Algunas historias relacionadas con Fourier y sus coeficientes

Algunas historias relacionadas con
Fourier y sus coeficientes
Seminario de Historia de la Matemática
Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada
Algunas historias
relacionadas con Fourier y
sus coeficientes
A. Cañada
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
1 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
2 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Principales aportaciones en el siglo XVIII
Taylor, 1714 (leyes físicas que rigen el movimiento de la cuerda: para
vibraciones pequeñas, la aceleración normal es proporcional a la
curvatura)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
2 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Principales aportaciones en el siglo XVIII
Taylor, 1714 (leyes físicas que rigen el movimiento de la cuerda: para
vibraciones pequeñas, la aceleración normal es proporcional a la
curvatura)
D’Alembert, 1747; Euler, 1749 (deducción analítica del modelo y solución
del mismo)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
2 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Principales aportaciones en el siglo XVIII
Taylor, 1714 (leyes físicas que rigen el movimiento de la cuerda: para
vibraciones pequeñas, la aceleración normal es proporcional a la
curvatura)
D’Alembert, 1747; Euler, 1749 (deducción analítica del modelo y solución
del mismo)
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
2
∂t
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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2 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Principales aportaciones en el siglo XVIII
Taylor, 1714 (leyes físicas que rigen el movimiento de la cuerda: para
vibraciones pequeñas, la aceleración normal es proporcional a la
curvatura)
D’Alembert, 1747; Euler, 1749 (deducción analítica del modelo y solución
del mismo)
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
2
∂t
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
Bernouilli (Daniel), 1753 (propuso ¿una solución diferente?)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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2 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
3 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Solución del problema
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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3 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Solución del problema
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
D’Alembert, Euler (propagación de ondas)
u(x, t) =
1
[f̃ (x + t) + f̃ (x − t)]
2
donde f̃ es la extensión a R, impar y 2π− periódica de la función f .
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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3 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Solución del problema
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
D’Alembert, Euler (propagación de ondas)
u(x, t) =
1
[f̃ (x + t) + f̃ (x − t)]
2
donde f̃ es la extensión a R, impar y 2π− periódica de la función f .
Bernouilli (superposición de ondas “sencillas”)
u(x, t) =
∞
X
fn sen(nx) cos(nt),
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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3 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
4 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Observación importante sobre la solución propuesta por D.
Bernouilli
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
Bernouilli
u(x, t) =
∞
X
fn sen(nx) cos(nt),
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
4 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Observación importante sobre la solución propuesta por D.
Bernouilli
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
Bernouilli
u(x, t) =
∞
X
fn sen(nx) cos(nt),
n=1
f (x) =
∞
X
fn sen(nx), ∀ x ∈ [0, π],
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
4 / 23
La cuerda vibrante (siglo XVIII)
Observación importante sobre la solución propuesta por D.
Bernouilli
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
=
, 0 < x < π, t > 0
∂t 2
∂x 2
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
Bernouilli
u(x, t) =
∞
X
fn sen(nx) cos(nt),
n=1
f (x) =
∞
X
fn sen(nx), ∀ x ∈ [0, π],
n=1
¿Cómo se calculan los coeficientes fn ?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
4 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
Aportaciones de Fourier
Fourier, 1807 (Mémoire sur la propagation de la chaleur, enviado a la
Academia de Ciencias de París)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
Aportaciones de Fourier
Fourier, 1807 (Mémoire sur la propagation de la chaleur, enviado a la
Academia de Ciencias de París)
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
, 0 < x < π, 0 < t < T ,
=
2
∂x
∂t
u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
Aportaciones de Fourier
Fourier, 1807 (Mémoire sur la propagation de la chaleur, enviado a la
Academia de Ciencias de París)
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
, 0 < x < π, 0 < t < T ,
=
2
∂x
∂t
u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π.
Solución de Fourier: superposición de “temperaturas sencillas”:
u(x, t) =
∞
X
2
fn exp(−n t)sen(nx), f (x) =
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
∞
X
fn sen(nx)
n=1
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
Aportaciones de Fourier
Fourier, 1807 (Mémoire sur la propagation de la chaleur, enviado a la
Academia de Ciencias de París)
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
, 0 < x < π, 0 < t < T ,
=
2
∂x
∂t
u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π.
Solución de Fourier: superposición de “temperaturas sencillas”:
u(x, t) =
∞
X
2
fn exp(−n t)sen(nx), f (x) =
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
∞
X
fn sen(nx)
n=1
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
El problema de la conducción del calor (siglo XIX)
Aportaciones de Fourier
Fourier, 1807 (Mémoire sur la propagation de la chaleur, enviado a la
Academia de Ciencias de París)
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
, 0 < x < π, 0 < t < T ,
=
2
∂x
∂t
u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π.
Solución de Fourier: superposición de “temperaturas sencillas”:
u(x, t) =
∞
X
2
fn exp(−n t)sen(nx), f (x) =
n=1
fn =
A. Cañada (Universidad de Granada)
∞
X
fn sen(nx)
n=1
2
π
Z
π
f (x)sen(nx) dx, ∀ n ∈ N.
0
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
5 / 23
Descripción general del problema
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
6 / 23
Descripción general del problema
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
6 / 23
Descripción general del problema
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
Taylor, 1715 (Methodus incrementorum directa et inversa)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
6 / 23
Descripción general del problema
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
Taylor, 1715 (Methodus incrementorum directa et inversa)
f (x) =
∞ n)
X
f (0)
n=0
A. Cañada (Universidad de Granada)
n!
Fourier y sus coeficientes
xn
AMAT, 17/04/2007
6 / 23
Descripción general del problema
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
Taylor, 1715 (Methodus incrementorum directa et inversa)
f (x) =
∞ n)
X
f (0)
n=0
sen x = x −
A. Cañada (Universidad de Granada)
n!
xn
x3
x5
+
− ..., ∀ x ∈ R
3!
5!
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
6 / 23
¡Cuidado con el problema planteado!
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
7 / 23
¡Cuidado con el problema planteado!
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
7 / 23
¡Cuidado con el problema planteado!
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
Esto nos avisa de las dificultades
∞
X
sen (2n − 1)x
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
2n − 1
Fourier y sus coeficientes
=
AMAT, 17/04/2007
7 / 23
¡Cuidado con el problema planteado!
Dada una función f : [0, π] → R, verificando f (0) = f (π) = 0 (y posiblemente
algunas condiciones adicionales), ¿existirán coeficientes adecuados
fn , n ∈ N tales que
∞
X
f (x) =
fn sen(nx)
n=1
en el intervalo [0, π]?
Esto nos avisa de las dificultades
∞
X
sen (2n − 1)x
n=1
2n − 1
=

 π/4, 0 < x < π,
0, x = 0,

−π/4, −π < x < 0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
7 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
P∞
k =0
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x)
(2k + 1)!
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
∞
P∞
k =0
X
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x) =
fn sen(nx) =
(2k + 1)!
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
∞
P∞
k =0
X
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x) =
fn sen(nx) =
(2k + 1)!
n=1
P∞
n=1 fn
P∞
k
k =0 (−1)
A. Cañada (Universidad de Granada)
(nx)2k +1
(2k + 1)!
=
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
∞
P∞
k =0
X
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x) =
fn sen(nx) =
(2k + 1)!
n=1
P∞
n=1 fn
P∞
k
k =0 (−1)
A. Cañada (Universidad de Granada)
(nx)2k +1
(2k + 1)!
=
P∞
k =0
Fourier y sus coeficientes
(−1)k P∞
2k +1
x 2k +1 (2k
)
n=1 fn n
+1)! (
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
∞
P∞
k =0
X
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x) =
fn sen(nx) =
(2k + 1)!
n=1
P∞
n=1 fn
P∞
k
k =0 (−1)
(nx)2k +1
(2k + 1)!
(−1)k f 2k +1) (0) =
∞
X
=
P∞
k =0
(−1)k P∞
2k +1
x 2k +1 (2k
)
n=1 fn n
+1)! (
fn n2k +1 , ∀ k ∈ N ∪ {0}
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Primer paso: desarrollar por Taylor e igualar
coeficientes
∞
P∞
k =0
X
f 2k +1) (0) 2k +1
x
= f (x) =
fn sen(nx) =
(2k + 1)!
n=1
P∞
n=1 fn
P∞
k
k =0 (−1)
(nx)2k +1
(2k + 1)!
(−1)k f 2k +1) (0) =
∞
X
=
P∞
k =0
(−1)k P∞
2k +1
x 2k +1 (2k
)
n=1 fn n
+1)! (
fn n2k +1 , ∀ k ∈ N ∪ {0}
n=1
¡Sistema lineal, con infinitas ecuaciones e infinitas incógnitas!
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
8 / 23
Sistema lineal desarrollado
f 0 (0) = f1 1 + f2 2 + f3 3 + f4 4 + . . .
−f (0) = f1 13 + f2 23 + f3 33 + f4 43 + . . .
f v ) (0) = f1 15 + f2 25 + f3 35 + f4 45 + . . .
...
(−1)k f 2k +1) (0) = f1 12k +1 + f2 22k +1 + f3 32k +1 + f4 42k +1 + . . .
...
000
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
9 / 23
Segundo paso: cortar “por lo sano”: considerar una
situación finita, resolver el sistema finito y pasar al
límite
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
10 / 23
Segundo paso: cortar “por lo sano”: considerar una
situación finita, resolver el sistema finito y pasar al
límite
k 2k +1)
(−1) f
(0) =
m
X
gnm n2k +1 , 0 ≤ k ≤ m − 1
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
10 / 23
Segundo paso: cortar “por lo sano”: considerar una
situación finita, resolver el sistema finito y pasar al
límite
k 2k +1)
(−1) f
(0) =
m
X
gnm n2k +1 , 0 ≤ k ≤ m − 1
n=1
fn = limm→+∞ gnm , ∀ n ∈ N
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
10 / 23
Segundo paso: cortar “por lo sano”: considerar una
situación finita, resolver el sistema finito y pasar al
límite
k 2k +1)
(−1) f
(0) =
m
X
gnm n2k +1 , 0 ≤ k ≤ m − 1
n=1
fn = limm→+∞ gnm , ∀ n ∈ N
m2 (m − 1)2 . . . 22
H(m)
− 1)((m − 1)2 − 1))...(22 − 1)


m−1
X
X
1

H(m) =
f 2k +1) (0) 
2 n2 ...n2
n
1 2
k
2≤n <n <...<n
k =0
g1m =
(m2
1
A. Cañada (Universidad de Granada)
2
Fourier y sus coeficientes
k
AMAT, 17/04/2007
10 / 23
Segundo paso: cortar “por lo sano”: considerar una
situación finita, resolver el sistema finito y pasar al
límite
k 2k +1)
(−1) f
(0) =
m
X
gnm n2k +1 , 0 ≤ k ≤ m − 1
n=1
fn = limm→+∞ gnm , ∀ n ∈ N
m2 (m − 1)2 . . . 22
H(m)
− 1)((m − 1)2 − 1))...(22 − 1)


m−1
X
X
1

H(m) =
f 2k +1) (0) 
2 n2 ...n2
n
1 2
k
2≤n <n <...<n
k =0
g1m =
(m2
1
f1 =
lim
m→+∞
A. Cañada (Universidad de Granada)
g1m = 2
∞
X
2
k


f 2k +1) (0) 
k =0
Fourier y sus coeficientes
X
2≤n1 <n2 <...<nk
1

n12 n22 ...nk2
AMAT, 17/04/2007
10 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
¿
P∞
n=1
1
?
n2
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
¿
P∞
n=1
P∞
1
1
=
?
n=1 2
n2
n +n
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
¿
P∞
n=1
∞
X
P∞
1
1
1
=
=
?
n=1 2
n2
n +n
n(n + 1)
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
¿
P∞
n=1
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n2
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
n=1
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n=1 2
n
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
1 1 1 1 1
1 − + − + − ... = 1
2 2 3 3 4
¿
P∞
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n=1 2
n
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
1 1 1 1 1
1 − + − + − ... = 1
2 2 3 3 4
Intentos previos sin éxito: Jacob Bernouilli, Johan Bernouilli, Daniel
Bernouilli, Leibniz, Stirling, de Moivre, etc.
¿
P∞
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n=1 2
n
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
1 1 1 1 1
1 − + − + − ... = 1
2 2 3 3 4
Intentos previos sin éxito: Jacob Bernouilli, Johan Bernouilli, Daniel
Bernouilli, Leibniz, Stirling, de Moivre, etc.
¿
P∞
Euler, 1735 (28 años)
∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n=1 2
n
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
1 1 1 1 1
1 − + − + − ... = 1
2 2 3 3 4
Intentos previos sin éxito: Jacob Bernouilli, Johan Bernouilli, Daniel
Bernouilli, Leibniz, Stirling, de Moivre, etc.
¿
P∞
Euler, 1735 (28 años)
∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1
∞
∞
∞
X
X
1
π4 X 1
π6
1
224 76977927π 26
=
,
=
,
.
.
.
,
=
n4
90
n6
945
n26
27!
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
n=1
n=1
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Una mini excursión al problema de Basilea
∞
∞ X
X
P∞
1
1
1
1
1
=
=
−
=
?
n=1 2
n=1 2
n
n +n
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
1 1 1 1 1
1 − + − + − ... = 1
2 2 3 3 4
Intentos previos sin éxito: Jacob Bernouilli, Johan Bernouilli, Daniel
Bernouilli, Leibniz, Stirling, de Moivre, etc.
¿
P∞
Euler, 1735 (28 años)
∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1
∞
∞
∞
X
X
1
π4 X 1
π6
1
224 76977927π 26
=
,
=
,
.
.
.
,
=
n4
90
n6
945
n26
27!
n=1
n=1
n=1
∞
X
1
n2k
n=1
es irracional, ∀ k ∈ N
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
11 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
sen x =
P∞
k
k =0 (−1)
A. Cañada (Universidad de Granada)
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
∞
X
x 2k
sen x
=
(−1)k
x
(2k + 1)!
sen x =
P∞
k
k =0 (−1)
k =0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
∞
X
x 2k
sen x
=
(−1)k
x
(2k + 1)!
k =0
+∞
Y
P∞
x x
x 2k
k
(−1)
=
1
−
1
−
k =0
(2k + 1)!
kπ
−k π
sen x =
P∞
k
k =0 (−1)
k =1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
∞
X
x 2k
sen x
=
(−1)k
x
(2k + 1)!
k =0
+∞
Y
P∞
x x
x 2k
k
(−1)
=
1
−
1
−
k =0
(2k + 1)!
kπ
−k π
k =1
2
Q∞
x
= k =1 1 − 2 2
k π
sen x =
P∞
k
k =0 (−1)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
∞
X
x 2k
sen x
=
(−1)k
x
(2k + 1)!
k =0
+∞
Y
P∞
x x
x 2k
k
(−1)
=
1
−
1
−
k =0
(2k + 1)!
kπ
−k π
k =1
2
Q∞
x
= k =1 1 − 2 2
k π
sen x =
1−
P∞
k
k =0 (−1)
x4
x6
x2
+
−
+ ... =
3!
5!
7!
A. Cañada (Universidad de Granada)
1−
x2
12 π 2
x2
x2
1− 2 2
1 − 2 2 ...
2 π
3 π
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Principales ideas de la demostración de Euler
x 2k +1
, ∀x ∈R
(2k + 1)!
∞
X
x 2k
sen x
=
(−1)k
x
(2k + 1)!
k =0
+∞
Y
P∞
x x
x 2k
k
(−1)
=
1
−
1
−
k =0
(2k + 1)!
kπ
−k π
k =1
2
Q∞
x
= k =1 1 − 2 2
k π
sen x =
1−
P∞
k
k =0 (−1)
x4
x6
x2
+
−
+ ... =
3!
5!
7!
1−
x2
12 π 2
x2
x2
1− 2 2
1 − 2 2 ...
2 π
3 π
∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
12 / 23
Una miniexcursión a la actualidad (y la función zeta de
Riemann)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
13 / 23
Una miniexcursión a la actualidad (y la función zeta de
Riemann)
¿
∞
X
n=1
A. Cañada (Universidad de Granada)
1
, k ∈N?
n2k +1
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
13 / 23
Una miniexcursión a la actualidad (y la función zeta de
Riemann)
¿
∞
X
n=1
1
, k ∈N?
n2k +1
(¡algo sabemos, pero poco!)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
13 / 23
Una miniexcursión a la actualidad (y la función zeta de
Riemann)
¿
∞
X
n=1
1
, k ∈N?
n2k +1
(¡algo sabemos, pero poco!)
1978, R. Apéry: si k = 1, la suma es un número irracional
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
13 / 23
Una miniexcursión a la actualidad (y la función zeta de
Riemann)
¿
∞
X
n=1
1
, k ∈N?
n2k +1
(¡algo sabemos, pero poco!)
1978, R. Apéry: si k = 1, la suma es un número irracional
2004, S. Fischler: el conjunto de los valores de k para los que la suma
anterior es irracional es un conjunto infinito.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
13 / 23
Vuelta al trabajo (las sumas obtenidas por Euler
permiten mejorar la expresión del primer coeficiente)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
14 / 23
Vuelta al trabajo (las sumas obtenidas por Euler
permiten mejorar la expresión del primer coeficiente)
f1 = 2
∞
X
k =0
A. Cañada (Universidad de Granada)


f 2k +1) (0) 
X
2≤n1 <n2 <...<nk
Fourier y sus coeficientes
1
=
n12 n22 ...nk2
AMAT, 17/04/2007
14 / 23
Vuelta al trabajo (las sumas obtenidas por Euler
permiten mejorar la expresión del primer coeficiente)
f1 = 2
∞
X
2
k =0
A. Cañada (Universidad de Granada)
X
f 2k +1) (0) 
k =0
∞
X


2≤n1 <n2 <...<nk
"
k 2k +1)
(−1) f
(0)
k
X
n=0
1
=
n12 n22 ...nk2
#
π 2n
=
(−1)
(2n + 1)!
Fourier y sus coeficientes
n
AMAT, 17/04/2007
14 / 23
Vuelta al trabajo (las sumas obtenidas por Euler
permiten mejorar la expresión del primer coeficiente)
f1 = 2
∞
X
2
2≤n1 <n2 <...<nk
"
k 2k +1)
(−1) f
(0)
k =0
k
X
n=0
2
π
A. Cañada (Universidad de Granada)
X
f 2k +1) (0) 
k =0
∞
X


∞
X
1
=
n12 n22 ...nk2
#
π 2n
=
(−1)
(2n + 1)!
n
(−1)n f 2n) (π)
n=0
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
14 / 23
¿La derivación respecto de π?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
A. Cañada (Universidad de Granada)
n=0
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
s00 (π) = f 2) (π) − f 4) (π) + f 6) (π) − f 8) (π) . . .
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
s00 (π) = f 2) (π) − f 4) (π) + f 6) (π) − f 8) (π) . . .
s00 (π) + s(π) = f (π)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
s00 (π) = f 2) (π) − f 4) (π) + f 6) (π) − f 8) (π) . . .
s00 (π) + s(π) = f (π)
s00 (x) + s(x) = f (x)
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
s00 (π) = f 2) (π) − f 4) (π) + f 6) (π) − f 8) (π) . . .
s00 (π) + s(π) = f (π)
s00 (x) + s(x) = f (x)
Z
x
Z
f (s) cos s ds − cos x
s(x) = a cos x + bsenx + senx
0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
x
f (s)sens ds
0
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
f1 =
∞
∞
X
2X
2
(−1)n f 2n) (π) = s(π), s(π) =
(−1)n f 2n) (π)
π
π
n=0
n=0
s(π) = f (π) − f 2) (π) + f 4) (π) − f 6) (π) . . .
s00 (π) = f 2) (π) − f 4) (π) + f 6) (π) − f 8) (π) . . .
s00 (π) + s(π) = f (π)
s00 (x) + s(x) = f (x)
Z
x
Z
f (s) cos s ds − cos x
s(x) = a cos x + bsenx + senx
0
x
f (s)sens ds
0
Z
s(π) = −a +
π
f (x)senx dx
0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
15 / 23
¿La derivación respecto de π?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
16 / 23
¿La derivación respecto de π?
Z
s(π) = −a +
π
f (x)senx dx
0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
16 / 23
¿La derivación respecto de π?
π
Z
s(π) = −a +
f (x)senx dx
0
−a = s(0) =
∞
X
(−1)n f 2n) (0) = 0
n=0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
16 / 23
¿La derivación respecto de π?
π
Z
s(π) = −a +
f (x)senx dx
0
∞
X
−a = s(0) =
(−1)n f 2n) (0) = 0
n=0
Z
π
f (x)senx dx
s(π) =
0
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
16 / 23
¿La derivación respecto de π?
π
Z
s(π) = −a +
f (x)senx dx
0
∞
X
−a = s(0) =
(−1)n f 2n) (0) = 0
n=0
π
Z
f (x)senx dx
s(π) =
0
2
f1 =
π
A. Cañada (Universidad de Granada)
Z
π
f (x)senx dx
0
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
16 / 23
Funciones continuas no derivables
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
17 / 23
Funciones continuas no derivables
Relación del tema con la convergencia de series de Fourier
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
17 / 23
Funciones continuas no derivables
Relación del tema con la convergencia de series de Fourier
Fourier publica su libro en 1822
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
17 / 23
Funciones continuas no derivables
Relación del tema con la convergencia de series de Fourier
Fourier publica su libro en 1822
Algunos años después se prueba (Dirichlet, 1829) que la derivabilidad de
una función es suficiente para la convergencia puntual de su serie de
Fourier
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
17 / 23
Funciones continuas no derivables
Relación del tema con la convergencia de series de Fourier
Fourier publica su libro en 1822
Algunos años después se prueba (Dirichlet, 1829) que la derivabilidad de
una función es suficiente para la convergencia puntual de su serie de
Fourier
¿Será suficiente la continuidad de una función para la convergencia
puntual de su serie de Fourier?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
17 / 23
Funciones continuas no derivables
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
Además, Riemann demostró que una primitiva cualquiera F de
f satisface: F es continua en todo punto, pero en cada intervalo real finito
hay infinitos puntos donde F no es derivable.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
Además, Riemann demostró que una primitiva cualquiera F de
f satisface: F es continua en todo punto, pero en cada intervalo real finito
hay infinitos puntos donde F no es derivable.
Weierstrass, 1872: f : R → R, continua en todo punto y no derivable en
ninguno.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
Además, Riemann demostró que una primitiva cualquiera F de
f satisface: F es continua en todo punto, pero en cada intervalo real finito
hay infinitos puntos donde F no es derivable.
Weierstrass, 1872: f : R → R, continua en todo punto y no derivable en
ninguno.
∞
X
f (x) =
bn cos(an πx), donde 0 < b < 1 y a es cualquier entero impar
n=0
tal que ab > 1 + (3π/2).
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
Además, Riemann demostró que una primitiva cualquiera F de
f satisface: F es continua en todo punto, pero en cada intervalo real finito
hay infinitos puntos donde F no es derivable.
Weierstrass, 1872: f : R → R, continua en todo punto y no derivable en
ninguno.
∞
X
f (x) =
bn cos(an πx), donde 0 < b < 1 y a es cualquier entero impar
n=0
tal que ab > 1 + (3π/2).
Hardy, 1916: se tiene la misma conclusión que Weierstrass suponiendo
hipótesis más generales: 0 < b < 1 y ab ≥ 1
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
Funciones continuas no derivables
Algunos ejemplos
Riemann, 1868: definió una función f : R → R tal que para cualquier
intervalo real finito [a, b], a < b, se cumple: f es integrable en [a, b]
aunque f es discontinua en un conjunto infinito de puntos de [a, b].
Además, Riemann demostró que una primitiva cualquiera F de
f satisface: F es continua en todo punto, pero en cada intervalo real finito
hay infinitos puntos donde F no es derivable.
Weierstrass, 1872: f : R → R, continua en todo punto y no derivable en
ninguno.
∞
X
f (x) =
bn cos(an πx), donde 0 < b < 1 y a es cualquier entero impar
n=0
tal que ab > 1 + (3π/2).
Hardy, 1916: se tiene la misma conclusión que Weierstrass suponiendo
hipótesis más generales: 0 < b < 1 y ab ≥ 1
H. Okamoto, 2005: A remark on continuous, nowhere differentiable
functions, Proc. Japan Acad. 81, Ser. A, 47-50.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
18 / 23
¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
19 / 23
¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
AMAT, 17/04/2007
19 / 23
¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
Sea X un espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X , diremos que M es
de primera categoría en X , si M es alguna unión numerable de subconjuntos
Mn de X tales que cada Mn verifica la propiedad int Mn = ∅, donde int Mn
denota el interior de la clausura de Mn y ∅ indica el conjunto vacío. Un
subconjunto M de X se dice de segunda categoría en X , si M no es de
primera categoría en X .
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Fourier y sus coeficientes
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19 / 23
¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
Sea X un espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X , diremos que M es
de primera categoría en X , si M es alguna unión numerable de subconjuntos
Mn de X tales que cada Mn verifica la propiedad int Mn = ∅, donde int Mn
denota el interior de la clausura de Mn y ∅ indica el conjunto vacío. Un
subconjunto M de X se dice de segunda categoría en X , si M no es de
primera categoría en X .
Baire, 1899: X es de segunda categoría en sí mismo.
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Fourier y sus coeficientes
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19 / 23
¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
Sea X un espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X , diremos que M es
de primera categoría en X , si M es alguna unión numerable de subconjuntos
Mn de X tales que cada Mn verifica la propiedad int Mn = ∅, donde int Mn
denota el interior de la clausura de Mn y ∅ indica el conjunto vacío. Un
subconjunto M de X se dice de segunda categoría en X , si M no es de
primera categoría en X .
Baire, 1899: X es de segunda categoría en sí mismo.
X = C([a, b], R), con la norma uniforme.
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¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
Sea X un espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X , diremos que M es
de primera categoría en X , si M es alguna unión numerable de subconjuntos
Mn de X tales que cada Mn verifica la propiedad int Mn = ∅, donde int Mn
denota el interior de la clausura de Mn y ∅ indica el conjunto vacío. Un
subconjunto M de X se dice de segunda categoría en X , si M no es de
primera categoría en X .
Baire, 1899: X es de segunda categoría en sí mismo.
X = C([a, b], R), con la norma uniforme.
M = {f ∈ X : ∃ x ∈ [a, b) : existe f 0 (x+)}
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¿Hay muchas funciones continuas no derivables?
Algo podemos decir usando el análisis funcional
Sea X un espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X , diremos que M es
de primera categoría en X , si M es alguna unión numerable de subconjuntos
Mn de X tales que cada Mn verifica la propiedad int Mn = ∅, donde int Mn
denota el interior de la clausura de Mn y ∅ indica el conjunto vacío. Un
subconjunto M de X se dice de segunda categoría en X , si M no es de
primera categoría en X .
Baire, 1899: X es de segunda categoría en sí mismo.
X = C([a, b], R), con la norma uniforme.
M = {f ∈ X : ∃ x ∈ [a, b) : existe f 0 (x+)}
Banach y Mazurkiewicz, 1931: M es de primera categoría en X y por tanto
X \ M es de segunda categoría en X .
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Fourier y sus coeficientes
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19 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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20 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
Algunos ejemplos
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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20 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
Algunos ejemplos
Du Bois-Reymond, 1873: función continua cuya serie de Fourier no
converge en un conjunto denso de puntos.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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20 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
Algunos ejemplos
Du Bois-Reymond, 1873: función continua cuya serie de Fourier no
converge en un conjunto denso de puntos.
Carleson, 1966: la serie de Fourier de una función continua converge
c.p.d.
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Fourier y sus coeficientes
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20 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
Algunos ejemplos
Du Bois-Reymond, 1873: función continua cuya serie de Fourier no
converge en un conjunto denso de puntos.
Carleson, 1966: la serie de Fourier de una función continua converge
c.p.d.
Kahane y Katznelson, 1966: dado cualquier subconjunto A de medida
cero, existe una función continua tal que su serie de Fourier no converge
en A.
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Fourier y sus coeficientes
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20 / 23
Continuidad y convergencia puntual de series de
Fourier
Algunos ejemplos
Du Bois-Reymond, 1873: función continua cuya serie de Fourier no
converge en un conjunto denso de puntos.
Carleson, 1966: la serie de Fourier de una función continua converge
c.p.d.
Kahane y Katznelson, 1966: dado cualquier subconjunto A de medida
cero, existe una función continua tal que su serie de Fourier no converge
en A.
Premio Abel 2006 ha sido concedido a Carleson, entre otras cosas por
sus importantes contribuciones al análisis armónico
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20 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
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Fourier y sus coeficientes
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
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Fourier y sus coeficientes
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
¿es verdad que a0 = a00 , an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
¿es verdad que a0 = a00 , an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Previamente habían intentado resolver este problema, sin tener éxito:
Heine, Dirichlet, Lipschitz y Riemann.
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
¿es verdad que a0 = a00 , an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Previamente habían intentado resolver este problema, sin tener éxito:
Heine, Dirichlet, Lipschitz y Riemann.
Cantor probó en 1870 que la respuesta era afirmativa
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
¿es verdad que a0 = a00 , an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Previamente habían intentado resolver este problema, sin tener éxito:
Heine, Dirichlet, Lipschitz y Riemann.
Cantor probó en 1870 que la respuesta era afirmativa
aunque se renunciara a la igualdad en un conjunto finito de puntos.
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21 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Relación del tema con la teoría de series de Fourier
Heine, en 1869, plantea a Cantor (con 24 años de edad) el problema de
la unicidad del desarrollo de una función en serie trigonométrica.
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
a00 +
∞
X
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R.
n=1
¿es verdad que a0 = a00 , an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Previamente habían intentado resolver este problema, sin tener éxito:
Heine, Dirichlet, Lipschitz y Riemann.
Cantor probó en 1870 que la respuesta era afirmativa
aunque se renunciara a la igualdad en un conjunto finito de puntos.
Es más, Cantor demostró que se puede renunciar a la igualdad en un
conjunto A tal que algún derivado suyo An) sea finito.
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Teoría de conjuntos de Cantor
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
A. Cañada (Universidad de Granada)
Fourier y sus coeficientes
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces:
A. Cañada (Universidad de Granada)
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
A estos últimos conjuntos los llamó numerables.
A. Cañada (Universidad de Granada)
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
A estos últimos conjuntos los llamó numerables.
A continuación Cantor se preguntó: ¿habrá subconjuntos de R no
numerables?
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
A estos últimos conjuntos los llamó numerables.
A continuación Cantor se preguntó: ¿habrá subconjuntos de R no
numerables?
Cantor demostró: R no es numerable,
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
A estos últimos conjuntos los llamó numerables.
A continuación Cantor se preguntó: ¿habrá subconjuntos de R no
numerables?
Cantor demostró: R no es numerable, R y Rn son biyectivos
A. Cañada (Universidad de Granada)
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22 / 23
Teoría de conjuntos de Cantor
Cantor se preguntó a continuación: ¿cómo son los subconjuntos A de
números reales tales que algún derivado suyo An) es finito?
Cantor demostró en 1871: si A ⊂ R es tal que An) es finito para algún
n ∈ N, entonces: A es finito ó A se puede poner en correspondencia
biyectiva con N.
A estos últimos conjuntos los llamó numerables.
A continuación Cantor se preguntó: ¿habrá subconjuntos de R no
numerables?
Cantor demostró: R no es numerable, R y Rn son biyectivos (sobre este
último resultado, el mismo Cantor comentó: si no lo hubiese demostrado,
no me lo creería).
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Fourier y sus coeficientes
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22 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
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Fourier y sus coeficientes
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A.
n=1
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A. ¿es verdad que a0 = a00 ,
n=1
an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A. ¿es verdad que a0 = a00 ,
n=1
an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Cantor (1871): si A es tal que An) es finito, para algún n ∈ N, la respuesta
es positiva.
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Fourier y sus coeficientes
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A. ¿es verdad que a0 = a00 ,
n=1
an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Cantor (1871): si A es tal que An) es finito, para algún n ∈ N, la respuesta
es positiva. Bernstein (1908), Young (1909): Si A es numerable la
respuesta es positiva.
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A. ¿es verdad que a0 = a00 ,
n=1
an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Cantor (1871): si A es tal que An) es finito, para algún n ∈ N, la respuesta
es positiva. Bernstein (1908), Young (1909): Si A es numerable la
respuesta es positiva. Existen ejemplos de subconjuntos no numerables
A para los que la respuesta es positiva.
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23 / 23
¿Se ha resuelto el problema de la unicidad de la
representación de una función en serie
trigonométrica?
f (x) = a0 +
a00 +
∞
X
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) =
n=1
(an0 cos(nx) + bn0 sen(nx)), ∀ x ∈ R \ A. ¿es verdad que a0 = a00 ,
n=1
an = an0 , bn = bn0 , ∀ n ∈ N?
Cantor (1871): si A es tal que An) es finito, para algún n ∈ N, la respuesta
es positiva. Bernstein (1908), Young (1909): Si A es numerable la
respuesta es positiva. Existen ejemplos de subconjuntos no numerables
A para los que la respuesta es positiva.
Éste es uno de los problemas abiertos más interesantes y difíciles en la
actualidad (J.M. Ash y S.T. Tetunashvili: New uniqueness theorems for
trigonometric series, Proc. Amer. Math. Soc., 128, 2000, 2627-2636), y
está relacionado con muchas otras áreas del análisis clásico, teoría de la
medida, análisis funcional, teoría de números, teoría de conjuntos, etc.
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