Apéndice 2

Apéndice 2: Series de Fourier.
19 de noviembre de 2014
1.
Conjuntos ortonormales y proyecciones.
Sea V un espacio vectorial con un producto interno < ., . >. Sea {e1 , . . . , en }
un conjunto ortonormal, Vn el subespacio generado, y x un vector cualquiera
de V . Se define la proyección de x sobre Vn como
Pn (x) =
n
X
< x, ek > ek
k=1
Teorema 1 Sean x y Pn x como arriba. Entonces se cumple que
1. x − Pn (x) es ortogonal a todo vector de Vn .
2. ||x||2 = ||x − Pn (x)||2 + ||Pn (x)||2
P
3. ||x||2 ≥ | < x, ek > |2 .
La demostración de la primera parte es inmediata una vez que se verifica que
x−Pn (x) es ortogonal a cada ek . Enseguida, el Teorema de Pitágoras implica
la segunda afirmación, mientras que la tercera se deduce de la segunda y de
calcular la norma de Pn (x) en término de sus coeficientes.
Un espacio con producto interno se dice de Hilbert cuando con la norma
proveniente del producto interno se obtiene un espacio completo.
Corolario 1 Sea T = {en : n ∈ N} un conjunto ortonormal numerable en
un espacio de Hilbert H, y sea V la clausura del subespacio generado por
el conjunto ortonormal T . Para cualquier x existe un único PV (x) ∈ V que
cumple las siguientes propiedades:
1
1. x − PV (x) es ortogonal a todo vector de V .
2. ||x||2 = ||x − PV (x)||2 + ||PV (x)||2
P
3. ||PV (x)||2 = | < x, ek > |2 .
Lo primero que hay
Pnque ver es como definir PV (x). Se ha de buscar como
lı́mite de Pn (x) = k=1 < x, ek > ek . En efecto, ese lı́mite existe porque
||Pn (x) − Pm (x)|| =
m
X
| < x, ek > |2
n
y
Pesto tiende a2 cero porque la propiedad 3 del teorema 1 dice que la serie
| < x, ek > | converge. Se deduce que la sucesión Pn (x) es de Cauchy, y
como el espacio es completo, ha de tener un lı́mite en H. Ahora, como cada
Pn (x) está en V y V es cerrado, se deduce que PV (x) está en V . El resto de
la prueba es inmediato.
Teorema 2 Sea H un espacio de Hilbert, {en : n ∈ N} un conjunto ortonormal y V la clausura del subespacio generado. Entonces son equivalentes:
1. V = H
2. Para todo x ∈ H se cumple que x = P (x).
3. Si un vector x ∈ H es ortogonal a todo ek , entonces x = 0.
P
4. Para todo x ∈ H se cumple que ||x||2 = | < x, ek > |2 .
Definición 1 Se dice que un conjunto ortonormal U es una base de Hilbert
si se cumple alguna de las propiedades equivalentes descritas en el teorema
anterior.
Ejemplo. Sea C el espacio de funciones continuas de [0, 1] en R. En C hay
varias distancias usuales, una vimos en partes anteriores del curso, es la
distancia que proviene de la norma del supremo que ahora denotaremos por
||f ||∞ = máx{|f (x)| : x ∈ [0, 1]}. Con esta norma, el espacio C es completo,
como ya se dijo. Esta norma no proviene de un producto escalar, porque no
se cumple a ley del paralelogramo.
Otra norma usual en C es la de la integral:
Z 1
||f ||1 =
|f |
0
2
Con esta norma no es completo porque por ejemplo la sucesión {fn } de
funciones continuas definidas por fn (x) = 1 en [0, 1/2 − 1/n], fn (x) = 0
en [1/2 + 1/n, 1] y que es afı́n entre 1/2 − 1/n y 1/2 + 1/n resulta ser de
Cauchy según esta norma pero no converge en C. Un procedimiento habitual
cuando un espacio no es completo es considerar su completación. Se obtiene
un espacio completo que contiene a C, en el cual C es denso, el problema
es que a veces no es posible describir el carácter de los elementos de la
completación. Contiene a todas las funciones integrables Riemann, e incluso
las impropias de módulo convergente. Por ejemplo, la sucesión fn (x) que
√
√
vale n en [0, 1/n] y vale x para x ∈ [1/n, 1] converge según la norma
√
||.||1 a la función f (x) = x. Pero este espacio de funciones integrables
Riemann tampoco es completo con esta norma. Un teorema fundamental
del análisis establece que la completación de C con la norma ||.||1 es un
conjunto de funciones, llamadas las funciones sumables Lebesgue. La norma
||.||1 tampoco proviene de un producto interno. Se define la norma ||.||2 para
funciones tales que la integral existe
Z
2
||f ||2 = |f |2
En el conjunto de funciones de cuadrado sumable Lebesgue se define el
producto interno
Z
< f, g >= f g
En realidad no es un producto interno porque una función no nula puede
tener norma igual a 0. Este detalle se resuelve tomando el cociente por el
subespacio S de funciones cuya norma es 0, y definiendo el producto interno
de dos clases de equivalencia como el producto interno entre dos cualesquiera de sus representantes, es fácil ver que da lo mismo.
En lo que sigue llamaremos L2 al espacio de funciones donde está definido
el producto interno. Tendremos que el espacio es completo y contiene a todas
las funciones cuyo cuadrado es integrable Riemann. Todos estos comentarios
no sé si conducen a confundir o a aclarar. Lo normal en este curso es pensar
que el espacio L2 es el espacio de las funciones acotadas continuas a trozos.
Definición 2 El producto de convolución se define como
Z π
f ∗ g(x) =
f (s)g(x − s)ds
−π
para funciones 2π-periódicas f y g de R en C.
3
Es inmediato probar que con el producto es asociativo y se cumplen las
distributivas con la suma. Una primera propiedad es que f ∗ g = g ∗ f que se
prueba haciendo el cambo de variable x − s = u, y usando la periodicidad
de las funciones. Lo que no tiene este producto es una identidad.
Definición 3 Una sucesión de funciones Qn es una identidad aproximada
si:
1. Qn (x) ≥ 0 para todo x y todo n.
Rπ
2. −π Qn = 1 para todo n.
3. Para cada > 0 existen δ > 0 y N tales que Qn (x) < para todo
n > N y todo |x| ≥ δ.
Teorema 3 Si {Qn } es una identidad aproximada y f es continua y 2πperiódica, entonces Qn ∗ f converge uniformemente a f en R.
Rπ
Dem. Usando que −π Qn = 1 se tiene
Z π
Qn (s)(f (t − s) − f (t))ds| ≤
|Qn ∗ f (t) − f (t)| = |
−π
Z
Z
|Qn (s)(f (t − s) − f (t))| +
|Qn (s)(f (t − s) − f (t))|
|s|>δ
|s|<δ
donde δ y n son cualesquiera. Sea > 0 dado, tome δ y N como en la tercera propiedad de la sucesión {Qn }. Se elige δ para que, además, se cumpla
que |f (x) − f (y)| < si |x − y| < δ (usando que f es continua). El primer
sumando
R π del segundo término en la desiguadad de arriba es menor o igual
que −π Qn (s)ds = . El segundo sumando es menor o igual que 2π2M ,
donde se usa la tercera propiedad de las identidades aproximadas, y que f
es continua y por tanto está acotada por una constante M . En conclusión, si
n > N entonces para todo t se tiene |Qn ∗f (t)−f (t)| ≤ (1+4M π). Esto implica la convergencia uniforme de Qn ∗f a f , y termina la prueba del teorema.
Defina ahora la sucesión Qn (t) = cn ((1 + cos t)/2)n Se cumple que Qn
es continua, 2π-periódica, que es no negativa y que eligiendo la constante
cn puede hacerse con integral igual a 1. Para probar la última propiedad de
las identidades aproximadas veremos en primer lugar que cn crece a ∞ de
forma potencial. Para eso, observe que, usando que la integral de Qn es 1,
que Qn es par y que 0 ≤ sin x ≤ 1 para x entre 0 y π:
Z π
Z π
Z 1
1 = 2cn
Qn (t)dt ≥ 2cn
sin t(1+cos t)/2dt = 2cn
un du = 4cn /(n+1)
o
0
0
4
donde la penúltima desigualdad se obtiene con el cambio de variable (1 +
cos t)/2 = u. Se deduce que cn ≤ (n + 1)/4.
Si δ es cualquier número positivo, existe a < 1 tal que (1 + cos t)/2 ≤ a
para todo t ∈ [−π, π] \ (−δ, δ). Luego Qn (t) ≤ (n + 1)/4.an para |t| > δ.
Por lo tanto Qn (t) tiende a 0 uniformemente en este dominio. Esto prueba
la propiedad 3 y se deduce que {Qn } es una identidad aproximada.
Un polinomio trigonométrico es un polinomio en dos variables eit y e−it
Por ejemplo, como cost = 21 (eit + e−it ), se deduce que Qn (t) es un polinomio
trigonométrico de grado n. Es decir, existen constantes aj tales que Qn (t) =
Pj=n
ijt
j=−n aj e
Teorema 4 Sea f : R → C continua y 2π-periódica. Entonces existe ua
sucesión de polinomios trigonométricos que converge uniformemente a f en
todo R.
Sólo resta ver que Qn ∗f también es un polinomio trigonométrico. En efecto,
Z
π
Qn ∗ f (t) = f ∗ Qn (t) =
Z
n X
aj
f (s)Qn (t − s)ds =
−π
−n
π
−ijs
f (s)e
ds eijt
−π
Esto muestra que Qn ∗ f es un polinomio trigonométrico.
Como las funciones continuas son densas en el espacio L2 se deduce que
los polinomios trigonométricos son densos en el espacio L2 .
Definición
4 En el espacio L2 ([−π, π]) se consideran los conjuntos√U =
√
√
√
int
{e / 2π : n ∈ Z} y T = {cos(nt)/ π, sin(nt)/ π : n > 0} ∪ {1/ 2π}.
Se comprueba que ambos son conjuntos ortonormales y que generan el
mismo subespacio, precisamente, generan el conjunto de todos los polinomios
trigonométricos.
Los teoremas anteriores implican que ambos U y T son base de Hilbert
de L2 ([−π, π]).
Los coeficientes
de una función f relativos a la base U son
R π de Fourier
1
−int
cn = cn (f ) = 2π −π f (t)e
dt, de forma que la proyección de f sobre el
subespacio generado por los {eikt : −n ≤ k ≤ n}
Pn (f ) =
k=n
X
k=−n
5
ck eikt
El teorema de antes dice que vale la igualdad en la desigualdad de Bessel
Esto se traduce en la siguiente fórmula:
Z π
X
|f (t)|2 dt = 2π
|cn |2
−π
n∈Z
Los
una función f relativos a la base T
R π coeficientes de FourierR de
R πson a0 =
π
1/π −π f , an = an (f ) = 1/π −π f (t) cos ntdt y bn = bn (f ) = 1/π −π f (t) sin ntdt,de
forma que la proyección de f sobre el subespacio generado por los {cos(kt), sin(kt) :
0 ≤ k ≤ n} es
Pn (f ) = a0 /2 +
k=n
X
ak cos kt + bk sin kt
k=1
El teorema de antes dice que vale la igualdad en la desigualdad de Bessel.
Esto se traduce en la siguiente fórmula:
Z π
X
πa20
|f (t)|2 dt =
+π
a2n + b2n .
2
−π
n≥1
2.
Conceptos de convergencia.
Sea {fn } una sucesión de funciones. Hay distintos tipos de convergencia.
Convergencia puntual. Se dice que fn tiende o converge puntualmente (CP)
a f si fn (x) → f (x) para todo x.
Convergencia uniforme. La sucesión fn converge uniformemente (CU) a f
si para todo > 0 existe N tal que |fn (x) − f (x)| < para todo x.
Convergencia L2 . La sucesión converge en L2 a f si ||fn − f ||2 → 0 cuando
n → ∞.
Se enumeran a continuación algunos resultados útiles. Las demostraciones quedan de ejercicio.
1. Si fn converge uniformemente a f entonces converge puntualmente y
en L2 .
2. Convergencia puntual no implica convergencia uniforme ni en L2 .
3. Convergencia en L2 no implica convergencia uniforme ni puntual.
6
4. Si fn es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente en [a, b] entonces su lı́mite es una función continua.
5. Si fn es una sucesión de funciones de clase C 1 en [a, b] y se cumple
que:
i) para algún x en [a, b] fn (x) es convergente y
ii) la sucesión de derivadas fn0 converge uniformemente en [a, b] a una
función g, entonces fn converge uniformemente en [a, b] a una función
f de clase C 1 cuya derivada es g.
6. Series de potencias. Sea an una sucesiónPde números complejos y se
considera la serie de potencias asociada:
an xn . Se define el radio de
convergencia como el número R cuyo inverso es
1/R = lı́m sup |
an+1
|.
an
Resulta también que 1/R = lı́m sup |an |1/n .
Se tiene el siguiente teorema: La serie converge puntualmente para
cualquier x tal que |x| < R, y converge uniformemente en |x| ≤ r
siempre que r < R. Pero si |x|P> R, entonces la serie no converge.
Más aún, si se define f (x) =
an xn en el conjunto |x| < R, se tiene
que f es una función continua (por
anterior) y es derivable
P un ı́tem
n
porque la serie de las derivadas es nan x cuyo radio de convergencia
también es R, luego, al aplicar el ı́tem de las derivadas, se concluye
que f es C 1 . Por el mismo argumento, f es C ∞ . En realidad, toda
función que se exprese como serie de potencias se llama analı́tica. No
es verdad que toda función C ∞ sea analı́tica.
7. Series de funciones.
P
Se considera una serie de funciones
fn (x), donde cada fn es una
función definida en un conjunto I. El siguiente teorema se debe a
Weierstrass:
Suponga que para cada n existe Mn un realPno negativo tal que
|fn (x)| ≤ Mn para
Mn es convergente,
Pcualquier x en I. Si la serie
entonces la serie
fn (x) converge uniformemente en I.
Como aplicación de este último resultado se tiene lo siguiente
Teorema 5 Sea f : R → R una función de clase C 1 y 2π periódica. Entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f .
7
Demostración. Como f es C 1 la f 0 tiene también coeficientes de Fourier.
Entonces cn (f 0 ), el n-ésimo coeficiente de Fourier de f 0 es igual a
Z π
Z π
1
1
0
−int
−int π
−int
f (t)e
dt =
[f (t)e
]−π + in
f (t)e
dt = incn (f ).
2π −π
2π
−π
P
Por lo tanto |cn (f )einx | = |cn (f 0 )|/n ≤ 12 (cn (f 0 )2 +1/n2 ). Notar que cn (f 0 )2
es convergente
por ser los coeficientes de Fourier de una función continua,
P
2
y que
1/n también converge.
Se concluye por el Criterio de Weierstrass
P
que la serie de funciones
cn (f )einx converge uniformemente en R. Como
converge en L2 a la función f , resulta que la convergencia uniforme es a la
propia f .
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