VECTORES FIJOS EN EL PLANO EQUIPOLENCIA VECTORES

VECTORES FIJOS EN EL PLANO
Hay magnitudes, como fuerzas, desplazamientos, velocidades, etc,... que no quedan completamente definidas por un
número; necesitamos conocer también, una dirección y un sentido.
Estas magnitudes se llaman vectoriales y las representamos mediante vectores.
r
Dados dos puntos del plano, A y B, denominamos vector a = AB al segmento orientado cuyos extremos son A y B,
donde:
r
r
B
el punto A es el origen del vector a
a
A
r
el punto B es el extremo del vector a
r
r
la distancia entre los puntos A y B es el módulo del vector a , se representa por | a | o | AB |
r
r
r
Cualquier otro vector b contenido en una recta paralela a la que contiene al vector a , tiene la misma dirección que el
r
r r
r r
vector a . Diremos que a y b son paralelos y lo expresamos mediante: a || b
La recta que contiene a los puntos A y B y todas sus paralelas determinan la dirección del vector a .
El sentido viene determinado por la orientación del origen y el extremo. "Sentido de A a B" en el vector AB .
En cada dirección hay dos sentidos. Sólo puede hablarse de igual o distinto ssentido dentro de una misma dirección.
Dos vectores AB y BC tienen el mismo sentido si tienen la misma dirección y sus extremos quedan en el mismo
semiplano de los determinados por la recta que pasa por sus orígenes.
Escribiremos AB ↑ BC si tienen el mismo sentido y AB ↓ BC si tienen distinto sentido.
EQUIPOLENCIA
r
r
Diremos que los vectores a = AB y b = BC son equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido y los
escribiremos AB ∼ BC
Podemos reconocer gráficamente si dos vectores son equipolentes si el
cuadrilátero ABCD es un paralelogramo
| AB | = | BC |
AB || BC
AB ↑ BC
VECTORES LIBRES
Dado un vector AB , es evidente que existen infinitos vectores
equipolentes a él. Si los agrupamos en una clase de vectores, podemos escoger uno de ellos como representante de la
clase para identificar a todos ellos.
A esta clase de vectores equipolentes entre sí la llamamos vector libre, del que tomamos uno como representante para
poder representarlo gráficamente.
OPERACIONES CON VECTORES
Suma
r
r
r
r
Regla del polígono: La suma de los vectores, u + v , es un vector cuyo origen es el de u y cuyo extremo es el de v
r
r
Regla del paralelogramo: Para sumar los vectores u y v , se representan los dos con un origen común, y se trazan por
cada extremo, paralelas al otro vector, completando un paralelogramo. LA diagonal representa la suma.
Producto por números
r reales
r
El producto de un vector u por un escalar k∈R, da como resultado otro vector k u , siendo:
r
* su dirección la misma que la de u
r
r
r
* su módulo k veces el de u , es decir |k u |=k| u |
* su sentido depende del signo de k:
r
r
si k es positivo, el sentido de k u es el mismo que el de u ,
r
r
si k es negativo, el sentido de k u es el opuesto al de u .
EL PLANO VECTORIAL
Sea V el conjunto de los vectores libres del plano, donde se han definido las dos operaciones siguientes:
r r
Operación interna: Suma: u + v ∈V
r
Operación externa: Producto por números reales: k u ∈V
Estas dos operaciones cumplen las propiedades siguientes:
Suma:
r r r r
Conmutativa: u + v = v + u
r r
r r
r r
Asociativa: ( u + v ) + w =: u + ( v + w )
r r r r
Elemento neutro: u + o = o + u
r r r
Elemento opuesto: u +(- u )= o
Producto por escalar:
r r
r
r
I) k( u + v )=k u + k v
r
r
r
II) (k+h) u =k u + h u
r
r
r
III) (kh) u = k(h u )=h(k u )
r r
IV) 1· u = u
Por cumplirse estas propiedades, el conjunto (V,+,·R) del los vectores del plano con las operaciones suma y producto
por números reales, tiene estructura de espacio vectorial, llamado plano vectorial.
COMBINACIÓN LINEAL
Una combinación lineal de dos vectores es otro vector, resultado de sumar los vectores dados multiplicados por
números reales, es decir:
r
r
r
r
r r
si w = k u + h v con k,h∈R, se dice que w es combinación lineal de u y v .
r
r
r
r
r
En general, si w = k1u1 + k 2 u 2 +······+ k n u n con ki∈R, el vector w es combinación lineal de los vectores
{ur1 ,......., urn }
Descomposición de un vector como combinación
lineal de otros dos.
r
r r
Procedimiento gráfico: Se pretende descomponer w como combinación lineal de u y v .
1º: Se representan todos los vectores con un origen común.
r r
r
2º: Se prolongan las direcciones de u y v y por el extremo de w se trazan paralelas a estas direcciones, formando un
paralelogramo.
r
3º: los vértices de este paralelogramo dan los extremos de los vectores en que se descompone w .
DEPENDENCIA LINEAL
Dependencia lineal de dos vectores
r r
Dados dos vectores u y v , diremos que son linealmente dependientes (l.d) si uno se obtiene como resultado de
r r
r r
multiplicar al otro por un número real, es decir: {u , v } l.d. ⇔ u =k v con k∈R.
Para que esto ocurra es necesario que los dos tengan la misma dirección, es decir, que sean paralelos.
En caso contrario los dos vectores son linealmente independientes (l.i.), o libres.
Esto es así cuando tienen direcciones no paralelas.
Dependencia lineal de dos o más vectores
r
r
Un conjunto de vectores {u1 ,......., u n } son ligados o linealmente dependientes, si alguno de ellos es combinación
lineal de los demás (aunque no lo sea de todos)
En caso contrario son libres o linealmente independientes.
Ejemplo:
En la figura se observa que
r
r
r
r r r
w = 4 u + 2 v ⇒ { w , u , v } l.d.
r r
r r
{ u , v } l.i. pues de ninguna manera u =k v
Definición equivalente:
r
r
r
Dados los vectores {u1 ,......., u n }, se forma una combinación lineal de ellos y se iguala al vector o
r
r
r r
k1u1 + k 2 u 2 +······+ k n u n = o
r
r
si todos los ki=0 como única solución ⇒ {u1 ,......., u n } l.i.
r
r
si pueden existir ki≠0 ⇒ {u1 ,......., u n } l.d.
Ejercicio:
Comprobar que en el plano vectorial,
a) dos vectores paralelos son siempre l.d.
b) dos vectores no paralelos son siempre l.i.
c) tres o más vectores son siempre l.d.
SISTEMAS DE GENERADORES
r r
r
u y v , hemos visto que cualquier otro vector w se puede descomponer como
r r
r r
combinación lineal de u y v . Es decir, combinaciones adecuadas de u y v pueden producir cualquier otro vector del
r r
plano. Por lo tanto diremos que { u , v } generan a todos los vectores del plano o que son un sistema de generadores.
r
r
En general, diremos que un conjunto de vectores {u1 ,......., u n } son un sistema de generadores si mediante
Dados dos vectores no paralelos
combinaciones lineales adecuadas se pueden obtener el resto de los vectores.
Se puede comprobar que en el plano se necesitan como mínimo dos vectores no paralelos para generar al resto.
BASE Y DIMENSIÓN. COMPONENTES
r
r
Un conjunto de vectores {u1 ,......., u n } forman base si son a la vez l.i. y sistema de generadores.
En el plano, las bases están formadas por dos vectores no paralelos, pues como mínimo se necesitan dos vectores no
paralelos para ser sistema de generadores y más de dos vectores ya no son l.i.
Se llama dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que componen cualquiera de sus bases.
r r
El plano vectorial tiene dimensión 2 pues sus bases están formadas por dos vectores. B={ u , v }, dim (V2)=2.
r
r
r
Componentes: Sea B={ u , v } una base de V2, como cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de
r r
r
estos vectores de la base, existirán dos números reales x,y∈R tales que w =x u + y v
r
r r
Estos números puestos en forma de par ordenado (x,y) se llaman componentes del vector w en la base B={ u , v }.
Como estos números dependen de la base elegida, un mismo vector puede tener componentes distintas en bases
distintas.
r r
r
w =4 u + 2 v
r
r r
w =(4,2) en la base B={ u , v }.
r
r r
w =5 p - 2 q
r r
r
w =(5,-2) en la base B={ p , q }