Fracciones continuas, algoritmos y curiosidades

Fracciones continuas, algorı́tmos y curiosidades
Lourdes Quesada Villalobos1
Jorge Luis Chinchilla Valverde2
Resumen
El presente trabajo muestra una breve descripción sobre el concepto de fracciones continuas, algunas definiciones,
teoremas y algoritmos sobre la misma. El uso de una tabla para la aproximación de raı́ces cuadradas, con
su respectivo subradical entero positivo, esto mediante un algoritmo. Además cuenta con diversos ejercicios
resueltos y aplicaciones: como números metálicos y aproximaciones de los números π, e mediante fracciones
continuas.
1
Fracciones continuas y curiosidades
1.1
Reseña histórica
Las fracciones continuas, es una de las herramientas más utilizadas a lo largo de la historia de las Matemáticas.
Sus inicios se remonta con el Algoritmo de Euclides, que constituye un procedimiento para encontrar el máximo
común divisor de dos números naturales m y n. Este algoritmo introdujo la idea de dividir para extraer un
nuevo resto y entonces dividir por el nuevo resto de nuevo y ası́, sucesivamente.
Posteriormente, aparecen las fracciones continuas finitas en la historia de las Matemáticas. El hindú Aryabhata
(476-550) ya las utiliza para resolver ecuaciones diofánticas3 . Más tarde, en el siglo XV I, los matemáticos
italianos Bombelli y Cataldi encuentran aproximaciones de raı́ces cuadradas por medio de fracciones continuas
infinitas. Esto supuso un gran hallazgo, pero ni ellos ni ningún matemático de la época se dedicó al estudio
de sus propiedades. Habrı́a que esperar un siglo más, a Wallis (Opera Mathematica, 1695), quien introdujo el
término ”fracción continua” en la literatura matemática. Nuevas técnicas de análisis mátematico habı́an sido
presentadas por Newton y Leibniz y una generación de contemporáneos de Wallis se pusieron a usar el término
inmediatamente y más tarde Euler (1707-1783), publicó en 1748 un teorema muy importante mostrando que un
tipo particular de fracción continua es equivalente a cierta serie infinita muy general, y son Lambert (1728-1777)
y Lagrange (1736-1813), quienes establecen definitivamente sus fundamentos teóricos.
1.2
Fracciones continuas
En el presente taller entenderemos por fracción continua lo siguiente
Definición de fracción continua
Una fracción continua, se define como una expresión de la forma
b0
a0 +
a1 +
b1
a2
+ ···
···
1 Escuela
+
bn−2
bn−1
an−1 +
an
de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica, Email: [email protected]
de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica, Email: [email protected]
3 Toda ecuación lineal de la forma a x + a x + ... + a x = c donde los a y c son enteros y los posibles valores de x , soluciones
n n
1 1
2 2
i
i
de la ecuación, son números enteros, se llama ecuación diofántica.
2 Escuela
1
donde los ai y bi números reales o complejos.
Centraremos nuestra atención principalmente en expresiones de este tipo donde cada bi = 1 y los términos ai
tendrán ciertas caracterı́sticas, por lo que definimos una fracción continua simple como sigue:
Definición de fracción continua simple
Si en la definición anterior cada bi = 1 y, para i ≥ 2, todos los ai son enteros positivos4 , la fracción se llamará
fracción continua simple y en este caso de denotará por
1
[a0 , a1 , a2 , a3 , ..., an ] = a0 +
a1 +
1
a2
+
···
···
+
1
an−1 +
1
an
Los valores ai se conocen como los términos de la fracción continua. En particular note que [a0 ] = a0
Todos los números racionales tienen representación en fracción continua simple finita y algunos irracionales en
forma de fracción continua simple infinita. Más adelante, se mostrarán teoremas alusivos a dichas afirmaciones.
A continuación se expondrá algunos ejemplos de fracciones continuas asociadas con números racionales positivos
y negativos.
Ejemplo 1 Determine la fracción continua simple asociada a
22
= 1+
17
22
17
1
1
3+
1
2+
2
22
Por lo tanto
= [1, 3, 2, 2]
17
Ejemplo 2 Determine la fracción continua simple asociada a
251
=
802
251
802
1
1
3+
5+
1
1
8+
6
251
Por lo tanto
= [0, 3, 5, 8, 6]
802
Ejemplo 3 Determine la fracción continua simple asociada a −
−
21
120
= −3+ = −3+
47
47
1
2+
1
1
5
120
Por lo tanto −
= [−3, 2, 4, 5]
47
4+
4 El
término a0 puede ser negativo.
2
120
47
Ejemplo 4 Determine la fracción racional asociada a la fracción continua [2, 3, 2, 4]
1
[2, 3, 2, 4] = 2+
3+
= 2+
1
2+
1
4
1
3+
1
= 2+
9
4
1
4
3+
9
9 71
1
= 2+ 31 = 2+ =
31
31
9
Para continuar con nuestro esquema de trabajo, necesitamos del siguiente teorema:
Teorema 1 Si x es un número racional, x se puede representar como una fracción continua simple finita.
p
p
r1
con q > 0, por el algoritmo de la división existen a0 , r1 tal que
= a0 +
con
q
q
q
r1
q
r2
0 < r1 < q, además, a0 +
= a0 + q1 , de nuevo, existen a1 , r2 tal que
= a1 +
con 0 < r2 < r1,
q
r1
r1
r1
al seguir este proceso, se obtiene una sucesión de residuos ri tales que ri+1 < ri , y como son positivos, por
el principio de buen ordenamiento, se concluye que este proceso es finito, con lo cual se determina la fracción
p
continua = [a0 , a1 , a2 , a3 , ..., an ], cuando rn−1 = 1.
q
Demostración. Sea x =
Corolario 1 Toda fracción continua simple infinita representa a un número irracional.
Demostración. Se sigue del teorema anterior al aplicar la contrapositiva de la implicación.
Teorema 2 Toda fracción continua simple infinita periódica, representa un número irracional cuadrático.5
Teorema 3 (De Lagrange) Todo número irracional cuadrático se puede representar como una fracción continua
simple infinita periódica.
Definición de fracción continua periódica
Una fracción continua simple de la forma
y
=
=
[a
£ 0 , a1 , a2 , a3 , ..., an , b1 , ..., bk ,¤b1 , ..., bk , ...]
a0 , a1 , a2 , a3 , ..., an , b1 , ..., bk
se le denomina periódica.
£
¤
Nota: Una fracción continua de la forma y = b1 , ..., bk se llama periódica pura.
5 Es solución de la ecuación cuadrática ax2 +bx+c = 0 con a, b, c ∈ Z, puede expresarse mediante una fracción continua periódica
y que toda fracción continua periódica representa un irracional cuadrático.
3
Ejemplo 5 Determine la fracción continua simple infinita que representa al irracional cuadrático
√
√
Sea y = 8; como 2 < 8 < 3 , entonces:
√
¡√
√
8.
¢
8 − 2 = 2+
1
1
1
1
√
= 2+
= 2+
= 2+ √
1
1
8
+
2
8
−
2
√
1+
1+
4
8−2
4
4
√
8−2
√
1
1
1
= 2+
8= 2+
= 2+
1
1
1
¢
¢
1 + ¡√
1+ √
1 + ¡√
4 8+2
8+2
4 8−2
4
√
Si observamos atentamente se obtiene la misma expresión 8 − 2, lo que señala que se repite el proceso en forma
indefinida, por lo tanto:
8= 2+
√
8= [2, 1, 4, 1, 4, 1, 4, ...] o
√
£
¤
8= 2, 1, 4
que es una fracción continua periódica.
√
5 + 10
como una fracción continua periódica.
Ejemplo 6 Expresar
3
√
√
5 + 10
5 + 10
Como 2 <
< 3, se tiene que 2 es el mayor entero menor que
. Entonces
3
3
1
√
√
√
√
5 + 10
2 + 5 + 10 − 2
6 + 10 − 1
10 − 1
1
=
=
=2+
♦=2+ √ 3
=2+ √
3
3
3
3
10 − 1
10 + 1
3
=2+
1
1
1
1
√
=2+
=2+
=2+
1
1
1
10 − 2
√
1+ √
1+
1+
10 + 2
10 − 2
3
1+ √ 3
2+
10 − 2
2
2
1
=2+
1+
Ã√
Observe que
10 − 1
3
1
=2+
1
1+
1
2+
2
√
10 − 2
1
1
2+ √
10 + 2
3
1
=2+
1
1+
!
aparece de nuevo.
Por lo tanto, el desarrollo de
1
1+
2+
1+
Ã√
1
nuevamente serı́a
Ã√
2+
1
Ã√
!
10 − 1
1+
3
de ahı́ que finalmente tenemos:
5+
√
3
10
£
¤
= 2, 1, 2, 1
4
1
10 − 1
3
10 − 1
3
!
♦
!
en fracción continua
Ejemplo 7 Determine la fracción continua simple infinita que representa al irracional cuadrático
£
¤
Encuentre
representado por la fracción continua simple infinita 1, 1, 2 .
£ el irracional
¤
Sea x = 1, 1, 2 , entonces:
√
8.
1
x = 1+
1
1+
1
2+
1+
por lo que
1
2 + ···
1
x−1=

1+

2+
luego, resolviendo
1
=
1

1+
1

1 
1+
2 + ···
1
2 + (x − 1)
√
√
se obtiene que sus soluciones son − 3 y 3, y considerando que x es positivo,
1
1+
2 + (x − 1)
£
¤ √
se obtiene que 1, 1, 2 = 3.
1
x−1=
√
Ejercicio 1 Exprese 3 + 1 como fracción continua simple infinita.
√
√
£
¤
Sea y = 3 + 1; por el ejemplo anterior se sabe que 3 = 1, 1, 2 , entonces:
√
1
3= 1+
1
1+
1
2+
1+
=⇒
√
3+1
=
1
2 + ···
1+
1
+1
1
1+
1
2+
1+
1
2 + ···
1
= 2+
1
1+
1
2+
1
2 + ···
√
Por lo que fracción continua simple infinita que representa a 3 + 1 es
1+
¤
£
= 2, 1, 2
1
2+
1
1+
1
2+
1+
1
2 + ···
5
Números metálicos
Los números metálicos aparecen tanto en los sistemas usados en el diseño de las construcciones por la civilización
romana hasta los más recientes trabajos de caracterización de caminos universales al caos.
El más famoso de la familia es el número de oro que ha sido utilizado ampliamente en muchas culturas antiguas
como base de proporciones. Otros familiares son el número de plata, el número de bronce, el número de cobre,
el número de nı́quel y otros muchos más.
Todos los números metálicos son irracionales cuadráticos y de acuerdo con el teorema 3, en que toda fracción
continua simple infinita periódica, representa un número irracional cuadrático, esto permitirá acercarnos a ellos
de diferentes maneras, de acuerdo al desarrollo que se requiera.
La familia de números metálicos (FNM) aparecen como las soluciones positivas de ecuaciones cuadráticas del
tipo:
x2 − bx − p = 0 , donde b y p son números naturales. Para distintos valores enteros de b,se podrá encontrar en
su solución algunos números metálicos.
√
√
1± 5
1+ 5
2
Ası́, si b = 1 y p = 1 entonces x − x − 1 = 0 con x =
=⇒ x1 =
se le denomina el número de
2
2
oro.
√
√
2± 8
Si b = 2 y p = 1entonces x2 − 2x − 1 = 0 con x =
=⇒ x1 = 1 + 2 se le denomina el número de plata.
2 √
√
3 ± 13
3 + 13
2
Si b = 3 y p = 1 entonces x − 3x − 1 = 0 con x =
=⇒ x1 =
se le denomina el número de
2
2
bronce.
Analicemos el número de oro.
√
1+ 5
Sea φ =
2
√
√
1+ 5
1+ 5
< 2, se tiene que 1 es el mayor entero menor que
. Entonces
Como 1 <
2
2
1
√
√
√
√
1+ 5
1+1+ 5−1
2+ 5−1
5−1
1
1
Ã√
!
=
=
=1+
♦=1+ √ 2
=1+ √
=1+
2
2
2
2
5−1
5+1
5−1
♦
1+
2
2
Ã√
Observe que
5−1
2
Ã√
!
aparece de nuevo.
Por lo tanto, el desarrollo de
1
nuevamente serı́a
1
1+
1+
1
!
Ã√
5−1
1+
2
£ ¤
Ası́ tenemos finalmente que el número de oro φ = 1
6
5−1
2
!
en fracción continua
Otra manera para hallar su desarrollo en fracciones continuas, se reescribe la ecuación en la forma x2 = x + 1
y dividiendo por x se obteniendo:
1
x
Reemplazando iterativamente este valor de , se encuentra la expresión del número de oro φ como un desarrollo
en fracciones continuas.
£ ¤
1
φ=
= 1
1
1+
1
1+
1 + ...
√
√
3 + 13
se pueden representar de la forma
Ejercicio 2 Muestre que el número de plata σ Ag = 1 + 2 y σ Br =
2
£ ¤
£ ¤
:σ Ag = 2 y σ Br = 3
x = 1+
A
√ continuación se presenta la siguiente tabla que permite obtener los términos de las fracciones continuas para
n, con n ∈ Z.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
√
£ n ¤
£1, 2 ¤
1, 1, 2
[2]
£ ¤
£2, 4 ¤
£2, 2, 4
¤
£2, 1, 1,¤1, 4
2, 1, 4
[3]
£ ¤
£3, 6 ¤
£3, 3, 6¤
£3, 2, 6
¤
£3, 1, 1, 1, 1,¤6
£3, 1, 2,¤1, 6
3, 1, 6
[4]
£ ¤
£4, 8 ¤
£4, 4, 8
¤
£4, 2, 1,¤3, 1, 2, 8
£4, 2, 8
¤
£4, 1, 1, 2, 1, 1, 8¤
£4, 1, 2, 4, 2,¤1, 8
£4, 1, 3,¤1, 8
4, 1, 8
[5]
¤
£
5, 10
n
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
√
£ n
¤
£5, 5, 10
¤
£5, 3, 2, 3, 10 ¤
£5, 2, 1, 1,
¤ 2, 10
5,
2,
10
£
¤
£5, 1, 1, 3, 5, 3,
¤ 1, 1, 10
£5, 1, 1, 1, 10¤
£5, 1, 2, 1, 10¤
£5, 1, 4, 1,
¤ 10
5, 1, 10
[6]
£
¤
£6, 12 ¤
£6, 6, 12¤
£6, 4, 12¤
£6, 3, 12 ¤
£6, 2, 2, 12
¤
£6, 2, 12
¤
£6, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1,
¤ 12
£6, 1, 1, 1, 2, 1, 1,
¤ 1, 12
6,
1,
2,
2,
2,
12
£
¤
£6, 1, 3, 1, 1, 2,
¤ 6, 2, 1, 1, 3, 1, 12
£6, 1, 5, 1,
¤ 12
6, 1, 12
[7]
£
¤
7, 14
7
√
£
¤
41 = 5, 2, 2, 12 . Determine la fracción continua simple infinita de
Ejercicio 3 Compruebe que
√
41 − 5.
√
√
Sea
6 < 41 < 7 , entonces:
√ y = 41; como
√
41 = 6+ 41−6
1
=
6+
=
6+ √
=
6+ √
=
6+
=
6+
√ 1
41−6
1
41+6
5
1
2+
1
1
41+4
5
1
√
1
41+4+6−6
5
1
6+
2+
=
√
6+
2+
=
1
√
5( 41+4)
25
1
6+
2+
=
1
√ 5
41−4
6+
2+
=
√
41−4
5
1
2+
=
1
41+6+6−6
5
1
2+
√
41−6
5
1
6+
1
2+
2+
1
5
√
41 − 6
8
√
369 + 6
y
3
=
1
6+
1
2+
2+
=
5
¡√
1
6+
1
2+
2+ √
=
1
¢
41 + 6
5
1
41 + 6 + 6 − 6
1
6+
1
2+
2+
12 +
1
√
41 − 6
√
288 − 6
como una fracción continua periódica.
3
√
√
3 32 − 6 √
288 − 6
Observe que
=
= 32 − 2
3
3
√
√
£
¤
Sea y = 32 − 2; por la tabla anterior se sabe que 32 = 5, 1, 1, 1, 10 , entonces:
Ejercicio 4 Expresar
√
1
32= 5+
1
1+
1
1+
1
1+
1
10 +
1
1+
1
1+
1+
=⇒
√
32 − 2 =
5+
1+
1+
1
10 + ...
1
1
1
−2
1
1+
1
10 +
1
1+
1
1+
1+
1
10 + ...
1
= 3+
1
1+
1
1+
1
1+
1
10 +
1
1+
1
1+
1+
1
10 + ...
9
Por lo que fracción continua simple infinita que representa a
√
32 − 2 es
£
¤
= 3, 1, 1, 1, 10
1
3+
1
1+
1
1+
1
1+
1
10 +
1
1+
1
1+
1+
1
10 + ...
Definición de convergentes
Las convergentes ck de la fracción continua simple
[a0 , a1 , a2 , a3 , ...], finita o infinita, corresponden a las fracciones finitas
c1
c2
..
.
=
=
[a1 ]
[a1 , a2 ]
..
.
ck
=
[a0 , a1 , a2 , a3 , ..., ak ]
Ejemplo 8 Determine el valor de las convergentes de la fracción continua [3, 2, 3, 5].
A partir de la definición anterior, se tiene que:
c1
=
[3]
=
3
c2
=
[3, 2]
=
3+
c3
=
[3, 2, 3]
=
3+
1
2
=
1
2+
c4
=
[3, 2, 3, 5] =
3+
=
1
3
1
=
1
2+
3+
7
2
24
7
127
37
1
5
£
¤
Ejercicio 5 Determine el valor de las cuatro primeras convergentes de la fracción continua infinita 7, 2, 3 .
Note que :
c1
=
[7]
=
7
c2
=
[7, 2]
= 7+
c3
=
[7, 2, 3]
=
7+
1
2
=
1
2+
c4
=
[7, 2, 3, 2] =
7+
2+
=
1
3
1
3+
10
=
1
1
2
15
2
52
7
119
16
Es claro que para la fracción continua simple [a0 , a1 , a2 , a3 , ...], finita o infinita, cada convergente ck de ella
pk
, ∀k ∈ N, con pk y qk enteros. Esto permite
representa un racional, por lo tanto, se puede establecer que ck =
qk
determinar un proceso algorı́tmico para determinar dichos enteros. Iniciando con n = 0 tenemos:
c0 = [a0 ] =
a0
1
de ahı́ que p0 = a0 y q0 = 1, luego para n = 1:
c1 = [a0 , a1 ] = a0 +
1 a0 a1 + 1
=
a1
a1
de ahı́ que p1 = a0 a1 + 1 y q1 = a1 , luego para n = 2:
Ejercicio 6
=
c2
=
[a0 , a1 , a2 ] =
a0 +
a0 a1 + 1
a1
1
a1 +
1
a2
=
a0 a1 a2 + a0 + a2
a2 a1 + 1
=
a2 (a0 a1 + 1) + a0
a2 a1 + 1
=
a2 p1 + p0
a2 q1 + q0
de ahı́ se tiene que p2 = a2 p1 + p0 y q2 = a2 q1 + q0 .♣
Si cn es el n-ésimo convergente asociado a la fracción
pn
continua simple [a0 , a1 , a2 , a3 , ...] y escribimos cn =
, entonces ∀n ≥ 2 se cumple que
qn
pn = an pn−1 +pn−2
qn
=
an qn−1 +qn−2
Demostración:
Usaremos inducción sobre n
Para n = 2 el resultado es cierto. Observe ♣
Supongamos que el resultado es válido para n. Por lo que se asume como cierto
pn
=
an pn−1 +pn−2
qn
=
an qn−1 +qn−2
Se debe probar que la proposición
es válida para n + 1, para ello
¸ se tiene:
·
1
[a0 , a1 , a2 , a3 , ..., an , an+1 ] = a0 , a1 , a2 , a3 , ..., an−1 , an +
an+1
11
cn+1
=
µ
¶
1
an +
pn−1 + pn−2
an+1
¶
µ
1
qn−1 + qn−2
an +
an+1
=
an+1 (an pn−1 + pn−2 ) + pn−1
an+1 (an qn−1 + qn−2 ) + qn−1
Luego,
an+1 pn + pn−1
an+1 qn + qn−1
de donde se concluye que pn+1 = an+1 pn + pn−1 y qn+1 = an+1 qn + qn−1 .
=
Podemos construir un algoritmo para generar las convergentes de una fracción continua, mediante una tabla
n
0
1
2
an+1
a1
a2
a3
pn
a0
p1
p2
qn
1
q1
q2
La tabla la iniciamos colocando los valores a0 , a1 , a2 , p0 , p1 , q0 y q1 . Luego a partir de n = 2, para encontrar
los valores para pn procedemos como sigue: Tomamos el elemento en la casilla superior a an , éste se multiplica
por el de la casilla a su izquiera y luego se le suma el de la casilla superior a este. Los qn se encuentran tomando
el elemento en la casilla superior a an , éste se multiplica por la segunda casilla a su izquiera y luego se le suma
el de la casilla superior a este.
£
¤
Ejemplo 9 Hallar la décima convergente de la fracción continua simple infinita 1, 2, 1 .
Entonces tenemos
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
an+1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
pn
2
3
8
11
30
41
112
153
418
571
1560
12
qn
1
1
3
4
11
15
41
56
153
209
571
cn
2
3
2.66667
2.75
2.7272
2.7333
2.73171
2.73214
2.73202
2.73206
2.73205
Aproximaciones
Las fracciones continuas ofrecen una manera de conocer la irracionalidad de un número. Si su desarrollo es
infinito entonces el número es irracional. Podemos realizar aproximaciones para ciertos valores irracionales como
los siguientes:
Ejemplo 10 Aproximar el valor de π mediante una fracción continua simple infinita.
1
π =3+
1
7+
1
15 +
1
1+
1
292 +
1
1+
1
1+
1
1+
2+
1
..
.
Ası́ pues se puede decir que π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]
Ejemplo 11 Aproximar el valor de e mediante una fracción continua simple infinita.
1
e = 2+
1
1+
1
2+
1
1+
1
1+
1
4+
1
1+
1
1+
1
6+
1
1+
1
1+
1
8+
1
1+
1
1+
1
10 +
1
1+
1+
1
12 +
1
..
.
Por lo que se puede decir que e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...], o escrito de otra forma, el
desarrollo en fracción continua simple de e, es:
· z }| { z }| {
z }| { ¸ £
¤
e = 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, ..., 1, 2p, 1, ... = 2, 1, 2p, 1 con p ∈ N − {0}
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Bibliografı́a
1. De Spinadel, V. La Familia de Números Metálicos.
Argentina. http://cumincades.scix.net/data/works/att/4856.content.pdf.
2. Martı́n, C. Φ, El más “Bello” e Irracional de todos los Irracionales
http://camilosanchezmartin.iespana.es/menuinicioylaterales/ventanaprincipal
/curiosidades/articulos/elmasbelloeirracional.htm
3. Murillo , M & González J. Teorı́a de los Números. Editorial Tecnológica de Costa Rica. Costa Rica, 2006.
4. Pettofrezzo, A & Byrkit, D. Introducción a la Teorı́a de los Números. Editorial Prentice Hall, España,
1972.
5. Rivero, F. Introducción a la Teorı́a de Números. http://www.saber.ula.ve/
6. Fracciones continuas, Números metálicos y Sucesiones generalizadas de Fibonacci. Revista Suma, Num
50, noviembre 2005. España.
7. Curiosidades Aritméticas. http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/barcelo/pacioli/caritmeticas.html
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