Axiomas y Teoremas

Las matemáticas en Juego
Axiomas y Teoremas
Axiomas de Huzita-Hatori
Existen axiomas relacionados con la geometría del origami definidos por Humiaki Huzita,
basados en 6 pliegues básicos que permiten analizar la geometría de cualquier origami, a los
que se añadió actualmente un séptimo axioma:
1. Axioma 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une. Un único
pliegue pasa por 2 puntos P y Q específicos
2. Axioma 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q.
En otras palabras un único pliegue lleva a un punto P sobre un punto Q.
3. Axioma 3: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r
que pasa por P
4. Axioma 4: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a r sobre s.
5. Axioma 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que sitúe
a P sobre r y pase por Q.
6. Axioma 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que
sitúe a P sobre r y a Q sobre s.
7. Axioma 7: Dados un puntos P y dos rectas r y s se puede realizar un doblez
perpendicular a r que coloca al punto P sobre la línea s
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Teoremas de Haga
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=7
972:5-divisiel-lado-del-cuadrado-en-partes-iguales-teoremas-de-haga&catid=65:papiroflexia-ymatemcas&directory=67
5. División del lado del cuadrado en partes iguales. Teoremas de Haga
Dividiendo entre 2, 4, 8, 16.....
El pliegue que se produce al aplanar un papel de forma que dos puntos definidos del mismo
vengan a coincidir es la mediatriz del segmento que tiene por extremos dichos puntos.
El trazado de una mediatriz por el método clásico, con regla y compás, es un poco más
laborioso.
Si plegamos el papel de modo que vengan a coincidir no dos puntos, sino dos rectas definidas
en el mismo mediante sendos segmentos, estamos trazando la bisectriz del ángulo
comprendido entre dichos segmentos. El trazado de una mediatriz con regla y compás es
bastante más laborioso.....
...especialmente si el vértice del ángulo no es accesible.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Vemos así que la división entre dos, tanto de ángulos como de segmentos, es una operación
sencilla y natural en papiroflexia .De hecho, muchos de los modelos existentes consisten casi
exclusivamente de pliegues de esta naturaleza, si excluimos los pliegues "sin referencias",cuya
posición y orientación no están determinadas geométricamente. La mayoría de los pliegues del
barquito de papel, de la pajarita, del avión flecha, y de muchos otros modelos tradicionales,
son el resultado de bisecciones sucesivas de ángulos y segmentos que el propio proceso de
plegado va definiendo en la hoja de papel. Lo mismo puede decirse de multitud de modelos
más complejos. Si el lector es practicante de esta afición, podrá comprobarlo revisando los
modelos que haya plegado recientemente. Si no lo es, puede que el encanto del modelo que
presentamos para su análisis estimule su interés por la papiroflexia. Se trata de la Rata de Eric
Joisel.
Dividiendo entre tres. Teoremas de Haga.
Hemos argumentado que la bisección sucesiva de ángulos y segmentos es una operación
natural en papiroflexia, abundante en numerosos modelos. Dividir un segmento o un ángulo
en 2, 4, 8, 16 o, en general, en 2 n partes iguales es sencillo. Sin embargo, la trisección exacta
de ángulos y segmentos dista de ser una operación intuitiva.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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No todo esbisección en papiroflexia. Muchos modelos, especialmente entre aquellos que
llamamos "geométricos", tales como cajas, poliedros, etc, requieren de trisecciones o
divisiones entre otros números naturales de ángulos y segmentos.
En la "nube de papiroflexia" que Thoki Yenn dejó flotando en el espacio electrónico de La Red
tras irse de este mundo, encontramos hermosos ejemplos de modelos con trisecciones o
divisiones más complejas. Al escribir estas líneas, la nube de Thoki Yenn se encontraba aquí.
A continuación vamos a presentar una sencilla construcción que triseca con exactitud el lado
de un cuadrado o bien, con algunas operaciones adicionales, cualquier segmento. Se trata del
llamado "primer teorema de Haga". No nos ocupamos en lo sucesivo delas divisiones de
ángulos. Nos despedimos de ese problema, que podría ser objeto de un futuro artículo, con
una fuerte afirmación:
La trisección de un ángulo no es, en el caso general, un problema resoluble con regla y
compás. Mediante plegados, puede trisecarse cualquier ángulo contenido en una hoja de
papel.
El primer teorema de Haga puede enunciarse en los siguientes términos:
Sea un cuadrado de vértices A, B, C, D. Si se pliega el cuadrado sobre sí mismo llevando el
vértice A al punto medio del lado BC , entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G tal
que la distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Este teorema fue originalmente enunciado por el Dr. Koji Fusimi (Mathematics Seminar, enero
1979) con el nombre de "Teorema de Haga". Más tarde el propio Kazuo Haga añadió el ordinal
tras descubrir otras dos construcciones geométricas estrechamente relacionadas con la
anterior, a las que llamó segundo y tercer teoremas, respectivamente, que llevan al mismo
resultado y que se incluyen a modo de ilustración.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Demostremos el primer teorema.
Como paso previo, observemos que los triángulos BEA, CAG y DFG son semejantes.
En efecto, los tres son triángulos rectángulos en B, C y D respectivamente, por ser esos tres
puntos vértices del cuadrado.CAG y DFG son semejantes por ser ambos rectángulos y tener el
mismo ángulo en el vértice común G. BEA y CAG son semejantes por ser rectángulos y tener
ángulos complementarios en el vértice común A.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Comprobemos que no sólo son semejantes sino, además, notables y entrañables. Se trata de
triángulos rectángulos con lados de longitudes relativas 3, 4 y 5, que los egipcios usaban en la
antigüedad para construir pirámides y los profesores de secundaria usan en la actualidad para
construir problemas de gratificante solución.
En efecto,si hacemos unitario al lado para simplificar los cálculos sin perder generalidad,
observamos que BA=1/2 (la mitad de un lado) y que BE+EA=1 (un lado). El teorema de
Pitágoras nos permite calcular las longitudes de los tres lados del triángulo BEA: (BE)² + (1/2)² =
(1 - BE)², de donde BE=3/8, BA=4/8 y EA=5/8.
Por tanto, los lados del triángulo BEA son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente. Lo mismo
puede afirmarse de CAG y DFG por su semejanza con BEA.
La demostración del primer teorema de Haga es ahora inmediata, si observamos la semejanza
del triángulo BEA, las longitudes de cuyos lados acabamos de calcular, con el triángulo CAG: CG
es a BA como AC es a EB. En otros términos, CG/(1/2) =(1/2)/(3/8), de donde CG = 2/3, como
se quería demostrar.
En la próxima entrega, generalizaremos este método para dividir el lado de un cuadrado en un
número arbitrario de partes iguales.
Marta Carazo e Isabel Negueruela
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Bibliografía:
Kazuo Haga, “Fold paper and enjoy Math: Origamics”, en Origami 3: Third International
Meeting of Orgami Science, Mathematics, and Education, Editado por Thomas Hull. Editorial
A.K. Peters (2002), páginas 307-328
Marta Carazo e Isabel Negueruela