2.2 Poligonos

POLÍGONOS.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.
Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los
ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.
C
B
LADO
REGIÓN
EXTERIOR
β
W
REGIÓN
INTERIOR
A
D
α
θ
VÉRTICE
F
E
Los lados son los segmentos AB , BC , CD , DE , EF y FA .
Los vértices son los puntos de intersección de los lados de un polígono, nombrados
por las letras A, B, C, D, E y F.
Los ángulos interiores son aquellos ángulos formados por dos lados del polígono en
su región interior, por ejemplo ∠ θ ó ∠ B.
Los ángulos exteriores son aquellos ángulos formados a partir de un lado del polígono
y la prolongación del otro lado adyacente a él por ejemplo ∠ α ó ∠ W.
Diagonales son segmentos que unen vértices no consecutivos, por ejemplo AC , AD y
AE .
Perímetro. Es la suma de la medida de los segmentos de un polígono, también llamado
contorno.
P = AB + BC + CD + DE + EF + FA .
Área es la medida de la superficie de la región interior de un polígono.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.
Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo a las siguientes tres categorías:
1) Clasificación de los polígonos de acuerdo a la medida de sus ángulos. Estos
polígonos pueden ser convexos y cóncavos.
Polígonos convexos. Son aquellos polígonos que tienen todos sus ángulos exteriores
convexos, esto es que la medida de sus ángulos exteriores es mayor de 180º. También se
pueden identificar porque una línea recta sólo puede cortarlos en dos puntos.
Polígonos cóncavos. Son aquellos polígonos que tienen alguno de sus ángulos
exteriores cóncavos, esto es que la medida de al menos uno de sus ángulos exteriores es
menor de 90º. También se pueden identificar porque una línea recta puede cortarlos en
más de dos puntos.
2) Clasificación de los polígonos de acuerdo a la medida de sus lados. Estos pueden
ser regulares e irregulares.
Polígonos regulares. Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos
congruentes, es decir, que tienen la misma medida.
Polígonos irregulares. Son aquellos polígonos que tienen por lo menos un lado con
distinta medida o el valor de sus ángulos son diferentes.
3) Clasificación de los polígonos de acuerdo al número de lados.
Los polígonos reciben nombres especiales. El polígono de menor número de lados es el
triángulo, los polígonos de 13, 14, 16, 17, 18, 19, etc. Lados, no tienen nombres especiales
y se designan por el número de lados, por ejemplo el polígono de 24 lados.
Nº de lados
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Quince
Nombre del polígono.
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Eptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono.
NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLÍGONO.
Una diagonal es un segmento de recta que une a dos vértices no consecutivos.
0 D iagonales
2 D iagonales
D=
9 D iagonales
n(n − 3)
2
Ejemplos resueltos del número de diagonales de un polígono.
1) Determinar el número total de 2) Determinar el número total de diagonales de
diagonales de un triángulo.
un pentágono.
n=3
5(2 )
n=5
D=
n(n − 3)
3(0 )
2
D=
D=
2
2
n(n − 3)
10
D=
D=
3(3 − 3)
2
2
D=
D=0
2
5(5 − 3)
D=
D=5
2
CUADRILÁTEROS.
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, los lados consecutivos son los que tienen
un vértice común y los lados opuestos son los que no tienen ningún vértice común, como
se muestra en la siguiente figura.
B
Lados consecutivos son los
segmentos AB y BC , BC y CD , CD y DA
C
Lados opuestos AB y CD , BC y DA
A
D
Cuadrado.
Tiene cuatro lados y ángulos iguales, sus
diagonales son iguales y perpendiculares.
Rectángulo.
Tiene los lados consecutivos desiguales,
cuatro ángulos iguales, sus diagonales son
iguales, pero no son perpendiculares.
2.2.5.1 CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.
Con dos pares
de lados
paralelos.
Paralelogramos.
Rombo.
Tiene cuatro lados iguales, los ángulos
consecutivos
son
desiguales,
sus
diagonales
son
desiguales
y
perpendiculares.
Romboide.
Tiene los lados y ángulos consecutivos
desiguales, sus diagonales son desiguales y
no perpendiculares.
Cuadriláteros.
Con un par de
lados paralelos
llamados base
menor y base
mayor.
Con
ningún
lado
paralelo.
Rectángulo.
Uno de los lados no paralelos es perpendicular a
las bases, sus diagonales son desiguales y éstas
pueden ser o no perpendiculares.
Isósceles.
Tiene sus lados no paralelos iguales, sus
diagonales son iguales y éstas pueden ser o no
perpendiculares.
Escaleno.
Tiene sus lados no paralelos desiguales, sus
diagonales son desiguales y éstas pueden ser o no
perpendiculares.
Simétrico.
Son aquellos que tienen dos pares de lados
consecutivos desiguales, pero el primer par es
diferente al segundo par, sus diagonales son
perpendiculares.
Trapecio.
Trapezoide.
Asimétrico
.
No tiene lados paralelos y sus cuatro lados son
desiguales.
CUADRILÁTEROS.
Paralelogramos.
a
b
a
a
a
a
Cuadrado.
b
a
a
b
a
Rectángulo.
a
Rombo.
Romboide.
Trapecios
Trapecio rectángulo
con diagonales
perpendiculares.
Trapecio rectángulo
con diagonales no
perpendiculares.
Trapecio isósceles
con diagonales.
perpendiculares
perpendiculares.
Trapecio escaleno
con diagonales
perpendiculares.
Trapecio isósceles
con diagonales no
perpendiculares.
Trapecio escaleno
con diagonales
perpendiculares.
no
Trapezoides
Trapezoide simétrico
tiene sus diagonales
perpendiculares.
Trapezoide asimétrico
con diagonales
perpendiculares.
Trapezoide
asimétrico con
diagonales no
perpendiculares.
PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS.
Nombre
c
Triángulo.
Dibujo
Perímetro
P= a + b + c
b
Semiperímetro
h
p=
a
Cuadrado.
a+b+c
2
Área.
( a)(h)
A=
2
A = p( p − a)( p − b)( p − c)
p= semiperímetro
A= a2
a
P = 4(a)
a
Rectángulo.
P = 2(a+b)
a
A= (b)(a)
b
a
Rombo.
P = 4(a)
D
d
a
Romboide.
c
( D)(d )
2
D= diagonal mayor
d= diagonal menor
A=
P = 2(b+c)
A= (b)(a)
P = B +c+ b+d
B+b
A=
( h )
 2 
B=base mayor
b= base menor
h = altura
a
b
b
Trapecio.
c
h
d
B
Trapezoide.
c
d
b
a
P= a +b+ c +d
A= suma de las áreas de
los dos triángulos.
P = nL
Polígono
regular
ap
L
Polígono
irregular.
c
b
P= a +b+c+d+e
a
( P )(ap )
2
P = perímetro
Ap = apotema.
A=
A= suma de las áreas de
las figuras geométricas
que se puedan formar
d
e
POLIEDROS.
DEFINICIÓN DE POLIEDRO.
Porción de espacio limitado por polígonos planos. Sus elementos característicos son las
caras, las aristas y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más
caras.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
Los poliedros se pueden clasificar en regulares e irregulares.
POLIEDROS REGULARES.
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de
sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros
regulares:
No de
Nombre
caras
4
Tetraedro
6
Hexaedro
8
Octaedro
12
Dodecaedro
20
Icosaedro
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4
vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12
aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12
aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene
20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y
30 aristas.
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
POLIEDROS IRREGULARES.
Son aquellos poliedros formados por uno o dos polígonos como base y como caras
laterales paralelogramos o triángulos, éstos pueden ser prismas o pirámides.
Prismas.
Los prismas son poliedros irregulares limitados por dos polígonos iguales y paralelos
llamados bases y por paralelogramos como caras laterales. Los prismas pueden ser
rectos u oblicuos.
Los prismas rectos son aquellos cuyas caras laterales son perpendiculares a los planos
de las bases y los prismas oblicuos son aquellos cuyas caras laterales no son
perpendiculares a los planos de las bases.
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo al polígono que limita a su base, éstos
pueden ser:
Prisma triangular (Es aquel cuya base es un triángulo).
Prisma cuadrangular (Es aquel cuya base es un cuadrilátero).
Prisma pentagonal (Es aquel cuya base es un pentágono).
Prisma hexagonal (Es aquel cuya base es un hexágono).
Etcétera.
Dentro de los prismas cuadrangulares están aquellos cuyas bases son paralelogramos, los
cuales reciben el nombre de paralelepípedos, por lo que existen:
Paralelepípedos de base cuadrada, llamado cubo.
Paralelepípedos de base rectangular, llamado ortoedro.
Paralelepípedos de base rombal.
Paralelepípedos de base romboidal.
Pirámides. Es un poliedro irregular que tiene sólo un polígono como base y las caras
laterales son triángulos que tienen un vértice común, llamado cúspide de la pirámide, la
altura de la pirámide es la perpendicular trazada del vértice a la base, la apotema es la
altura de los triángulos que forman las caras laterales de la pirámide.
Las pirámides pueden ser regulares e irregulares, las pirámides regulares son aquellas que
tienen como base un polígono regular y el pie de su altura coincide con el centro de este
polígono, las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Las pirámides irregulares son
aquellas que tienen como base un polígono irregular.
Prisma
pentagonal
Prisma
hexagonal
Pirámide
hexagonal
Pirámide
triangular
Pirámide
cuadrangular
truncada
Tetraedro.
Hexaedro.
Regular.
Octaedro.
Dodecaedro.
Icosaedro.
Triangular.
Cuadrangular.
Prismas.
Poliedros.
Pentagonal.
Hexagonal.
Etc.
Irregular.
Pirámides.
Triangular.
Cuadrangular.
Pentagonal.
Etc.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
Cubo.
Paralelepípedo.
Ortoedro.
Rombal.
Romboidal.
ÁREA, VOLUMEN DE POLIEDROS Y DE OTRAS FIGURAS.
Figura
Esquema
Área
Atotal = 2 π r ( h + r )
Cilindro
r
Volumen
V = π r2 · h
4
(π )(r 3 )
3
Esfera
Atotal = 4 π r2
V=
Cono
Atotal = π r2 + π r g
(π )(r 2 )(h)
V =
3
Cubo
A = 6 a2
V = a3
a
V = abc
Atotal = 2(ab + ac + bc)
Prisma
Atotal= 2(área de la base) +
área lateral
A=
Pirámide
( perim.base)( ap.lat )
+ área.base
2
V= (área de la
base) (altura)
V =
(área.base)(h)
3