Tema 1. Probabilidad y modelos probabil´ısticos

1
Tema 1. Probabilidad y modelos probabilı́sticos
En este tema:
•
Probabilidad
•
Variables aleatorias
•
Modelos de variables aleatorias más comunes
•
Vectores aleatorios
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
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Tema 1. Probabilidad y modelos probabilı́sticos
•
Probabilidad:
•
•
•
•
•
•
•
Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos.
Interpretaciones de la probabilidad.
Propiedades de la probabilidad.
Probabilidad condicionada.
Sucesos Independientes.
Teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades: regla de la
multiplicación, th. de la probabilidad total y th. de Bayes.
Variables aleatorias:
•
•
•
•
Concepto de variable aleatoria.
Variables aleatorias discretas: función de probabilidad, función de
distribución, momentos.
Variables aleatorias continuas: función de densidad, función de
distribución, momentos.
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza.
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Tema 1. Probabilidad y modelos probabilı́sticos
•
Modelos de variables aleatorias más comunes:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Distribución Bernoulli
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución uniforme continua
Distribución exponencial
Distribución normal
Teorema Central del Lı́mite
Distribuciones asociadas a la normal
(Tema 4. Introducción a la Inferencia Estadı́stica)
Vectores aleatorios:
•
•
•
•
•
Concepto de vector aleatorio.
Vectores aleatorios discretos: distribución conjunta, distribuciones
marginales, distribuciones condicionadas, independencia.
Vectores aleatorios continuos: distribución conjunta, distribuciones
marginales, distribuciones condicionadas, independencia.
Covarianza, correlación y esperanza condicionada.
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza
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Conceptos básicos
•
Experimento aleatorio: proceso de observar un fenómeno del que se
conocen de antemano todos sus posibles resultados, pero a partir de las
condiciones iniciales no puede predecirse exactamente cuál de estos
resultados se producirá.
•
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio.
Se denota por Ω = {e1 , e2 , . . . , en , . . .} y cada uno de sus elementos se
denomina suceso elemental o punto muestral.
•
Un espacio muestral (correspondiente a un determinado experimento
aleatorio) tiene asociada una colección F no vacı́a de subconjuntos de Ω.
Los elementos de F se denominan sucesos y se denotan por las letras
A, B, C , . . ..
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Conceptos básicos: ejemplos
•
Experimento aleatorio: lanzamiento de un dado
•
•
•
•
Exp. aleatorio: número de accesos a la página web de la universidad el
próximo lunes
•
•
•
•
Espacio muestral finito: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sucesos elementales (o puntos muestrales): 1, 2,3,4, 5 y 6
Sucesos aleatorios: A =“obtener una puntuación par”= {2, 4, 6},
B =“obtener una puntuación superior a 3”= {4, 5, 6}.
Espacio muestral infinito numerable: Ω = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} = N ∪ {0}
Sucesos elementales: 0, 1, 2, 3, . . .
Sucesos aleatorios: A =“se reciben al menos 100 accesos”= {100, 101, . . .}
y B =“se reciben menos de 500 accesos”= {0, 1, . . . , 499}.
Exp. aleatorio: precio de una cierta acción al cierre de sesión del próximo
lunes
•
•
•
Espacio muestral infinito no numerable: Ω = (0, +∞), o siendo realistas,
Ω = (0, M)
Sucesos elementales: x ∈ (0, M)
Sucesos aleatorios: A =“el precio de cierre es superior a 5 euros”= (5, M)
y B =“precio de cierre entre 3 y 8 euros”= (3, 8).
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Sucesos: conceptos básicos
Sucesos triviales
• Suceso seguro: siempre se verifica después del experimento aleatorio. El
propio espacio muestral Ω
• Suceso imposible: nunca se verifica como resultado del experimento
aleatorio. El conjunto vacı́o ∅ ⊆ Ω
Suceso complementario o contrario a un suceso A: suceso que se verifica
cuando no se verifica A. Es el conjunto de todos los sucesos elementales de Ω
que no están en A. Se suele denotar por Ac ó A
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Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Intersección de sucesos: Si A y B son dos sucesos del espacio muestral Ω,
entonces el suceso intersección, A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos
de Ω que están en A y en B a la vez.
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Operaciones básicas con sucesos aleatorios
A y B son sucesos incompatibles si no tienen ningún suceso elemental en
común, i.e., el suceso intersección es el suceso imposible, A ∩ B = ∅
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Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Unión de sucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral Ω,
entonces el suceso unión, A ∪ B, es el conjunto de todos los sucesos
elementales de Ω que pertenecen a cualquiera de los dos, A ó B.
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Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Diferencia de sucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral Ω,
entonces el suceso diferencia, A \ B, es el conjunto de todos los sucesos
elementales de Ω que pertenecen a A pero no a B.
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Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Leyes de Morgan
Relación entre la unión, intersección y suceso complementario
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
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Ejemplo: lanzamiento de un dado
Consideremos el experimento aleatorio “resultado observado al lanzar un
dado”:
•
suceso elemental: el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6
•
espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•
suceso: A = {2, 4, 6}
B = {4, 5, 6}
El suceso A es “sale un número par”.
El suceso B es “sale un número mayor que tres”.
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Ejemplo: lanzamiento de un dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•
A = {2, 4, 6}
Complementario:
Ā = {1, 3, 5}
•
B̄ = {1, 2, 3}
Intersección:
A ∩ B = {4, 6}
•
B = {4, 5, 6}
Ā ∩ B̄ = {1, 3}
Unión:
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
Ā ∪ B̄ = {1, 2, 3, 5}
A ∪ Ā = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
•
Sucesos incompatibles:
A ∩ Ā = ∅
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Probabilidad. Intuición
La probabilidad es una medida subjetiva sobre la incertidumbre de que suceda
cierto suceso.
Al tirar un dado:
•
•
la probabilidad de que salga un 1 es más pequeña que la probabilidad de
que salga un número mayor que uno
la probabilidad de que salga un 4 es igual que la probabilidad de que salga
un 6.
•
la probabilidad de que salga un 7 es mı́nima, igual a la probabilidad del
suceso imposible
•
la probabilidad de que salga un número positivo es máxima, igual a la
probabilidad del suceso seguro
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Tres enfoques/interpretaciones
Probabilidad clásica (regla de Laplace): Considera un experimento para el
que todos los sucesos elementales son equiprobables. Si A es un suceso
formado por n(A) puntos muestrales, entonces se define la probabilidad de A
como
número de casos favorables a A
n(A)
P(A) =
=
.
número de casos posibles
n(Ω)
Enfoque frecuentista: Si repetiéramos el experimento muchas veces, la
frecuencia con que ocurre el suceso serı́a una aproximación de la probabilidad.
Probabilidad – el valor lı́mite de la frecuencia
Probabilidad subjetiva: Depende de la información que tengamos en ese
momento.
Probabilidad – creencia o certeza de que ocurra
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Propiedades de la probabilidad
Definición Sea F la colección no vacı́a de todos los sucesos de Ω. La
probabilidad es una aplicación P : F → [0, 1], que asigna a cada suceso A ∈ F
un valor numérico P(A), verificando:
•
P(A) ≥ 0, para todo suceso A ∈ F
•
P(Ω) = 1
•
Probabilidad de la unión de sucesos disjuntos: si A y B son incompatibles,
entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Propiedades
•
Probabilidad del complementario: P(Ā) = 1 − P(A).
•
P(∅) = 0.
•
Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
•
Si A = {e1 , . . . , en } finito (o infinito numerable) ⇒ P(A) =
•
Probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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Pn
i=1
P(ei )
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Ejemplo: lanzamiento de un dado
•
•
Probabilidad de un suceso elemental: P(ei ) = 16
Probabilidad de que salga par: A = {2, 4, 6}, luego
P(A) = P(”2”) + P(”4”) + P(”6”) =
•
Probabilidad de que salga mayor que 3: B = {4, 5, 6}, luego
P(B) = P(”4”) + P(”5”) + P(”6”) =
•
1 1 1
1
n(A)
+ + = =
6 6 6
2
n(Ω)
1 1 1
1
n(B)
+ + = =
6 6 6
2
n(Ω)
Probabilidad de que salga impar
P(Ā) = 1 − P(A) = 1 −
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1
1
=
2
2
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Ejemplo: lanzamiento de un dado
•
Probabilidad de que salga par o mayor que tres
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Como A ∩ B = {4, 6}, entonces P(A ∩ B) =
P(A ∪ B) =
•
2
6
=
1
3
=
n(A∩B)
n(Ω)
1 1 1
4
2
n(A ∪ B)
+ − = = =
2 2 3
6
3
n(Ω)
Probabilidad de que salga par o igual a uno.
Los sucesos A = {2, 4, 6} y C = {1} son incompatibles (A ∩ C = ∅) por
tanto
P(A ∪ C ) = P(A) + P(C ) =
1 1
4
2
n(A ∪ C )
+ = = =
2 6
6
3
n(Ω)
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Probabilidad condicionada: ejemplo
Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos de acuerdo a su peso y a si sufren o no
de hipertensión. La tabla muestra el número de ejecutivos en cada categorı́a.
Hipertenso
Normal
Total
Insuficiente
2
20
22
Normal
8
45
53
Sobrepeso
10
15
25
Total
20
80
100
•
Experimento aleatorio: seleccionar al azar a uno de esos 100 ejecutivos
para medir su tensión y su peso.
•
Espacio muestral: Ω = {(H, I ), (H, N), (H, S), (N, I ), (N, N), (N, S)}
•
Si se elige un ejecutivo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
hipertensión?
n(H)
20
= 0, 2 6=
P(H) =
100
n(Ω)
•
Si se elige a una persona al azar, y se descubre que tiene sobrepeso, ¿cuál
es la probabilidad de que tenga hipertensión? ¿Es la misma que antes?
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Probabilidad condicionada: ejemplo
Probabilidad de que sea hipertenso, sabiendo que tiene sobrepeso:
P(H|S)
Para calcularla, nos fijamos sólo en los ejecutivos con sobrepeso:
P(H|S) =
10
= 0, 4 > 0, 2 = P(H)
25
La probabilidad de un suceso depende de la mayor o menor información que
tengamos
La probabilidad condicionada, (o probabilidad condicional) es la probabilidad de que ocurra un suceso, dado que sabemos que ha ocurrido otro
suceso.
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Probabilidad condicionada. Sucesos Independientes
Probabilidad condicionada
Sean dos sucesos A y B, la probabilidad de A condicionada por el suceso B es:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Para que tenga sentido: P(B) > 0.
Sucesos Independientes
•
Intuitivamente: la ocurrencia de uno de ellos no nos dice nada nuevo
sobre la ocurrencia del otro
•
Definición: se dice que dos sucesos A y B son independientes si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
•
Propiedad: dos sucesos A y B son independientes si, y sólo si,
P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B).
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Teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades
Regla de la multiplicación ó fórmula de las probabilidades
compuestas
Es útil para calcular la probabilidad de la ocurrencia simultánea de varios
sucesos cuando las probabilidades condicionadas son fáciles de calcular.
•
P(A ∩ B) = P(A|B) P(B), siempre que P(B > 0).
•
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) P(B|A) P(C |A ∩ B), siempre que P(A ∩ B) > 0.
•
Se generaliza al cálculo de la probabilidad de la intersección de n sucesos
A1 , . . . , An .
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Regla de la multiplicación: ejemplo
Se extraen dos cartas de una baraja española. Probabilidad de que:
12
48 .
•
la primera carta sea copa: P(A) =
•
la segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue: P(B|A) =
•
las dos cartas sean copas: P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) =
11
47 .
11 12
47 48 .
Se lanzan dos dados. Probabilidad de que:
•
en el primer dado salga un 1: P(C ) = 61 .
•
en el segundo dado salga un 1, sabiendo que en el primero salió 1:
P(D|C ) = P(D) = 61 .
•
en el primer dado salga un uno, si en el segundo salió uno:
P(C |D) = P(C ) = 61 .
•
en los dos dados salga uno:
P(C ∩ D) = P(D|C ) P(C ) = P(D) P(C ) =
1 1
6 6
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(sucesos independientes)
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Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad total
Un conjunto de sucesos B1 , B2 , . . . , Bk son mutuamente excluyentes si
Bi ∩ Bj = ∅,
∀i 6= j.
Si además de eso cumplen
Ω = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk ,
se dice que forman una partición del espacio muestral.
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Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad total
Si B1 , B2 , . . . , Bk es una partición del espacio muestral tal que P(Bi ) 6= 0,
i = 1, . . . , k, y A es un suceso cualquiera, entonces
P(A)
=
P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) + . . . + P(A ∩ Bk ) =
=
P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + . . . + P(A|Bk )P(Bk ).
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Teorema de la probabilidad total: ejemplo
En una fábrica se embalan galletas en cuatro cadenas de montaje: A1, A2, A3,
y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1, el 20%, 24%
y 21% en las cadenas A2, A3 y A4 respectivamente.
Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de
las cajas: el 1% en la cadena de montaje A1, el 3% en A2, el 2.5% en A3 y el
2% en A4.
¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total
sea defectuosa (suceso D)?
P(D)
=
P(D ∩ A1 ) + P(D ∩ A2 ) + P(D ∩ A3 ) + P(D ∩ A4 )
=
P(D|A1 )P(A1 ) + P(D|A2 )P(A2 ) + P(D|A3 )P(A3 ) + P(D|A4 )P(A4 )
=
00 01 × 00 35 + 00 03 × 00 20 + 00 025 × 00 24 + 00 02 × 00 21 = 00 0197.
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Tema 1
27
Teoremas fundamentales: teorema de Bayes
Para dos sucesos A y B se tiene que
P(A|B) =
P(B|A)P(A)
P(B)
Ejemplo: (continuación del anterior) Supongamos que descubrimos una caja
defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la caja haya sido embalada en la
cadena de montaje A1?
P(D|A1 )P(A1 )
=
P(D)
0.01 × 0.35
=
= 0.17766
0.0197
P(A1 |D) =
donde la probabilidad de que una caja elegida al azar sea defectuosa P(D) se
ha calculado aplicando el teorema de la probabilidad total.
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Teoremas fundamentales: teorema de Bayes
Dada una partición del espacio muestral, B1 , B2 , . . . , Bk , tal que P(Bi ) 6= 0,
i = 1, . . . , k, y dado un suceso A, se tiene que
P(Bj |A) =
P(A|Bj )P(Bj )
P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + . . . + P(A|Bk )P(Bk )
para todo j = 1 . . . , k
•
Probabilidades a priori: p(B1 ), . . . , p(Bk )
•
Probabilidades a posteriori: p(B1 |A), . . . , p(Bk |A)
•
Verosimilitudes: p(A|B1 ), . . . , p(A|Bk )
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Teoremas fundamentales: utilidad
La aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes es
especialmente útil cuando:
•
El experimento aleatorio se puede separar en 2 etapas
•
Es sencillo dar una partición de todo el espacio muestral Ω mediante
sucesos B1 , . . . , Bk correspondientes a resultados en la primera etapa.
•
Son conocidas, o fácilmente calculables, las probabilidades a priori,
p(B1 ), . . . , p(Bk ).
•
Son conocidas, o fácilmente calculables, las verosimilitudes:
p(A|B1 ), . . . , p(A|Bk ), donde A es un suceso correspondiente a resultados
de la segunda etapa.
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30
Variables aleatorias
•
Variable aleatoria: definición
•
Variables aleatorias discretas:
•
•
•
Función de probabilidad
•
Función de distribución
•
Momentos
Variables aleatorias continuas:
•
Función de densidad
•
Función de distribución
•
Momentos
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza
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Tema 1
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Variables aleatoria: definición
Sea Ω el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio y F el
correspondiente conjunto de sucesos.
Se denomina variable aletoria (v.a.) a una función X : Ω → R, que a cada
elemento ei ∈ Ω le asigna un valor numérico X (ei ) = xi ∈ R.
Intuitivamente, una variable aleatoria es una medida o cantidad que varı́a en
función del resultado concreto ei que se observa al realizar el experimento
aleatorio.
La v.a. se denota con letras mayúsculas, mientras que las letras minúsculas
indican el valor concreto que toma la v.a. cuando se evalúa en un punto
muestral.
Ejemplo:
Lanzar un dado una vez. Considerar la v.a. X =“resultado de la tirada”.
¿Cuántos sucesos elementales hay? ¿Qué valores puede tomar X ?
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Variables aleatoria: ejemplo
•
Experimento aleatorio: lanzamiento de 3 dados
•
Espacio muestral: Ω = {111, 112, . . . , 665, 666}, de cardinal
n(Ω) = 63 = 216
•
Variable aleatoria X = número de unos
X :Ω→R
X (abc) = 0, ∀a, b, c = 2, 3, . . . , 6
X (1ab) = X (a1b) = X (ab1) = 1, ∀a, b = 2, 3, . . . , 6
X (a11) = X (1a1) = X (11a) = 2, ∀a = 2, 3, . . . , 6
X (111) = 3
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Variables aleatorias: tipos
V.a. discreta
Si X toma valores sobre un conjunto S ⊆ R finito o infinito numerable, se dice
que X es una variable aleatoria discreta.
V.a. continua
Si X toma valores sobre un conjunto S ⊆ R infinito no numerable (por
ejemplo, en intervalo o una unión de intervalos), se dice que X es una variable
aleatoria continua.
El conjunto S ⊆ R se denomina soporte de la variable aleatoria X .
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Variables aleatorias: ejemplos
Variables aleatorias discretas
•
“resultado al tirar un dado”, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} finito
•
“número de 1’s obtenidos al lanzar 3 dados”, con soporte S = {0, 1, 2, 3}
finito
•
“número de coches que pasan por cierto peaje en una semana”, con
soporte S = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0} infinito numerable.
Variables aleatorias continuas
•
“altura de una persona”, puede considerarse S = [0, +∞).
•
“el tiempo de reacción a cierto medicamento”, puede considerarse
S = [0, +∞).
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Variables aleatorias discretas
Función de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto
S = {x1 , x2 , . . .}, finito o infinito numerable, con probabilidades
p1 = P(X = x1 ), p2 = P(X = x2 ), . . . .
Se define la función de probabilidad de X o función de masa de X como
pi , si x = xi ∈ S,
P(X = x) =
0, si x ∈
/ S.
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36
Variables aleatorias discretas
Ejemplo
X =“número de 1’s obtenidos al lanzar 3 dados”. ¿Cómo calculamos
probabilidades de X ?
La probabilidad P : F → R definida sobre los elementos de Ω se transmite a X
P(X = 0) = P({abc / a, b, c = 2, . . . , 6}) =
5 5 5
· · = 0.5787
6 6 6
P(X = 1) = P({{1ab} ∪ {a1b} ∪ {ab1}, a, b = 2, . . . , 6}) = 3 ·
P(X = 2) = P({{a11} ∪ {1a1} ∪ {11a}, a = 2, . . . , 6}) = 3 ·
P(X = 3) = P(111) =
1 5 5
· · = 0.3472
6 6 6
1 1 5
· · = 0.0695
6 6 6
1 1 1
· · = 0.0046
6 6 6
x
P(X = x)
0
0.5787
1
0.3472
2
0.0695
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3
0.0046
Tema 1
37
Variables aleatorias discretas
Función de probabilidad. Propiedades
X variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto S = {x1 , x2 , . . .}
con probabilidades p1 = P(X = x1 ), p2 = P(X = x2 ), . . . .
•
0 ≤ P(X = x) ≤ 1, para todo x ∈ R.
•
X
P(X = x) =
P(X ∈ A) =
P(X = xi ) =
i
x∈S
•
X
X
X
pi = 1.
i
P(X = x).
x∈A
•
P(X ≤ x) = P(X ∈ (−∞, x]) =
X
P(X = xi ) =
i,xi ≤x
•
X
pi .
i,xi ≤x
P(X > x) = 1 − P(X ≤ x).
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
38
Variables aleatorias discretas
Función de probabilidad. Representación gráfica
La función de probabilidad se representa mediante un diagrama de barras
Ejemplo
X =“número de 1’s obtenidos al lanzar 3 dados”
Función de probabilidad
X
0
1
2
3
P(x)
0,5787037
0,3472222
0,0694444
0,0046296
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
2
3
Tema 1
39
Variables aleatorias discretas
Función de distribución
La función de distribución o función de probabilidad acumulada de una variable
aleatoria X es una aplicación F : R → [0, 1], que a cada valor x ∈ R le asigna
la probabilidad F (x) = P(X ≤ x) = P(X ∈ (−∞, x]).
Atención! F (x) está definida para todo x ∈ R y no sólo para los x ∈ S.
Propiedades
•
0 ≤ F (x) ≤ 1 para todo x ∈ R.
•
F (y ) = 0 para todo y < min S. Por tanto, F (−∞) = limx→infty = 0.
•
F (y ) = 1 para todo y ≥ max S. Por tanto, F (∞) = limx→infty = 1.
•
Si x1 ≤ x2 , entonces F (x1 ) ≤ F (x2 ), es decir, F (x) es monótona no
decreciente.
•
Para todo a, b ∈ R,
P(a < X ≤ b) = P(X ∈ (a, b]) = P((X ∈ (−∞, b]) \ (X ∈ (−∞, a])) =
P(X ∈ (−∞, b]) − P(X ∈ (−∞, a]) = F (b) − F (a).
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Tema 1
40
Variables aleatorias discretas
Función de distribución: ejemplo
X =“número de 1’s al lanzar 3 dados”.

0,





0.5787,



0.5787 + 0.3472 = 0.9259,
F (x) =




0.5787 + 0.3472 + 0.0695 = 0.9954,




0.5787 + 0.3472 + 0.0695 + 0.0046 = 1,
si x < 0,
si 0 ≤ x < 1,
si 1 ≤ x < 2,
si 2 ≤ x < 3,
si x ≥ 3.
OJO! valores x ∈
/ S pueden tomar valores F (x) > 0.
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
0,4
41
0,3
p(X=x)
Variables aleatorias discretas
0,2
0,1
0
0
1
2
3
Función de distribución: representación
gráfica
1,2
X
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x
1
F(x)
0
0,5787037
0,92592593
0,99537037
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Si X es una v.a. discreta, su función de distribución es de tipo escalón
(discontinuidades de salto).
Cada escalón corresponde a un xi ∈ S y el salto correspondiente es la
probabilidad P(X = xi ) = pi .
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
42
Momentos de una variable aleatoria discreta
Los momentos sirven para resumir alguna información sobre la variable
aleatoria
Sea X una v.a. discreta con soporte S = {x1 , x2 , . . . }, y función de
probabilidad p1 = P(X = x1 ), p2 = P(X = x2 ), . . . .
Esperanza de X : momento de primer orden
X
X
X
E (X ) = µ =
xP(X = x) =
xi P(X = xi ) =
xi p i
i
x∈S
i
Es una medida de localización
En general, se define el momento de orden k como
X
X
X
xik P(X = xi ) =
xik pi
E (X k ) =
x k P(X = x) =
x∈S
i
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
i
Tema 1
43
Momentos de una variable aleatoria discreta
X =“número de 1’s al lanzar 3 dados”, con soporte S = {0, 1, 2, 3}
El número esperado de 1’s al lanzar 3 dados equilibrados es:
E (X ) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) =
= 0.3472 + 0.139 + 0.0138 = 0.5
X =“resultado de lanzar un dado”, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y función
de probabilidad
x
P(X = x)
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Su valor esperado es:
X
1
1
1
1
1
1
E (X ) =
x P(X = x) = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · =
6
6
6
6
6
6
x∈S
=
1+2+3+4+5+6
21
=
= 3.5
6
6
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
44
Momentos de una variable aleatoria discreta
Sea X una v.a. discreta con soporte S = {x1 , x2 , . . . }, y función de
probabilidad p1 = P(X = x1 ), p2 = P(X = x2 ), . . . .
Varianza: momento centrado de segundo orden
X
X
(xi − µ)2 P(X = xi ) =
V (X ) = σ 2 = E [(X − E (X ))2 ] =
(x − µ)2 P(X = x) =
i
x∈S
X
X
(xi − µ)2 pi =
xi2 pi − µ2 = E (X 2 ) − E (X )2
=
i
i
√
p
Desviación tı́pica: σ = σ 2 = E [(X − µ)2 ]
Son medidas de dispersión (alrededor del valor esperado)
En general, se define el momento centrado de orden k como
X
X
X
E ((X −µ)k ) =
(x −µ)k P(X = x) =
(xi −µ)k P(X = xi ) =
(xi −µ)k pi
x∈S
i
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
i
Tema 1
45
Momentos de una variable aleatoria discreta
X =“número de 1’s al lanzar 3 dados”, con soporte S = {0, 1, 2, 3}. Su
varianza es:
V (X ) = E ((X − µ)2 ) = (0 − 0.5)2 · P(X = 0) + (1 − 0.5)2 · P(X = 1)+
+ (2 − 0.5)2 · P(X = 2) + (3 − 0.5)2 · P(X = 3) =
= 0.25 · 0.5787 + 0.25 · 0.3472 + 2.25 · 0.0695 + 6.25 · 0.0046 = 0.4167
X =“resultado de lanzar un dado”, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Su
varianza es:
V (X ) = E ((X − µ)2 ) = E (X 2 ) − µ2 =
X
x 2 P(X = x) − µ2 =
x∈S
=
1
91
1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 − 3.52 =
− 12.25 = 2.9167
6
6
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Tema 1
46
Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta
Ejemplo
X =“número de caras al tirar una moneda dos veces”.
El espacio muestral asociado al experimento aleatorio “lanzamiento de dos
monedas” es Ω = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)}. La
variable X toma valores en S = {0, 1, 2} con probabilidades P(X = 0) = 1/4,
P(X = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2, P(X = 2) = 1/4.
Por tanto, la función de probabilidad de X es
x
0 1
P(X = x) 14 12
2
1
4
Calculamos su esperanza y varianza:
X
1
1
1
E (X ) =
x P(X = x) = 0 + 1 + 2 = 1,
4
2
4
x∈S
X
1
1
1
1
2
V (X ) =
(x − E (X )) P(X = x) = (0−1)2 +(1−1)2 +(2−1)2 = .
4
2
4
2
x∈S
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Tema 1
47
Variables aleatorias continuas
Función de densidad
Las probabilidades de una variable aleatoria continua se calculan a partir de
una función f : R → [0, +∞) denominada función de densidad.
Propiedades
•
•
•
f (x) ≥ 0 para todo x ∈ R.
R∞
f (x) dx = 1, es decir, el área total de la función de densidad es 1.
−∞
Rb
Para todo a, b ∈ R, P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ [a, b]) = a f (x) dx es el
área que determina la función de densidad de X sobre el intervalo [a, b].
•
Los intervalos [a, b], (a, b), (a, b] y [a, b) tienen la misma probabilidad.
•
Soporte de X : S = {x ∈ R / f (x) > 0}
Atención! La función de densidad juega el mismo papel que la función de
probabilidad para v.a. discretas.
Solo tiene sentido calcular probabilidades de intervalos: P(X = x) = 0 para
todo x ∈ R.
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Tema 1
48
Variables aleatorias continuas
Función de distribución
Para una v.a. continua X , la función de distribución
se define como la función
Rx
F (x) = P(X ≤ x) = P(X ∈ (−∞, x]) = −∞ f (t) dt, para todo x ∈ R.
Igual que en el caso discreto, la función F (x) da las probabilidades acumuladas
hasta el punto x ∈ R, pero ahora se trata de una función continua y no de tipo
escalón. Dos ejemplos son:
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
49
Variables aleatorias continuas
Propiedades
•
0 ≤ F (x) ≤ 1, para todo x ∈ R.
•
F (−∞) = 0.
•
F (∞) = 1.
•
Si x1 ≤ x2 , entonces F (x1 ) ≤ F (x2 ), es decir, F (x) es no decreciente.
•
Para todo a, b ∈ R, P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a).
•
La función de densidad de X se obtiene derivando la función de
distribución, es decir, f (x) = F 0 (x).
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Tema 1
50
Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Una variable aleatoria X tiene función de densidad
3 x 2 , si x ∈ (0, 1),
f (x) =
0,
si x ∈
/ (0, 1)
¿Cómo es la gráfica de la función de densidad de X ?
Indicar cuál es el área asociada a la probabilidad P(X > 1/2).
Calcular la probabilidad P(X > 1/2).
Obtener la función de distribución de X .
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Tema 1
51
Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Una variable aleatoria X tiene función de densidad
12x 2 (1 − x),
si 0 < x < 1,
f (x) =
0,
en otro caso.
Z
0.5
P(X ≤ 0.5) =
Z
0.5
12u 2 (1 − u)du = 0.3125
f (u)du =
−∞
Z
0
0.5
P(0.2 ≤ X ≤ 0.5) =
Z
0.5
f (u)du =
0.2
12u 2 (1 − u)du = 0.2853
0.2


 0, 3
F (x) = P(X ≤ x) =
f (u)du =
12 x3 −

−∞

1,
Z
x
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
si x ≤ 0,
x4
4
,
si 0 < x ≤ 1,
si x > 1.
Tema 1
52
Momentos de una variable aleatoria continua
Sea X una v.a. continua con soporte S ⊆ R, y función de densidad f .
Esperanza de X : momento de primer orden
Z
E (X ) = µ =
xf (x)dx
S
Es una medida de localización
En general, se define el momento de orden k como
Z
E (X k ) =
x k f (x)dx
S
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
53
Momentos de una variable aleatoria continua
Ejemplo
Una variable aleatoria X tiene función de densidad
12x 2 (1 − x), si 0 < x < 1,
f (x) =
0,
en otro caso.
Calculamos su esperanza:
Z
Z
x · f (x)dx =
E (X ) =
R
Z 1
=
0
1
x · 12x 2 (1 − x)dx
0
x4
x 5 1
1 1
3
12(x 3 − x 4 )dx = 12
−
−
=
= 12
4
5 0
4 5
5
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
54
Momentos de una variable aleatoria continua
Sea X una v.a. continua con soporte S ⊆ R, y función de densidad f .
Varianza: momento centrado de segundo orden
Z
2
2
V (X ) = σ = E [(X − E (X )) ] = (x − µ)2 f (x)dx =
S
Z
2
2
2
= E (X ) − E (X ) =
x f (x)dx − µ2
S
√
p
Desviación tı́pica: σ = σ 2 = E [(X − µ)2 ]
Son medidas de dispersión (alrededor del valor esperado)
En general, se define el momento centrado de orden k como
Z
E ((X − µ)k ) = (x − µ)k f (x)dx
S
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
55
Momentos de una variable aleatoria continua
Ejemplo
f (x) =
12x 2 (1 − x),
0,
si 0 < x < 1,
en otro caso.
Calculamos su varianza:
2
var (X ) = E [(X − E (X )) ]
R
2
= R (x − E (X )) · f (x)dx
2
R1
= 0 x − 53 · 12x 2 (1 − x)dx
R1
39 3
4
= 0 12 −x 5 + 11
5 x − 25 x +
11 1 5
5 5x
= 12
− 61 x 6
+
= 12
− 61
11 1
5 5
+
−
−
39 1
25 4
39 1 4
25 4 x
9 2
25 x
dx
1
9 1 3
25 3 x
+
9 1
+ 25
3 = 0.04
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0
Tema 1
56
Ejemplo de repaso: distribución uniforme en (3,5)
Algunas probabilidades
Una variable aleatoria X que sigue una distribución uniforme en el intervalo
(3, 5) tiene función de densidad
1
1
si x ∈ (3, 5)
5−3 = 2 ,
f (x) =
0,
si x ∈
/ (3, 5).
dist. uniforme
Calculamos algunas probabilidades:
R 0.5
P(X ≤ 0.5) = −∞ f (u)du = 0
R4
R4
P(X ≤ 4) = −∞ f (u)du = 3 12 du = 21 u|43 = 12
R 4.5
R 4.5
P(3.5 ≤ X ≤ 4.5) = 3.5 f (u)du = 3.5 12 du = 12
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
57
Ejemplo de repaso: distribución uniforme en (3,5)
Función de distribución
Z
x
F (x) = P(X ≤ x) =
f (u)du = . . .
−∞
•
•
•
Si x ≤ 3 entonces F (x) = P(X ≤ x) = 0.
Rx
Si 3 ≤ x < 5 entonces F (x) = P(X ≤ x) = 3 12 du = u2 |x3 = x−3
2 .
R5 1
Si x ≥ 5 entonces F (x) = P(X ≤ x) = 3 2 du = u4 53 = 5−3
2 = 1.
F (x) =

 0,
x−3
2 ,

1,
si x ≤ 3,
si 3 < x < 5,
si x ≥ 5.
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
58
Ejemplo de repaso: distribución uniforme en (3,5)
Esperanza
E (X ) =
R
x · f (x)dx =
R
R5
3
x · 12 dx =
5
x2 4 =
3
52 −32
4
=4
Varianza
x 2 · f (x)dx − E 2 [X ]
R5 2
3 5
= 3 x2 dx − 42 = x6 − 16 = 0.33
var (X ) =
R
R
3
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Tema 1
59
Esperanza de una transformación
Sea X una variable aleatoria y sea g (X ) una transformación de X . Entonces:
 X

g (x)P(X = x),
si X v.a. discreta


x∈S
Z
E (g (X )) =


g (x)f (x)dx,
si X v.a. continua

S
Ejemplo: si tomamos g (X ) = kX , con k ∈ R constante, entonces
 X

kxP(X = x) = kE (X ),
si X v.a. discreta


x∈S
Z
E (kX ) =


kxf (x)dx = kE (X ),
si X v.a. continua

S
Para la varianza tenemos,
 X

(kx − kµ)2 P(X = x) = k 2 V (X ),


x∈S
Z
V (kX ) =


(kx − kµ)2 f (x)dx = k 2 V (X ),

si X v.a. discreta
si X v.a. continua
S
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
60
Algunos modelos probabilı́sticos
Variables aleatorias discretas más comunes
•
Ensayos de Bernoulli
•
Distribución Binomial
•
Distribución de Poisson
Variables aleatorias continuas más comunes
•
Distribución uniforme continua
•
Distribución exponencial
•
Distribución normal
•
Teorema Central del Lı́mite
•
Distribuciones asociadas a la normal
(Tema 4. Introducción a la Inferencia Estadı́stica)
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
61
Ensayos de Bernoulli
Descripción / Definición
Es una forma de modelar estadı́sticamente cualquier experimento aleatorio que
tenga solamente dos resultados posibles, mútuamente excluyentes, que suelen
llamarse éxito y fracaso, con la condición de que la probabilidad de estos dos
resultados se mantenga constante en cada realización del experimento
(experimentos o ensayos de Bernoulli).
Si la probabilidad de éxito es p (por tanto, la de fracaso es 1 − p), se define la
variable aleatoria de Bernoulli como
1, si se observa un éxito,
X =
0, si se observa un fracaso.
Soporte de X : S = {0, 1}, con probabilidades P(X = 0) = 1 − p = q,
P(X = 1) = p.
Para denotar que X sigue una distribución Bernoulli de parámetro p
escribiremos X ∼ Ber (p).
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
62
Ensayos de Bernoulli
Ejemplo
Resultado de lanzar una moneda al aire
1, sale cara,
X =
0, si sale cruz.
Es un ensayo Bernoulli, donde se ha considerado como éxito el observar una
cara. X sigue una distribución Bernoulli de parámetro 1/2 (si la moneda no
está trucada).
Ejemplo
Una lı́nea aérea estima que los pasajeros que compran un billete no se
presentan al embarque con una probabilidad de 0.05.
Definimos
1, si el pasajero se presenta,
Y =
0, si el pasajero no se presenta.
Y sigue una distribución Bernoulli con parámetro 0.95.
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
63
Ensayos de Bernoulli
Función de Probabilidad:
P(X = 0) = 1 − p
P(X = 1) = p
Función de distribución:

 0,
1 − p,
F (x) =

1,
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si x ≥ 1
Propiedades
•
E (X ) = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) = 0 (1 − p) + 1 p = p
•
E (X 2 ) = 02 P(X = 0) + 12 P(X = 1) = 02 (1 − p) + 12 p = p
•
V (X ) = E (X 2 ) − E (X )2 = p − p 2 = p(1 − p) = pq
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
64
Distribución Binomial
Descripción / Definición
Se realizan n ensayos de Bernoulli independientes con la misma probabilidad de
éxito p. La v.a. X que cuenta el número de éxitos observados en estos n
ensayos se dice que sigue una distribución Binomial de parámetros n y p y se
escribe X ∼ B(n, p).
La v.a. X toma valores en S = {0, 1, 2, . . . , n} y su función de probabilidad
viene dada por la fórmula
n
P(X = x) =
p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n, 0 ≤ p ≤ 1,
x
n!
donde xn = x!(n−x)!
, para 0 ≤ x ≤ n. Recordad que, por convenio, 0! = 1.
Propiedades
E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p) = npq.
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
65
Distribución Binomial
Ejemplo
La lı́nea aérea del ejemplo anterior ha vendido 80 billetes para un vuelo. La
probabilidad de que un pasajero no se presente al embarque es de 0.05.
Definimos X = número de pasajeros que se presentan al embarque. Entonces
(suponiendo independencia)
X ∼ B(80, 0.95)
•
La probabilidad de que los 80 pasajeros se presenten es
80
P(X = 80) =
0.9580 × (1 − 0.95)80−80 = 0.0165
80
•
La probabilidad de que al menos un pasajero no se presente es
P(X < 80) = 1 − P(X = 80) = 1 − 0.0165 = 0.9835
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Tema 1
66
Distribución Binomial: función de probabilidad
La función de probabilidad de X ∼ B(80, 0.95) es
0.10
0.00
0.05
Probability Mass
0.15
0.20
Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.95
68
70
72
74
76
78
80
Number of Successes
Cambiando la probabilidad de éxito:
Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.5
Probability Mass
0.05
0.04
0.00
0.00
0.02
Probability Mass
0.06
0.10
0.08
0.15
Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.1
25
30
35
40
45
50
55
Number of Successes
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
5
10
15
Number of Successes
Tema 1
67
Distribución de Poisson: sucesos raros
Descripción / Definición
Cuenta el número de sucesos raros que ocurren en una determinada unidad de
tiempo o de espacio. Por ejemplo, llamadas de teléfono en una hora, erratas en
una página, accidentes de tráfico a la semana, . . .
Una v.a. X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, y se denotará
por X ∼ Pois(λ), si su función de probabilidad es
P(X = x) = e −λ
λx
,
x!
para x = 0, 1, 2, . . .
Observad que X toma valores en S = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}.
Propiedades
E (X ) = λ,
V (X ) = λ.
λ representa el número medio de sucesos que se producen por unidad de
tiempo o de espacio.
Exponencial
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
68
Distribución de Poisson: sucesos raros
Propiedad de la Poisson
Si X ∼ Pois(λ) y representa el número de sucesos raros en una unidad de
tiempo o de espacio, e Y es una variable aleatoria que representa el número de
dichos sucesos raros en s unidades, se tiene que:
Y ∼ Pois(sλ)
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Tema 1
69
Distribución de Poisson: sucesos raros
Ejemplo
El número medio de erratas por transparencias es de 0.2. Sea X es la v.a. que
cuenta el número de erratas por transparencia, entonces
X ∼ Pois(0.2)
¿Cuál es la probabilidad de que en una transparencia no haya erratas?
P(X = 0) = e −0.2
0.20
= e −0.2 = 0.8187.
0!
¿Cuál es la probabilidad de que en 4 transparencias haya exactamente una
errata?
Sea Y la v.a. que cuenta el número de erratas en 4 transparencias. Entonces:
Y ∼ Pois(0.2 · 4) = Pois(0.8)
0.81
P(Y = 1) = e −0.8
= e −0.8 0.8 = 0.3595.
1!
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Tema 1
70
Distribución uniforme
Descripción / Definición
Se dice que una variable X sigue una distribución uniforme en el intervalo
(a, b), y se denota por X ∼ U(a, b), si su función de densidad es
1
si x ∈ (a, b),
b−a ,
f (x) =
0,
si x ∈
/ (a, b).
Esta v.a. queda definida por los extremos del intervalo, es decir, a y b son sus
parámetros.
Propiedades
E (X ) =
a+b
2 ,
V (X ) =
(b−a)2
12 .
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Tema 1
71
Distribución uniforme
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
72
Distribución exponencial
Descripción / Definición
La distribución exponencial es aquella que modela el tiempo transcurrido entre
dos sucesos que se producen de forma independiente, separada y uniforme en
el tiempo.
Se dice que una v.a. X sigue una distribución exponencial de parámetro λ, y
se denota por X ∼ exp(λ), si su función de densidad es
f (x) = λ e −λx ,
para x ≥ 0.
Observad que X toma valores en el conjunto S = [0, +∞).
Ejemplos
•
Tiempo entre llegadas de camiones al punto de descarga.
•
Tiempo entre llamadas de emergencia.
•
Tiempo de vida de una bombilla.
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Tema 1
73
Distribución exponencial
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
74
Distribución exponencial
Propiedades
1
λ
1
λ2
•
E (X ) =
•
V (X ) =
•
Función de distribución:
F (x) =
1 − e −λx ,
0,
si x ≥ 0,
si x < 0.
•
Está relacionada con la distribución de Poisson.
•
λ es el número medio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo.
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Poisson
Tema 1
75
Distribución exponencial
Ejemplo
Hemos observado que en cierta provincia se producen, en promedio, 50
incendios serios cada año. Suponemos que estos incendios se producen de
forma independiente y decidimos modelar el número de incendios por año
mediante una distribución Poisson.
•
¿Cuál es el tiempo medio que transcurre entre dos incendios consecutivos?
•
Si acaba de ocurrir un incendio ¿cuál es la probabilidad de que el próximo
se produzca al cabo de dos semanas?
Sabemos que:
•
El número de incendios por año N ∼ Pois(λ) con λ = 50.
•
El tiempo entre dos incendios X ∼ exp(λ) con λ = 50.
•
El tiempo medio entre dos incendios E (X ) =
2·7
365
1
λ
= 1/50 años, 7.3 dı́as.
•
Dos semanas, en años son:
•
P[X > 0.03836] = 1 − P[X ≤ 0.03836] = 1 − (1 − e −50·0.03836 ) = 0.147.
= 0.03836,
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Tema 1
76
Distribución normal
Descripción / Definición
La distribución normal describe una variable aleatoria “ideal”. Se trata de un
modelo teórico que aproxima bien muchas situaciones reales.
La inferencia estadı́stica se fundamenta básicamente en la distribución normal
y en distribuciones que se derivan de ella.
Se dice que una v.a. X sigue una distribución normal o gausiana con
parámetros µ y σ, y se denota por X ∼ N (µ, σ), si su función de densidad es
1
1
exp − 2 (x − µ)2
f (x) = √
2σ
σ 2π
Propiedades
E (X ) = µ, V (X ) = σ 2 .
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Tema 1
77
Distribución normal
Función de densidad para 3 valores distintos de µ y σ
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
N(0,1)
0,2
N(5,1)
0,15
N(0,9)
0,1
0,05
0
-15
-10
-5
-0,05 0
5
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10
15
Tema 1
78
Distribución normal
Propiedad
Si X ∼ N (µ, σ), entonces:
•
P(µ − σ < X < µ + σ) ≈ 0.683
•
P(µ − 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0.955
•
P(µ − 3σ < X < µ + 3σ) ≈ 0.997
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Tema 1
79
Distribución normal
Transformación lineal
Y = a + b X ∼ N (a + bµ, |b|σ)
Estandarización o Tipificación
Si X ∼ N (µ, σ), considero
Z=
X −µ
∼ N (0, 1)
σ
Se llama distribución normal estándar.
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Tema 1
80
Distribución normal: Ejemplo
Sea Z ∼ N(0, 1). Calculemos algunas probabilidades:
P(Z < 1.5) = 0.9332 = DISTR.NORM(1.5;0;1;VERDADERO)
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Tema 1
81
Distribución normal: Ejemplo (cont.)
P(Z > −1.5) = P(Z < 1.5) = 0.9332 ¿por qué?
P(Z < −1.5) = P(Z > 1.5) = 1 − P(Z < 1.5) =
= 1 − 0.9332 = 0.0668 ¿por qué no ≤ ?
P(−1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) − P(Z < −1.5) =
= DISTR.NORM(1.5;0;1;VERDADERO) − DISTR.NORM(-1.5;0;1;VERDADERO)
= 0.9332 − 0.0668 = 0.8664
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Tema 1
82
Distribución normal: Ejemplo
Sea X ∼ N(µ = 2, σ = 3). Para calcular P(X < 4), si no tenemos ordenador,
hay que recurrir a las tablas de la distribución normal estándar. Para ello,
tipificamos la variable original:
4−2
X −2
<
= P Z < 0.666̇ ≈ 0.7454
P(X < 4) = P
3
3
donde Z ∼ N(0, 1)
¿Cuál es P(−1 < X < 3.5)?
P(−1 < X < 3.5) = P(−1 − 2 < X − 2 < 3.5 − 2) =
−1 − 2
X −2
3.5 − 2
P
<
<
= P(−1 < Z < 0.5) =
3
3
3
P(Z < 0.5) − P(Z < −1) = 0.6915 − 0.1587 = 0.5328
donde Z ∼ N(0, 1)
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Tema 1
83
Distribución normal: Ejemplo (cont.)
Sea X ∼ N(µ = 2, σ = 3). Si usamos Excel no hace falta tipificar X .
Directamente calculamos
P(X < 4) = DISTR.NORM(4;2;3;VERDADERO) = 0.7475
P(−1 < X < 3.5) = P(X < 3.5) − P(X < −1) =
= DISTR.NORM(3.5;2;3;VERDADERO) − DISTR.NORM(-1;2;3;VERDADERO) =
= 0.6915 − 0.1587 = 0.5328
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Tema 1
84
Distribución normal: otro ejemplo
Es difı́cil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los
efectos de pérdida de lı́quido (definido como porcentaje del peso original de la
carne). Supongamos que la pérdida de lı́quido en un paquete de pechuga de
pollo puede modelarse mediante una distribución normal con media 4% y
desviación tı́pica 1%.
Sea X la pérdida de lı́quido de un paquete de pechuga de pollo elegido al azar.
•
¿Cuál es la probabilidad de que 3% < X < 5%?
•
¿Cuál es el valor de x para que un 90% de paquetes tengan pérdidas de
lı́quido menores que x?
•
En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todos tengan
pérdidas de peso de entre 3% y 5%.
Sexauer, B. (1980) Drained-Weight Labelling for Meat and Poultry: An Economic
Analysis of a Regulatory Proposal, Journal of Consumer Affairs, 14, 307-325.
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Tema 1
85
Distribución normal: otro ejemplo (cont.)
La variable aleatoria X sigue una distribución N(4, 1). Entonces:
P(3 < X < 5) = P(X < 5) − P(X < 3) =
= DISTR.NORM(5;4;1;VERDADERO) − DISTR.NORM(3;4;1;VERDADERO) =
= 0.8413 − 0.1587 = 0.6827
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Tema 1
86
Distribución normal: otro ejemplo (cont.)
Queremos encontrar el valor de x0 para el que P(X < x0 ) = 0.9. Tenemos que
calcular la función inversa de la función de distribución de X . En Excel
x0 = DISTR.NORM.INV(0,9;4;1) = 5.2816
Conclusión: un 90% de los paquetes tienen pérdidas de menos del 5.28%.
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Tema 1
87
Distribución normal: otro ejemplo (cont.)
Todas las probabilidades normales anteriores se pueden obtener a partir de la
normal estándar como sigue.
X −4
5−4
3−4
<
<
= P(−1 < Z < 1)
P(3 < X < 5) = P
1
1
1
= P(Z < 1) − P(Z < −1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827
Queremos P(X < x) = 0.9. Entonces
X −4
x −4
P
<
= P(Z < x − 4) = 0.9
1
1
Mirando las tablas, tenemos x − 4 ≈ 1.28 que implica que un 90% de las
paquetes tienen pérdidas de menos de x = 5.28%.
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Tema 1
88
Distribución normal: otro ejemplo (cont.)
binomial
Y = número de paquetes en la muestra que tienen pérdidas de entre 3% y 5%.
Y ∼ B(4, p), siendo
p = P(éxito) = P(pérdida de peso entre 3% y 5%) = P(3 < X < 5) = 0.6827
Entonces,
P(Y = 4) =
4
4
0.68274 (1 − 0.6827)4 = 0.2172
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Tema 1
89
Teorema Central del Lı́mite (TCL)
El siguiente teorema nos habla de la distribución de la media de un conjunto
de v.a. independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), es decir, todas con
la misma ley de probabilidad,
X̄ =
n
1X
Xi
n
i=1
y nos dice que, para n grande, la media de v.a. independientes e igualmente
distribuidas es normal, sea cual sea la distribución de las v.a.
De aquı́ el papel “central” que juega la distribución normal o de Gauss.
Teorema
Sean X1 , X2 , . . . , Xn v.a. i.i.d. con media µ y desviación tı́pica σ (ambas
finitas). Si n es suficientemente grande, se tiene que
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
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Tema 1
90
Aproximaciones
Binomial (Teorema de De Moivre-Laplace)
Si X ∼ B(n, p) con n suficientemente grande
X − np
p
∼ N (0, 1)
np(1 − p)
Poisson
Si X ∼ Pois(λ) con λ suficientemente grande
X −λ
√
∼ N (0, 1)
λ
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Tema 1
91
TCL y aproximaciones: Ejemplo
Sea X ∼ B(100, 1/3). Estimar P(X < 40).
binomial
propiedades
Calculamos primero la media y varianza de X .
1
= 33.3̇
3
1 2
var (X ) = 100 × × = 22.2̇
p3 3
D.T .(X ) = 22.2̇ = 4.714
E (X ) = 100 ×
Usamos la aproximación normal
X − 33.3̇
40 − 33.3̇
P(X < 40) = P
<
4.714
4.714
≈ P (Z < 1.414) ≈ 0.921,
donde Z ∼ N(0, 1).
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
92
Vectores aleatorios
•
•
Concepto de vector aleatorio.
Vectores aleatorios discretos: distribución conjunta, distribuciones
marginales, distribuciones condicionadas, independencia.
•
Vectores aleatorios continuos: distribución conjunta, distribuciones
marginales, distribuciones condicionadas, independencia.
•
Covarianza, correlación y esperanza condicionada.
•
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza
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Tema 1
93
Concepto de vector aleatorio
¿Qué relación hay entre el precio de las acciones y los tipos de interés?
¿Qué relación hay entre los años de escolarización y el salario medio por hora?
¿Cómo influye en los hábitos de consumo la cantidad de tarjetas de crédito de
las que se dispone?
Para contestar a estas preguntas necesitamos estudiar conjuntamente estas
caracterı́sticas, ¿cómo?
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
94
Concepto de vector aleatorio
Se denomina vector aleatorio (o v.a. multidimensional) a una función
(X1 , . . . , Xn ) : Ω → Rn , que a cada elemento ei ∈ Ω le asigna un vector
numérico (X1 , . . . , Xn )(ei ) = (X1 (e1 ), . . . , Xn (ei )) ∈ Rn .
X1 (e1 ), . . . , Xn (ei ) representan las n caracterı́sticas que queremos analizar
conjuntamente.
Para ganar claridad nos restringiremos al caso n = 2,
Denotaremos los vectores aleatorios por las letras mayúsculas (X , Y ).
Las letras minúsculas (x, y ) indican el valor concreto que toma el vector
aleatorio cuando se evalúa en un punto muestral.
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
95
Vectores aleatorios: tipos
Vector aleatorio discreto
Un vector aleatorio (X , Y ) es discreto cuando solo puede tomar un número
finito o numerable de valores.
Vector aleatorio continuo
Un vector aleatorio (X , Y ) es continuo cuando los posibles valores que puede
tomar son todos los puntos de R2 , o del cuadrante [0, +∞) × [0, +∞), o de
un cuadrado, o de un triángulo etc.
El conjunto de valores S ⊆ R2 que puede tomar se denomina soporte del
vector aleatorio (X , Y ).
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
96
Vectores aleatorios: ejemplos
Vectores aleatorios discretos
•
“número de 1’s y 2’s obtenidos al lanzar 3 dados”, con soporte
S ⊆ {0, 1, 2, 3} × S = {0, 1, 2, 3} finito
•
“número de coches que pasan por cierto peaje en un dı́a y dı́a de la
semana de que se trata”, con soporte S = {0, 1, 2, . . .} × {1, . . . , 7},
donde 1 = lunes, . . . , 7 =domingo.
•
“número de tarjetas de crédito y número de compras que se realizan a la
semana”, con soporte S = {0, 1, 2, . . . , M1 } × {0, 1, . . . , M2 }
Vectores aleatorios continuos
•
“altura y peso de una persona”
•
“años de escolarización y salario medio por hora de una persona”
•
“ı́ndice compuesto S&P 500 (1941-1943=10) y tipo (%) de las Letras del
Tesoro estadounidense a tres años en un año”
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Tema 1
97
Vectores aleatorios discretos: distribución conjunta
Función de probabilidad (o de masa) conjunta de (X , Y )
Determina el modelo de probabilidad conjunta de un vector aleatorio discreto.
Nos da la probabilidad de cada uno de los posibles valores que puede tomar:
p(xi , yj ) = P(X = xi , Y = yj ),
(xi , yj ) ∈ S = {x1 , . . . , xm } × {y1 , . . . , yn }
Representación
x1
..
.
xi
..
.
xm
y1
···
···
···
yj
..
.
..
.
P(X = xi , Y = yj )
..
.
..
.
···
yn
···
···
Propiedades
• 0 ≤ p(xi , yj ) ≤ 1 para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Pm Pn
•
i=1
j=1 p(xi , yj ) = 1.
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Tema 1
98
Vectores aleatorios discretos: distribución conjunta
Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos de acuerdo a su peso y a si sufren o no
de hipertensión. La tabla muestra el número de ejecutivos en cada categorı́a.
Hipertenso
Normal
Total
•
•
Insuficiente
2
20
22
Normal
8
45
53
Sobrepeso
10
15
25
Total
20
80
100
Experimento aleatorio: seleccionar al azar a uno de esos 100 ejecutivos
para medir su tensión y su peso.
(X , Y ) : Ω → {0, 1} × {0, 1, 2}, siendo Ω el conjunto de los 100
ejecutivos, definido por
(X , Y )(ei ) = (0, 0), si el individuo ei es Hipertenso y de peso Insuf.
(X , Y )(ei ) = (0, 1), si ei es Hipertenso y de peso Normal
(X , Y )(ei ) = (0, 0), si ei es Hipertenso y tiene Sobrepeso
(X , Y )(ei ) = (1, 0), si ei tiene la tensión Normal y es de peso Insuf.
(X , Y )(ei ) = (1, 1), si ei tiene la tensión Normal y es de peso Normal
(X , Y )(ei ) = (1, 0), si ei tiene la tensión Normal y tiene Sobrepeso
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Tema 1
99
Vectores aleatorios discretos: distribución conjunta
La función de de probabilidad (o de masa) conjunta es:
X \Y
0
1
0
0.02
0.2
1
0.08
0.45
2
0.1
0.15
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
Tema 1
100
Vectores aleatorios discretos: distribuciones marginales
Las distribuciones marginales de un vector aleatorio (X , Y ) son las que se
obtienen al considerar cada caracterı́stica por separado (como si la otra no
existiera). En el caso discreto tenemos:
•
Distribución marginal de X : v.a. discreta con función de probabilidad
pX (xi ) = P(X = xi ) =
n
X
P(xi , yj ),
i = 1, . . . m
j=1
•
Distribución marginal de Y : v.a. discreta con función de probabilidad
pY (yj ) = P(Y = yj ) =
m
X
P(xi , yj ),
j = 1, . . . n
i=1
Las distribuciones marginales de X e Y son simplemente v.a. unidimensionales
discretas. Podemos obtener su media, su varianza, etc.
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Tema 1
101
Vectores aleatorios discretos: distribuciones marginales
En el ejemplo anterior las distribuciones marginales de X e Y son:
X \Y
0
1
pY
0
0.02
0.2
0.22
1
0.08
0.45
0.53
2
0.1
0.15
0.25
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pX
0.2
0.8
Tema 1
102
Vectores aleatorios discretos: distribuciones condicionadas
La distribución de la v.a. X , condicionada por un valor fijo yj de la v.a. Y tal
que P(Y = yj ) > 0, viene dada por la función de probabilidad
P(X = xi | Y = yj ) =
p(xi , yj )
P(X = xi , Y = yj )
=
,
P(Y = yj )
pY (yj )
i = 1, . . . , m
La distribución de Y condicionada por X = xi (con PX (xi ) > 0) se define de
forma análoga
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Tema 1
103
Vectores aleatorios discretos: distribuciones condicionadas
Volviendo al ejemplo:
X \Y
0
1
pY
•
0
0.02
0.2
0.22
2
0.1
0.15
0.25
pX
0.2
0.8
Distribución de X condicionada a que el individuo tiene sobrepeso:
X
p(X = xi | Y = 2)
•
1
0.08
0.45
0.53
0.1
0.25
0
= 0.4
0.15
0.25
1
= 0.6
Distribución de Y condicionada a que el individuo tiene hipertensión:
Y
p(Y = xj | X = 0)
0.02
0.2
0
= 0.1
0.08
0.2
Estadı́stica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11
1
= 0.4
0.1
0.2
2
= 0.5
Tema 1
104
Vectores aleatorios discretos: independencia
Intuitivamente: no hay relación entre X e Y
Definición: dos variables aleatorias discretas, X e Y , son independientes
cuando
p(xi , yj ) = P(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj ) = pX (xi )pY (yj ), ∀i, ∀j
Propiedades: Si X e Y son independientes, las distribuciones condicionadas
coinciden con las marginales correspondientes
P(X = xi | Y = yj ) =
p(xi , yj )
pX (xi )pY (yj )
P(X = xi , Y = yj )
=
=
= pX (xi )
P(Y = yj )
pY (yj )
pY (yj )
para todo i = 1, . . . , m, y para todo valor yj con P(Yj = yj ) > 0.
En el ejemplo, X e Y no son independientes.
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Tema 1
105
Vectores aleatorios discretos: ejemplo
Lanzamos 3 veces una moneda equilibrada y consideramos el vector aleatorio
(X , Y ) que se obtiene definiendo:
X =”número de caras”
Y =”diferencia, en valor absoluto, entre número de caras y de cruces
•
Determina el espacio muestral del experimento y define la aplicación
correspondiente al vector aleatorio (X , Y )
•
Calcula la función de probabilidad conjunta de (X , Y )
•
Obtén las distribuciones marginales a partir de la distribución conjunta
•
Si estamos interesados en conocer la probabilidad de obtener un número
determinado de caras cuando la diferencia entre caras y cruces es 1, ¿qué
distribución tenemos que obtener? obténla.
•
¿Son independientes X e Y ?
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Tema 1
106
Vectores aleatorios continuos: distribución conjunta
Función de densidad conjunta de (X , Y )
Determina el modelo de probabilidad conjunta de un vector aleatorio continuo.
Se trata de una función f : R2 → R2 verificando:
•
f (x, y ) ≥ 0 para todo (x, y ) ∈ R2 .
•
El volumen total bajo la función de densidad es 1:
Z
Z ∞Z ∞
f (x, y ) dx dy =
f (x, y ) dx dy = 1
R2
−∞
−∞
La probabilidad de cualquier suceso A ⊆ R2 se obtiene resolviendo la integral
correspondiente:
Z
P(A) =
f (x, y ) dx dy
A
Nota. No se exigirá que se sepan resolver integrales dobles. No se pedirá
calcular probabilidades de sucesos A en R2
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Tema 1
107
Vectores aleatorios continuos: distribuciones marginales
Las distribuciones marginales de un vector aleatorio (X , Y ) son las que se
obtienen al considerar cada caracterı́stica por separado (como si la otra no
existiera). En el caso continuo tenemos:
•
Distribución marginal de X : v.a. continua con función de densidad
Z
fX (x) =
f (x, y )dy , ∀ x ∈ R
R
•
Distribución marginal de Y : v.a. continua con función de densidad
Z
fY (y ) =
f (x, y )dx, ∀ y ∈ R
R
Las distribuciones marginales de X e Y son simplemente v.a. unidimensionales
continuas. Podemos obtener su media, su varianza, etc.
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Tema 1
108
Vectores aleatorios discretos: distribuciones marginales
Nota. Al integrar con respecto a una de las dos variables, la otra actúa como
una constante.
Sea (X , Y ) el vector aleatorio con soporte S = [0, 1] × [0, 1] y función de
densidad conjunta
(
x + y , si 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
f (x, y ) =
0,
en otro caso.
•
La densidad marginal de X es:
"
#y =1
Z 1
1
y2
fX (x) =
(x + y )dy = xy +
=x+ , 0≤x ≤1
2
2
0
y =0
•
En la integral anterior x actúa como una constante.
La densidad marginal de Y es:
#x=1
"
Z 1
1
x2
+ xy
= + y, 0 ≤ y ≤ 1
fY (y ) =
(x + y )dx =
2
2
0
x=0
En la integral anterior y actúa como una constante.
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Tema 1
109
Vectores aleatorios continuos: distribuciones condicionadas
La distribución de la v.a. X , condicionada por un valor fijo y0 de la v.a. Y tal
que fY (y0 ) > 0, viene dada por la función de densidad
f (x | Y = y0 ) =
f (x, y0 )
,
fY (y0 )
∀x ∈ R
La distribución de Y condicionada por X = x0 (con fX (x0 ) > 0) se define de
forma análoga
Volviendo al ejemplo:
f (x | Y = 0.2) =
x + 0.2
f (x, 0.2)
=
, 0≤x ≤1
fY (0.2)
0.7
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Tema 1
110
Vectores aleatorios discretos: independencia
Intuitivamente: no hay relación entre X e Y
Definición: dos variables aleatorias continuas, X e Y , son independientes
cuando
f (x, y ) = fX (x)fY (y ), ∀ x ∈ R, y ∈ R
Propiedades: Si X e Y son independientes, las distribuciones condicionadas
coinciden con las marginales correspondientes
f (x | Y = y0 ) =
f (x, y0 )
= fX (x),
fY (y0 )
∀x ∈ R
En el ejemplo, X e Y no son independientes:
1 1
f (x, y ) = x + y 6= (x + )( + y )
2 2
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Tema 1
111
Covarianza, correlación y esperanza condicionada
Se define la covarianza entre X e Y como
Cov (X , Y ) = σXY = E [(X − E [X ])(Y − E [Y ])] = E [XY ] − E [X ]E [Y ]
•
Si X e Y son v.a. discretas, entonces
m X
n
X
Cov (X , Y ) =
(xi − E [X ])(yj − E [Y ])p(xi , yj ) =
i=1 j=1
=
m X
n
X
xi yj p(xi , yj ) − E [X ]E [Y ]
i=1 j=1
•
Si X e Y son v.a. continuas, entonces
Z
Cov (X , Y ) =
(x − E [X ])(y − E [Y ])f (x, y ) dx dy =
R2
Z
xyf (x, y ) dx dy − E [X ]E [Y ]
=
R2
En este caso, no se pedirá que se calculen covarianzas, dado que implican la
integración en R 2
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Tema 1
112
Covarianza, correlación y esperanza condicionada
La covarianza es una medida de asociación lineal
Cuando Cov (X , Y ) = 0 se dice que X e Y están incorreladas
Sean X e Y variables aleatorias, la correlación entre X e Y es
Cor (X , Y ) = rxy =
Cov (X , Y )
σx σy
p
p
donde σX = V (X ) y σY = V (Y ) denotan, respectivamente, las
desviaciones tı́picas de las distribuciones marginales X e Y .
Propiedades
•
Si X e Y son independientes, entonces X e Y estn incorreladas
•
En general, Cov (X , Y ) = 0 no implica independencia.
•
Si X e Y son normales y Cov (X , Y ) = 0, entonces son independientes
•
−1 ≤ Cor (X , Y ) ≤ 1
•
Cor (X , Y ) > 0 ⇒ las variables son dependientes positivamente
•
Cor (X , Y ) < 0 ⇒ las variables son dependientes negativamente
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Tema 1
113
Covarianza, correlación y esperanza condicionada
Dado le vector aleatorio (X , Y ), las variables aleatorias:
• X , condicionada por un valor fijo y0 de la v.a. Y potencialmente
observable
• Y , condicionada por un valor fijo x0 de la v.a. X potencialmente
observable
son variables aleatorias unidimensionales continuas o discretas dependiendo de
la naturaleza de X e Y . Podemos calcular sus medias y varianzas.
Se define la esperanza condicionada de X a un valor de Y como
(P
m
xi P(X = xi | Y = y0 ), si (X , Y ) es discreto,
E (X | Y = y0 ) = R i=1
xf (x | Y = y0 ) dx,
si (X , Y ) es continuo
R
Para cada valor fijo y0 de Y , la esperanza condicionada es un número
Se puede definir la función esperanza condicionada:
E (X | Y ) : Sop(Y ) →
y0
→
R
E (X | Y = y0 )
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Tema 1
114
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza
Como ya vimos en el caso unidimensional, la esperanza de cualquier función
g (X , Y ) se obtiene como
E [g (X , Y )] =
n
m X
X
g (xi , yj )p(xi , yj )
si (X , Y ) es discreto
i=1 j=1
Z
g (x, y ) · f (x, y )dxdy
E [g (X , Y )] =
si (X , Y ) es continuo
R2
Ejemplo Esperanza del producto
(P P
m
n
xi yj p(xi , yj ), si (X , Y ) es discreto,
E [XY ] = R i=1 j=1
xyf
(x,
y
)
dx dy ,
si (X , Y ) es continuo.
R2
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Tema 1
115
Algunas propiedades de la esperanza y la varianza
Esperanza y varianza de funciones lineales
•
E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ]
•
E [X − Y ] = E [X ] − E [Y ]
•
V [X ± Y ] = V [X ] + V [Y ] ± 2 · Cov (X , Y )
Si Cov (X , Y ) = 0
V [X ± Y ] = V [X ] + V [Y ]
•
E [X1 + X2 + . . . + Xn ] = E [X1 ] + E [X2 ] + . . . + E [Xn ]
•
V [X1 + X2 + . . . + Xn ] = V [X1 ] + V [X2 ] + . . . + V [Xn ]
si la covarianza entre cada par de variables es 0
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Tema 1