Teorema de Fermat Teorema. Sea p un primo

Teorema de Fermat
Teorema. Sea p un primo. Entonces, para cualquier entero a no divisible por
p, se tiene que ap−1 ≡ 1 mód(p).
Demostración. Observamos primero que como p no divide a a, ningún entero
de la lista a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a mód(p) es divisible por p.
Por otro lado, también son diferentes módulo p, pues suponiendo que ja y ka
son dos de estos números fueran congruentes módulo p, es decir ja ≡ ka mód(p),
tendrı́amos que p divide a (j − k)a y como p no divide a a, entonces p tendrı́a
que dividir a (j − k). Pero como 1 ≤ j, k ≤ p − 1, entonces |j − k| < p − 1 y sólo
hay un entero de valor absoluto menor que p − 1 y divisible por p, a saber, el
cero. Se sigue que j = k.
Ası́ los enteros a, 2a, 3a, . . . , (p−1)a son distintos módulo p y como 1, 2, 3, . . . , (p−
1) son todos los enteros no cero distintos módulo p, entonces los dos conjuntos
anteriores son iguales. Se sigue que el producto, módulo p, de los enteros de
un conjunto es igual al producto, módulo p de los enteros del otro conjunto, es
decir:
a(2a)(3a) · · · (p − 1)a ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) mód (p)
por lo que,
a(p−1) (p − 1)! ≡ (p − 1)! mód (p)
donde observamos que el factorial (p−1)! es primo relativo con p y ası́ lo podemos
cancelar para obtener el resultado que buscamos.
Función de Euler
Para cualquier entero m ≥ 1, definimos la función de Euler φ(m) como la cardinalidad del conjunto {a : 1 ≤ a ≤ m y MCD(a, m) = 1}.
Observemos que si p es primo, φ(p) = p − 1 pues cualquier 1 ≤ j ≤ p − 1 es
primo relativo con p.
Lema. Para cualquier entero k ≥ 1, φ(pk ) = pk − pk−1 .
Demostración. Para calcular φ(pk ) necesitamos contar los enteros entre 1 y pk
que sean primos relativos con pk . Para esto, basta contar aquellos enteros entre
1 y pk que no son primos relativos con pk , es decir que son divisibles por p; pero
esto último es fácil: los enteros entre 1 y pk que son divisibles por p son:
p, 2p, 3p, 4p, . . . , (pk−1 − 2)p, (pk−1 − 1)p, pk
y hay pk−1 de ellos. Esto nos da la fórmula φ(pk ) = pk − pk−1 .
Lema. Si a, b, c son tres enteros tales que MCD(a, b) = 1, a|c y b|c, entonces
ab|c.
Demostración. Como a|c y b|c, entonces c = aa0 y c = bb0 para algunos enteros
a0 , b0 . Además MCD(a, b) = 1, por lo que existen enteros s, t tales que 1 = as+bt,
multiplicando por c esta igualdad tenemos
c = acs + bct = abb0 s + baa0 t = ab(b0 s + a0 t)
por lo que ab|c como se querı́a.
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Lema. Para cualesquiera dos enteros m, n ≥ 1 que son primos relativos, se
tiene que φ(mn) = φ(m)φ(n).
Demostración. Consideremos los conjuntos:
A = {a ∈ Z : 1 ≤ a ≤ mn y MCD(a, mn) = 1}
B = {(a, b) ∈ Z × Z : 1 ≤ a ≤ m, MCD(a, m) = 1, 1 ≤ b ≤ n, MCD(b, n) = 1}
Observemos que A tiene φ(mn) elementos, mientras que B tiene φ(m)φ(n) elementos, por lo que basta probar que A y B tienen la misma cardinalidad. Para
ello, definiremos una correspondencia F : A → B como sigue
F (a) := (a mód m, a mód n)
La cual está bien definida, pues si a ∈ A, entonces MCD(a, mn) = 1, lo que
implica que MCD(a, m) = 1 y MCD(a, n) = 1.
F es inyectiva ya que si F (a) = F (b), entonces
(a mód m, a mód n) = (b mód m, b mód n)
por lo que a ≡ b mód(m) y a ≡ b mód(n) y como MCD(m, n) = 1, por el
lema anterior se sigue que a ≡ b mód(mn), es decir a = b como se querı́a.
F es suprayectiva ya que si (a mód m, b mód n) es cualquier elemento en
B, queremos encontrar un elemento x ∈ A, tal que
(x mód m, x mód n) = (a mód m, b mód n)
es decir, x debe satisfacer las congruencias
x ≡ a mód m
x ≡ b mód n
y una tal solución existe gracias al teorema chino del residuo, pues MCD(m, n) =
1.
Por tanto F es biyectiva y entonces A y B tienen el mismo número de elementos,
es decir
φ(mn) = |A| = |B| = φ(m)φ(n).
Gracias a los lemas anteriores, podemos calcular el valor de φ(m) de cualquier
entero m ≥ 1, solamente expresamos m como producto de potencias de primos,
separamos φ(m) como producto de φ de potencias de primos por el lema anterior y por el primer lema, podemos calcular cada uno de esos factores.
Finalmente, la generalización de Euler del teorema de Fermat es:
Teorema. Si MCD(a, m) = 1, entonces aφ(m) ≡ 1 mód (m).
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Demostración. La prueba es similar a la del teorema de Fermat.
Sean 1 ≤ b1 < b2 < . . . < bφ(m) ≤ m los φ(m) enteros entre 1 y m que son
primos primos relativos con m. Observemos que como MCD(a, m) = 1, enonces
el conjunto
b1 a, b2 a, . . . , bφ(m) a mód(m)
es igual al conjunto
b1 , b2 , . . . , bφ(m) mód(m)
Una vez probado esto, se consideran los correspondientes productos para obtener
aφ(m) b1 b2 · · · bφ(m) ≡ b1 b2 · · · bφ(m) mód(m)
y como MCD(bj , m) = 1, entonces MCD(b1 b2 · · · bφ(m) , m) = 1, por lo que este
factor se puede cancelar de la congruencia anterior para obtener el teorema de
Euler: aφ(m) ≡ 1 mód (m).
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