Comparación de normas en espacios de armónicos esféricos

Comparación de normas en espacios
de armónicos esféricos
Jordi Marzo y Joaquim Ortega-Cerdà
Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi
Universitat de Barcelona
1
Equivalencia de normas de polinomios
en la esfera
Jordi Marzo y Joaquim Ortega-Cerdà
Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi
Universitat de Barcelona
1
Desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund (37):
Existen un constantes C, c > 0 tal que, para todo q polinomio
trigonométrico de grado ≤ n
ˆ 2π
n
n
X
C
c X
|q(ωn,j )|p ≤
|q(eiθ )|pdθ ≤
|q(ωn,j )|p,
n j=0
n j=0
0
donde ωn,j = e2πij/(n+1) raices de la unidad.
2
Desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund (37):
Existen un constantes C, c > 0 tal que, para todo q polinomio
trigonométrico de grado ≤ n
ˆ 2π
n
n
X
c X
C
|q(ωn,j )|p ≤
|q(eiθ )|pdθ ≤
|q(ωn,j )|p,
n j=0
n j=0
0
donde ωn,j = e2πij/(n+1) raı́ces de la unidad.
Si definimos
n
1 X
dµn =
δωn,j ,
n j=0
corresponde pedir que existan constantes C, c > 0 (indep. de n)
tales que
ˆ 2π
ˆ
ˆ
c
|q(t)|pdµn(t) ≤
|q(eiθ )|pdθ ≤ C
|q(t)|pdµn(t),
T
0
T
para todo q polinomio trigonométrico de grado ≤ n.
2
Para 1 ≤ p < ∞ y Ω ⊂ Rd conjunto acotado definimos el espacio de
Paley-Wiener
p
P WΩ =
n
o
p
d
b
f ∈ L (R ) : supp f ⊂ Ω
con norma Lp(Rd).
Logvinenko-Sereda (74):
Para E ⊂ Rd se verifica que
ˆ
ˆ
|f (x)|p dx ≤ C
|f (x)|p dx,
Rd
E
p
para toda f ∈ P WΩ,
si y solo si existe un cubo K ⊂ Rd tal que
inf |(K + x) ∩ E| > 0.
x∈Rd
3
Luecking (81-83):
Consideremos para p > 0 el espacio de Bergman Ap (funciones
analı́ticas en el disco D = {z ∈ C : |z| < 1} y en Lp(D)). Dado E ⊂ D,
son equivalentes:
• Existe C > 0 tal que
ˆ
ˆ
|f |pdm ≤ C
|f |pdm, para toda f ∈ Ap.
D
E
•
inf{
m(E ∩ D)
: D disco centrado en ∂ D} > 0.
m(D ∩ D)
Para p = 2 el mismo resultado es cierto para funciones armónicas en
la bola unidad B = {x ∈ Rd : |x| < 1} de L2(B) (espacio de Bergman
armónico).
4
Mastroianni-Totik 2000:
Para w ∈ A∞
(i.e. L1
loc(T ) 3 w ≥ 0 existen B, β > 0 tales que para todo intervalo
I y E ⊂ I medible
w(I) ≤ B
|I|
|E|
!β
w(E)
)
y 1 ≤ p < ∞.
Si {En}n∈N conjuntos en T, existen r > 0 y δ > 0 tales que
inf |(x −
x∈T
entonces
r
r
, x + ) ∩ En| ≥ δ/n,
n
n
ˆ
ˆ
|Tn(θ)|pw(θ)dθ ≤ C
T
|Tn(θ)|pw(θ)dθ,
En
para todo Tn polinomio trigonométrico de grado ≤ n.
Observación: A∞ ⇒ medida doblante (i.e.
I ⊂ T intervalo).
w(2I) ≤ Cw(I) para
5
Para θ función interna en D (i.e. θ ∈ H ∞, |θ(z)| = 1, c.p.t. |z| = 1)
definimos el subespacio modelo
p
Kθ = H p ∩ θH p ⊂ H p.
Volberg (81):
Para 1 < p < ∞ y dµ = wdm con 0 ≤ w ∈ L∞(T)
p
ckf kp ≤ kf kLp(µ) ≤ Ckf kp, f ∈ Kθ ,
si y solo si
´
e
inf{w(z)
+ |θ(z)| : z ∈ D} > 0.
e
Donde w(z)
= T P (z, t)w(t)dt.
Cohn, Aleksandrov, Treil, Dyakonov, Zhong, Paneyah, Lin, Levin,
Katsnel’son, Gorin, Havin, Jöricke, Baranov, Ortega-Cerdà, Seip...
• Si θ(z) = z n, Kθ2 es el espacio de los polinomios de grado ≤ n.
• Para el subespacio modelo en el semiplano superior, con θ(z) =
eiαz tenemos que Kθ2 = eiza/2P W 2((−a, a)).
6
En Sd ⊂ Rd+1 sea σ la medida de Lebesgue de superficie. Tomamos
la distancia geodésica
d(u, v) = arccoshu, vi,
u, v ∈ Sd,
y las correspondientes bolas B(ω, δ) ⊂ Sd.
Para ` ∈ N, sea H` el espacio vectorial de los armónicos esféricos
de grado ` (i.e. las restricciones a la esfera Sd de los polinomios
armónicos homogeneos en d + 1 variables de grado `).
Denotamos
ΠL = span
L
[
H`, armónicos esféricos de grado ≤ L.
`=0
para d = 1 son los polinomios trigonométricos de grado ≤ L
Observación: la restriccion a Sd de todo polinomio en d+1 variables
de grado ≤ L pertenece a ΠL.
7
Teorema: Sea 1 ≤ p < ∞. Sea {EL}L∈N con EL ⊂ Sd y µ una
medida doblante en Sd. Existe Cp > 0 tal que
ˆ
ˆ
|QL(ω)|pdµ(ω), para todo QL ∈ ΠL,
|QL(ω)|pdµ(ω) ≤ Cp
Sd
EL
si y solo si existen r > 0 y % > 0 tales que
µ(EL ∩ B(u, r/L))
≥ % > 0,
µ(B(u, r/L))
u∈Sd
inf
para todo L (=µ−relativamente densa).
8
Principio de Incertidumbre para funciones de L2(Sd): Dada
f ∈ L2(Sd) su expansion en armónicos esféricos es
X
f =
P`(f ),
`≥0
donde P` es la proyección ortogonal de L2(Sd) en H`.
Corolario La familia {EL} es relativamente densa (i.e. respecto
de σ ≡medida de Lebesgue de superficie) si y solo si existe una
constante C > 0 tal que para toda f ∈ L2(Sd)
ˆ
Sd
ˆ
|f (ω)|2dσ(ω) ≤ C 

|f (ω)|2dσ(ω) +
EL
X
kP`(f )k2 .
`>L
9
Idea de la demostración del Teorema:
• (Dai, (06)) La regularización de µ
µ(B(u, 1/L))
µL(u) =
,
σ(B(u, 1/L))
cumple que
ˆ
ˆ
|QL(u)|pdµ(u) ∼
Sd
Sd
L ≥ 0,
|QL(u)|pµL(u)dσ(u),
QL ∈ ΠL,
además |QL|p es puntualmente equivalente a un armónico esférico
de grado L.
• Supongamos que µ = σ.
• La norma−p de un QL ∈ ΠL está concentrada en los puntos
donde |QL| es comparable a la media sobre una bola de radio
r/L:
(
A = z ∈ Sd : |QL(z)|p ∼
)
B(z,r/L)
|QL(u)|pdm(u) .
10
• Como |QL|p es subarmónica en Rd+1 utilizamos que para 1 ≤
p≤∞
ˆ
ˆ
|QL(ω)|pdσ(ω) ∼ L
|QL(u)|pdm(u),
Sd
{u∈Rd+1 :||u|−1|<r/L}
con constantes independientes de L.
• Basta ver que para ω ∈ A
ˆ
C
|QL(u)|pdσ(u).
|QL(ω)|p ≤
σ(B(ω, r/L)) B(ω,r/L)∩EL
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• Como |QL|p es subarmónica en Rd+1 utilizamos que para 1 ≤
p≤∞
ˆ
ˆ
|QL(ω)|pdσ(ω) ∼ L
|QL(u)|pdm(u),
Sd
{u∈Rd+1 :||u|−1|<r/L}
con constantes independientes de L.
• Basta ver que para ω ∈ A
|QL(ω)|p ≤
ˆ
C
|QL(u)|pdσ(u).
σ(B(ω, r/L)) B(ω,r/L)∩EL
Supongamos que NO
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• Como |QL|p es subarmónica en Rd+1 utilizamos que para 1 ≤
p≤∞
ˆ
ˆ
|QL(ω)|pdσ(ω) ∼ L
|QL(u)|pdm(u),
Sd
{u∈Rd+1 :||u|−1|<r/L}
con constantes independientes de L.
• Basta ver que para ω ∈ A
ˆ
C
|QL(u)|pdσ(u).
|QL(ω)|p ≤
σ(B(ω, r/L)) B(ω,r/L)∩EL
• Si no se tiene la desigualdad tendremos una familia de puntos
ωn ∈ A y polinomios Qn tales que
ˆ
n
|Qn(ωn)|p >
|Qn(u)|pdσ(u).
σ(B(ωn, r/Ln)) B(ωn,r/Ln)∩ELn
11
Rd+1
d
S
ωn
ELn
B(ωn , r/Ln )
En
ˆ
ˆ
1
|fn|pdm = 1, |fn(0)| ∼ 1,
&
|fn(u)|pdσn(u).
n
B(0,1)
B(0,1)∩En
12
• Por la densidad relativa, una parcial de χEn dσn converge débilmente
a una medida, ν, no nula doblante en (Rd × {0}) ∩ B(0, 1).
• Una parcial converge a una f armónica en Rd+1, no nula que
integra cero respecto de ν en Rd × {0} pero es real analı́tica!!!
13
Caso L∞(Sd) :
Buscamos condiciones en EL ⊂ Sd de modo que
sup |QL(u)|ω(u) ≤ C sup |QL(u)|ω(u),
u∈EL
u∈Sd
para todo QL ∈ ΠL,
(1)
para la clase de pesos ω ≥ 0 “más amplia posible”.
Una primera restricción es que ahora los pesos son acotados.
Teorema Se tiene (1) para todo peso ω ≥ 0 tal que
ˆ
C
ωdσ,
ω(u) ≤
σ(B) B
para toda bola B ⊂ Sd y u ∈ B (en particular son doblantes) si
σ(EL ∩ B(u, r/L))
≥ > 0.
d
σ(B(u, r/L))
u∈S
inf
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