Exponencial - U

Exponencial
Definición
Función exponencial
Se define la función exponencial por
exp(x) := lim(1 +
x n
)
n
Para x = 1, exp(1) = e.
Dominio.
Ceros y signos.
Propiedad Algebraica.
Crecimiento.
Biyectividad.
()
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Exponencial
Dominio
Propiedad
Para todo x ∈ R, la sucesión
(sn ) = ((1 +
x n
) )
n
converge.
Creciente a partir de un n0 .
Acotada superiormente.
()
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Exponencial
Dominio
Sucesión Creciente
Para todo x ∈ R, la sucesión (1 + xn )n ) es creciente a partir de un n0 .
sn+1
sn
=
x
(1+ n+1
)n+1
(1+ xn )n
=
n+1
(n+1+x)n+1 nn
(n+1)n+1 (n+x)n
2
((n+1+x)n)
= ( n+x
n ) (n+1)n+1 (n+x)n+1
n +n+nx n+1
= ( n+x
n )( n2 +n+nx+x )
= ( n+x
n )(1 −
≥ ( n+x
n )(1 −
x
n+1
(n+1)(n+x) )
x(n+1)
(n+1)(n+x) )
n
= ( n+x
n ) n+x
()
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Exponencial
Exponencial
Acotamiento Superior
Para todo x ∈ R, la sucesión (1 + xn )n ) es acotada superiormente.
(1 +
x n
kn )
≤
=
1
x
1−n kn
k
k −x
Entonces,
k k
sn ≤ skn ≤ ( k −x
) .
()
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Exponencial
Exponencial
Algebra
Para todo x, y ∈ R,
exp(x + y ) = exp(x) exp(y )
n
(1 + x+y
xy
n )
)n → 1.
y n = (1 −
x n
(n + x)(n + y )
(1 + n ) (1 + n )
(1 +
()
n
(1 + x+y
x +y n
x n
y n
n )
) =
y n (1 + ) (1 + )
x
n
n
n
n
(1 + n ) (1 + n )
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Exponencial
Exponencial
Algebra
Para todo x,
exp(kx) = exp(x)k .
exp(x) = (exp(x/2))2 ≥ 0.
exp(−x) exp(x) = 1.
exp(x) > 0.
exp(x/k ) =
()
p
k
exp(x).
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Exponencial
Exponencial
Desigualdad
Para todo x,
exp(x) ≥ 1 + x.
Para todo x > −1,
exp(x) ≤
exp(x) ≥ (1 +
1
.
x −1
x n
x
) ≥1+n
n
n
x < 1 entonces 1 − x > 0.
1
≤ exp(x)
1−x
()
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Exponencial
Crecimiento
Propiedad
Para todo x, y ∈ R, x < y ⇒
exp(x) < exp(y )
exp(y ) = exp(x) exp(y − x) ≥ (1 + y − x) exp(x) > exp(x)
()
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Exponencial
Exponencial y sucesiones
Propiedad
Si lim an = a entonces
exp(an ) → exp(a)
.
1 + an − a ≤ exp(an − a) ≤
1
1 − (an − a)
Propiedad
lim exp(−n) = 0
.
1
lim exp(−n) = lim exp(n)
=
()
1
en .
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Exponencial
Biyectividad
Propiedad
La función exp : R → (0, ∞) es biyectiva. Su inversa se llama
logaritmo natural y se denota ln(x).
Inyectiva: est. creciente.
Sobreyectiva: Para todo y > 0 existe x ∈ R con exp(x) = y .
Veremos que el supremo del conjunto
A = {z ∈ R : exp(z) ≤ y }
cumple exp(sup(A)) = y .
()
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Exponencial
Sobreyectividad
Propiedad
El conjunto
A = {z ∈ R : exp(z) ≤ y }
tiene supremo.
Los argumentos usan que lim exp(−n) = 0.
A es no vacío: Para y > 0, existe n0 tal que exp(−n0 ) ≤ y .
cs(A) es no vacío: Para 1/y > 0, existe n0 tal que exp(−n0 ) ≤ 1/y .
n0 ∈ cs(A): Para z ∈ A, exp(z) ≤ y ≤ exp(n0 ). Luego, z ≤ n0 .
()
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Exponencial
Sobreyectividad
Propiedad
El supremo del conjunto
A = {z ∈ R : exp(z) ≤ y }
cumple exp(sup(A)) = y .
Sea s = sup(A).
s − 1/n < s, ⇒ z ∈ A, s − 1/n < z.
s + 1/n ∈
/ A, ⇒ y < exp(s + 1/n).
exp(s − 1/n) ≤ exp(z) ≤ y < exp(s + 1/n)
exp(s − 1/n) = exp(s) exp(−1/n) y exp(s + 1/n) = exp(s) exp(1/n).
Entonces, exp(s) = y .
()
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Exponencial
Gráficos
50
%ex
x+1
1/(1-x)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-1
-0.8
()
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
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Exponencial
Gráficos
1.15
%ex
x+1
1/(1-x)
1.1
1.05
1
0.95
0.9
-0.1
-0.05
()
0
x
0.05
0.1
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