ejercicios de vectores

EJERCICIOS SOBRE VECTORES
1) Dados los puntos A = ( 2, −1, 4 ) y B = ( −3,1, −5 ) , calcula las componentes del
uuur
vector AB .
2) Dados los puntos A = ( 2, −1, 4 ) , B = ( −3,1, −5 ) y C = ( −4, 2, −3) , determina las
uuur uuur
coordenadas del punto D si los vectores AB y CD son equipolentes.
r
r
3) Si u ( −3,5,1) y v ( 7, 4, −2 ) , halla las coordenadas de los siguientes vectores:
r
2u
r
b) 0v
a)
r
−u
r r
d) 2u + v
c)
e)
f)
r r
u −v
r r
5u − 3v
r
r
ur
4) Dados los vectores u (3, 3, 2) , v (5, −2,1) y w(1, −1, 0) :
r r ur
r r ur
a) Halla los vectores u − 2v + 3w , −2u + v − 4w
r
r ur
b) Calcula a y b tales que u = av + bw
r
r 1

5) Determina el módulos de los vectores u ( 3,1, −2 ) y v  − , 2, −3  .
 2

r 1
1 
6) Comprueba si el vector v  −
, 0,
 es unitario.
2
2

r
ur
r
ur
7) Sean los vectores x (1, −5, 2 ) , y ( 3, 4, −1) , z ( 6,3, −5 ) y w ( 24, −26, −6 ) . Halla a,
r ur r ur
b y c para que se cumpla que ax + b y + cz = w
r
r
ur  1

8) Dados los vectores u ( 2, −3,1) , v ( −1, 0, 2 ) y w  − ,1, 3  , efectúa las siguientes
 2

operaciones expresadas con componentes:
a)
b)
c)
d)
e)
r r
ur + vur
u+w
r r ur
u+v+w
r ur
v−w
r ur
u + 4w
r r
2u r− 3v r
g) −2u + 3v
r ur
r
h) 4 v + w − 3u
ur r 1 r r
i) 7 w − u − u − v
3
f)
(
(
)
) (
)
r
r
ur
9) Dados los vectores u (1,3, −2 ) , v ( −1, 2,5 ) y w ( 0, 4, −3) , hallas las componentes
de los vectores siguientes:
r r r ur
x = u + 2v − 3w
ur 1 r 1 r
b) y = u + v
2
3
r
r 1 r 1 ur
c) z = 2u − v − w
2
5
a)
r
10) Escribe tres combinaciones lineales distintas con los vectores u ( 2, 0, 3) ,
r
ur
v ( −1,1, 0 ) y w ( 0, −5, 2 ) .
r
r
ur
11) Dados los vectores u (1,5, −2 ) , v ( 4, 0, −9 ) , w ( 0, −1, 6 ) ,
ur
y ( 2, −10, −5 ) , expresa:
r
x (13,3, −17 ) e
r
r r ur
x como combinación lineal de u , v y w .
ur
r r
b) y como combinación lineal de u y v .
ur
r r
c) w como combinación lineal de u y v .
a)
12) ¿Cuáles de los siguientes vectores tienen la misma dirección?
r
a (1, −3, 2 )
r
b ( 2, 0,1)
r
c ( −2, 6, −4 )
ur
d ( 5, −15,10 )
r
e (10, −30,5 )
13) Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
r
r
ur
{u (1, 2,1) , v ( −1, 0, 3) , w (1, 2, −1)}
r
r
ur
r
{u (1, 2, 3) , v (1, 4,11) , w (1,1, −1) , x ( 0,1, 4)}
r
r
ur
{u (1,1, 0 ) , v (1, 0,1) , w (5, 2,3)}
r
r
ur
{u (1, 0, 0) , v ( 0,1, 0 ) , w ( 0, 0,1)}
r
r
ur
{u (1,1, 0 ) , v (1, 0,1) , w ( 0,1,1)}
r
r
ur
{u (1, −2, 4 ) , v ( 0, 2,1) , w ( −1, −3,0 )}
r
r
ur
{u ( −1, 0, 2 ) , v ( 2, 0, −4 ) , w ( 3, −1,5)}
14) Determina k para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente
dependientes:
r
r
ur
u ( k , −3, 2 ) , v ( 2, 3, k ) , w ( 4, 6, −4 )
r
r
ur
b) u ( 3, 2,5 ) , v ( 2, 4, 7 ) , w (1, −1, k )
a)
15) ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores S = {(1,1,1) , ( a,1,1) , (1, a, 0 )} es
una base?
r
ur
r
16) Razona por qué los vectores x ( 2, k ,3) , y ( 3, −2, k ) y z (1,1, −1) son linealmente
independientes para cualquier valor de k.
r
17) Comprueba que no es posible expresar el vector x(3, −1, 0) como combinación
r
r
r r r
lineal de u (1, 2, −1) y v (2, −3, 5) . ¿Son linealmente independientes x , u y v ?
r
r
r
18) Comprueba que cualquiera de los vectores a(1, 2,3) , b(2,1,3) , c (1, 0,1) puede
expresarse como C. L. de los otros dos.
19) Consideramos el espacio vectorial ¡ 3 . ¿Cuáles de estos conjuntos de vectores
son base?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
r
ur  1 −3  
r
u
=
1,
2,
−
3
,
v
=
−
2,
−
4,
6
,
w =  ,1,  
(
)
(
)

2 
2

r
r
ur
u = ( 2,3, −1) , v = ( 4, 6, −2 ) , w = (1, 2, 4 )
r
r
ur
u = (1, 0, −2 ) , v = ( 2, −1,1) , w = ( 4, −1, −3)
r
r
ur
u = ( 3,1, −1) , v = (1, 0, 2 ) , w = ( 2,5, 3)
r
r
ur
u = ( 3, 5, −1) , v = (1, 2, −1) , w = ( 0,1,1)
r
r
ur
u = ( −2, 0, 0 ) , v = ( 0,1, 0 ) , w = ( 0, 0, −3)
r
r
ur
u = ( 2, 0, 0 ) , v = ( −3,1, −1) , w = ( 3, 0,1)
r
r
ur
u = (1,1,1) , v = (1, −1, 0 ) , w = ( 0, −1,1)
{
{
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
}
r r
ur r
20) Halla, en cada caso, todos los valores de m, n y p tales que mu + nv + pw = 0 :
r
r
ur
a) u (3, 0,1) , v (1, −1, 0) y w(1, 0,1)
r
r
ur
b) u (1, −1, 0) , v (1,1,1) y w(2, 0,1)
21) *Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de
vectores:
r
r
ur
a) u (1, 2,1) , v (−1, 0,3) y w(1, 2, −1)
r
r
r
ur
b) u (1, 2,3) , v (1, 4,11) , w(1,1, −1) y x ( 0,1, 4 )
r
r
ur
c) u (1,1, 0) , v (1, 0,1) y w(5, 2,3)
22) *Determina k para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente
dependientes:
r
r
ur
a) u (k , −3, 2) , v (2,3, k ) y w(4, 6, −4)
r
r
ur
b) u (3, 2,5) , v (2, 4, 7) y w(1, −1, k )
23) *¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base?
a) A = {(1, 2,1) , (1, 0,1) , ( 2, 2, 2 )}
b) B = {(1,1,1) , (1, 0,1) , (1,1, 0 ) , ( 0, 0,1)}
r
24) Halla k para que el vector u ( 3, −4,1) sea combinación lineal de los vectores
r
ur
r r ur
v (1, 2, 0 ) y w ( −2, k ,1) .¿Para qué valores de k el conjunto u, v, w constituye
{
una base de ¡ 3 ?
}
r
r
r
25) Dados los vectores a = (1, 0,1) , b = ( −1, −1, 4 ) y c (1, −1, −2 ) realiza los
siguientes productos escalares:
r r
a ⋅b
r r
b) a ⋅ c
r r r
c) a ⋅ b + c
r r r
d) a ⋅ 2b − c
a)
(
(
)
)
26) Determina el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
r
u = (1, −1, 0 ) ,
r
b) u = ( 0, −2,1) ,
r
c) u = (1, −1, 2 ) ,
a)
r
v = ( 3,3,1)
r
v = ( 3,1, 4 )
r
v = ( −3, 2,1)
r
r
27) Dados los vectores u = (1, 2, 2 ) y v = ( −4,5, −3 ) , calcula:
r r
u ⋅v
r
b) u
r
c) v
a)
r r
r
r
e) La proyección de v sobre u .
d) Ángulo que forman u y v .
r r
r r
r
r r
r
28) Dados los vectores a = i + m j + k y b = −2i + 4 j + mk , halla m para que los
r r
vectores a y b sean:
a)
Paralelos
b) Ortogonales
r r r r
r
r r
r
29) Dados los vectores u = 2i − j + k y v = −i + 3 j + 2k , comprueba que los
r r r r
vectores u × v y v × u son opuestos y halla su módulo.
r
30) Halla el área del paralelogramo que forman los vectores u = ( 7, −1, 2 ) y
r
v = (1, 4, −2 ) .
r
r
31) Halla un vector perpendicular a u = ( 2,3,1) y a v = ( −1,3, 0 ) , y que sea unitario.
r
r
32) En una base ortonormal tenemos a (1, 2, 2 ) y b ( −4,5, −3) . Calcula:
r r
a) a ⋅ b
r r
b) a y b
c)
r r
a, b )
(·
r
d) La proyección de b
r
sobre a .
r r
r r
r
r r
r
33) Dados los vectores a = i + m j + k y b = −2i + 4 j + mk , halla m para que los
vectores a y b sean:
a) Paralelos.
b) Ortogonales.
r
r
34) Halla la proyección del vector u = ( 3,1, 2 ) sobre el vector v = (1, −1, 2 ) .
r
r
35) ¿Son a = (1, 2,3) y b = ( 2, −2,1) ortogonales? Si no lo son, halla el ángulo que
forman.
r
r
36) Calcula m para que el vector a = (1, 3, m ) sea ortogonal al vector b = (1, −2,3) .
r 1 1 
37) Comprueba que el vector u =  , , 0  no es unitario y da las coordenadas de
2 2 
r
un vector unitario de la misma dirección que u .
r r r r
r
r r
r
r r
38) Dados u = 2i − j + k y v = −i + 3 j + 2k , comprueba que los vectores u × v y
r r
v × u son opuestos, y halla su módulo.
39) Halla el área del paralelo ramo que forman los vectores
r
b = (1, 4, −2 ) .
r
a = ( 7, −1, 2 ) y
r
r
40) Halla un vector perpendicular a u = ( 2,3,1) y a v = ( −1,3, 0 ) y que sea unitario.
r
r
41) Halla un vector ortogonal a u = (1, −1, 0 ) y a v = ( 2, 0,1) y cuyo módulo sea
24 .
r r ur
42) Halla u , v, w en los siguientes casos:
r
r
ur
a) u (1, −3, 2) , v (1, 0, −1) y w(2, 3, 0)
r
r
ur
b) u (3, 2,1) , v (1, −2, 0) y w(−4,1,1)
r
r
ur
c) u (1, 2, −1) , v (3, 0, 2) y w(−1, 4, −4)
r
r
43) *Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por u (1, 2,3) , v (−2,1, 0) y
ur r r
w = u×v .
r
r
44) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por a(3, −1,1) , b(1, 7, 2) y
r
c (2,1, −4) .
r
r
ur
45) *Calcula el valor de m para que u (2, −3,1) , v (1, m,3) y w(−4,5, −1) sean
coplanarios.
46) *Prueba que los vectores (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1) son linealmente
independientes cualesquiera que sean a, b y c.
r
r
r r
47) Dados los vectores a(1, 2, −1) y b(1,3, 0) , comprueba que el vector a × b es
r r
r r
perpendicular a a + b y a a − b .
ur
uur
uur
ur uur
48) *Dados los vectores u1 (2, 0, 0) , u2 (0,1, −3) y u3 = au1 + bu2 , ¿qué relación
uur
r
deben cumplir a y b para que u3 sea ortogonal al vector v (1,1,1) ?
r
r
49) Calcula las coordenadas de un vector u que sea ortogonal a v (1, 2,3) y
ur
r r ur
w(1, −1,1) y tal que u , v, w = 19 .
50) Obtén λ para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:
uur
r
ur
uur
u1 (3, 2,5) , u2 (2, 4, 7) y u3 (1, −3, λ ) . Para λ = 3 , expresa el vector v ( 7,3,15 )
ur uur uur
como combinación lineal de u1 , u2 y u3 .
r
r
ur
51) Dados los vectores u (a,1 + a, 2a ) , v (a,1, a) y w(1, a,1) , se pide:
r r ur
a) Halla los valores de a para los que los vectores u , v y w son linealmente
dependientes.
r
r r ur
b) Estudia si el vector c ( 3, 3, 0 ) depende linealmente de u , v y w para el
caso a = 2
c) Justifica razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad
r r ur
u ⋅ v× w = 0
(
)