8. La elipse. - Mosaicos

9/ Las cónicas.
8. La elipse.
Definición:
Dados dos puntos F y F’ y una distancia 2a mayor que la distancia FF’, se llama
elipse de focos F y F’ y parámetro 2a, al lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a F y a F’ es 2a.
Debe cumplirse pues que, para todo punto M de la elipse E MF + MF’ = 2a.
Vocabulario y propiedades.
Sea M un punto de la elipse E de focos F y F’, y M’ su simétrico respecto de la recta
(FF’). El segmento [M’F] es simétrico del [MF] y también lo es el [M’F’] del
[MF’]; en consecuencia:
M’F = MF y M’F’ = MF’ entonces sumando estas dos igualdades miembro a miembro se tiene:
M’F + M’F’ = MF + MF’ por lo que si el punto M pertenece a la E entonces su
simétrico M’ respecto de la recta focal (FF’) también pertenece.
La recta focal es por lo tanto eje de simeB
M
tría de la elipse.
(E)
De manera similar se prueba que la mediatriz del segmento [FF’] es eje de simetría
de la elipse. Esta recta se llama eje no focal
F’
O
F
A’
A
de la elipse.
Recordemos que si una figura admite dos
M’
ejes de simetría perpendiculares entonces
B’
la intersección de éstos es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O de [FF’] es el centro de la
elipse.
El eje focal (FF’) corta a la elipse en dos puntos A y A’ llamados vértices de la
elipse y que están a distancia a del centro de la misma. Los puntos B y B’ en que el
eje no focal corta a la elipse también se denominan vértices de la elipse.
Al segmento [AA’] se le llama eje mayor y al segmento [BB’] eje menor de la elipse.
Construcción por puntos de la elipse.
Para obtener puntos de la elipse de focos F y F’ y eje mayor [AA’] podemos seguir
el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera P del segmento [FF’] y
luego se trazan las circunferencias de centros F y F’ y radios respectivamente iguales a AP y A’P. Dichas circunferencias son secantes y los puntos de intersección M y
N son puntos de la elipse.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
167
9/ Las cónicas.
Otros puntos se pueden
obtener a partir de M y N
por simetrías respecto a los
ejes o al centro.
Elipsógrafo con brazo articulado.
El método del jardinero.
Tomemos una cuerda y pasémosla por una
argolla de diámetro un poco mayor que el de
(E)
un marcador. Clavemos luego, mediante dos
M
tachuelas, la cuerda en el pizarrón en dos
puntos marcados F y F’ cuya distancia FF’
sea menor que la longitud de la cuerda.
F’
O
F
Probar que si introducimos el marcador en la
argolla y lo movemos de manera que se deslice sobre el pizarrón conservando siempre
tensa la cuerda queda dibujada una elipse de
focos F y F’.
En efecto MF+ MF’ es igual a la longitud de la cuerda y por lo tanto constante.
Luego la figura trazada representa una elipse de focos F y F’ y parámetro la longitud de la cuerda.
Los jardineros se valen de este método para trazar canteros elípticos: clavan dos
estacas y atan entre ambas una cuerda suficientemente grande y se procede como en
el ejercicio planteado.
Circunferencias directoras I.
Sean dos puntos F y F’ del plano y un número real 2a mayor
que la distancia FF’ = 2c y la circunferencia (C) de centro F
y radio 2a.
Hallemos el lugar geométrico de los puntos M que son centros de circunferencias que pasan por F’ y son tangentes
interiores a la circunferencia (C).
T
(C)
M
F’
F
Por hipótesis FT es 2a y por ser radios MT = MF’ entonces:
MF + MF’ = MF + MT = 2a.
M es pues un punto de la elipse E de focos F y F’ y parámetro 2a.
Recíprocamente si M es un punto de la elipse (E), entonces la circunferencia de centro F y radio 2a es tangente a la circunferencia de centro M que pasa por F’.
168
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
En efecto, tenemos que MF + MF’ = 2a por hipótesis, de donde MF = 2a − MF’ lo
que expresa que las dos circunferencias son tangentes interiormente, que es lo que
se quería demostrar.
Las circunferencias de centro en cada foco y radio el parámetro 2a se llaman circunferencias directoras de la elipse y, por lo que hemos probado, permiten caracterizar
a la elipse con la propiedad planteada en el ejercicio.
Tangente a una elipse.
Sean dos puntos F y F’ del plano y un número real 2a
S
mayor que la distancia FF’ = 2c y la circunferencia
M
(C) de centro F y radio 2a. S es un punto cualquiera de
(C).
F
F’
Probemos que la mediatriz (m) del segmento [F’S] es
tangente a la elipse de focos F y F’ y parámetro 2a.
En efecto, sea M el punto de corte de (m) con el segmento [FS]. M pertenece a la elipse, pues MF’ = SM y
MF’ + MF = SM + MF = 2a.
Además cualquier otro punto P de (m) es tal que F’P + FP > 2a.
C
(m)
Hemos probado además que la tangente a una elipse en un punto M de ella es la
bisectriz exterior de los dos radios vectores MF y MF’.
9. Ecuación reducida de la elipse.
Consideremos el siguiente sistema de ejes
ortonormado: como eje (Ox) la recta focal
(FF’) y como eje (Oy) la mediatriz del
segmento [FF’]; sean c y −c las abscisas
de los puntos F y F’ respectivamente, y 2a
el valor constante (necesariamente superior a 2c) de la suma MF + MF’.
y
M
(E)
O
F’
c
F
x
Si M(x; y) es un punto cualquiera del
plano podemos escribir:
M(x; y) está en la elipse si y sólo si MF + MF′ = 2a. es decir:
2
2
2
2
2
2
( x + c ) + y + ( x – c ) + y = 2a
o, lo que es lo mismo, aislando uno de los radicales:
2
2
( x + c ) + y = 2a – ( x – c ) + y
Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando se llega a:
2
2
2
2
2
2
( x + c ) + y = 4a – 4a ( x – c ) + y + ( x – c ) + y
2
2
2
2
2
2
2
x + 2xc + y = 4a – 4a ( x – c ) + y + x – 2xc + y
2
2
a – cx = a ( x – c ) + y
2
2
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
169
9/ Las cónicas.
Elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se
obtiene:
2
2
2
2
2
( a – cx ) = a [ ( x – c ) + y ]
4
2
4
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
a – 2a cx + c a = a x – 2a cx + a c + a y
2 2
2 2
2 2
a –a c = a x – c x + a y
Como a2 – c2 > 0, podemos poner b2 = a2 – c2. Si dividimos ambos lados de la ecuación entre a2b2 obtenemos la ecuación reducida o canónica de la Elipse de centro en
el origen de coordenadas y focos F(c; 0) y F′(–c; 0), c > 0:
2
2
x
y
----- + ----- = 1 .
2
2
a
b
La forma de la curva así como sus ejes y
y
centro de simetrías resulta inmediatamente
M
(E)
de dicha ecuación.
En este caso, los puntos V(a; 0) y V′(–a; 0),
a b
que son los puntos donde la gráfica de la V′
a
elipse interseca al eje (Ox) son los vértices
c O
c
F′
de la elipse y el segmento [VV′] es el eje
F
mayor (paralelo al eje (Ox)).
Los puntos donde la gráfica de la elipse
M′
interseca al eje (Oy) son M(0; b) y M′(0; –b)
y el segmento de [MM′] es el eje menor (paralelo al eje (Oy)).
V
x
Ejemplo
1. Halla los vértices y los focos de la elipse 3x2 + 4y2 = 12.
Respuesta. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por 12 podemos reescribir
la ecuación dada como:
2
2
y- = 1 .
x----- + ---4 3
Por lo tanto a2 = 4, el eje mayor es paralelo al eje (Ox) y c2 = a2 – b2 = 4 – 3 = 1. De
donde los focos son F(1; 0) y F′(–1; 0) y los vértices V(2; 0) y V′(–2; 0).
170
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
10. Directrices y excentricidad de la
elipse.
Asociemos al foco F (c; o) la
y
2
M
a
recta (HP) de ecuación x = ----c
P
x
y calculemos la razón de distan-
F’
cias de un punto M de la elipse
O
c
H
F
al foco y a la recta (HP).
Entonces se tiene:
2
a
cx
a
MP = ----- – x = --- ⎛ a – -----⎞ ,
c⎝
a⎠
c
de donde
cx
a – ----MF
a
= --c- es constante.
--------- = ----------------------a
MP
a⎛
cx
--- a – -----⎞
⎝
⎠
c
a
2
2
c - lo que conduce inme--------- = --c- implica MF
Recíprocamente, la condición MF
----------- = ---2
2
a
MP
MP
a
diatamente a la ecuación de la elipse:
2
2
x
y
----- + ----- = 1
2
2
a
b
Se tiene así una definición de la elipse como el lugar de los puntos del plano cuya
razón de distancias a un punto fijo F y a una recta fija (d) es una constante menor
c
que 1. La recta (d) es la directriz relativa al foco F y la razón --- se llama excentricia
dad de la elipse; se designa con la letra e.
2
a
Análogamente se le asocia al otro foco F’(−c; o) la recta de ecuación x = – ----- y se
c
llega al mismo resultado.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
171
9/ Las cónicas.
11. Intersección de recta y elipse.
2
2
y - = 1 , que para más comodidad
x - + ---Consideremos la elipse E de ecuación ---2
2
a
b
escribiremos:
b2x2 + a2y2 −a2b2 = 0
La intersección con el eje focal (Ox) da por resultado los puntos A(a; 0) y A’(−a; 0)
que se denominan vértices de la elipse. La intersección con el eje no focal (Ox) da
por resultado los puntos B(b; 0) y B’(−b; 0) que se denominan vértices secundarios
de la elipse.
En el caso general, si se trata de la recta (r) de ecuación y = mx + p se debe resolver
el sistema:
⎧ b2 x2 + a2 y2 – a2 b2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
Sustituyendo se tiene la siguiente ecuación de segundo grado:
b2x2 + a2(mx + p)2 −a2b2 = 0
que reduciendo y ordenando se transforma en:
(b2 + a2m2)x2 + 2a2mpx + a2p2 −a2b2 = 0
Vamos a calcular el discriminante Δ de esta ecuación:
Δ = 4a4m2p2 − 4(b2 + a2m2)(a2p2 −a2b2)
que también se puede transformar reduciendo en:
Δ = 4a2b2(a2m2 − p2 +b2)
y según que Δ sea mayor, igual o menor que cero, habrán dos, una o ninguna solución.
Por lo tanto (r) será secante, tangente o exterior a la elipse.
12. Tangente a una elipse por un punto de
ella.
2
2
y - = 1 y un punto de ella P(x ; x ).
x - + ---Sea la elipse (E) de ecuación ---0 0
2
2
a
b
La tangente por P será una recta (r) de ecuación y = mx + p de modo que la ecuación (b2 + a2m2)x2 + 2a2mpx + a2p2 −a2b2 = 0 admita una raíz doble de abscisa x0.
Luego se tendrá:
2
a mp
x 0 = – ------------------------2
2 2
b +m a
Además se cumple que y0 = mx0 + p por lo que p = y0 − mx0; luego de efectuar las
sustituciones y simplificaciones necesarias se arriba a:
172
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
2
b x
m = – ----------02
a y0
Por lo tanto la ecuación de la tangente se puede escribir:
2
b x0
y – y 0 = – ----------- ( x – x 0 )
2
a y0
operando se tiene:
a2y0y − a2y02 = −b2x0x + b2x02
b2x0x + a2y0y = b2x02 + a2y02 = a2b2
dividiendo entre a2b2 se llega finalmente a la ecuación de la tangente:
xx 0 yy 0
-------- + -------- = 1
2
2
a
b
13. Tangentes de pendiente dada.
2
2
x
y
Dada la elipse (E) de ecuación ----- + ----- = 1 existen dos tangentes de pendiente m.
2
2
a
b
En efecto:
Si y = mx + p es la ecuación de la tangente se trata de determinar p de modo que el
sistema
⎧ b2 x2 + a2 y2 – a2 b2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
admita una sola solución por lo que la ecuación:
b2x2 + a2(mx + p)2 −a2b2 = 0
debe tener su discriminante nulo, como ya lo habíamos calculado se tiene: Δ =
4a2b2(a2m2 − p2 +b2) = 0 y por lo tanto es posible despejar p.
2
2
2
Se llega a p = ± b + a m por lo que las ecuaciones de las tangentes son:
2
2
2
y = mx ± b + a m .
Calculemos ahora las pendientes de las tangentes trazadas desde un punto M(x1; y1).
Utilizando la ecuación anterior se tiene que deben verificarse:
2
2
2
y 1 = mx 1 ± b + a m
es decir, se llega a una ecuación de segundo grado en m:
(x12 − a2)m2 − 2x1y1m + y12 − b2 = 0.
Por otro lado si calculamos el discriminante Δ de la ecuación anterior obtenemos:
Δ = 4x12y12 − 4(x12 − a2)(y12 − b2) = 4(b2x12 + a2y12 −a2b2)
Si Δ > 0 hay dos tangentes y el punto es exterior.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
173
9/ Las cónicas.
Si Δ = 0 hay una tangente y el punto pertenece a la elipse.
Si Δ < 0 no hay tangentes y el punto es interior.
2
2
y1
x1
- + -------–1
Pero el signo de Δ es el mismo que el de ------2
2
a
b
Por consiguiente:
2
2
2
2
y - – 1 > 0 es la ecuación de la región de los puntos exteriores; y
x - + ------2
2
a
b
y - – 1 < 0 es la de la región de los puntos interiores.
x - + ------2
2
a
b
14. Círculo de Monge.
El lugar geométrico de los puntos P(x; y) tal que
las tangentes trazadas desde P a la elipse (E) de
2
y
P
2
x
y
ecuación ----- + ----- = 1 son perpendiculares se
2
2
a
b
obtiene imponiendo la condición de que el producto de las raíces de la ecuación:
O
F’
c
F
x
(x12 − a2)m2 − 2x1y1m + y12 − b2 = 0
2
2
x1 – a
- = –1
sea igual a −1, luego: ---------------2
2
y1 – b
es decir x12 + x12 = a2 +b2. El lugar es una circunferencia de centro O(0;0), centro
2
2
de la elipse y radio a + b .
Este lugar recibe el nombre de círculo de Monge, en homenaje al matemático francés Gaspard Monge.
15. Los radios vectores y la tangente.
La tangente (t) en un punto cualquiera M de una
elipse es la bisectriz exterior del ángulo de los
radios vectores MF y MF’.
En efecto sea P(x; y) un punto de la elipse (E) de
2
(t)
(E)
P
2
x
y
ecuación ----- + ----- = 1 .
2
2
a
b
174
y
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
F’
O
F
Tx
9/ Las cónicas.
2
2
2 2
La ecuación de la tangente en P es x 0 b x + y 0 a y = a b , la abscisa del punto T
2
2
a
de intersección de (t) con el eje focal es ----- , luego se tiene: FT = a----- – c y
x0
x0
2
a - + c y la razón entre ellos se puede escribir:
F'T = ---x0
2
a- – c
cx
---a – -------0x
PFa - = ------FT- = -------------0
= ----------------------2
PF'
cx
F'T
a
a + -------0----- + c
a
x0
y de acuerdo al teorema de la bisectriz se concluye la proposición.
16. Circunferencia principal y afinidad.
2
2
x
y
Sea la elipse (E) de ecuación ----- + ----- = 1 y A y A’ los vértices principales de E.
2
2
a
b
Sea (C) la circunferencia de diámetro [AA’],
y
que llamaremos circunferencia principal. La
(C)
M
ecuación de (C) es:
B
M1
x2 + y2 = a2.
Consideremos un punto cualquiera M∈(C) y
x
un punto M1∈(E) de la misma abscisa x que
M0
A
O
A’
M, y la proyección M0 de M sobre [AA’].
(E)
Se puede escribir M(x; y), M1(x; y1) y M0(x; 0)
B’
y se tienen las siguientes igualdades:
2
2
2
2 y
x
y
x
1
----- + ----- = 1 y ----- + ------- = 1.
2
2
2
2
a
a
a
b
2
2
y1
b
b
y
Se deduce ----- = ------- , es decir: y 1 = --- y o y 1 = – --- y
2
2
a
a
a
b
b
b
De otro modo: M 0 M 1 = --- M 0 M o M 0 M 1 = – --- M 0 M .
a
a
Definición:
Dada una recta (r) del plano y un número real α, se llama afinidad ortogonal a la
transformación del plano en si mismo tal que a todo punto M le asocia el punto M’
tal que HM 1 = αHM , donde H es la proyección ortogonal de M sobre (r).
Se dice que la afinidad es de eje (r) y constante α.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
175
9/ Las cónicas.
A partir de la actividad anterior podemos concluir entonces que:
Teorema 1
Toda elipse (E) de eje focal [AA’] es la imagen de su circunferencia principal (C)
(circunferencia de diámetro [AA’]) en la afinidad ortogonal de eje (AA’) y constante
b
--- .
a
(E) es también la imagen de (C) en la afinidad ortogonal de eje (AA’) y constante
b
– --- .
a
Se puede demostrar también que (E) es la imagen de su circunferencia secundaria
(circunferencia de diámetro [BB’]) en la afinidad ortogonal de eje no focal (BB’) y
a
constante --- .
b
(E) es también la imagen de (C’) en la afinidad ortogonal de eje (BB’) y constante
– a--- .
b
17. Una construcción punto por punto de la
elipse.
2
2
x - + ---y - = 1 , se comienza por trazar las
Para construir la elipse (E) de ecuación ---2
2
a
b
circunferencias de centro O y radios respectivos a y b.
Teorema 2
Si una semirrecta de origen O corta a esas circunferencias en M y M’, la paralela a (AA’) que
pasa por M’ y la perpendicular a (AA’) que
pasa por M se cortan en un punto M1 de la
elipse.
En efecto consideremos la recta (OM) de ecuación y = mx, su intersección con la circunferencia de diámetro [AA’] está dada
analíticamente por la solución del sistema:
y
M
B
x
A
O
A’
B’
⎧x + y = a
⎨
⎩ y = mx
efectuando sustitución obtenemos la ecuación de segundo grado en x:
2
2
2
2
a
x2 + m2 x2 = a2 y por lo tanto x = ± ---------------- ,
2
1+m
176
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
M1
M’
9/ Las cónicas.
⎛
a
am ⎞
luego las coordenadas de M son ⎜ -------------------- ;--------------------⎟
⎝ 1 + m 2 1 + m 2⎠
⎛
b
bm ⎞
Análogamente las coordenadas de M’ son ⎜ -------------------- ;--------------------⎟ por lo que final⎝ 1 + m 2 1 + m 2⎠
⎛
a
bm ⎞
mente se llega a las coordenadas del punto M1 son: ⎜ -------------------- ;--------------------⎟ .
⎝ 1 + m 2 1 + m 2⎠
2
2 2
b ma - ----------------------------2
2
2
1+m
1+m
m
1
Veamos que M’∈E: ---------------- + ---------------- = ---------------- + ---------------- = 1 como queríamos
2
2
2
2
a
b
1+m
1+m
demostrar.
18. Ecuación paramétrica de la elipse.
Teorema 3
2
2
y - = 1 se puede
x - + ---En un referencial ortonormado, la elipse (E) de ecuación ---2
2
a
b
expresar como la curva definida paramétricamente por:
⎧ x = acost
con t∈[0; 2π] y a y b positivos.
⎨
⎩ y = bsent
En efecto consideremos el punto M de coordenadas (x; y) tales que x = acost; y =
bsent. Como a y b no son nulos se pueden establecer las siguientes relaciones:
2
2
x
y
x
y
cost = --- y sent = --- , de donde 1 = cos2t + sen2t = ----- + ----- .
2
2
b
a
a
b
Es decir cuando t recorre el intervalo [0; 2π] M recorre la elipse (E).
19. Proyección de una circunferencia
sobre un plano.
Teorema 4
La proyección ortogonal de una circunferencia sobre un plano es una elipse.
En efecto, sea (C) una circunferencia de centro O situada en un plan Q y P un plano
que pasa por O. Sea (C’) el conjunto de proyecciones ortogonales de todos los puntos de (C) sobre el plano P.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
177
9/ Las cónicas.
Consideremos en P un sistema ortonormado (xOy) cuyo eje (Ox) es la recta de
intersección de P y Q. Sea r el radio de (C) y θ el ángulo agudo formado por los
planos P y Q
.
Q
(C)
M
r
O t
N
θ
M’
θ
y
P
P
x
Si M es un punto cualquiera de (C), M’ su proyección ortogonal sobre P y N la proyección ortogonal de M’ sobre el eje (Ox) denotemos con t al ángulo NOM y con
(x’; y’) las coordenadas de M’ entonces se tiene:
x’ = OM cost = r cost; y’ = NM’ = NM cosθ.
Ahora como NM= OM sent entonces se tiene que y’ = r sent cosθ, y como r cosθ
es constante, haciendo b = r cosθ obtenemos:
x’ = r cost; y’ = b sent
Luego, cuando M recorre (C), t varía de 0 a 2π, por lo que obtenemos una ecua⎧ x = rcost
con t∈[0; 2π] y r y b positivos.
⎩ y = bsent
ción paramétrica de (C’): ⎨
y en virtud del teorema anterior se concluye que (C’) es una elipse.
20. La hipérbola.
Definición:
Dados en un plano dos puntos F y F’ y una distancia 2a menor que la distancia FF’,
se llama hipérbola de focos F y F’ y parámetro 2a, al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a F y F’ es 2a.
Debe cumplirse pues que, para todo punto M de la hipérbola H es:
MF − MF’ = 2a oMF’ − MF = 2a.
Vocabulario y propiedades.
Sea M un punto de la hipérbola (H) de focos F y F’ y M’ su simétrico respecto de la
recta (FF’). El segmento [M’F] es simétrico del [MF] y también lo es el [M’F’] del
[MF’]; entonces:
M’F = MF y M’F’ = MF’ y si, por ejemplo, tenemos que MF > MF’, restando estas
dos igualdades miembro a miembro se tiene:
178
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
M’F − M’F’ = MF − MF’
por lo que si M pertenece a la (H) entonces su simétrico M’ respecto de la recta focal
(FF’) también pertenece.
La recta focal es por lo tanto eje de
M
simetría de la hipérbola.
(H)
De manera similar se prueba que la
mediatriz del segmento [FF’] es eje
de simetría de la hipérbola. Esta
O
F
F’
A
A’
recta se llama eje no focal de la
hipérbola.
Recordando que si una figura
admite dos ejes de simetría perpendiculares entonces la intersección de
éstos es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O de
[FF’] es el centro de la hipérbola.
El eje focal (FF’) corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ llamados vértices de la
hipérbola y que están a distancia a del centro de la misma. El eje no focal no corta a
la hipérbola.
Construcción punto por punto de la hipérbola.
Para obtener puntos de la hipérbola de focos F y F’ y eje [AA’] podemos seguir el
siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera P sobre la recta (FF’), exterior al segmento [FF’], y luego se trazan las circunferencias de centros F y F’ y
radios respectivos AP y A’P. Dichas circunferencias son secantes y los puntos de
intersección M y N son puntos de la hipérbola.
Instrumento inventado por Descartes
para trazar hipérbolas.
Otros puntos se pueden obtener a partir de M y N por simetrías respecto a los ejes o
al centro.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
179
9/ Las cónicas.
Una hipérbola con regla, tiza y cordel.
Marca en el pizarrón dos puntos F y F’, tomar una regla
R
de longitud r y un cordel de longitud p tal que la diferencia de longitud entre r y p sea menor que la longitud
M
del segmento [FF’].
F’
F
Fijado uno de los extremos del cordel en el extremo R
de la regla y el otro en el punto F y manteniendo fijo el
otro extremo de la regla en F’, y apoyando la tiza junto
a la regla y tensos los trozos de cordel MF y MR, se
mueve simultáneamente la regla y la tiza.
Probemos que de esta manera se obtiene una de las ramas de una hipérbola de focos
F y F’.
En efecto F’M − FM = (F’M + MR) − (FM + MR) = r − p, esta última diferencia es
constante.
Luego el punto M pertenece a una hipérbola de focos F y F’ y parámetro r − p.
Circunferencias directoras II.
Sean dos puntos F y F’ del plano y un número real 2a
mayor que la distancia FF’ = 2c y la circunferencia (C)
de centro F y radio 2a.
Hallemos el lugar geométrico de los puntos M que son
centros de circunferencias que pasan por F’ y son tangentes a la circunferencia (C).
(C)
M
T
F’
F
Como las circunferencias son tangentes MF = MF’ ± 2a (según que lo sean interior
o exteriormente de donde MF – MF′ = 2a y por lo tanto M pertenece a la hipérbola.
Recíprocamente, si M pertenece a la hipérbola, se verifica que MF – MF′ = 2a
lo que indica que las circunferencias son tangentes
Las circunferencias de centro en cada foco y radio el parámetro 2a se llaman circunferencias directoras de la hipérbola y, por lo que hemos probado, permiten caracterizar a la hipérbola con la propiedad planteada en el ejercicio.
Tangente a una hipérbola.
S
Sean dos puntos F y F’ del plano y un número real 2a
(m)
(C)
menor que la distancia FF’ = 2c y la circunferencia (C)
de centro F y radio 2a. S es un punto cualquiera de C.
F
Probemos que la mediatriz (m) de [F’S] es tangente a la F’
hipérbola de focos F y F’ y parámetro 2a.
Sea M el eventual punto de corte de (m) con la recta
M
(FS). M pertenece a la hipérbola, pues MF’ = SM y además MF’ − MF = SM − MF = 2a.
Cualquier otro punto P de (m) es tal que F’P − FP < 2a.
Hemos probado además que la tangente a una hipérbola en un punto M de ella es la
bisectriz interior de los dos radios vectores MF y MF’.
180
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
Asíntotas de la hipérbola.
En el problema anterior, tangente a una hipérbola,
S
hay un caso particular en que la recta (FS) es perpen- (m)
dicular a la recta (F’S), la recta (m) “toca” a la hipérF’
F
bola en un punto impropio o al infinito. Se denomina
asíntota de la hipérbola.
Observa: en primer lugar hay dos asíntotas, pues
sobre la circunferencia directora existen dos puntos S
y S’ que verifican esas condiciones, en segundo lugar
dichas asíntotas pasan por el punto medio O del segmento [FF’] por ser (m) paralela
media en el triángulo rectángulo FF’S.
Hipérbola equilátera.
En el caso particular en que las asíntotas de una hipérbola sean perpendiculares, la
hipérbola recibe el nombre de hipérbola equilátera.
Se puede probar que el producto
de distancias de un punto de una
hipérbola a sus asíntotas es
constante.
Q
Si tomamos como sistema ortoP PQ×PR= k
normado al que se puede determinar con las asíntotas de una
hipérbola equilátera se tiene la
R
propiedad que un punto P de
coordenadas (x; y) pertenecerá a
la hipérbola equilátera si y solo
si el producto de sus coordenadas es constante: xy = k. ¡Oh sorpresa! hemos llegado a la ecuación determinada por
k
la función de proporcionalidad inversa: f(x) = -- .
x
La excentricidad de la elipse.
Si consideramos varias elipses del mismo eje mayor pero diferentes distancias focales se observa que cuanto más se aproximan los focos al centro de la elipse más se
parece a una circunferencia. Dicho de otra manera la elipse que tiene más aplastamiento es la que tiene los focos más alejados del centro. Esta relación se puede
medir con el cociente entre la distancia focal 2c y la del eje mayor 2a, o lo que es lo
mismo entre c y a. Esto nos lleva a la siguiente definición:
Se llama excentricidad de la elipse al cociente entre la semidistancia focal y el
c
semiperímetro. Se representa con la letra e; de modo que se tiene: e = --- .
a
La excentricidad e varía entre 0 y 1, puesto que siendo 0 < c < a se deduce que
c
0 < --- < 1 .
a
A título de ejemplo, a la órbita elíptica de la Tierra alrededor del Sol le corresponde
1
una excentricidad aproximadamente igual a ------ .
60
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
181
9/ Las cónicas.
Sea una hipérbola de focos F y F’ dados y parámetro 2a.
F’
F
Construye con regla y compás las asíntotas de la hipérbola. En
primer lugar construimos una de las circunferencias directo2a
ras, por ejemplo la de centro F; luego la circunferencia de diámetro [FF’], los puntos de corte S y S’ de estas dos circunferencias determinan los
segmentos [SF’] y [S’F’] cuyas mediatrices son las asíntotas pedidas.
S
S
(m)
F
F’
F
F’
F
F’
S’
S’
(m’)
Se puede probar que las perpendiculares al eje focal por los vértices de la hipérbola
cortan a las asíntotas en puntos cuya distancia al centro de la hipérbola es igual a la
semidistancia focal.
Construye, con regla y compás, utilizando la propiedad enunciada anteriormente,
los vértices de una hipérbola equilátera de focos F y F’ dados.
Sabemos que las asíntotas son simétricas respecto del eje focal y, en el caso de la
hipérbola equilátera, son perpendiculares. Podemos construirlas como bisectrices
de dos ángulos rectos:´
P
F’
F
F
F’
A
F’
F
F’ A’
A
F
El resto te lo imaginas tú.
Calcula la distancia entre los vértices de una hipérbola equilátera sabiendo que la
distancia focal FF’ es de 6 cm.
Utilizando la figura de la derecha, notas que:
P
OP = OF = 3 y por lo tanto la hipotenusa del triángulo
rectángulo isósceles OAP es 3. Aplicando el teorema de
O A
pitágoras podemos calcular sus otros lados: a2 + a2 = 32, F’
F
3- = 3
luego 2a2 = 9 por lo que a = 9--- = --------------2- .
2
2
2
Las longitudes de los catetos PQ y QR de un triángulo rectángulo PQR son 3 y 4 cm
respectivamente. Calcula la excentricidad de la elipse que pasa por P y de focos Q y
R.
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 5 cm, luego PR + PQ = 8 es igual al parámetro 2a de la elipse y la distan1
cia focal es QR = 4. La excentricidad de la elipse es: --- .
2
182
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
21. Ecuación reducida de la hipérbola.
Consideremos el siguiente sistema de
ejes ortonormado: como eje (Ox) la
recta focal (FF’) y como eje (Oy) la
mediatriz del segmento [FF’]; sean c y
−c las abscisas de los puntos F y F’
respectivamente, y 2a el valor constante (necesariamente inferior a 2c) de
la resta MF – MF' .
y
(H)
M
x
O
F’
c
F
Si M(x; y) es un punto cualquiera del plano podemos escribir:
M(x; y) está en la hipérbola si y sólo si MF – MF' = 2a . es decir:
2
2
2
(x + c) + y – (x – c) + y
o, lo que es lo mismo, aislando uno de los radicales:
2
2
2
= 2a
2
2
( x + c ) + y = ±2 a – ( x – c ) + y
Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando se llega a:
2
2
2
2
2
2
2
( x + c ) + y = 4a −
+4 a ( x – c ) + y + ( x – c ) + y
2
2
2
2
2
2
2
x + 2xc + y = 4a −
+ 4 a ( x – c ) + y + x – 2xc + y
2
2
2
a – cx = −
+a ( x – c ) + y
Elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se
obtiene:
2
2
2
2
2
( a – cx ) = a [ ( x – c ) + y ]
4
2
2 2
4
2 2
2 2
4
2 2
2 2
2
2 2
2 2
a – 2a cx + c a = a x – 2a cx + a c + a y
2 2
2 2
a –a c = a x – c x + a y
Que se puede escribir:
2 2
2 2
2 2
a c –a = c x + –a x –a y
2
2
2
2
2
2
2 2
a ( c – a ) = ( c – a )x – a y
Como c2 – a2 > 0, podemos poner b2 = c2 – a2. Si dividimos ambos lados de la ecuación entre a2b2 obtenemos la ecuación reducida o canónica de la Hipérbola de centro en el origen de coordenadas y focos F(c; 0) y F′(–c; 0), c > 0:
2
2
x - – ---y- = 1 .
---2
2
a b
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
183
9/ Las cónicas.
La forma de la curva así como sus ejes y
y
(H)
centro de simetrías resulta inmediataM
mente de dicha ecuación.
Resulta de la ecuación de la hipérbola que
ésta no tiene ningún punto interior a las
A′ a A
x
bandas limitadas por las rectas de ecuacioO c F
F′
nes x = a y x = −a. La curva se descompone en dos ramas:
la rama de la derecha si x > a y la rama de
la izquierda si x < −a.
Los puntos V(a; 0) y V′(–a; 0), que son los
puntos donde la gráfica de la hipérbola interseca al eje (Ox) son los vértices de la
hipérbola y la recta (VV′) es el eje transverso (coincide con el eje (Ox)).
b
Las rectas cuyas ecuaciones son y = ± --- x se llaman asíntotas de la Hipérbola.
a
De manera similar se podría ver que la ecuación canónica de la hipérbola de focos
2
2
y
x
F(0; c) y F′(0; –c), con c > o es: ----- – ----- = 1 . En este caso los vértices son V(0; a)
2
2
a b
y V′(0; –a).
22. Directrices y excentricidad de la
hipérbola.
2
a
Asociemos al foco F (c; 0) la recta (HP) de ecuación x = ----- y calculemos la razón
c
de distancias de un punto M de la hipérbola al foco y a la recta (HP).
y
Entonces si M pertenece a la rama de la
derecha se tiene:
P
2
a
a cx
a
MP = x – ----- = --- ⎛ ----- – a⎞ = --- MF ,
⎠
c
c⎝ a
c
y si M pertenece a la rama de la
izquierda se tiene:
F’
2
--------- = --c- es constante.
de donde en cualquiera de los dos casos MF
a
MP
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
M
H
O
c F
a
a
MP = a----- – x = --- ⎛ a – cx
-----⎞ = --- MF ,
c
c⎝
a⎠
c
184
(H)
x
9/ Las cónicas.
2
2
c - lo que conduce inme--------- = --c- implica MF
Recíprocamente, la condición MF
----------- = ---2
2
a
MP
MP
a
diatamente a la ecuación de la hipérbola:
2
2
x
y
----- – ----- = 1
2
2
a b
Se tiene así una definición de la hipérbola como el lugar de los puntos del plano
cuya razón de distancias a un punto fijo F y a una recta fija (d) es una constante
c
mayor que 1. La recta (d) es la directriz relativa al foco F y la razón --- se llama
a
excentricidad de la hipérbola; se designa con la letra e.
2
a
Análogamente se le asocia al otro foco F’(−c; o) la recta de ecuación x = – ----- y se
c
llega al mismo resultado.
23. Intersección de recta e hipérbola.
2
2
x
y
Consideremos la hipérbola (H) de ecuación ----- – ----- = 1 , que para más comodidad
2
2
a b
escribiremos:
b2x2 − a2y2− a2b2 = 0
La intersección con el eje focal (Ox) da por resultado los puntos A(a; 0) y A’(−a; 0)
que se denominan vértices de la hipérbola.
En el caso general, si se trata de la recta (r) de ecuación y = mx + p se debe resolver
el sistema:
⎧ b2 x2 – a2 x2 – a2 b2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
Sustituyendo se tiene la siguiente ecuación de segundo grado:
b2x2 − a2(mx + p)2 −a2b2 = 0
que reduciendo y ordenando se transforma en:
(b2 − a2m2)x2 − 2a2mpx − a2p2 −a2b2 = 0
Vamos a calcular el discriminante Δ de esta ecuación:
Δ = 4a4m2p2 − 4(b2 − a2m2)(−a2p2 −a2b2)
que también se puede transformar reduciendo en:
Δ = 4a2b2(−a2m2 + p2 + b2)
y según que Δ sea mayor, igual o menor que cero, habrán dos, una o ninguna solución.
Por lo tanto (r) será secante, tangente o exterior a la hipérbola.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
185
9/ Las cónicas.
24. Tangente a una hipérbola por un punto
de ella.
2
2
y - = 1 y un punto de ella P(x ; y ).
x - – ---Sea la hipérbola (H) de ecuación ---0 0
2
2
a b
La tangente por P será una recta (r) de ecuación y = mx + p de modo que la ecuación (b2 − a2m2)x2 − 2a2mpx − a2p2 − a2b2 = 0 admita una raíz doble de abscisa x0.
Luego se tendrá:
2
a mp
x 0 = -----------------------2
2 2
b –a m
Además se cumple que y0 = mx0 + p por lo que p = y0 − mx0; luego de efectuar las
sustituciones y simplificaciones necesarias se arriba a:
2
b x
m = ----------02
a y0
Por lo tanto la ecuación de la tangente se puede escribir:
2
b x0
y – y 0 = ----------- ( x – x 0 )
2
a y0
operando se tiene:
a2y0y − a2y02 = b2x0x − b2x02
b2x0x − a2y0y = b2x02 − a2y02 = a2b2
dividiendo entre a2b2 se llega finalmente a la ecuación de la tangente:
xx 0 yy 0
-------- – -------- = 1
2
2
a
b
25. Tangentes de pendiente dada.
2
2
x
y
Dada la hipérbola (H) de ecuación ----- – ----- = 1 existen dos tangentes de pendiente
2
2
a b
m. En efecto:
Si y = mx + p es la ecuación de la tangente se trata de determinar p de modo que el
sistema
⎧ b2 x2 – a2 x2 – a2 b2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
admita una sola solución por lo que la ecuación:
b2x2 − a2(mx + p)2 −a2b2 = 0
186
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
debe tener su discriminante nulo, como ya lo habíamos calculado se tiene: Δ =
4a2b2(−a2m2 + p2 + b2) = 0 y por lo tanto es posible despejar p.
2
2
2
Se llega a p = ± a m – b por lo que las ecuaciones de las tangentes son:
2
2
2
y = mx ± a m – b .
Calculemos ahora las pendientes de las tangentes trazadas desde un punto M(x1; y1).
Utilizando la ecuación anterior se tiene que deben verificarse:
2
2
2
y 1 = mx 1 ± a m – b
es decir, se llega a una ecuación de segundo grado en m:
(x12 − a2)m2 − 2x1y1m + y12 + b2 = 0.
Por otro lado si calculamos el discriminante Δ de la ecuación anterior obtenemos:
Δ = 4x12y12 − 4(x12 − a2)(y12 + b2) = −4(b2x12 − a2y12 −a2b2)
Si Δ > 0 hay dos tangentes y el punto es exterior.
Si Δ = 0 hay una tangente y el punto pertenece a la hipérbola.
Si Δ < 0 no hay tangentes y el punto es interior.
2
2
x1 y1
- – -------- – 1
Pero el signo de Δ es el opuesto al de ------2
2
a
b
Por consiguiente:
2
2
2
2
x - – ---y - – 1 < 0 es la ecuación de la región de los puntos exteriores; y
---2
2
a b
x
y
----- – ----- – 1 > 0 es la de la región de los puntos interiores.
2
2
a b
26. Asíntotas de la hipérbola.
El estudio particular que estamos realizando nos permite ver que la hipérbola de
2
2
x
y
ecuación ----- – ----- = 1 admite, al igual que la elipse, los ejes (Ox) y (Oy) como ejes
2
2
a b
de simetría y al origen de coordenadas por centro de simetría. Para estudiar la forma
de la hipérbola podemos limitarnos a la rama que pertenece al primer cuadrante, es
decir para aquellos puntos de coordenadas no negativas.
En esa semirrama la hipérbola tiene por ecuación:
2
b 2
y = --- x – a
a
b
Consideremos (a1) la recta de ecuación y = --- x y estudiemos la diferencia de ordea
nadas entre la hipérbola y la recta para los mismos valores de x:
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
187
9/ Las cónicas.
2
⎞
2 b
2
2
b
b 2
–a
b⎛
d(x) = --- x – a – --- x = --- ⎛ x – a – x⎞ = --- ⎜ ------------------------------⎟ luego se puede afir⎝
⎠
a
a
a
a⎝ 2
2
x – a + x⎠
mar que:
⎛
⎞
–
– ab
lim ⎜ ------------------------------⎟ = 0
2
2
x → ∞⎝
x – a + x⎠
b
lo que permite deducir que la recta (a1) de ecuación y = --- x es asíntota de la curva.
a
Las simetrías respecto de los ejes (Ox) y (Oy) permiten determinar la restante asínb
tota: (a2) de ecuación y = – --- x .
a
El producto de distancias de un punto M(x; y) del lugar a sus asíntotas es:
2
2
x
y
La ecuación complexiva de las asíntotas de la hipérbola de ecuación ----- – ----- = 1
2
2
a b
2
2
y
x
es simplemente ----- – ----- = 0 .
2
2
a b
27. Propiedades de la hipérbola referida a
sus asíntotas.
Teorema 5
El producto de distancias de un punto de una hipérbola a sus asíntotas es constante.
2
2
x
y
En efecto sea la (H) de ecuación ----- – ----- = 1 que también la podemos escribir así:
2
2
a b
⎛ --x- – --y-⎞ ⎛ --x- + --y-⎞ = 1
⎝ a b⎠ ⎝ a b⎠
La distancia de un punto P de coordenadas (x; y) a cada una de las asíntotas es:
x y
x y
--- – ----- + --a
b
a
b d 1 = ---------------------- y d 2 = --------------------1
1
1
1
----- + --------- + ----2
2
2
2
a
a
b
b
luego efectuando su producto tenemos:
2
2
yx - – ------2
2
2 2
a b
a b
1
d 1 d 2 = -------------------- = ------------------ = ----------------- .
2
2
2
2
11- + ---a +b
b +a
------------------2
2
2 2
b
a
a b
Recíprocamente:
188
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
9/ Las cónicas.
“El lugar geométrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a dos rectas fijas es constante, se compone de dos hipérbolas que tienen a dichas rectas por
asíntotas”.
En efecto dadas las rectas (r) y (r’), tomemos como sistema ortonormado el que se
forma con las bisectrices de los ángulos que forman (r) y (r’).
Las ecuaciones de (r) y (r’) en ese sistema serán:
x y
x y
(r): --- – --- = 0 y (r’): --- + --- = 0
a b
a b
2
2
yx - – ------2
2
a b
-------------------- = k es decir
11- + ------a
2
b
2
2
2
2 2
a b
x
y
----- – ----- = ± k ----------------- .
2
2
2
2
a +b
a b
Teorema 6
Si una secante (r) corta a una hipérbola (H) en dos puntos M y M’ y a las asíntotas
en dos puntos P y P’ entonces P’M’ = PM.
2
2
x
y
En efecto sea la hipérbola (H) de ecuación ----- – ----- = 1 y (r) y = mx + p.
2
2
a b
La proposición planteada es equivalente a probar que los segmentos [PP’] y [MM’]
tienen el mismo punto medio.
Entonces cortando a (H) con (r)
⎧ b2 x2 – a2 x2 – a2 b2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
obtenemos la ecuación: (b2 − a2m2)x2 − 2a2mpx − a2p2 −a2b2 = 0 y la semisuma de
sus raíces corresponde a la abscisa del punto medio de [MM’], ésta es:
2
2a mp ----------------------2
2 2
b –a m
Cortando a las asíntotas con (r)
⎧ b2 x2 – a2 x2 = 0
⎨
⎩ y = mx + p
obtenemos la ecuación: (b2 − a2m2)x2 − 2a2mpx − a2p2 = 0 y la semisuma de las
raíces corresponde a la abscisa del punto medio de [PP’], ésta es:
2
2a mp
-----------------------2
2 2
b –a m
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
189
9/ Las cónicas.
Lo que concluye que la proposición es cierta.
y
P
P’
M
(r)
M’
A’
x
A
O
(H)
28. Ecuación de la hipérbola referida a sus
asíntotas.
Tomemos por ejes coordenados los ejes oblicuos (Ox’) y (Oy’) determinados por las
asíntotas de la hipérbola (H) cuya ecuación en un sistema ortonormado es:
2
2
x
y
----- – ----- = 1 .
2
2
a b
Las fórmulas del cambio de ejes son
x – 0 = p p' x'
y–0
q q' y'
Siendo (p; q) y (p’; q’) las coordenadas de los vectores de la nueva base.
Si α designa el semiángulo agudo determinado por los nuevos ejes entonces se
b
a
b
puede escribir: tgα = --cos α = --senα = --a
c
c
a
b
a
b
por lo tanto: p = --q = – --p' = --q' = --c
c
c
c
Luego las fórmulas de cambio de referencial permiten escribir:
a
--x = c
y
b
– --c
Se tiene:
190
a
x = --- ( x' + y' )
c
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
a
--c x'
b y'
--c
b
y = – --- ( – x' + y' )
c
9/ Las cónicas.
2
y sustituyendo dichos valores en la ecuación de (H) obtenemos: x'y' = c----- .
4
29. Hipérbola equilátera.
2
2
x
y
La hipérbola (H) de ecuación ----- – ----- = 1 se dice equilátera si a = b.
2
2
a b
c
En ese caso, se tiene c2 = a2 + a2 = 2a2, por lo que la excentricidad --- tiene por valor
a
2 ; el ángulo que forman los ejes coordenados con las asíntotas es de 45º y éstas
son bisectrices de los ejes coordenados.
La hipérbola equilátera tiene por ecuación: x2 − y2 = a2.
Sin embargo la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas, de acuerdo al parágrafo
2
2
a
c
anterior, tiene la siguiente ecuación: x'y' = ----- = ----- .
4
2
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
191
Ejercicios
1 . Determina los elementos principales de las
9 . Deduce la condición, según la cual, la recta
siguientes parábolas:
a) y = 4x2. b) y = −4x2. c) x = 4y2. d) x = −4y2.
1
e) y = x2 − 2x. f) y = x2 − 2x + 3. f) y = --- x2 + 2x.
2
y = kx + b es tangente a la parábola y2 = 2px.
1
4
g) x = --- y2 + --- y. h) f) y = −x2 − 2x − 1.
3
3
10. Demuestra, que se puede trazar una y solamente una tangente a la parábola y2 = 2px, cuyo
coeficiente angular sea igual a k ≠ 0.
11. . Halla la ecuación de la tangente a la pará-
2 . Halla al ecuación de las parábolas definidas
bola y2 = 2px en su punto M(x0; y0).
por:
a) Vértice V(0; 2) y foco F (0; 4).
b) Vértice V(1; 2) y foco F (1; −3)
5
5 17
c) Vértice V( --- ; 4) y foco F ( --- ; ------ ).
2
2 4
d) Tiene vértice en el origen y la ecuación de la
directriz es y = −2.
e) Tiene vértice en el origen, es simétrica respecto
del eje (Oy) y pasa por (2; −3).
f) Tiene eje paralelo a (Oy) y pasa por los puntos
A(−1; 1); B(1; 3) y C(2; 7).
g) Foco F(−−1; 2) y directriz x = 2y.
12. Halla la ecuación de la recta que es tangente
3 . Halla los puntos de intersección de las
siguientes parábolas (P) con las correspondientes
rectas (r).
a) (P) y = x2 + 2x − 3; (r) y = x − 2.
b) (P) y = x2 − 4x + 3; (r) x + y −1 = 0.
4 . Hallar los puntos de intersección de:
a la parábola y2 = 8x y paralela a la recta de ecuación 2x + 2y − 3 = 0.
13. Halla la ecuación de la recta que es tangente
a la parábola l6y = x2 y perpendicular a la recta de
ecuación 2x + 4y + 7 = 0.
14. Traza una tangente a la parábola y2 = 12x
que sea paralela a la recta 3x − 2y + 30 = 0 y calcula la distancia d entre esta tangente y la recta
dada.
15. Halla en la parábola de ecuación x2 = 64y el
punto M, más próximo a la recta 3x + 4y − 14 = 0
y calcula la distancia d del punto M a esta recta.
16. Halla las ecuaciones de las tangentes a la
parábola de ecuación x2 = 64y trazadas desde el
punto A (9; 2).
la recta x + 4y − 3 = 0 y la parábola x2 = 4y.
17. Se ha trazado una tangente a la parábola y2 =
5 . Hallar los puntos de intersección de:
2px. Demuestra, que el vértice de esta parábola
está en medio del punto de intersección de la tangente con el eje (Ox) y de la proyección del punto
de contacto sobre el eje (Ox).
la recta 3x + 4y − 12 = 0 y la parábola y2 = −9x.
6 . Hallar los puntos de intersección de:
la recta 3x − 2y + 6 = 0 y la parábola y2 = 6x.
18. Desde el puntoA(9; 5) se han trazado tan-
7 . Determina en los casos siguientes la posi-
gentes a la parábola x2 = 5y. Halla la ecuación de
la cuerda que une los puntos de contacto.
ción de la recta dada con relación a la parábola
dada: si la corta, si es tangente o pasa por fuera de
ella:
1) x − y + 2 = 0, y2 = 8x;
2) 8x + 3y −15 = 0, x2 = − 3y;
3) 5x − y − l5 = 0, y2 = −5x.
19. Halla la ecuación de la tangente (t) a la parábola (P) en el punto A de ella que se indica.
A
(P)
+x−3
(2; 3)
y=x +x+2
(1; 4)
x = 2y − 4y
(0; 2)
y=
x2
2
2
8 . Determinar para qué valores del coeficiente
angular k, la recta
y = kx + 2:
1) corta a la parábola y2 = 4x;
2) es tangente a ella;
3) pasa por fuera de esta parábola.
192
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
y = 4x
2
(α; 4α2)
y = αx2 − (α − 1)x
(α; α)
x = 4y − y − 5
(9; 2)
2
Ejercicios
20. Dada la parábola (P) de ecuación y = ax2 y
la recta (r) de ecuación y = mx + λ:
a) Halla λ para que (r) sea tangente a (P).
b) Prueba que si dos tangentes a (P) son perpendiculares entonces éstas se cortan en la directriz
de (P).
21. En cada caso dada la parábola (P) halla las
ecuaciones de las tangentes trazadas desde el
punto exterior A en cada uno de los siguientes
casos.
24. Se traza una recta variable (r) de coeficiente
director m y por el punto A(2; 0) una recta (p)
perpendicular a (r) que corta al eje (Oy) en P. La
paralela al eje (Ox) por P corta a (r) en I.
a) Halla el lugar geométrico de I al variar m.
b) Reconoce y determina los elementos del lugar
anterior.
25. Sea la parábola (P) de ecuación y = x 2. Por
y = 4x2
(α; 4α)
el origen de coordenadas se traza una recta variable (i) de coeficiente director m, con m ≠ 0, que
corta (P) en O y T. Por el punto A(1; 0)se traza la
recta (r) paralela a (i) y sea (t) la tangente a (P) en
T.
a) Halla el lugar geométrico del punto de intersección de (r) y (t).
b) Reconoce y determina los elementos principales.
y = αx2 − (α − 1)x
(α; −4α)
26. Dada la parábola (P) de ecuación:
x = 4y2 − y − 5
(9; −2)
A
(P)
2
y = x + 4x + 2
(1; 4)
y = x + 3x − 4
(0; −2)
2
x=
y2
− 4y
(−2; 3)
22. En cada caso dada la parábola (P) halla la
ecuación de la polar trazada del punto A respecto
de (P).
A
(P)
y=
3x2
+ 4x + 2
(2; 4)
x2
+ 3x − 4
(10; −2)
y=
x = y − 4y
2
y = 4x
2
y = αx2 − (α − 1)x
x=
4y2
−y−5
(0; 0)
(α; α)
(2α; −4α)
27. Dada la parábola (P) de ecuación y = x2 y un
(1; −2)
23. En cada caso dada la parábola (P) halla las
coordenadas del polo de la recta (r) respecto de
(P).
(P)
(r)
y = 3x + 4x + 2
x−y+2=0
y = x2 + 3x − 4
y = −4x
x = y − 4y
y=2
2
2
y=
4x2
αx + αy = 0
y = αx2 − (α − 1)x
2x − 4y = 3
x = 4y2 − y − 5
x = −2
2 2
y = --- x – 2x + λ con λ > 0.
λ
Sea P el punto de intersección de (P) con el eje
(Oy).
a) La tangente (t) en P a la parábola (P) corta a la
recta perpendicular trazada por el foco F de la
parábola (P) en I. Halla el lugar geométrico de I.
b) Halla λ de manera que la recta (r) de ecuación
y = x − 2 sea tangente a (P).
c) Sea A el punto de corte de (t) con el eje de
simetría de la parábola (P). Prueba que el triángulo FPA es isósceles y calcula su área en función
de λ.
punto M variable sobre ella de abscisa λ. Se considera la tangente (t) a la parábola (P) en el punto
M, que corta al eje (Ox) en N.
a) Halla la ecuación de la envolvente de la recta
(r) paralela a (OM) por N.
Reconoce y determina sus elementos principales.
b) La recta (s) paralela por O a la tangente (t)
corta a (r) en P. Halla la envolvente de la recta
(PM).
Reconoce y determina sus elementos principales.
28. Halla la ecuación de la elipse, cuyos focos
están en el eje (Ox) y son simétricos con respecto
al origen de coordenadas, sabiendo además que:
a) sus semiejes son iguales a 5 y a 2;
b) su eje mayor es igual a 10 y la distancia focal
es 2c = 8;
c) su eje menor es igual a 24 y la distancia focal
es 2c = 10;
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
193
Ejercicios
d) la distancia focal es 2c = 6 y la excentricidad es
3
e = --- ;
5
e) su eje mayor es igual a 20 y la excentricidad es
35. En cada caso dada la Elipse (E) halla la
ecuación de la tangente trazada por el punto A
que se indica.
--- ;
e = 3
5
f) la distancia entre sus directrices es igual a 5 y
la distancia focal es 2c = 4;
2
2
2
2
4x2 + y2 − 8 = 0
(1; −2)
2
d) x + 5y = 15 e) 4x + 9y = 25
f) 9x2 + 25y2 = 1 g) x2 + 4y2 = 1.
2
ecuación de la polar trazada del punto A respecto
de (E).
9x + 25y = 225,
halla:
a) sus semiejes;
b) sus focos;
c) su excentricidad;
d) las ecuaciones de sus directrices.
(E)
A
4x2 + y2 − 5 = 0
(−1; 1)
4x2 + y2 − 8 = 0
(0; −2)
2x2 + y2 = 9
(−2; 5)
2
2
x
y
------ + ----- = 1
16 5
31. Calcula el área del cuadrilátero que tiene
coordenadas del polo de la recta (r) respecto de
(E).
(P)
ejes coordenados determina los elementos de las
siguientes elipses:
a) 9x2 + 5y2 + 2x −2y = 0.
b) 4x2 + 9y2 − 32x − 36y + 64 = 0.
c) 16x2 + 9y2 + 64x − 18y − 71 = 0.
4x2
ecuación: y = −x + m
a) Es secante a la elipse de ecuación:
2
2
x
y- = 1 ;
------ + ---20 5
b) es tangente a ella;
c) es exterior a la elipse.
194
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
+
y2
(r)
x−y+2=0
−5=0
2
4x + y − 8 = 0
y = −4x
2x2 + y2 = 9
y=2
2
2
2
x
y
------ + ----- = 1
16 5
33. Halla en cada caso los puntos de intersec-
34. Determina para qué valores de m la recta de
(2; 0)
37. En cada caso dada la elipse (E) halla las
32. Efectuando en cada caso una traslación de
ción de la elipse y la recta dada:
a) x + 2y − 7 = 0; x2 + 4y2 = 25.
b) 3x + 10y − 254 = 0; x2 + 25y2 = 100.
c) 3x − 4y − 40 = 0; 9x2 + 16y2 = 144.
d) 2x − y − 1 = 0; 4x2 + y2 − 5= 0
(4; 0)
36. En cada caso dada la elipse (E) halla la
2
dos vértices en los focos de la elipse: 9x2 + 5y2 =
1 y los otros dos coinciden con los extremos de su
eje menor.
(−2; 1)
2
30. Dada la elipse de ecuación:
2
2
x
y
------ + ----- = 1
16 5
2
2
x
x
y
x
y
a) ------ + ----- = 1 b) ----- + y = 1 c) ----- + ----- = 1
16 9
4
9 5
2
4x + y − 5 = 0
2x + y = 9
elipses siguientes:
2
A
(1; 1)
2
2
29. Determina los semiejes de cada una de las
2
(E)
2
αx + αy = 0
38. Sea (E) la elipse de: centro O(0; 0), vértice
V(5; 0) y foco F(4; 0).
Se considera un punto P variable sobre la elipse y
sea Q la proyección ortogonal de P sobre el eje
(Oy).
Halla el lugar geométrico del punto de intersección de las rectas (OP) y (QV).
39. Desde el foco izquierdo de la elipse de ecuación:
2
2
x
y
------ + ------ = 1
45 20
Ejercicios
se ha dirigido un rayo de luz con la inclinación al
eje (Ox) de un ángulo obtuso α. Se sabe además
que tan α = −2. llegando el rayo a la elipse se ha
reflejado de ella. Halla la ecuación de la recta en
la que está situado el rayo reflejado.
40. Determina los puntos de intersección de las
elipses: x2 + 9y2 − 45 = 0, x2 + 9y2 − 6x − 27 = 0.
n2x2 + m2x2 − n2m2 = 0,
m2x2 + n2x2 − n2m2 = 0 (con m ≠ n)
se cortan en cuatro puntos situados en una circunferencia con el centro en el origen de coordenadas, determina el radio de esta circunferencia.
42. La directriz de un cilindro circular es una
circunferencia de radio R = 3 . Determina qué
ángulo debe formar un plano con el eje del cilindro, para que en su sección se obtenga una elipse
con un semieje mayor a = 2.
Hipérbola
43. Halla la ecuación de la hipérbola, cuyos
focos están en el eje (Ox) y son simétricos con
respecto al origen de coordenadas, sabiendo además que:
a) sus ejes son 2a = 10 y 2b = 8;
b) la distancia focal es 2c = 10 y el eje 2b = 8;
c) la distancia focal es 2c = 6 y la excentricidad es
e = 3--- ;
2
5
d) el eje 2a = 16 y la excentricidad es e = --- ;
4
e) las ecuaciones de las asíntotas son:
4
y = ± --- x
3
y la distancia focal 2c = 26.
2
2
2
2
x
b) ----- – y = 1
4
2
2
y- = 1
c) x----- – ---9 5
2
2
2
2
x
y
b) 4x − 3y − 16 = 0; ------ – ------ = 1 .
25 16
46. Determina para qué valores de m la recta de
5
ecuación: y = --- x + m
2
a) Es secante a la hipérbola de ecuación:
2
2
y
x - – -------- = 1;
9 36
b) es tangente a ella;
c) es exterior a la hipérbola.
47.
2
Dada
la
hipérbola
de
ecuación:
2
x
----- – y----- = 1 ,
5 4
a) Halla la ecuación de la recta tangente a ella en
el punto P(3; 2).
b) Halla la ecuación de las tangentes perpendiculares a la recta de ecuación: y = 3x + 2.
c) Halla la ecuación de las tangentes trazadas
desde M(8; 10).
c) Halla la polar del punto R(−2; 1).
d) Halla el polo de la recta y = 3x + 2 respecto de
ella.
48. Sea la hipérbola (H): x2 − 4y2 = 4 y el punto
T variable sobre ella.
La normal (n) por T a (H) corta al eje (Oy) en el
punto R. Halla el lugar geométrico del punto
medio del segmento [RT].
44. Determina los semiejes de cada una de las
x
y- = 1
a) ----- – ---16 9
ción de la hipérbola y la recta dada:
a) 2x − y − 10 = 0; 5x2 − 20y2 = 100.
x y
c) 3x − 4y − 40 = 0; ----- – ----- = 1
9 4
41. Verificando que las dos elipses:
hipérbolas siguientes:
45. Halla en cada caso los puntos de intersec-
49. Sea la hipérbola (H): x2 − 4y2 = 4, los vérti-
ces A(2; 0) y A’(−2; 0) y el punto T(α; β) variable
sobre (H). La tangente en T a (H) corta a las tangentes en A y A’ respectivamente en B y B’.
a) Prueba que d(A; B)×d(A’; B’) es constante y
calcula dicha constante.
b) La recta (OB) corta a la paralela por B’ al eje
(Ox) en I. Halla el lugar geométrico de I.
d) x2 − 5y2 = 15 e) 4x2 − 9y2 = 25
f) 9x2 − 25y2 = 1 g) x2 − 4y2 = 1.
Geometría analítica. Colección Mosaicos.
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