8. La función fi y el teorema de Euler.

TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 8.
LA FUNCIÓN φ Y EL TEOREMA DE EULER.
1. Definición. Para cada n ≥ 1, la función φ de Euler se define por
φ(n) = ]{k ∈ N : k ≤ n, mcd(k, n) = 1},
es decir la cantidad de enteros positivos menores que n que son relativamente primos con n.
2. Probar que n es primo si y sólo si φ(n) = n − 1.
3. Proposición. Si p es primo y k > 0, se tiene
k
k
φ(p ) = p − p
k−1
=p
k
1
1−
p
.
Indicación: los enteros entre 1 y pk que son divisibles por p son p, 2p, 3p, ..., (pk−1 )p.
4. Probar que mcd(a, bc) = 1 si y sólo si mcd(a, b) = 1 y mcd(a, c) = 1.
5. Supongamos que mcd(r, m) = 1 = mcd(n, m). Probar que los números r, m+r, 2m+r, ..., (n−
1)m + r forman un sistema completo de residuos módulo n, y deducir que de esta lista hay
exactamente φ(n) números que son relativamente primos con n.
Indicación: para la segunda parte, observar que si s ≡ t (mod n), entonces mcd(s, n) = 1 ⇐⇒ mcd(t, n) = 1.
6. Teorema. La función φ de Euler es multiplicativa.
Indicación: Sean n, m > 1, y ordenemos los números desde 1 hasta nm como sigue
1
m+1
2m + 1
..
.
(n − 1)m + 1
2
m+2
2m + 2
..
.
(n − 1)m + 2
···
···
···
..
.
···
r
m+r
2m + r
..
.
(n − 1)m + r
···
···
···
..
.
···
m
2m
3m
..
.
nm.
Por el ejercicio 4, φ(nm) es la cantidad de números de esta lista que son relativamente primos con n y con m.
Puesto que mcd(qm + r, m) = mcd(r, m), los números de la r-ésima columna son relativamente primos con m
si y sólo si r lo es; deducir que exactamente φ(m) columnas contienen números relativamente primos con m, y
cada número de estas φ(m) columnas es relativamente primo con m. Ahora, aplicar el problema anterior para
concluir que en cada una de estas φ(m) columnas hay exactamente φ(n) números que son relativamente primos
con n, y que por tanto hay exactamente φ(m)φ(n) números de la lista que son relativamente primos con n y
con m.
7. Teorema. Si pk11 · · · pkr r es la factorización en primos de n > 1, entonces
1
1
k1
k1 −1
kr
kr −1
φ(N ) = (p1 − p1 ) · · · ... · · · (pr − pr ) = N 1 −
··· 1 −
.
p1
pr
8. Probar que φ(n) es par si n ≥ 3.
Indicación: distinguir los casos n = 2k y n = pk m con p primo impar.
9. Probar que
1√
n
2
≤ φ(n) ≤ n para todo n ∈ N.
Indicación: si n = 2k0 pk11 · · · pkr r , φ(n) = 2k0 −1 p1k1 −1 · · · pkr r −1 (p1 − 1) · · · (pr − 1). Usar las desigualdades
√
p − 1 > p, k − 1/2 ≥ k/2.
10. Probar que si n es compuesto entonces φ(n) ≤ n −
√
n.
Indicación: .
11. Si todo primo que divide a n también divide a m, probar que φ(nm) = nφ(m). Deducir
que φ(n2 ) = nφ(n) para todo n.
12. Si φ(n) | n − 1, probar que n está libre de cuadrados.
13. Si d | n, probar que φ(d) | φ(n).
14. Lema. Sea n > 1 y supongamos mcd(a, n) = 1. Si a1 , ..., aφ(n) son los números de
{1, 2, ..., n − 1} que son relativamente primos con n, entonces
aa1 , aa2 , ..., aaφ(n)
con congruentes módulo n con a1 , a2 , ..., aφ(n) en algún orden posiblemente diferente.
15. Teorema de Euler. Si mcd(a, n) = 1, entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Indicación: Aplicar el lema anterior, multiplicar las φ(n) congruencias obtenidas, y tener en cuenta que
mcd(a1 a2 · · · aφ(n) , n) = 1.
16. Observar que el pequeño teorema de Fermat es un caso particular del teorema de Euler.
17. Deducir en teorema chino del resto a partir del teorema de Euler.
Indicación: suponiendo que mcd(ni , nj ) = 1, y considerando el sistema x ≡ ai (mod ni ), i = 1, ..., r, denotar
φ(n1 )
n = n1 n2 · · · nr , Ni = n/ni , y comprobar que x = a1 N1
φ(nr )
+ · · · ar Nr
es solución del sistema.
18. Probar que si n es un entero impar que no es múltiplo de 5, entonces n divide a algún
número cuyas cifras son todas unos.
19. Si mcd(n, m) = 1, probar que mφ(n) + nφ(m) ≡ 1 (mod nm).
20. Si mcd(a, n) = 1, probar que el número baφ(n)−1 es solución de la congruencia lineal ax ≡ b
(mod n). Usar esto para resolver las congruencias 10x ≡ 21 (mod 49).
21. Para todo a ∈ Z, probar que a y a4n+1 acaban en la misma cifra
22. Encontrar el resto de la división de 2100000 por 77.
23. Teorema (Gauss). Para todo n ∈ N se tiene n =
P
d|n
φ(n).
24. Teorema. Para cada n ≥ 2, la suma de los números naturales menores que n y relativamente primos con n es 21 nφ(n), es decir,
X
1
nφ(n) =
k.
2
mcd(k,n)=1, 1≤k<n
Indicación: Sea {a1 , a2 , ..., aφ(n) } el conjunto de los naturales menores que n que son primos con n. Observar
que este conjunto es igual a {n−a1 , n−a2 , ..., n−aφ(n) } y por tanto las sumas de los elementos de cada conjunto
son iguales.
25. Teorema. Para todo n ∈ N se tiene
φ(n) = n
X µ(d)
d|n
d
.
Indicación: aplicar la fórmula de inversión de Möbius a F (n) = n =
P
d|n
φ(d).
26. Para cada n ∈ N , probar que existe k tal que n | φ(k).
27. Demostrar las fórmulas:
n
n
X
X
σ(d)φ
= nτ (n), y
τ (d)φ
= σ(n).
d
d
d|n
d|n