programación lineal

PROGRAMACIÓN LINEAL
1. A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos
tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las
de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide
invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la
compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido
en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?
Solución:
Sea:
x = cantidad invertida en acciones A
y = cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es:
F (x, y) =
10 x 7 y
+
100 100
Y las restricciones son:
0≤x≤6
y≥2
x + y ≤ 10
x≥y
La zona de soluciones factibles es:
Siendo los vértices del recinto:
A = (2, 2)
B = (5, 5)
C = (6, 4)
D = (6, 2)
La función objetivo toma en ellos los valores:
F (2, 2) =
10 ·2 7·2
+
= 0,34 millones
100 100
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
10 ·5 7·5
+
= 0,85 millones
100 100
10 ·6 7·4
F (6, 4) =
+
= 0,88 millones
100 100
10 ·6 7·2
F (6, 2) =
+
= 0,74 millones
100 100
F (5, 5) =
Por tanto, la solución óptima consiste en invertir 6 millones en acciones tipo A y 4 en acciones tipo
B.
2. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga 5 céntimos de euro. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le
paga 7 céntimos de euro por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la
que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz
de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos
habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Solución:
Llamemos:
x = nº de impresos diarios tipo A repartidos.
y = nº de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es: F (x, y) = 5x + 7y
Las restricciones:
0 ≤ x ≤ 120
0 ≤ y ≤ 100
x + y ≤ 150
La zona de soluciones factibles es:
Sus vértices son:
O = (0, 0)
Dpto. Matemáticas
A = (0, 100)
B = (50, 100)
C = (120, 30)
D = (120, 0)
IES “Ramón Olleros”
Los valores de la función objetivo:
F (0, 0) = 5 · 0 + 7 · 0 = 0
F (0, 100) = 5 · 0 + 7 · 100 = 700
F (50, 100) = 5 · 50 + 7 · 100 = 950
F (120, 30) = 5 · 120 + 7 · 30 = 810
F (120, 0) = 5 · 120 + 7 · 0 = 600
Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 céntimos de
euro, esto es, 9,5 euros.
3. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50 euros. Le ofrecen dos tipos
de naranjas: las de tipo A a 0,50 euros el kg. y las de tipo B a 0,80 euros el kg. Sabiendo que sólo
dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa
vender el kg. de naranjas tipo A a 0,58 euros y el kg. de tipo B a 0,90 euros, contestar justificando
las respuestas:
a) ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?
b) ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Solución:
Llamemos:
x = kg. de naranjas tipo A comprados.
y = kg. de naranjas tipo B comprados.
La función objetivo que da el beneficio es: F (x, y) = (0,58 – 0,50)x + (0,90 – 0,80)y = 0,08x + 0,10y
Y las restricciones:
x≥0
y≥0
0,50x + 0,80y ≤ 50 ⇒ 5x + 8y ≤ 5000
x + y ≤ 700
La zona de soluciones factibles es:
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
Y los vértices:
O = (0, 0)
A = (0, 625)
B = (200,500)
C = (700, 0)
Y, en ellos la función objetivo toma los valores:
F (0, 0) = 0,08 · 0 + 0,10 · 0 = 0
F (0, 625) = 0,08 · 0 + 0,10 · 625 = 62,5
F (200, 500) = 0,08 · 200 + 0,10 · 500 = 66
F (0, 625) = 0,08 · 700 + 0,10 · 0 = 56
Ha de comprar 200 kg. de naranjas A y 500 de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 66
euros.
4. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de
algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el
número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje
y un vestido se venden al mismo precio.
Sean:
x = nº de trajes.
y = nº de vestidos.
a = precio común del traje y el vestido.
Función objetivo:
F (x, y) = ax + ay
Restricciones:
x≥0
y≥0
x + 2y ≤ 80
3x + 2y ≤ 120
Zona de soluciones factibles es:
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
Sus vértices son:
O = (0, 0)
A = (0, 40)
B = (20, 30)
C = (40, 0)
Los valores de la función objetivo son:
F (0, 0) = a · 0 + a · 0 = 0
F (0, 40) = a · 0 + a · 40 = 40a
F (20, 30) = a · 20 + a · 30 = 50a
F (40, 0) = a · 40 + a · 0 = 40a
El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.
5. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas de lujo A y B. Dispone de 600 millones de
euros y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de
casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada
casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe
construir para obtener el beneficio máximo?
Solución:
Llamemos:
x = nº de viviendas construidas tipo A.
y = nº de viviendas construidas tipo B.
La función objetivo es: F (x, y) = (16 – 13)x + (9 – 8)y = 3x + y
Las restricciones son:
x≥0
y≥0
13x + 8y ≤ 600
40·( x + y )
x≥
⇒ 3x – 2y ≥ 0
100
20·( x + y )
y≥
⇒ x – 4y ≤ 0
100
Dibujemos la región factible:
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
Siendo los vértices:
A = (24, 36)
B = (40, 10)
O = (0, 0)
Y la función objetivo toma los valores:
F (24, 36) = 3 · 24 + 36 = 108
F (40, 10) = 3 · 40 + 10 = 130
F (0, 0) = 3 · 0 + 0 = 0
Por tanto, tenemos que vender 40 viviendas del tipo A y 10 del tipo B para obtener un beneficio
máximo de 130 millones.
6. Un atleta debe tomar al día, al menos doce vitaminas del tipo A, cuatro del tipo B y ocho del tipo
C. Para ello dispone de dos tipos de comprimidos, C1 y C2, cada uno de los cuales contiene las
siguientes unidades de estas vitaminas:
A
B
C
C1
3
2
4
C2
4
1
3
Si cada comprimido C1 cuesta 10 céntimos y cada comprimido C2, cuesta 5 céntimos, ¿cuántos
comprimidos de cada clase debe tomar al día para obtener las vitaminas indicadas al mínimo coste?
Solución:
Llamemos:
x = nº de comprimidos tipo C1 que debe tomar al día.
y = nº de comprimidos tipo C2 que debe tomar al día.
La función objetivo es: F (x, y) = (16 – 13)x + (9 – 8)y = 3x + y
Las restricciones son:
x≥0
y≥0
13x + 8y ≤ 600
40·( x + y )
x≥
⇒ 3x – 2y ≥ 0
100
20·( x + y )
y≥
⇒ x – 4y ≤ 0
100
Dibujemos la región factible:
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
Siendo los vértices:
A = (24, 36)
B = (40, 10)
O = (0, 0)
Y la función objetivo toma los valores:
F (24, 36) = 3 · 24 + 36 = 108
F (40, 10) = 3 · 40 + 10 = 130
F (0, 0) = 3 · 0 + 0 = 0
Por tanto, tenemos que vender 40 viviendas del tipo A y 10 del tipo B para obtener un beneficio
máximo de 130 millones.
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”