ν τ τ ψ ψ τ

ÓPTICA ESTADÍSTICA
GRUPO PILOTO
CURSO 2008/2009
SOLUCIONARIO EJERCICIO No. 4
1.- Para interpretar la observación de franjas de interferencias con luz policromática
podemos hacer uso de las figuras proporcionadas en el solucionario del Ejercicio No.3.
(véase Fig. 3a de dicho solucionario). Además, podemos también hacer uso de la Fig.
3b y Fig. 3c del mismo solucionario.
Se puede entonces interpretar que para cada frecuencia ν (equivalente a utilizar un
filtro espectral F(ν) idéntico tanto en P1 como en P2), tendremos una distribución de
intensidad I(Q) dada de acuerdo con la ley general de interferencias:
Recordemos la formula inicial utilizada para llegar a dicha ley:
I ( Q, t ) = K1 (ν )
2
I ( P1 , t ) + K 2 (ν )
2
I ( P2 , t ) + 2 Re { K1* (ν ) K 2 (ν ) Γ ( P1 , P2 , t2 − t1 )}
(1)
Donde, debemos notar que tanto K1 como K2 son funciones de ν.
También dicha ley debe de cumplirse:
∀ν ; ∀t2 − t1 =
r2 − r1
=τ .
c
En el esquema de la Figura 1 se observa que en cada patrón de intensidades para las
distintas longitudes de onda, habrá distintas condiciones de máximos y mínimos
interferenciales, debido a que la luz recorre distintos caminos ópticos en cada caso
particular. Por lo tanto, debemos hacer un tratamiento general que permita, por
consistencia, obtener una ley de interferencias en el dominio de frecuencias.
De acuerdo con la definición de la función de coherencia mutua, escribimos:
Γ ( Q, Q,τ ') = ψ * ( Q, t )ψ ( Q, t + τ ')
(2)
Donde en general τ’ es distinta de τ.
Si sustituimos a ambos lados de la ec.(1):
Γ ( Q, Q,τ ') = K1 (ν ) ψ * ( P1 , t − t1 )ψ ( P1 , t − t1 + τ ') +
2
K 2 (ν ) ψ * ( P2 , t − t2 )ψ ( P2 , t − t2 + τ ') +
2
K1* (ν ) K 2 (ν ) ψ * ( P1 , t − t1 )ψ ( P2 , t − t2 + τ ') +
K1 (ν ) K 2* (ν ) ψ ( P1 , t − t1 + τ ')ψ * ( P2 , t − t2 )
(3)
Intensidad
para λazul
F(ν)
d sin θ = r2- r1
P1
d
θ
θ
θ
r1
P2
y
Q
r2
Φ(ν)
P
R
Figura 1.- Esquema para la observación de franjas de interferencias con luz policromática
cuando se filtra espectralmente con un filtro F(ν). Tomamos el ejemplo del sistema de franjas
asociado a la frecuencia en el azul. En un punto Q arbitrario del plano de observación se
observa un máximo de interferencias. Esta condición no se cumple para otros patrones
inteferenciales que tienen asociadas otras frecuencias en el visible. Estos patrones se pueden
obtener utilizando filtros espectrales que filtren en las frecuencias deseadas.
En la ec.(3) consideramos las condiciones de estacionaridad y podemos reescribir:
Γ ( Q, Q,τ ') = K1 (ν ) ψ * ( P1 , t )ψ ( P1 , t + τ ' ) +
2
K 2 (ν ) ψ * ( P2 , t )ψ ( P2 , t + τ ') +
2
(4)
K1* (ν ) K 2 (ν ) ψ * ( P1 , t )ψ ( P2 , t + τ '+ t2 − t1 ) +
K1 (ν ) K 2* (ν ) ψ ( P1 , t + τ '+ t1 − t2 )ψ * ( P2 , t )
La ec.(4) permite la aplicación del teorema de Wiener-Khintchine. En efecto
multiplicamos ambos lados de la ecuación por exp(2πiντ’) e integramos con respecto a
τ ’ (como variable) en todo el espacio :
∫
+∞
−∞
Γ ( Q, Q,τ ') exp ( 2π iντ ') dτ ' =
+∞
∫
∫
∫
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
K1 (ν ) ψ * ( P1 , t )ψ ( P1 , t + τ ') exp ( 2π iντ ') dτ ' +
2
K 2 (ν ) ψ * ( P2 , t )ψ ( P2 , t + τ ' ) exp ( 2π iντ ') dτ '+
2
K1* (ν ) K 2 (ν ) ψ * ( P1 , t )ψ ( P2 , t + τ '+ t2 − t1 ) exp ( 2π iντ ') dτ ' +
K1 (ν ) K 2* (ν ) ψ ( P1 , t + τ '+ t1 − t2 )ψ * ( P2 , t ) exp ( 2π iντ ')dτ '
(5)
Que podemos escribir:
∫
+∞
−∞
Γ ( Q, Q,τ ') exp ( 2π iντ ' ) dτ ' =
+∞
∫
∫
∫
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
K1 (ν ) Γ ( P1 , P1 ,τ ' ) exp ( 2π iντ ') dτ ' +
2
K 2 (ν ) Γ ( P2 , P2 ,τ ' ) exp ( 2π iντ ') dτ ' +
2
(6)
K1* (ν ) K 2 (ν ) Γ ( P1 , P2 ,τ '+ t2 − t1 ) exp ( 2π iντ ' ) dτ ' +
K1 (ν ) K 2* (ν ) Γ ( P2 , P1 ,τ '+ t1 − t2 ) exp ( 2π iντ ')dτ '
En la ec.(6) notamos que la integral no es de resolución sencilla puesto que K1 y K2
están bajo el signo de integración. Podemos simplificar suponiendo que estos factores
son sólo débilmente oscilantes con respecto a la frecuencia, ello puede ser admitido
puesto que suponemos que la propagación de la radiación emergente de las rendijas
hasta el plano de observación se describe en régimen de Fresnel en aproximación
paraxial. De esta forma podemos suponer ambos factores dependientes de una
frecuencia media:
∫
+∞
−∞
() ∫
Γ ( Q, Q,τ ') exp ( 2π iντ ' ) dτ ' = K1 ν
2
+∞
−∞
Γ ( P1 , P1 ,τ ') exp ( 2π iντ ') dτ ' +
( ) ∫ Γ ( P , P ,τ ') exp ( 2π iντ ') dτ ' +
K (ν ) K (ν ) ∫ Γ ( P , P ,τ '+ t − t ) exp ( 2π iντ ') dτ ' +
K (ν ) K (ν ) ∫ Γ ( P , P ,τ '+ t − t ) exp ( 2π iντ ')dτ '
K2 ν
+∞
2
2
−∞
2
(7)
+∞
*
1
2
1
*
2
1
−∞
2
2
1
1
2
+∞
2
−∞
1
De acuerdo con la definición de densidad espectral mutua, la ec.(7) se expresa:
( ) S ( P , P ,ν ) + K (ν ) S ( P , P ,ν ) +
K (ν ) K (ν ) S ( P , P ,ν ) exp  −2π iν ( t − t )  +
K (ν ) K (ν ) S ( P , P ,ν ) exp  −2π iν ( t − t ) 
S ( Q, Q,ν ) = K1 ν
2
2
1
1
2
*
1
2
1
2
1
*
2
2
1
2
2
2
1
(8)
1
2
Siguiendo con la misma notación utilizada en la ley general de interferencias:
S ( Q,ν ) = S ( ) ( Q,ν ) + S (
1
2 S
(1)
2)
( Q,ν ) S
( Q,ν ) +
( 2)


r − r 
( Q,ν ) Re  µl ( P1 , P2 ,ν ) exp  −2π iν  2 1   
 c  


(9)
La ec.(9) expresa una ley general de interferencias espectral. Nótese que para la
fuente policromática debe de cumplirse para todas y cada una de las frecuencias del
espectro de emisión de dicha fuente.
Se expresa en términos del grado de coherencia espectral
l ( P , P ,ν ) . Se observa
µ
1
2
que aún en el caso en que las densidades espectrales asociadas a las emisiones por
P1 y P2 fuesen iguales, la densidad espectral obtenida en la superposición será en
general distinta. También notamos que la densidad espectral mutua es medible a
través de medidas de la función de coherencia mutua y de la intensidad mutua.
Utilizaríamos, por ejemplo, un dispositivo experimental como el mostrado en la Fig.1
utilizando una colección de filtros espectrales con rango en todo el dominio óptico del
visible.
2.- Siguiendo con el procedimiento aplicada en la resolución de la sección anterior, a
partir de la ec.(9):
S ( Q,ν ) = S (1) ( Q,ν ) + S ( 2 ) ( Q,ν ) +
2 S
(1)
(10)
( Q,ν ) S ( Q,ν ) µl ( P1 , P2 ,ν ) cos arg µl ( P1 , P2 ,ν ) − δ 
( 2)
Donde hemos considerado:
{
}
l ( P , P ,ν ) = µ
l ( P , P ,ν ) exp i arg µ
l ( P , P ,ν ) 
µ
1
2
1
2
1
2


(11)
y:

 r2 − r1  
  = k ( r2 − r1 )
 c 
δ =  2πν 

(12)
es el desfase asociado a cada camino óptico considerado.
La ec.(8) expresa la modulación de la densidad espectral en un punto Q del plano de
observación.
l ( P , P ,ν ) tiene el mismo significado que el grado de coherencia
µ
1
2
γ ( P1 , P2 ,τ ) sin más que comparar la ec.(10) con la ley general de
La función
complejo
interferencias:
I ( Q ) = I (1) ( Q ) + I ( 2 ) ( Q ) +
2 I ( ) (Q ) I (
1
2)
(13)
( Q ) γ ( P1 , P2 ,τ ) cos arg γ ( P1 , P2 ,τ ) − δ 
Con:
l ( P , P ,ν ) =
µ
1
2
S (1,2) ( P1 , P2 ,ν )
S
(1)
( P1 ,ν ) S ( P2 ,ν )
( 2)
(14)
l ( P , P ,ν ) ≤ 1 al igual que en el comportamiento del
Donde debe de cumplirse: 0 ≤ µ
1
2
módulo del grado de coherencia complejo.
l ( P , P ,ν ) no
µ
1
2
Debemos sin embargo anotar que γ12(τ) y
quedan en general
directamente relacionadas a través de una transformación de Fourier recíproca.
3.- Debemos estudiar la formula reducida para el grado de coherencia complejo:
γ 12 (τ + τ 0 ) = γ 12 (τ 0 ) γ 11 (τ )
(15)
Que define una condición para campos espectralmente puros y donde, en general τ0 es distinto
de cero.
Tomemos de nuevo la ec.(9) donde suponemos:
S(
2)
( Q,ν ) = C12 S (1) ( Q,ν ) , siendo C12
una constante positiva. Sustituyendo:
S ( Q,ν ) = S ( ) ( Q,ν ) + C12 S ( ) ( Q,ν ) +
1
1
l
r − r 

2 S ( Q,ν ) C12 S ( Q,ν ) Re  µ
( P1 , P2 ,ν ) exp  −2π iν  2 1   
 c  


1
l P , P ,ν exp  −2π iν ( t − t )  
= S ( ) ( Q,ν ) 1 + C12 2 C12 Re  µ
2
1 

 ( 1 2 )
(1)
(1)
{
(16)
}
Tenemos que estudiar la condición:
S ( Q,ν ) − S (1) ( Q,ν ) = 0
(17)
Para que el campo óptico sea espectralmente puro, independientemente del valor que
tome el término de fase en la ec.(16).
Denotemos: t2
− t1 = τ 0 + ∆τ , donde ∆τ << 1 :
∆ν
S ( Q,ν ) = S ( ) ( Q,ν ) + C12 S ( ) ( Q,ν ) +
1
1
l

r − r 
1
1
2 S ( ) ( Q,ν ) C12 S ( ) ( Q,ν ) Re  µ
( P1 , P2 ,ν ) exp  −2π iν  2 1   
 c  


1
l P , P ,ν exp  −2π iν (τ + ∆τ )  
= S ( ) ( Q,ν ) 1 + C12 2 C12 Re  µ
0


 ( 1 2 )
{
{
}
(
)}
1
l ( P , P ,ν ) exp ( −2π iντ ) exp −2π iν ∆τ 
≈ S ( ) ( Q,ν ) 1 + C12 2 C12 Re  µ
1
2
0


Para que se cumpla la condición de campo espectralmente puro:
(18)
l (ν ) exp [ −2π iντ ] = γ (τ ) µ
l (ν )
µ
12
11
0
12
0
(19)
Cuya transformada de Fourier:
∫
+∞
−∞
l (ν ) exp ( −2π iντ ) exp ( −2π iντ ) dν =
µ
12
0
γ 12 (τ 0 )
∫
+∞
−∞
l (ν ) exp ( −2π iντ ) dν
µ
11
(20)
Nos conduce al resultado deseado:
γ 12 (τ + τ 0 ) = γ 12 (τ 0 ) γ 11 (τ )
(21)
γ 12 (τ + τ 0 ) ≤ γ 12 (τ 0 )
(22)
γ 11 (τ ) ≤ γ 11 ( 0 )
(23)
Se cumple además:
Así como:
4.- Para obtener un campo óptico espectralmente puro podemos considerar una fuente
de luz blanca y un experimento de la doble rendija de Young. Las franjas coloreadas
aparecen en el plano de observación en puntos para los cuales la diferencia de camino
óptico es suficientemente extensa. Nos remitimos a la figura de interferencias con luz
blanca dada en el solucionario del ejercicio 3.
Tomemos un punto P0 en el plano de observación, si en dicho punto se obtiene una
densidad espectral análoga a la asociada a la radiación emitida por las fuentes P1 y P2 en
el plano del interferómetro, entonces el campo es espectralmente puro:
S ( P1 , P1 ,ν ) = S ( P2 , P2 ,ν ) = S ( P0 , P0 ,ν )
(24)
Experimentalmente esta condición se puede obtener iluminando con una onda plana
policromática.
El esquema del experimento se muestra en la figura 2. Se necesita estricta iluminación
plana para la cual la fuente de luz blanca debe de ser cuasi-puntual.
Por otra parte, las lentes utilizadas en el experimento deben de ser perfectas exentas de
aberraciones. Dado que experimentalmente no se pueden dar ninguna de las dos
condiciones impuestas se infiere que no se podría obtener un campo espectralmente
puro con el experimento propuesto.
La observación de franjas de Young con luz blanca requiere diseños complicados.
Recientemente se han obtenido resultados con una lámpara hológena, se muestran en las
figuras 3 y 4.
Lente
Lente
P0
Fuente
de luz
blanca
P1
P2
f
f
f
f
Figura 2.- Esquema de dispositivo interferencial para obtener luz espectralmente pura.
Debe de cumplirse la condición dada en la ec.(24).
Figura 3.- Interferencias de luz
blanca
producidas
en
un
interferómetro de Young con una
lámpara halógena. El espectro de
dicha lámpara se muestra en la
figura 4.
Figura 4.- Distribución espectral de
una lámpara halógena1 (en valores
de las longitudes de onda).
1
1
Se puede consultar el artículo: Applied Optics, volumen 47, número 16, página 2956 (2008)