resumen de integrales - IES Gabriela Mistral

RESUMEN DE INTEGRALES
Concepto de Función primitiva: La función F es una función primitiva de f, si la
derivada de F es f, es decir:
•
F(x) es una función primitiva de f(x) ⟺ F´(x)=f(x)
Ejemplo1: f(x)=x2
F(x)=
Ejemplo2: f(x)=cos x
ya que
´
= x2
F(x)=sen x, ya que (sen x)´=cos x
Ahora bien si en el ejemplo 1 hubiéramos tomado como primitiva: F(x)=
x3
3
+ 5,
también habría servido pues al derivar, la derivada de una constante es cero. Es decir,
la primitiva de una función, no es única, hay infinitas, que serán de la forma: F(x)+C
con C
∈ℝ
Se llama Integral Indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas
de la función f(x) y se simboliza:
•
f x dx=F x + C
de esta manera, tendremos que:
•
x2 dx=
x3
+
3
C
ya que:
x3
+C
3
´
=x2
Propiedades de la integral indefinida:
I) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
•
f x ±g(x) dx=
f x dx± g x dx
II) La integral del producto de una constante por una función es la constante por la
integral de la función.
•
k∙f x = k f x + C
Mediante la utilización de estas dos propiedades combinadas con estrategias como:
sumar y restar una misma cantidad, multiplicar y dividir por un mismo número,
podemos simplificar la integral sustituyendo la expresión de la función por otra
equivalente y descomponiéndola en otra u otras más sencillas, etc,.
En el anexo I se incluye una tabla de integrales inmediatas.
1
Ejemplos:
1)
5x+3-ex dx =5
2)
sen x
+
3
3)
1
dx=
x2
4)
1
dx=Ln|x| +C
x
5)
2
√x+1
x2
+3x-ex +C
2
1
3
6x2 -2 dx =- cos x+2x3 -2x+C
x-2 dx=
x-1
-1
+C=
-1
+C
x
dx=4√x+1+C
(Podemos comprobar fácilmente si hemos hallado bien la integral sin más que derivar
el resultado y ver si coincide con el integrando).
Dada una integral se debe reconocer primero si se adapta a uno de los tipos
fundamentales o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones
elementales; en caso contrario, habrá que aplicar otros procedimientos para su cálculo
que reciben el nombre de:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES.
El método de integración por partes se basa en la derivada del producto de funciones.
A partir de él, trataremos de buscar una regla que nos permita calcular la integral de
un producto de funciones.
Consideremos dos funciones u(x) y v(x), ambas derivables. La diferencial del producto
será:
d(u∙v) = v∙du + u∙dv ⇔ u∙dv = d(u∙v) - v∙du
integrando en los dos miembros de la segunda parte tenemos:
u∙dv=
d u∙v -
v∙du
⇔
u∙dv= u∙v -
v∙du
que es la fórmula de la integración por partes. Se aplica cuando tenemos la integral
de un producto de funciones, de las cuales, una se simplificará al derivarla (u) y la otra
será fácil de integrar (dv). Suele ser útil cuando tenemos: el producto de un polinomio
por una exponencial; el producto de una exponencial por senx o por cosx; el producto
de un polinomio por senx o por cosx, entre otras.
Ejemplo 1:
Ln x dx
Si hacemos u=Lx y dv = dx tendremos que:
2
1
x
u=Lnx
du= dx
dv=dx
v=x
sustituyendo en la fórmula de la integración por partes nos queda:
Ln x dx = x∙lnxEjemplo 2:
I=
Hacemos:
u=x
x∙ x dx = xLnx- dx=xLnx-x +C=x Lnx-1 +C
1
xsenx dx
du=dx
dv=senx dx
xsenx dx =-x∙cosx –
v=-cosx
(-cosx) dx =-xcosx + cosx dx=- xcosx +senx +C
En ocasiones el método de integración por partes no es tan directo como podría parecer
observando los ejemplos anteriores, sino que llegamos al resultado final después de aplicar
dos o más veces dicho método:
Ejemplo 3: I= x2 senx dx
Hacemos:
u=x2
du=2xdx
dv=senx dx
v=-cosx
x2 senx dx =-2x∙cosx –
2x(-cosx) dx =-2xcosx +2
xcosx dx
Repetimos el proceso con la integral que nos queda
Hacemos:
u=x
du=dx
dv=cosx dx
I=xsenx-
v=senx
senx dx=xsenx- -cosx + C=xsenx + cosx + C
Con lo que la integral inicial nos queda:
I= -2xcosx+2(xsenx + cosx)+C
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.
Se hace de un cambio de variable t=u(x), de esta forma: dt=u´(x)dx. A continuación
se despeja x y dx para sustituirlos en la integral.
Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y después se
deshace el cambio.
Es evidente que si la integral resultante del cambio es más complicada que la de
partida, el cambio realizado no es el adecuado y debemos buscar otro.
3
x
dx
√x+1
Ejemplo 4: I=
t2=x+1
Hacemos: t=√x+1
x=t2 – 1
dx = 2tdt.
Sustituyendo en la integral:
x
√x+1
I=
dx = t2 -1
t
2tdt = 2
t2 -1 dt =2
t3
3
-t +C
Deshaciendo el cambio de variable:
x+1 3
-√x+1
3
I=2
Ejemplo 5:
+C
dx
I=
5x-2
Haciendo el cambio: t=5x-2
1
1
dt = 5 t
5√t
I=
1
2
-
x=
t+2
dx =
5
1
1
dt= 5
t2
1
2
+C=
2
5
1
5
dt. sustituyendo:
√t + C
deshacemos el cambio:
I=
2
5
5x-2 + C
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.
Este método se utiliza para resolver algunas integrales donde el integrando es una
función racional
P(x)
, siendo el grado del numerador menor que el del denominador.
Q(x)
Si nop es así, comenzamos efectuando la división y simplificando la expresión de la
forma:
P(x)
Q(x)
dx=
R(x)
C x + Q(x) dx= C x dx+
R(x)
Q(x)
dx
El método de descomposición en fracciones simples consiste en transformar el
cociente
P(x)
Q(x)
en una suma de fracciones simples que tendrán por denominador
polinomios de primer o segundo grado irreducibles. Es el proceso contrario al que
realizamos cuando sumamos dos fracciones algebraicas que tienen distinto
denominador. Si en ese caso partimos de dos a más fracciones para llegar a una
4
sola fracción suma, ahora se trata de, a partir de la fracción suma,
obtener los
distintos sumandos.
En una primara aproximación nos vamos a limitar a estudiar los casos más
elementales y lo vamos a hacer mediante un ejemplo.
Ejemplo 6:
dx
I=
x2 -4
x2-4 = (x+2)(x-2)
El denominador tiene dos raíces reales x1=2 y x2=-2 con grado de multiplicidad =1. Por
lo tanto a cada una le corresponderá una sola fracción y podremos escribir:
1
x2
-4
=
A
+
x+2
B
⇔
x-2
1
x2
-4
=
A x-2 +B(x+2)
x+2 (x-2)
si las fracciones son iguales, al ser iguales los denominadores, tienen que ser
iguales los numeradores, es decir:
1=A(x-2) + B(x+2) ⇔ 1= Ax – 2A +Bx +2B ⇔ 1=(A+B)x +(2B - 2A)
el polinomio de la izquierda es un polinomio de grado cero por lo que el término en
x es cero, es decir:
A=-B
A+B=0
2B -2A=1
B=
2B-2 -B =1
1
4
1
y A=-
4
sustituyendo:
1
x2 - 4
=
-
1
4
x+2
1
4
+
x-2
y la integral quedará:
dx
x2
=
1
4
-4
=
-
1
4
x+2
!+
1
4
x-2
!=−
#
$
&Ln%x-2% − Ln|x+2|' + ( = Ln C
Ejemplo 7:
I=
x+1
x2 (x-1)
4
dx
x+2
+
1
dx
4
x-2
=− 4 Ln|x+2|+ 4 Ln%x-2% +C =
1
1
x-2
x+2
dx
El denominador tiene dos raíces reales: x1=0, con grado de multiplicidad =2 y
x2=1, con grado de multiplicidad=1.
5
x+1
x2 (x-1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x-1
=
x x-1 A + x-1 B+ x2 C
*+( =0
), − * = 1
−, = 1
(A+C)x2 + (B-A)x –B = x +1
sustituyendo:
x+1
x2 (x-1)
dx = = -2Lnx +
1
x
-2
x
dx+
-1
x2
dx+
+2Lnx-1+C =
x+1 = Ax2 – Ax+Bx – B +Cx2
x2 (x-1)
1
x
2
x-1
dx=-2
+ LnC
x-1
x
1
x
A=-2; B=-1; C=2
dx-
1
x2
dx+ 2
1
x-1
dx=
2
Todas estas técnicas de integración consisten en transformar el integrando hasta
obtener una función que reconozcamos como inmediata.
6
ANEXO I
TABLA DE INTEGRALES ELEMENTALES
7