Año 2007. - IES Ramón Olleros

Selectividad
Septiembre 2007
SEPTIEMBRE 2007
Bloque A
1.- Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de
televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y
30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos
que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20
televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión
analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 euros y por cada televisión digital 15 euros.
Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de
televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el
ingreso máximo diario que se puede conseguir.
2.- Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el
cuadrado del otro sea máximo.
3.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para
consumo diverso. Resultan impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos
para industria y el 70% de los créditos para consumo.
a) Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.
b) Sabiendo que un crédito elegido al azar no fue pagado, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera
un crédito para industria?
4.- Un mensaje es transmitido con errores con probabilidad 0,1. Emitimos de forma independiente
10 mensajes. Calcula la probabilidad de que al menos alguno de los 10 mensajes haya sido
transmitido con errores.
Bloque B
1.- Se considera el sistema:
x − 2 y + z = 1

3 x − 5 y + z = 4
 x − y + ( a − 2) z = 2

a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Halla todas las soluciones para a = 3.
2.- Una parábola tiene la forma f (x) = ax2 + bx + 2. Se sabe que en el punto (1, 3) tiene un máximo
o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a
un mínimo.
3.- Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un
determinado mes sigue una distribución normal con media µ desconocida y desviación típica
σ = 0,25 horas.
a) Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados
de forma aleatoria en la empresa resultó ser x = 4,925 horas, ¿permite ese valor de x
rechazar a nivel α = 0,05 que µ fuera igual a 5 horas?
b) Da un intervalo de confianza al 99 % para µ usando la media de la muestra anterior de 20
trabajadores ( x = 4,925 horas).
4.- Dos sucesos A y B tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la
probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.
Dpto. Matemáticas
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SOLUCIONES
Bloque A
1.- Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de
televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y
30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos
que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20
televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión
analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 euros y por cada televisión digital 15 euros.
Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de
televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el
ingreso máximo diario que se puede conseguir.
Solución:
Sea x el número de televisores analógicos e y el número de televisores digitales que se instala. A
partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes condiciones:
10x + 20y ≤ 400
20x + 30y ≥ 300
0 ≤ x ≤ 20
6 ≤ y ≤ 20
(La restricción y ≤ 20 viene impuesta por las limitaciones de cable que tenemos. El problema
tiene la misma solución si no se tiene en cuenta dicha restricción)
La función que nos da los ingresos viene dada por F (x, y) = 10x + 15y.
Representemos la región factible:
Los vértices de esta región son:
A = (0, 10)
Dpto. Matemáticas
B = (0, 20)
C = (20, 10)
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D = (20, 6)
E = (6, 6)
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Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios:
F (0, 10) = 10 · 0 + 15 · 10 = 150
F (0, 20) = 10 · 0 + 15 · 20 = 300
F (20, 10) = 10 · 20 + 15 · 10 = 350
F (20, 6) = 10 · 20 + 15 · 6 = 290
F (6, 6) = 10 · 6 + 15 · 6 = 150
Por tanto, el máximo se presenta cuando se instalan 20 televisores analógicos y 10 televisores
digitales. El beneficio obtenido en este caso es de 350 euros.
2.- Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el
cuadrado del otro sea máximo.
Solución:
El problema que se nos plantea es un problema de optimización. Sean x e y los números positivos
buscados. A partir del enunciado, se nos pide maximizar la función:
P = y · x2
Las dos variables están ligadas mediante la condición x + y = 120. Despejando y de esta ecuación
y sustituyendo en la anterior, obtendremos una función de optimización dependiente de una sola
variable:
y = 120 – x
P (x) = (120 – x) · x2 = 120x2 – x3
⇒
Para calcular cuando se presenta el máximo de la misma, calculamos su derivada primera:
P ‘ (x) = 240x – 3x2
Calculamos los puntos singulares al resolver la ecuación que se obtiene igualando a cero esta
derivada primera:
P ‘ (x) = 0
⇒
240x – 3x2 = 0
⇒
x=0
y
x = 80
De estas dos soluciones sólo estudiaremos la positiva pues en el problema nos piden calcular
números positivos (desechamos el valor x = 0). Para comprobar si x = 80 es máximo, veamos cual
es el valor de la derivada segunda en él:
P ‘’ (x) = 240 – 6x
⇒
P ‘’ (80) = 240 – 6 · 80 = –240 < 0
En x = 80 se presenta por tanto un máximo.
Los números buscados son entonces x = 80 e y = 120 – 80 = 40.
Dpto. Matemáticas
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3.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para
consumo diverso. Resultan impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos
para industria y el 70% de los créditos para consumo.
a) Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.
b) Sabiendo que un crédito elegido al azar no fue pagado, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera
un crédito para industria?
Solución:
a) Consideremos los sucesos:
“V ” = crédito para vivienda.
“I “ = crédito para industria.
“C “ = crédito para consumo.
“CP “ = crédito pagado.
Para resolver el problema nos servimos del siguiente diagrama de árbol:
0,80
CP
V
0,35
0,50
0,20
0,85
CP
CP
I
0,15
0,30
0,15
CP
CP
C
0,70
CP
Por tanto, la probabilidad de que se pague un crédito al azar viene dada por:
P (CP) = P (CP / V) + P (CP / I) + P (CP / C) =
= 0,35 · 0,80 + 0,50 · 0,85 + 0,15 · 0,30 = 0,28 + 0,425 + 0,045 = 0,75
b) Debemos calcular ahora P (I / CP ). Se tiene entonces que por el teorema de Bayes:
P (I / CP ) =
P( I ∩ CP ) P( I ∩ CP) 0,50·0,15 0, 075
=
=
=
= 0,3
1 − P(CP)
1 − 0, 75
0, 25
P(CP)
4.- Un mensaje es transmitido con errores con probabilidad 0,1. Emitimos de forma independiente
10 mensajes. Calcula la probabilidad de que al menos alguno de los 10 mensajes haya sido
transmitido con errores.
Solución:
Consideremos el suceso “X “ = transmitir un mensaje erróneo.
Se trata de una distribución de probabilidad binomial:
B (10; 0,1) → n = 10; p = 0,1; q = 0,9
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El suceso “transmitir al menos alguno de los 10 mensajes con errores” es complementario del
suceso “transmitir todos los mensajes sin errores”. Tenemos entonces:
P (Transmitir algún mensaje erróneo) = 1 – P (Ningún mensaje sea erróneo)
P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0)
Calculemos pues P (Ningún mensaje sea erróneo) que es más sencilla.
Como sabemos la probabilidad de r transmisiones erróneas en n mensajes enviados para una
distribución binomial viene dada por:
n
n−r
p ( X = r ) =   p r (1 − p )
r
Por tanto la probabilidad de que “ningún mensaje sea erróneo” será:
10 
P (X = 0) =   (0,1)0 (0,9)10 = 0,3487
0
Por tanto, la probabilidad pedida es:
P (Haya algún mensaje erróneo) = 1 – P (Ningún mensaje sea erróneo) =
= P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,3487 = 0,6513
Bloque B
1.- Se considera el sistema:
x − 2 y + z = 1

3 x − 5 y + z = 4
 x − y + ( a − 2) z = 2

a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Halla todas las soluciones para a = 3.
Solución:
a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A*:
 1 −2
1

A* =  3 −5
1
 1 −1 a − 2

1 
 1 −2


A =  3 −5
1 
 1 −1 a − 2 


1

4
2 
Se tiene que:
| A | = –5a + 10 – 3 – 2 + 5 + 1 + 6a – 12 = a –1
Dicho determinante se anula para a = 1. Por tanto:
•
•
Si a ≠ 1
Si a = 1
Dpto. Matemáticas
⇒
⇒
rango A = rango A* = 3
rango A = 2 = rango A*
5/8
⇒
⇒
S.C.D. → Solución única.
S.C.I. → Infinitas soluciones.
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b) Calculemos las soluciones para a = 3. Para este valor de a el sistema que tenemos es:
x − 2 y + z = 1

3 x − 5 y + z = 4
x − y + z = 2

Este sistema, según hemos visto en el apartado anterior es compatible determinado. Por tanto sus
solución es única. Restando de la tercera ecuación la primera se obtiene directamente y = 1.
Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones se llega a:
x + z = 3

3x + z = 9
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se alcanza la solución:
x=3 ; y=1 ; z=0
2.- Una parábola tiene la forma f (x) = ax2 + bx + 2. Se sabe que en el punto (1, 3) tiene un máximo
o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a
un mínimo.
Solución:
A partir del dato de que función f (x) = ax2 + bx + 2 tiene un máximo o un mínimo en el punto (1,3),
sabemos dos cosas:
•
•
La gráfica de la función f pasa por el punto (1, 3), esto es: f (1) = 3.
En el punto de abscisa x = 1, f ‘(x) se anula (f ‘(1) = 0) pues es un punto singular.
Así, obtenemos:
•
•
Primero: 3 = a + b + 2
⇒ a+b=1
Segundo: f ‘(x) = 2ax + b ⇒ f ‘(1) = 2a + b = 0
a + b = 1
Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
2a + b = 0
Resolviéndolo se obtiene: a = –1 y b = 2. Por tanto la función f es: f (x) = –x2 + 2x + 2
Para determinar si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a un mínimo, calculemos la derivada
segunda y veamos que valor toma en el punto de abscisa x = 1.
f (x) = –x2 + 2x + 2
⇒
f ‘ (x) = –2x + 2
⇒
f ‘’ (x) = –2
f ‘’ (1) = –2 < 0
Se deduce de aquí que en el punto (1, 3) la función f presenta un máximo.
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3.- Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un
determinado mes sigue una distribución normal con media µ desconocida y desviación típica
σ = 0,25 horas.
a) Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados
de forma aleatoria en la empresa resultó ser x = 4,925 horas, ¿permite ese valor de x
rechazar a nivel α = 0,05 que µ fuera igual a 5 horas?
b) Da un intervalo de confianza al 99 % para µ usando la media de la muestra anterior de 20
trabajadores ( x = 4,925 horas).
Solución:
a) Nos piden estudiar si el valor de x = 4,925 horas permite aceptar con un nivel de significación
α = 0,05 la hipótesis de que µ sea igual a 5 horas. Hay que hacer por tanto un contraste de hipótesis
para la media.
Haremos un contrate bilateral:
•
•
Hipótesis nula, H0: µ = 5
Hipótesis alternativa, H1: µ ≠ 5

σ
σ 
 siendo σ la desviación típica
La zona de aceptación tiene la forma  µ − z α / 2 ·
, µ + zα / 2 ·
n
n

poblacional y z α / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una significación α.
En nuestro caso z α / 2 = 1,96 y por tanto:

σ
σ 
0, 25
0, 25
 µ − z α / 2 ·
 = (5 – 1,96 ·
, µ + zα / 2 ·
, 5 + 1,96 ·
) = (4,890; 5,110)
20
20
n
n

Por tanto, se acepta la hipótesis nula de que el número medio de horas extras es de 5 horas con un
nivel de significación del 0,05 ya que x = 4,925 ∉(4,890; 5,110).
σ
σ 

b) El intervalo de confianza pedido será de la forma  x − zα / 2 ·
, x + zα / 2 ·
 , en el que para
n
n

una confianza del 99 % le corresponde un z α / 2 = 2,58. Así pues:
σ
σ 
0, 25
0, 25

I =  x − zα / 2 ·
, x + zα / 2 ·
, 4,925 + 2,58 ·
) = (4,781; 5,069)
 = (4,925 – 2,58 ·
n
n
20
20

4.- Dos sucesos A y B tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la
probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.
Solución:
Los datos de los que partimos son: P (A) = 0,4 y P (B) = 0,5.
independientes se tiene que:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Dpto. Matemáticas
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Además como A y B son
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Nos piden calcular la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos sucesos, esto es P ( A ∩ B ).
P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) = 1 – P (A ∪ B)
Por otra parte tenemos que P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) = P (A) + P (B) – P (A) · P (B).
Entonces:
P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) = 1 – P (A ∪ B) = 1 – [P (A) + P (B) – P (A) · P (B)] =
= 1 – P (A) – P (B) + P (A) · P (B) = 1 – 0,4 – 0,5 + 0,4 · 0,5 = 0,3
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