Capıtulo 4 Sucesiones y series num´ericas

OR
Capı́tulo 4
4.1.
AD
Sucesiones y series numéricas
Sucesiones
Una sucesión {sn }∞
n=1 es un conjunto ordenado de números
{s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . .}.
RR
Técnicamente, una sucesión puede considerarse como una aplicación que tiene
como dominio el conjunto de los números naturales N, y como recorrido un
conjunto numérico (los números reales, por ejemplo).
Ejemplo 4.1. Las progresiones aritméticas
{1, 2, 3, 4, , 5, . . . , n, . . .}, {3, 7, 11, 15, . . . , 3 + 4(n − 1), . . .}
{s1 , s1 + d, s1 + 2d, s1 + 3d, . . . , s1 + (n − 1)d, . . .}
y las progresiones geométricas
{2, 4, 8, 16, . . . , 2n , . . .},
{r 0 , r 1 , r 2 , r 3 , . . . , r n−1 , . . .}
BO
{s1 , s1 r 1 , s1 r 2 , s1 r 3 , . . . , s1 r n−1 , . . .}
son sucesiones reales infinitas.
Cauchy y D’Alembert rigorizaron el concepto de lı́mite de una sucesión, como
sigue.
Definición 4.2. Una sucesión
{s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . .}.
87
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
OR
88
es convergente si existe un número s tal que
∀ > 0 ∃N ≥ 1 tal que ∀n ≥ N ⇒ |sn − s| < .
Se dice entonces que s es el lı́mite de la sucesión {sn }∞
n=1 , denotándose
s = lı́m sn .
n→∞
Se admite la notación habitual de lı́mite infinito y menos infinito. Se puede
demostrar que el lı́mite, si existe, es único.
AD
Ejercicio 4.3. Calcular el lı́mite de la progresión aritmética general y de la
progresión geométrica de razón r positiva.
.
El único caso no trivial es cuando |r| < 1. Si N > ln |s | ln |r| entonces ∀n > N
1
tenemos que


ln |s | 

ln |s | /ln |r|
1
n
N
= |s1 | exp ln |r|
|s1 r | < |s1 ||r| < |s1 ||r| 1
 = ln |r| 
y el lı́mite es cero. Este resultado es más fácil de demostrar usando la proposición 4.5.
∞
Teorema 4.4. Sean dos sucesiones convergentes {sn }∞
n=1 y {tn }n=1 , de lı́mites
lı́m sn = s,
lı́m tn = t.
n→∞
RR
n→∞
Entonces los siguientes lı́mites existen, y son iguales a lo indicado:
lı́m (sn + tn ) = s + t
n→∞
lı́m (sn · tn ) = s · t
!
sn
s
lı́m
= , tn , 0, t , 0
n→∞ tn
t
n→∞
Es fácil de demostrar la siguiente proposición.
BO
Proposición 4.5. Si una sucesión {sn }∞
n=1 viene dada por una expresión funcional
sn = f (n)
y si ∃ lı́mx→∞ f (x), entonces
lı́m sn = lı́m f (x).
n→∞
x→∞
Es más, si lı́mn→∞ sn = s y ∃ lı́mx→s f (x) (y sn ∈ dom(f )) entonces
lı́m f (sn ) = f ( lı́m sn ) = lı́m f (x) (= f (s) si f es continua).
n→∞
n→∞
x→s
89
OR
4.1. SUCESIONES
Esta proposición, si se puede aplicar, permite utilizar todos los mecanismos
disponibles para lı́mites de funciones, en particular la regla de l’Hôpital.
Ejemplos 4.6. Por aplicación directa de la proposición
3n2 − 2n + 1
3x2 − 2x + 1 3
=
lı́m
= .
n→∞ 2n2 + 4n
x→∞ 2x2 + 4x
2
lı́m
Otro lı́mite
1
lı́m 1 +
n→∞
n
n
1
= lı́m 1 +
x→∞
x
x
1
=
= lı́m exp x ln 1 +
x→∞
x


ln 1 + 1x 

 = exp 1 = e
= exp  lı́m

1
x→∞
AD
x
Es interesante observar que el comportamiento de convergencia de una sucesión no varı́a si cambia un número finito de términos de la sucesión
Proposición 4.7. Si dos sucesiones difieren en un número finito de términos, divergen
o convergen simultáneamente, y en el último caso hacia el mismo lı́mite.
RR
Las sucesiones pueden diverger (no converger) porque su término n-ésimo
sea arbitrariamente grande en valor absoluto, o porque no tienden a un valor
concreto. Por ejemplo
1
sn = (−1)n 1 +
n
no tiende un valor concreto.
La siguiente proposición es útil para encontrar lı́mites no calculables de otra
manera.
BO
∞
Proposición 4.8. Sean dos sucesiones convergentes {sn }∞
n=1 y {tn }n=1 , tales que
lı́m sn = L = lı́m tn
n→∞
n→∞
y sea dada una sucesión {un }∞
n=1 acotada entre ambas (a partir de cierto N )
sn ≤ un ≤ tn ,
∀n ≥ N .
Entonces
lı́m un = L.
n→∞
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Ejercicio 4.9. Calcular el lı́mite de
OR
90
√
√
sn = n + 1 − n.
Multiplicando y dividiendo por el conjugado
0 ≤ sn < √
1
1
√ < √ → 0.
n
n+1+ n
Por el teorema del encaje, el lı́mite es 0.
AD
En el ejemplo anterior hemos visto que el lı́mite convierte desigualdades
estrictas en no estrictas:
sn < tn ⇒ lı́m sn ≤ lı́m tn .
n→∞
4.1.1.
n→∞
Sucesiones monótonas y de Cauchy
RR
Una sucesión es monótona creciente si sn ≤ sn+1 y monótona decreciente si sn ≥
sn+1 , pudiéndose en ambos casos matizar si la monotonı́a es ∀n o bien a partir de
un cierto N , es decir, ∀n ≥ N .
Una sucesión está acotada superiormente si existe un número M tal que sn ≤ M,
∀n, y acotada inferiormente si existe N tal que N ≤ sn , ∀n. Los números M y N
se denominan cota superior e inferior, respectivamente, y una sucesión que está
acotada tanto inferior como superiormente se denomina sucesión acotada.
Teorema 4.10. Una sucesión monótona creciente, acotada superiormente, es convergente.
BO
La misma conclusión se puede deducir para sucesiones monótonas decrecientes acotadas inferiormente. La demostración requiere el uso del axioma del
supremo de los números reales, e incluso el teorema puede sustituir a dicho
axioma, equivaliendo ambas afirmaciones a la propiedad de continuidad de los
números reales.
4.1.2.
Sucesiones de Cauchy∗
El siguiente teorema se demuestra utilizando el teorema 4.10. Entendemos
por subsucesión un subconjunto de una sucesión, ordenado de acuerdo con el
orden prescrito por ésta.
91
OR
4.1. SUCESIONES
Teorema 4.11 (Bolzano-Weierstrass II.). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
El teorema suele también enunciarse en términos de puntos de acumulación,
para el caso de que la sucesión acotada contiene infinitos puntos distintos. La
demostración se realiza probando que tiene que haber al menos una subsucesión
monótona creciente, o decreciente.
El siguiente concepto es fundamental para estudiar las propiedades básicas
de los números reales.
AD
Definición 4.12. Una sucesión {sn } se denomina sucesión de Cauchy si
∀ > 0 ∃N ≥ 1 tal que ∀n, m ≥ N ⇒ |sn − sm | < .
Teorema 4.13. Una sucesión de números reales es convergente si y solo si es de
Cauchy.
RR
Que una sucesión convergente es de Cauchy se demuestra fácilmente, ya
que ∀ ∃N tal que si n ≥ N entonces |sn − s| < /2, lo cual implica que |sn − sm | =
|sn − s + s − sm | ≤ |sn − s| + |sm − s| < , ∀n, m ≥ N . El problema es demostrar que
toda sucesión de Cauchy es convergente. Toda sucesión de Cauchy está acotada,
y por ello, según el teorema de Bolzano-Weierstrass, hay una subsucesión sni
convergente. La distancia entre términos sn tiende a cero, con lo que a partir
de cierto N , si lı́mi→∞ sni = s, se cumplen simultáneamente |sn − sni | < /2 (por
Cauchy) y |sni − s| < /2, y entonces
BO
|sn − s| ≤ |sn − sni | + |sni − s| < .
El teorema 4.13 es de carácter fundamental, y se puede utilizar como axioma
para construir los números reales, siendo equivalente al axioma del supremo. Un
numero real se define como una clase de sucesiones de Cauchy racionales, siendo
dos sucesiones de Cauchy equivalentes si el lı́mite de su diferencia es nulo.
Ejemplos 4.14. Dar ejemplos de sucesiones creadas por algoritmos numéricos,
como el de la bisección y el algoritmo para calcular raı́ces cuadradas por iteración.
Estudiar convergencia.
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
4.2.
Series
OR
92
Una serie es un tipo de sucesión {sn } en la cual cada término es una suma
acumulada (suma parcial) de números de otra sucesión {an }:
s n = a1 + a2 + · · · + a n =
n
X
ai .
i=1
Definición 4.15. La suma infinita
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
Pn
i=1 ai
es convergente. En ese
AD
existe, si y solo si la sucesión de sumas parciales sn =
caso se escribe
∞
X
an = lı́m sn
n=1
n→∞
En el caso convergente, se dice que la serie infinita
∞
X
an converge, y se usa
i=1
RR
la palabra serie para remarcar la distinción con la convergencia de la propia
sucesión {an }. Se dice también que esta sucesión es sumable. Hay que avisar, ya
desde el principio, de que esta suma infinita no es una simple generalización de
una suma finita. No siempre existe y en particular, como veremos, el resultado
puede depender del orden de sumación.
Ejemplo 4.16. La suma de una progresión geométrica es
∞
X
rn = 1 + r + r2 + r3 + · · · =
n=0
1
1−r
porque
sn = 1 + r + r 2 + · · · + r n =
1 − r n+1
1−r
BO
siempre que |r| < 1 (si no, diverge)
Obsérvese que la serie, como en el ejemplo anterior, puede indexarse de formas
distintas, no solo con n = 1, 2, . . ..
Proposición 4.17. La combinación lineal de series convergentes es convergente,
siendo el lı́mite la combinación lineal de los lı́mites:
∞
∞
∞
X
X
X
(αan + βbn ) = α
an + β
bn .
n=1
n=1
n=1
93
OR
4.2. SERIES
Aplicando a la sucesión de sumas parciales el criterio de Cauchy de convergencia, obtenemos la siguiente proposición.
Proposición 4.18 (Caracterización de Cauchy). La sucesión {an } es sumable si y
solo si
lı́m an+1 + an+2 + · · · + am = 0,
n < m.
m,n→∞
En particular, cuando m = n + 1 obtenemos una condición necesaria de sumabilidad.
Corolario 4.19 (Condición del resto). Si {an } es sumable, entonces
lı́m an = 0.
AD
n→∞
Esta condición no es suficiente.
Ejemplo 4.20. La serie
∞
X
1
n=1
es divergente.
n
RR
Demostración. El criterio integral ( ver el teorema 4.27 ) Lo demuestra. Existe
también una demostración directa.
4.2.1.
Series de términos positivos
Una sucesión no negativa {an } (es decir, an ≥ 0, ∀n* ) es sumable si y solo si
el conjunto de sus sumas parciales sn está acotado. Esta propiedad no suele ser
fácil de comprobar directamente en una serie dada, pero es el que subyace al
siguiente resultado.
Teorema 4.21 (Criterio de comparación de series). Si
BO
0 ≤ an ≤ bn
∀n
entonces
si
∞
X
bn converge, también
n=1
∞
X
si
n=1
* bastarı́a
an diverge, también
∞
X
an converge,
n=1
∞
X
bn diverge.
n=1
que los términos fueran no negativos a partir de cierto N .
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
OR
94
La segunda afirmación se obtiene por reducción al absurdo de la primera, que
se deduce por acotación y monotonı́a.
Ejemplo 4.22. La serie
∞
X
2 + sen3 (n + 1)
2n + n2
n=1
converge, ya que
0≤
2 + sen3 (n + 1)
3
≤
2n
2n + n2
AD
y esa última es una progresión geométrica de razón 1/2 (sumable)
Hay que observar que no podemos, en principio, determinar el valor
exacto de la serie, y que los términos son positivos.
El criterio de comparación con una serie geométrica proporciona otro criterio.
Teorema 4.23 (Criterio del cociente de d’Alembert). Si an ≥ 0 ∀n, y existe el lı́mite
an+1
= r,
n→∞ an
lı́m
RR
entonces
si r < 1 la serie
∞
X
an converge,
n=1
∞
X
si r > 1 la serie
an diverge.
n=1
Obsérvese que si r = 1 el criterio no decide, y que el orden del cociente es
fundamental.
BO
Demostración. La demostración consiste en darse cuenta de que a partir de
cierto n = N , se da la recurrencia an+1 ≤ s · an donde r < s < 1. Según ello se
puede comparar con una serie geométrica dominante, de razón s < 1, y por tanto
convergente.
Ejemplo 4.24. El criterio del cociente es útil cuando la serie contiene
términos con factoriales:
∞
X
1
n!
n=1
95
OR
4.2. SERIES
es convergente, puesto que
1
n!
= lı́m = 0.
n→∞ n
n→∞ (n + 1)!
lı́m
Incluso
∞ n
X
x
n=1
n!
es convergente para todo valor de x, por muy grande que sea, ya que
r
r n+1 n!
= lı́m = 0.
n
n→∞ n
n→∞ r (n + 1)!
AD
lı́m
Más potente, pero usualmente de más difı́cil aplicación que el criterio del cociente, es el criterio de la raı́z.
Teorema 4.25 (Criterio de la raı́z (o de Cauchy)). Si an ≥ 0 ∀n, y existe el lı́mite
lı́m
√
n
n→∞
RR
entonces
an = r,
si r < 1 la serie
∞
X
an converge,
n=1
∞
X
si r > 1 la serie
an diverge.
n=1
Si r = 1 el criterio no decide. Este criterio suele ser útil si hay una función
potencial en los términos de la serie, y se puede demostrar que es más potente
que el del cociente (lo incluye)
BO
Ejemplo 4.26. La serie
∞
X
n=2
1
(ln n)n
es convergente, ya que
r
n
1
1
=
→ 0.
n
(ln n)
ln n
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
OR
96
Pese a la cantidad de criterios desarrollados, no podemos estudiar la convergencia de la serie
∞
X
1
np
n=1
para p > 1, ya que se puede demostrar que los criterios no deciden (para p ≤ 1 la
serie diverge por comparación con la armónica)
Teorema 4.27 (Criterio integral). Si f (x) es una función positiva y decreciente
sobre [1, ∞), la serie y la integral impropia
∞
Z
AD
∞
X
f (n),
f (x) dx
1
n=1
convergen o divergen simultáneamente.
Entonces la serie del ejemplo 4.26 es convergente para p > 1.
Ejercicio 4.28. Estudiar la convergencia de
∞
X
1
,
ln n
n=2
1
,
n ln n
RR
n=2
∞
X
∞
X
n=2
1
n(ln n)2
Este criterio nos indica ( como sucedı́a en la teorái de integrales impropias )
que el siguiente puede ser cierto
Teorema 4.29 (Criterio de comparación por paso al lı́mite). Si an , bn ≥ 0 y existe
el lı́mite
a
lı́m n = L > 0
n→∞ bn
BO
entonces las series
∞
X
an ,
n=1
∞
X
bn
n=1
convergen o divergen simultáneamente.
4.2.2.
Convergencia absoluta y condicional. Reordenación
Hemos estudiado con detalle muchos procedimientos de análisis de series
con términos no negativos. Todos los procedimientos son válidos para series
97
OR
4.2. SERIES
con términos no positivos, ya que se pueden escribir en función de una serie de
términos no negativos:
∞
∞
X
X
an = −
−an .
n=1
n=1
Pasemos a estudiar series con términos de signo arbitrario.
Definición 4.30. Dada una serie
serie de valores absolutos
∞
X
∞
X
n=1
an , se dice que converge absolutamente si la
|an | converge.
AD
n=1
Como vamos a demostrar, una serie absolutamente convergente es convergente.
Teorema 4.31. Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Si
implica que
∞
X
n=1
|an | converge, la caracterización de Cauchy (proposición 4.18)
lı́m |an+1 | + · · · + |am | = 0.
m,n→∞
RR
La caracterización de Cauchy es una condición necesaria y suficiente, luego la
sucesión original {an } es sumable si
lı́m an+1 + · · · + am = 0.
m,n→∞
Pero esto se sigue de
|an+1 + · · · + am | ≤ |an+1 | + · · · + |am |.
BO
El hecho de que la convergencia absoluta sea suficiente para producir la
convergencia, permite generalizar las pruebas del cociente y de la raı́z a series de términos no necesariamente positivos, utilizando respectivamente los
lı́mites
p
|a |
lı́m n+1 y lı́m n |an |.
n→∞ |an |
n→∞
Podemos, a partir de una serie absolutamente convergente, generar muchas
series convergentes poniendo signos al azar en cada término. Pero la convergencia
absoluta no es una condición necesaria de convergencia. Veamos el caso de
una serie alternada, que es aquél en el que los términos tienen signos alterno.
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
OR
98
Teorema 4.32 (De Leibniz para series alternadas). Sea una sucesión decreciente de
números positivos
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0
y tendente a cero
lı́m an = 0
n→∞
La serie de signos alternos
X
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·
es convergente.
1. s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ · · · ,
2. s1 ≥ s3 ≥ s5 ≤ · · · ,
3. s2n ≤ s2m+1 .
AD
Es interesante desde el punto de vista práctico estudiar las sumas parciales de
una serie de Leibniz. Resulta que
La afirmación 3 se deduce de que s2l ≤ s2l+1 y que entre un término par s2n y uno
impar s2m+1 podemos encontrar dos términos consecutivos s2k , s2k+1 con
s2n ≤ s2k ≤ s2k+1 ≤ s2m+1 .
RR
Hemos demostrado que las sucesiones de sumas parciales de términos pares e
impares son monótonas, y acotadas una por otra. Luego ambas son convergentes,
y al ser la distancia entre términos tendente a cero, no pueden tener lı́mites distintos. Es interesante observar que el error absoluto de una serie parcial respecto
a la suma final es menor que el módulo del siguiente término a sumar.
Ejemplo 4.33. La serie siguiente es convergente
1
= s = ln 2
n
pero no absolutamente convergente. Es bastante inútil para calcular ln 2, ya que su convergencia es muy lenta:
lı́m (−1)n+1
BO
n→∞
ln 2 ≈ 0,693147
1879
≈ 0,745635
2520
1
∆s ≈ |0,745635 − 0,693147| = 0,0524877 <
10
1
1 − 12 + 31 − 14 + 51 − 16 + · · · + 99
≈ 0,698172
1
∆s ≈ |0,698172 − 0,693147| = 0,005025 <
.
100
1 − 12 + 31 − 14 + 15 − 16 + 71 − 81 + 19 =
99
OR
4.2. SERIES
Ejemplo 4.34. La siguiente serie es divergente
1
1 − 12 + 12 − 14 + 13 − 16 + 41 − 81 + · · · + n1 − 2n
+ ···
Obsérvese que la introducción de paréntesis en una serie conduce a una sucesión
de sumas parciales que es una subsucesión de la sucesión de sumas parciales de
la serie original. Por ello, la serie con paréntesis diverge o converge (al mismo
lı́mite) que la serie original.
Ejemplo 4.35.
AD
Las series convergentes no absolutamente convergentes se denominan series
condicionalmente convergentes. ¿ Por qué condicionalmente ?
s = 1 − 21 + 31 − 14 + 15 − 16 + · · ·
1
1
1
1
= (1 − 21 ) − 14 + ( 13 − 16 ) − 18 + ( 51 − 10
) − 12
+ ( 17 − 14
) − 16
+ ···
1
1
1
1
= 12 − 14 + 61 − 18 + 10
− 12
+ 14
− 16
+ ···
1
= 1 − 12 + 13 − 41 + 15 − 16 + 17 − 81 + · · ·
2
1
= s
2
RR
Hemos hecho una reordenación de la serie, y ¡ hemos obtenido un resultado
distinto !
Para la demostración y ampliación de los resultados siguientes, se recomiendan las referencias [1, 3].
Teorema 4.36. Si se reordena una serie absolutamente convergente, sigue siendo
convergente, con la misma suma.
BO
Teorema 4.37. Reordenando una serie condicionalmente convergente, se puede conseguir que la suma sea cualquier número real.
4.2.3.
Series telescópicas
Dada una serie, hemos visto varios métodos para determinar su carácter
convergente o divergente. Sin embargo, averiguar la suma exacta de una serie
convergente es una cuestión mucho menos sistematizada, y en la mayorı́a de los
casos inalcanzable. Obsérvese que hasta el momento ¡ solo conocemos la suma
de la progresión geométrica ! Un caso sumable más es el de las denominadas
series telescópicas.
CAPÍTULO 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Proposición 4.38. Una serie
consecutivos de una sucesión:
∞
X
OR
100
an cuyos términos son la diferencia de dos términos
n=1
an = bn+1 − bn
se denomina serie telescópica. Sus sumas parciales son sencillas:
sn =
n
X
ai =
i=1
n
X
i=1
(bi+1 − bi ) = bn+1 − b1
AD
y, por lo tanto, su suma se puede calcular como
∞
X
n=1
an = lı́m bn − b1 .
n→∞
Osérvese que si an = bn − bn+1 = −(bn+1 − bn ) también estamos ante una serie
telescópica.
Ejemplo 4.39. La series
∞
X
n=1
RR
n=1
∞ X
1
1
1
1
=
−
=1
= 1 − lı́m
n→∞ n + 1
n(1 + n)
n n+1
∞
X
n=1
∞ 1
1
1X 1
1
3
1 1 1
=
−
=
= + − lı́m
n(2 + n) 2
n n+2
2 4 2 n→∞ n + 2 4
n=1
BO
Existen muchos casos de series sumables que se obtienen de las denominadas
series de Taylor, que son básicamente el tema del capı́tulo siguiente.