Año 2005. - IES Ramón Olleros

Selectividad
Septiembre 2005
SEPTIEMBRE 2005
Opción A
− 4 5 
 y que
1.- Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que 2 A + 3B = 
 − 2 − 1
 3 0
 .
A − B = 
 − 1 2
2.- Se considera la parábola p (x) = − 0,5 x2 + 1,5 x y sea s (x) la línea poligonal que se obtiene
uniendo los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 1) por segmentos de recta. Representa el recinto limitado por
la parábola y la poligonal y calcula su área.
3.- El estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional el pasado año revela que el
42 % de dichos créditos se ha concedido a clientes españoles, el 33 % a clientes del resto de la
Unión Europea y el 25 % a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los créditos hipotecarios
suponen, respectivamente, el 30 %, el 24 % y el 14 %. Elegido un cliente al azar que ha recibido un
crédito, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito concedido no sea hipotecario?
4.- Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de
ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al
azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más
preguntas.
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2005
Opción B
1.- El club “Amigos del Románico” quiere organizar un viaje visitando el románico de Castilla y
León para sus 200 socios. Acude para ello a una agencia de viajes que dispone de 4 microbuses de
25 plazas y 5 autobuses de 50 plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de un autobús
es de 160 euros por día, mientras que el alquiler de un microbús es de 70 euros por día. Con esas
condiciones, ¿cómo deben organizar el viaje para que el coste del viaje sea el menor posible?
3 x 2 + 24
2.- Se considera la función f (x) =
.
x +1
a) Calcula los máximos y mínimos de f (x).
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (0, 5).
3.- Una máquina de envasado automático de refrescos vierte en cada lata una cantidad de refresco
que puede suponerse que sigue una distribución normal de media µ = 32,5 cl y desviación típica
σ = 0,5 cl. El llenado de la lata se considera “incorrecto” si la cantidad de refresco vertido es
inferior a 31,5 cl ó superior a 34 cl.
a) ¿Cuál es el porcentaje de llenados incorrectos para esta máquina?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el llenado de 3 latas con esa máquina todos los llenados
sean correctos?
4.- Se presentan tres partidos políticos (A, B y C) a unas elecciones con un único partido ganador.
La probabilidad de que gane B es el doble de la probabilidad de que gane A, mientras que la
probabilidad de que gane C es el triple de la probabilidad de que gane B. ¿Qué probabilidad tiene C
de ganar las elecciones?
Dpto. Matemáticas
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Septiembre 2005
SOLUCIONES
Opción A
− 4 5 

1.- Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que 2A + 3B = 
 − 2 − 1
 3 0
 .
A − B = 
 −1 2
y que
Solución:
Es un sistema lineal.
− 4 5 

2A + 3B = 
−
2
−
1


3
0



A − B = 
−
1
2


Multiplicando por 3 la segunda ecuación y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se
tiene:
− 4 5 
 + 3
5 A = 
 − 2 − 1
 3 0   5 5

 = 

 − 1 2   − 5 5
 1 1

A = 
 − 1 1
⇒
Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación:
 3 0   1 1  3 0   − 2 1 
 = 
 – 
 = 

B = A – 
 − 1 2   − 1 1  − 1 2   0 − 1
2.- Se considera la parábola p (x) = − 0,5x2 + 1,5x y sea s (x) la línea poligonal que se obtiene
uniendo los puntos (0, 0), (1, 1), (2, 1) por segmentos de recta. Representa el recinto limitado por la
parábola y la poligonal y calcula su área.
Solución:
Trazamos en primer lugar la parábola. Para ello, calculemos su vértice:
xv = −
b
1,5
= −
= 1,5
2a
2 · (−0,5)
yv = − 0,5 · (1,5)2 + 1,5 · (1,5) = 1,125
⇒
Por tanto el vértice es el punto (1,5; 1,125). Además, las raíces de p (x) son:
p (x) = − 0,5x2 + 1,5x = 0
⇒
x=0
y
x=3
De aquí deducimos que la parábola corta al eje OX en los puntos (0, 0) y (3, 0).
Dpto. Matemáticas
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Para completar el dibujo de la parábola podemos dar algunos valores:
x
0
1
2
3
2
0
1
1
0
p (x) = − 0,5x + 1,5x
Así, el recinto es el sombreado en la siguiente figura.
Su área viene dada por la diferencia determinada por el área encerrada debajo del arco parabólico
entre 0 y 2 y la del trapecio de vértices OABC (zona sombreada en la figura anterior). Su valor es:
A=
∫ [(−0,5x
1
0
2
]
+ 1,5 x) − x dx + ∫
2
1
[(−0,5 x
1
2
]
+ 1,5 x) − 1 dx =
2
 0,5 x 3 0,5 x 2 
 0,5 x 3 1,5 x 2

1
1 1 2
−
+
+
+
− x =
+
= u


−
3
2 0 
3
2

 1 12 12 6
3.- El estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional el pasado año revela que el
42 % de dichos créditos se ha concedido a clientes españoles, el 33% a clientes del resto de la
Unión Europea y el 25 % a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los créditos hipotecarios
suponen, respectivamente, el 30 %, el 24 % y el 14 %. Elegido un cliente al azar que ha recibido un
crédito, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito concedido no sea hipotecario?
Solución:
Si denotamos por ES, UE y RM los sucesos "cliente español", "del resto de la Unión Europea" y
"del resto del mundo", respectivamente; y por H el suceso "crédito es hipotecario" se tiene:
P (ES) = 0,42;
P (UE) = 0,33;
P (RM) = 0,25
Tenemos también las siguientes probabilidades condicionadas:
P (H / ES) = 0,30;
P (H / UE) = 0,24;
P (H / RM) = 0,14
Con esto:
P (H) = P (ES) · P (H / ES) + P (UE) · P (H / UE) + P (RM) · P (H / RM) =
= 0,42 · 0,30 + 0,33 · 0,24 + 0,25 · 0,14 = 0,2402
Dpto. Matemáticas
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En consecuencia, la probabilidad de que el crédito concedido no sea hipotecario es:
P ( H ) = 1 − P (H) = 1 − 0,2402 = 0,7598
Nota: El problema también lo podemos resolver mediante un diagrama de árbol como el siguiente:
0,30
H
ES
0,70
H
0,42
0,24
0,33
H
UE
0,76
H
0,25
0,14
H
RM
0,86
H
P ( H ) = 0,42 · 0,70 + 0,33 · 0,76 + 0,25 · 0,86 = 0,7598
4.- Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de
ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al
azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más
preguntas.
Solución:
Se trata de una distribución binomial B (6; 0,25) ya que n = 6, p = P (acierto) =
q = P (fallo) =
1
= 0,25 y
4
3
= 0,75.
4
Como sabemos la probabilidad de r aciertos en n intentos para una distribución binomial viene dada
por:
n
n−r
p ( X = r ) =   p r (1 − p )
r
Por tanto la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas será:
6
 6
P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) =   (0,25)4 (0,75)2 +   (0,25)5 (0,75) +
 4
 5
= 0,03296 + 0,00439 + 0,00024 = 0,03759
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 6
6
  (0,25) =
6
 
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Opción B
1.- El club “Amigos del Románico” quiere organizar un viaje visitando el románico de Castilla y
León para sus 200 socios. Acude para ello a una agencia de viajes que dispone de 4 microbuses de
25 plazas y 5 autobuses de 50 plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de un autobús
es de 160 euros por día, mientras que el alquiler de un microbús es de 70 euros por día. Con esas
condiciones, ¿cómo deben organizar el viaje para que el coste del viaje sea el menor posible?
Solución:
Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y el número de microbuses y de autobuses
respectivamente. A partir del enunciado del problema podemos establecer las siguientes
condiciones:
0≤x≤4
0≤y≤5
x+y≤6
25x + 50y ≥ 200
La función a minimizar es: F (x, y) = 70x + 160y
Dibujemos la región factible:
Los vértices de esta región son los puntos:
A = (0, 4)
B = (0, 5)
C = (1, 5)
D = (4, 2)
El mínimo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual:
F (0, 4) = 70 · 0 + 160 · 4 = 640
F (0, 5) = 70 · 0 + 160 · 5 = 800
F (1, 5) = 70 · 1 + 160 · 5 = 870
F (4, 2) = 70 · 4 + 160 · 2 = 600
Por tanto el coste mínimo es de 600 euros y se consigue contratando 4 microbuses y 2 autobuses.
Dpto. Matemáticas
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Septiembre 2005
3 x 2 + 24
.
x +1
a) Calcula los máximos y mínimos de f (x).
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (0, 5).
2.- Se considera la función f (x) =
Solución:
a) Tengamos en cuenta en primer lugar cuál es el dominio de la función: Dom f (x) = ℝ − {−1}
Para estudiar los máximos y mínimos, calculemos la derivada primera:
f ‘ (x) =
6 x ·( x + 1) − (3x 2 + 24)·1 3x 2 + 6 x − 24
=
( x + 1) 2
( x + 1) 2
Igualamos esta derivada a cero para obtener los puntos singulares:
f ‘ (x) = 0 ⇒
3x 2 + 6 x − 24
=0 ⇒
( x + 1) 2
3x2 + 6x − 24 = 0
⇒
x = 2 y x = −4
Veamos si son máximos o mínimos. Esto lo podemos hacer estudiando los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función. Representemos sobre una recta los puntos singulares y el
punto x = −1 (que no pertenece al dominio), y estudiemos el signo de la derivada primera en cada
uno de los intervalos en que queda dividida la recta real:
+
−
−4
−
−1
+
2
Por tanto la función:
•
•
Crece en (−∞,−4) ∪ (2, +∞)
Decrece en (−4, −1) ∪ (−1, 2)
De esto se deduce que la función presenta:
•
•
Un máximo en x = −4. Punto: (−4, −24)
Un mínimo en x = 2. Punto (2, 12)
b) Ya hemos estudiado anteriormente el crecimiento y decrecimiento. Concretemos que pasa en el
intervalo (0, 5):
•
•
La función decrece en (0, 2)
La función crece en (2, 5)
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3.- Una máquina de envasado automático de refrescos vierte en cada lata una cantidad de refresco
que puede suponerse que sigue una distribución normal de media µ = 32,5 cl y desviación típica
σ = 0,5 cl. El llenado de la lata se considera “incorrecto” si la cantidad de refresco vertido es
inferior a 31,5 cl ó superior a 34 cl.
a) ¿Cuál es el porcentaje de llenados incorrectos para esta máquina?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el llenado de 3 latas con esa máquina todos los llenados
sean correctos?
Solución:
Tenemos una distribución N (32,5; 0,5)
a) Calculemos la probabilidad de que la cantidad de refresco vertido esté comprendida entre 31,5 cl
y 34 cl, es decir, que el llenado sea correcto. Para ello, tipificamos:
34 − 32,5 
 31, 5 − 32,5
P (31,5 ≤ X ≤ 34) = P 
≤Z≤
= P (−2 ≤ Z ≤ 3) =
0,5
0, 5 

= P (Z ≤ 3) − (1 − P (Z ≤ 2)) = 0,9987 − 1 + 0,9772 = 0,9759
Por tanto la probabilidad de que el envasado sea erróneo es:
P (envasado erróneo) = 1 − 0,9759 = 0,0241
El porcentaje de llenados incorrectos es entonces el 2,41 %.
b) La probabilidad de que en el llenado de tres latas, todos sean correctos es:
P (Tres llenados correctos) = (0,9759)3 = 0,9294
4.- Se presentan tres partidos políticos (A, B y C) a unas elecciones con un único partido ganador.
La probabilidad de que gane B es el doble de la probabilidad de que gane A, mientras que la
probabilidad de que gane C es el triple de la probabilidad de que gane B. ¿Qué probabilidad tiene C
de ganar las elecciones?
Solución:
Sean P (A), P (B) y P (C) las probabilidades de que ganen los candidatos A, B o C respectivamente.
Se debe cumplir entonces que:
P (A) + P (B) + P (C) = 1
Si tenemos en cuenta los datos del enunciado, se tiene que:
•
•
P (B) = 2 P (A)
P (C) = 3 P (B)
⇒
P (C) = 6 P (A)
Sustituyendo:
P (A) + 2P (A) + 6P (A) = 1
⇒
9 P (A) = 1
⇒
P (A) =
1
9
Por tanto:
P (A) =
Dpto. Matemáticas
1
9
;
P (B) =
8/8
2
9
;
P (C) =
6
9
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