencias continuo. Lo
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EN FRECUENCIA
23
segundo es que la amplitud de los armónicos An tiende a cero, lo que significa que los
armónicos individuales cuentan cada vez menos a la hora de evaluar la señal. Esto es lógico si
pensamos que en una cierta región del espacio de las frecuencias, de espesor δw, se acumula
un número creciente de armónicos al aumentar el periodo T , número que se hace infinitos
en el lı́mite T → ∞. De este modo, si queremos que su suma total sea finita, la amplitud de
cada uno debe de tender a cero.
En la siguiente figura se muestran los armónicos de una onda cuadrada
P de amplitud
unidad y periodo 2π, cuyo desarrollo de Fourier viene dado por f (t) = ∞
n=0 An sen(nt)
con An = 4/nπ para n impar y An = 0 para n par (la demostración se deja como ejercicio
al lector).
n=1
n=3
n=5
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
0
2
4
6
−1.5
0
2
x/π
4
6
−1.5
n=7
n=9
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
2
4
x/π
6
−1.5
0
2
4
x/π
4
6
4
6
n = 11
1.5
0
2
x/π
1.5
−1.5
0
x/π
6
−1.5
0
2
x/π
Figura 3.1: Representación de Fourier de una onda cuadrada utilizando n = 1, 3, 5, 7, 9 y 11
armónicos.
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EN FRECUENCIA
24
3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier
Los resultados de la sección anterior sugieren cómo se debe actuar para calcular la descomposición en armónicos de una función no periódica. A la función que da la amplitud
de un armónico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llama transformada
de Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una función distinta para cada
onda, y que asocia para cada valor de frecuencia un número que representa la amplitud del
armónico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguiente ecuación
Z ∞
f (t) =
f (w) exp(iwt)dw.
(3.11)
−∞
La transformada inversa de Fourier permite obtener de forma explı́cita los coeficientes
Z ∞
1
f (w) =
f (t) exp(−iwt)dt.
(3.12)
2π −∞
3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias
Es fácil demostrar la siguiente ecuación:
Z ∞
Z ∞
1
∗
f (w)f ∗ (w)dw,
f (t)f (t)dt =
2π −∞
−∞
(3.13)
que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energı́a de una señal como integral
en el tiempo con la energı́a en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor de
f (w)f ∗ (w)dw/2π como la cantidad de energı́a contenida en un intervalo de frecuencias dw
en torno a w.
El conocimiento de las bandas de octava de un sonido genérico es una información muy
útil, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como se verá mas adelante, es fundamental a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decae para
frecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad de energı́a
como función de la frecuencia, log[f (w)f ∗(w)]. La figura 3.2 representa el espectro tı́pico
de un ruido.
3.6. Ejercicios y cuestiones
1. Represente gráficamente el primer armónico de la descomposición de Fourier de una
onda cuadrada. Represente a continuación tres, cinco, diez y veinte armónicos. Compruebe que a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada, que podrı́an inducir a pensar que los armónicos de altas frecuencias son importantes, la amplitud de los armónicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe que en los puntos
de discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio.
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EN FRECUENCIA
25
2
log(|f(w)| )
w
Figura 3.2: Espectro tı́pico de un ruido.
2. Calcule el espectro de Fourier para ondas cuadradas de distintos periodos. Observe
cómo al crecer el periodo los distintos armónicos se van juntando y su amplitud va
decreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a infinito, lo que se corresponde
con una onda no periódica el espectro de frecuencias tiende hacia el continuo.
3. Represente los armónicos de la onda cuadrada pero con una fase arbitraria. Pese a
que esto no se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el oı́do humano no
distingue entre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual que
una onda cuadrada.
Capı́tulo 4
Modelos de Fuentes sonoras
4.1. Modelo de esfera pulsante
Consideremos una esfera de radio a que está pulsando periódicamente, es decir, aumentando y disminuyendo de radio de manera periódica con cierta amplitud. Supondremos que
la amplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que estemos dentro de la aproximación de la acústica lineal. El objetivo es calcular el campo acústico
generado en el exterior de la esfera pulsante.
Como hemos visto en capı́tulos anteriores la solución con simetrı́a esférica a la ecuación
de ondas tiene de la forma
p ′ (r, t) =
A′
exp[i(wt − kr)],
r
(4.1)
que será la solución al problema una vez hayamos determinado la constante A ′ . Para calcular esta constante debemos imponer la condición de contorno en la superficie de la esfera
pulsante, donde la velocidad es conocida,
u(a, t) = U0 exp[i(wt + φ)].
(4.2)
La presión en la superficie de la esfera la obtenemos sin más que multiplicar la velocidad
por la impedancia acústica evaluada en r = a. La impedancia acústica es, como sabemos, la
correspondiente a una onda esférica evaluada en r = a,
Z(a) = ρ0 c0 cos ψa exp(iψa ),
(4.3)
donde, como vimos en el capı́tulo 2,
ψa = arcsen
1
p
1 + (ka)2
!
.
Ası́ pues la presión a una distancia r del centro de la fuente viene dada por
a
p ′ (r, t) = ρ0 c0 U0
cos ψa exp[i(wt − k(r − a) + ψa + φ)].
r
26
(4.4)
(4.5)
CAPÍTULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS
27
La intensidad acústica media es
2
1
2 a
I = ρ0 c0 U0
cos2 ψa .
2
r
(4.6)
Es interesante observar que cuando ka → 0 la intensidad tiende a cero, de modo que una
esfera cuyo radio sea muy pequeño comparado con la longitud de onda del sonido que emite
apenas radia energı́a acústica.
4.2. Fuente lineal sonora
En esta sección consideraremos el campo acústico generado por una varilla de dimensión
longitudinal L y radio nulo como muestra la figura 3.1. Aunque no es muy difı́cil obtener
analı́ticamente el campo acústico generado por una varilla pulsante de dimensión finita, el
desarrollo matemático se sale de los objetivos de este documento introductorio. Sin embargo,
sı́ se debe mencionar que el procedimiento es realizar una serie de simplificaciones que
permiten escribir la amplitud del campo acústico a distancias grandes comparadas con las
dimensiones de la varilla como el producto de dos funciones, una depende sólo de la distancia
a la varilla, y la otra depende del ángulo al eje de la varilla, como muestra la figura 3.1,
p ′ (r, θ, t) = Pax (r)H(θ) exp[i(wt − kr)].
(4.7)
Este procedimiento se usa frecuentemente para describir el campo acústico lejano de fuentes
complicadas. Para la varilla se puede obtener una expresión analı́tica para estas funciones,
resultando
sen v 1
a
Pax (r) = ρ0 cU0 kL, H(θ) = (4.8)
,
2
r
v
donde v = 1/2kLsenθ.
Es común representar gráficamente las funciones H(θ) como función del ángulo para
obtener una idea significativa de las direcciones en las que el sonido va a ser más fuerte.
Es mas común representar 20 log H(θ). A estos gráficos se les denomina patrones de rayos.
En los ejercicios propuestos al final de esta lección se invita al alumnos a que represente el
patrón de rayos tanto para la varilla como para el pistón pulsantes.
4.3. Pistón pulsante
En esta sección consideraremos el campo acústico generado por un pistón plano pulsante de radio a, como muestra la figura 3.2. Al igual que con la varilla, se puede obtener
una expresión analı́tica para el campo acústico generado pero aquı́ nos limitaremos a dar
la expresión para las funciones Pax (r) que coincide con la expresión para la varilla, y para
H(θ),
2J1 (v) 1
a
,
(4.9)
Pax (r) = ρ0 cU0 kL, H(θ) = 2
r
v donde v = ka sen(θ) y J1 (v) es la función de Bessel de primera clase y orden 1.
CAPÍTULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS
28
kL=24
0.1
abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t)))
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.1: Patron de rayos para la varilla vibrante con kL = 24.
ka=10
0.15
abs(2.*besj1(10.*sin(t))/(10.*sin(t)))
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.2: Patron de rayos para el piston pulsante con ka = 10.
4.4. Factor de directividad
Como hemos visto, las fuentes sonoras no radian sonido por igual en todas las direcciones. La potencia total Π radiada por una fuente proviene de integrar la intensidad de la
energı́a sonora en una superficie cerrada que contenga la fuente. Si descomponemos la presión en el campo lejano como hemos hecho para la varilla y el pistón en una función que
depende del radio por una función que depende de los ángulos tenemos:
Z
Z
1
1 2 2
2
2
Π=
P (r, θ, φ)r dΩ =
r Pax
H 2 (θ, φ)dΩ,
(4.10)
2ρ0 c0 4π
2ρ0 c0
4π
donde hemos escogido una esfera de radio r para integrar y dΩ es el diferencial de ángulo
sólido. Si esta fuente radiara igual en todas las direcciones entonces la intensidad Io que
habrı́a a una distancia r no dependerı́a de los ángulos y serı́a
Π
.
(4.11)
4πr 2
Se define el factor de directividad de una fuente en una determinada dirección como el
cociente entre la intensidad de energı́a sonora realmente radiada en esa dirección Ir y la que
Io =
CAPÍTULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS
29
radiarı́a si la fuente fuese omnidireccional Io . El factor de directividad se designa por la letra
Q y no tiene dimensiones:
Ir
Q= .
(4.12)
Io
4.5. Ejercicios y cuestiones
1. Represente gráficamente mediante ordenador las funciones H(θ) y 20 log H(θ), para
la varilla y el pistón pulsante.
2. Calcular el factor de directividad para una fuente que radia de manera isótropa pero
solo en un semiespacio.
Capı́tulo 5
Sumario de términos
En esta sección vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan el
sonido. Muchos de los conceptos ya han quedado explicados anteriormente, pero los repetiremos aquı́ para que esta sección sirva de referencia y contenga todas las magnitudes importantes, por lo que no serán explicados en detalle.
5.1. Velocidad del sonido
Es la velocidad a la que se propagan las perturbaciones en un medio material elástico. La
velocidad del sonido depende de la densidad y del grado de elasticidad del medio a través
del cual se transmite. En el caso de un gas ideal, como puede ser considerado el aire, hemos
visto que
∂p
2
,
(5.1)
c0 =
∂ρ S
pero, del primer principio de termodinámica para procesos reversibles,
p
du = T dS − pd(1/ρ) → cv dT = −pd(1/ρ) → cv d
= −pd(1/ρ),
Rg ρ
y usando que Rg = cp − cv y γ = cp /cv , tenemos, para un gas ideal,
r
γp p
c0 =
= γRg T .
ρ
(5.2)
(5.3)
En el aire y en condiciones normales de presión y temperatura (p = 1 atm T = 300K),
resulta ser c0 = 344 m/s.
5.2. Frecuencia, perı́odo, longitud de onda y tonos puros
La frecuencia es el número de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo en una posición
del espacio fija. La unidad es el ciclo o Hercio (Hz) y se representa por f . Algunas veces se
30
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
31
usa el concepto de frecuencia angular, la cual está relacionada con la frecuencia mediante
la expresión w = 2πf . Si tenemos una onda sonora de la forma p′ = sin(wt + kx), la
frecuencia angular es w.
El oı́do humano sólo es capaz de ser excitado por sonidos cuya frecuencia esté comprendida entre 20 y 20.000 Hz, conociéndose a los sonidos de frecuencia menor de 20 Hz como
infrasonidos y a los de frecuencia mayor a 20.000 Hz como ultrasonidos.
La frecuencia nos indica el tono de un sonido, y nos ayuda a diferenciar subjetivamente
los sonidos de baja frecuencia (tono grave) de los de alta frecuencia (tono agudo). En general
el sonido estará compuesto por una suma de sonidos de distintas frecuencias, si el sonido solo
contiene una frecuencia se le llama tono puro. El perı́odo (T ) es la inversa de la frecuencia,
T = 1/f .
Análogamente al caso de una onda del tipo p ′ = sen(wt + kx), donde w representa la
frecuencia angular, k representa el número de ondas angular, y la cantidad K = k/2π,
el número de ondas, que es el número de ciclos que ocurren en la unidad de espacio para
un instante de tiempo determinado. La inversa de K es la longitud de onda λ = 1/K, y
representa la distancia espacial que hay entre dos picos consecutivos de una onda periódica.
La longitud de onda se relaciona con la frecuencia y la velocidad del sonido mediante la
expresión λ = c0 /f .
5.3. Presión sonora
Se define la presión sonora como la variación de presión producida en un punto como
consecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a través del medio. Es decir, lo
que hemos llamando p ′ en estos apuntes. Como el valor medio en el tiempo de la presión
sonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la variación se utiliza la presión
eficaz (Prms ), que es la raı́z cuadrada del valor cuadrático medio de la presión sonora:
s
Z
1 T ′2
Prms =
p (t)dt.
(5.4)
T 0
En el caso de ondas sinusoidales, se tiene:
p′
Prms = √0 ,
2
(5.5)
siendo p ′0 el valor máximo, o amplitud, de la presión sonora.
Las variaciones de presión más pequeñas que son audibles por el ser humano tienen un
valor eficaz de aproximadamente 2 · 10−4 µbar (2 · 10−5 Pa). Para una presión media eficaz
mayor de 200 µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el oı́do humano.
5.4. Velocidad de las partı́culas fluidas
Si observamos la ecuación (1.4), e introducimos para la presión la expresión para la
diferencia de presiones o presión sonora, p ′ = p ′0 sen(kx − wt), y sabiendo que la velocidad
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
32
de las partı́culas fluidas es u = dξ/dt, tenemos:
∂u
k ′
p′
∂p ′
= −ρ0
= kp ′0 cos (kx − wt) → u =
p 0 sen (kx − wt) =
,
∂x
∂t
ρ0 w
c0 ρ0
(5.6)
luego u = p ′ /c0 ρ0 , y tenemos relacionada la velocidad con la presión sonora para una onda
sinusoidal. Esta relación es completamente válida sea o no la onda sinusoidal, bastando con
que p ′ = f (x − ct). Un valor tı́pico de la impedancia acústica es ρ0 c0 = 413 kg/m2 s para el
caso del aire a temperatura y presión ambientes.
5.5. Intensidad, potencia y densidad de energı́a sonora
La energı́a sonora que atraviesa por unidad da tiempo la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación se denomina intensidad sonora y viene dada por la
expresión
I = |p′ u|
(5.7)
donde las barras verticales indican que estamos haciendo la media temporal. Es fácil ver que
para una onda plana la intensidad sonora es
2
Prms
.
ρ0 c0
I=
(5.8)
La potencia sonora (W ) a través de un área muy pequeña ∆A es el producto de la
intensidad sonora por ese área,
∆W = I ∆A =
2
Prms
∆A.
ρ0 c0
(5.9)
Si queremos calcular la potencia sonora a través de un área grande, la dividimos en áreas lo
suficientemente pequeñas para que la intensidad sonora sea constante en ellas, y sumamos
todas las potencias que pasan por cada una de ellas:
X
W =
Ii ∆Ai ,
(5.10)
i
donde el subı́ndice i nombra a cada una de las subáreas. Por ejemplo, si tenemos una intensidad uniforme (no depende del espacio), la potencia sonora que atraviesa un área igual a A
perpendicularmente a la dirección de propagación es
W = AI.
(5.11)
La densidad de energı́a sonora (D) se define como la cantidad de energı́a sonora contenida en la unidad de volumen del medio, se mide en J/m3 , y se expresa para una intensidad
de energı́a sonora uniforme como
P2
D = rms2 .
(5.12)
ρ0 c0
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
33
5.6. Factor de directividad
Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situación en el espacio,
no radian la misma cantidad de energı́a en todas las direcciones. En general la radiación se
puede concentrar en una cierta dirección o direcciones y se aparta del patrón de radiación
esférico u omnidireccional.
Se define como factor de directividad de una fuente en una determinada dirección al
cociente entre la energı́a (intensidad de energı́a sonora) realmente radiada en esa dirección y
la que radiarı́a (para una misma potencia total) si la fuente fuese omnidireccional. Se designa
por la letra Q y no tiene dimensiones:
Q=
Ir
,
Io
(5.13)
donde Ir es la intensidad de energı́a en esa dirección y Io es la intensidad que se radiarı́a para
el caso de radiación isótropa.
Veamos para fijar ideas un ejemplo sencillo de cómo se calcuları́a el factor de directividad
para una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esférica alrededor de la
fuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esférica en superficies pequeñas donde la
intensidad sonora sea uniforme (∆Ai ). Medimos todas las intensidades sonoras (Ii ) en cada
una de las superficies pequeñas. A continuación calculamos la potencia total
P radiada multiplicando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W = i Ii ∆Ai ). A continuación calculamos la intensidad que radiarı́a la fuente esférica homogénea (I0 = W/A).
Finalmente calcuları́amos los factores de directividad en esas direcciones (Qi = Ii /I0 ).
5.7. El decibelio
Si se tiene en cuenta que el margen de presión sonora que el oı́do humano es capaz
de interpretar se extiende en un rango que comprende desde 2 · 10−5 P a hasta 20 P a, es
evidente la imposibilidad de utilización de una escala lineal de medida compuesta por un
millón de unidades. Además, es conocido que el organismo humano tiene una respuesta
aproximadamente logarı́tmica a los estı́mulos sonoros. Por todo ello se recurre en acústica a
expresar las magnitudes en decibelios (unidad logarı́tmica) al hablar de niveles de presión,
intensidad y potencia.
El Belio (B) es la división fundamental de una escala logarı́tmica utilizada para expresar
la relación de dos medidas de potencia. Se define el número de Belios como el logaritmo
decimal del cociente entre las dos cantidades y es por lo tanto una magnitud que no tiene
dimensiones.
Si W es la potencia que se considera, W0 es una potencia de referencia y N el número
de Belios que representa la relación W/W0 , entonces se tiene:
N = log
W
.
W0
(5.14)
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
34
Por ejemplo, si W es diez veces mayor que W0 la relación W/W0 será 10 y log 10 = 1,
si la relación es de 100, entonces log 100 = log 102 = 2, vemos pues que el Belio crece en
una unidad cada vez que la magnitud de potencia se multiplica por diez.
Por razones prácticas se usa el decibelio (dB) que es la décima parte de un Belio. Por
tanto el número de decibelios (n) es igual al número de Belios multiplicado por diez:
n = 10 log
W
.
W0
(5.15)
Como las intensidades acústicas son directamente proporcionales a las potencias acústicas
que las producen, se dice que en un punto del espacio el nivel de intensidad es de n decibelios, dados por la ecuación
I
n = 10 log .
(5.16)
I0
En general estos valores de decibelios para la intensidad y para la presión no tienen porqué coincidir. Su igualdad depende de los valores de referencia que se utilicen para intensidad y
potencia I0 y W0 .
De igual manera, las potencias son proporcionales a los cuadrados de las presiones eficaces, por lo que igual que hemos hecho para la intensidad podemos definir decibelios de
presión como:
2
Prms
Prms
,
(5.17)
n = 10 log 2 = 20 log
P0
P0
y de igual manera estos decibelios corresponderán o no con los de potencia e intensidad
dependiendo del valor que se tome para la presión de referencia P0 .
Por acuerdo internacional se han tomado como valores de referencia las siguientes cantidades:
Potencia sonora W0 = 10−12 watios.
Intensidad sonora I0 = 10−12 watios/m2
Presión sonora P0 = 20 × 10−6 Pa (N/m2 ).
Cuando se utilizan estas referencias normalizadas, los sı́mbolos que se emplean internacionalmente para expresar respectivamente los niveles de presión, intensidad y potencia son
Lp , Li . Lw .
En el aire, en condiciones normales, los niveles de presión (Lp ) y de intensidad (Li ) son
2
2
2
numéricamente iguales debido a que I = Prms
/ρ0 c0 = Prms
/413 (donde I y Prms
están
medidos en unidades S.I):
Lp = 10 log
Li = 10 log
2
2
Prms
Prms
2
=
10
log
= 94 + 10 log Prms
,
P02
20 · 10−6
2
I
P 2 /413
Prms
2
= 10 log rms
= 10 log
= 93,9 + 10 logPrms
,
I0
I0
413 · 10−12
de manera que Lp ≃ Li .
(5.18)
(5.19)
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
35
5.8. Adición de niveles de ruido
Cuando se superponen dos o más sonidos de frecuencias distintas, estadı́sticamente la
intensidad sonora resultante es la suma de las intensidades de cada uno de los sonidos, o lo
que es lo mismo, el cuadrado de la presión sonora eficaz es la suma de los cuadrados de las
presiones sonoras eficaces de los distintos ruidos.
Si queremos sumar tres ruidos de presiones eficaces P1 , P2 , P3 , tendremos:
2
P1 + P22 + P32
Lp = 10 log
.
(5.20)
P02
Por ejemplo, si sumamos dos ruidos de igual intensidad:
2
2
P1
2P1
Lp = 10 log
= 10 log
+ 10 log(2) = Lp1 + 3,0103,
2
P0
P02
lo que nos indica que la suma de dos niveles sonoros iguales, sea el que fuere su valor, solo
se incrementa en 3 dB en el nivel sonoro global.
5.9. Sonoridad
La respuesta del oı́do, además de no ser lineal en intensidad, tampoco lo es en frecuencia,
existiendo una sensación diferente para tonos de igual nivel sonoro y distinta frecuencia. Esta
sensación sonora o intensidad subjetiva es conocida como sonoridad.
Mediante ensayos subjetivos se han determinado las curvas de igual sonoridad dadas por
Robinson y Dadson (1956, National Physical Laboratory, ISO 226, 1961) donde en abscisas
se indican las frecuencias de los tonos puros que percibe el oı́do humano y en ordenadas el
nivel de presión sonora. Las curvas, que se muestran en la Fig. 5.1, unen puntos de igual
sensación sonora, por ello llamadas isófonas, correspondiendo cada una a un número de
Fonios igual al nivel de presión sonora en decibelios a 1000 Hz.
La percepción de sonoridad para sonidos complejos es asimismo compleja y es objeto de
estudio de la psicoacústica.
CAPÍTULO 5. SUMARIO DE TÉRMINOS
36
Figura 5.1: Isófonas dentro del rango de audición humano, obtenidas en un experimento en
campo abierto, de acuerdo con Robinson y Dadson. A 1000 Hz, el nivel de presión sonora
coincide con los decibelios. Se observa que el rango dinámico y el humbral de audición son
peores en la región de bajas frecuencias del espectro. Asimismo, se observa que para altos
niveles de presión sonora la dependencia con la frecuencia es menor (las curvas situadas más
arriba son más planas que las de más abajo).
Referencias
[1] L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens y J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics,
John Wiley & Sons, 1982.
[2] M. Recuero, Ingenierı́a Acústica, Ed. Paraninfo, 2000.
[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, Fı́sica, Volumen I: Mecánica, Radiación y
Calor, Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.
[4] A. Barrero y M. Pérez-Saborid, Fundamentos y Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos, McGraw Hill, 2005.
[5] L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Curso de Fı́sica teórica. Tomo VI. Mecánica de fluidos,
Reverté, 1991.
[6] M. J. Moran y H. N. Shapiro, Fundamentos de Termodinámica Técnica, Reverté, 1993.
[7] T. Penick, TEI Controls, Engineering Acoustics EE 363N
http://www.teicontrols.com/notes/readme.html
[8] Campanella Associates, Acoustics FAQ
http://www.campanellaacoustics.com/faq.htm
[9] D. Russell, Kettering University, Acoustics and Vibration Animations
http://www.gmi.edu/ drussell/Demos.html
37