Unidade 8

Educación secundaria
Dirección Xeral de Educación, Formación
para personas adultas
Profesional e Innovación Educativa
Ámbito científico tecnológico
Educación a distancia semipresencial
Módulo 3
Unidad didáctica 8
Ecuaciones de segundo grado
Sistemas de ecuaciones
Página 1 de 56
Índice
1.
Introducción...............................................................................................................3
1.1
1.2
1.3
2.
Descripción de la unidad didáctica................................................................................ 3
Conocimientos previos.................................................................................................. 3
Objetivos didácticos...................................................................................................... 3
Secuencia de contenidos y actividades ..................................................................4
2.1
La función cuadrática.................................................................................................... 4
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
La ecuación de segundo grado..................................................................................... 9
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.3
Gráfica de las funciones de tipo y = ax2 .............................................................................................................5
Gráfica de las funciones de tipo y = ax2 + c .......................................................................................................6
Gráfica de la función cuadrática completa y = ax2 + bx + c ...............................................................................7
Resolución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 .........................................................................9
Número de soluciones de una ecuación de segundo grado ............................................................................10
Ecuaciones de segundo grado incompletas.....................................................................................................11
Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX .........................................................................12
Resolución de problemas utilizando ecuaciones de segundo grado ...............................................................14
Sistemas de ecuaciones lineales ................................................................................ 17
2.3.1
2.3.2
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales............................................................................18
Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones..........................................................................21
3.
Resumen de contenidos .........................................................................................23
4.
Actividades complementarias................................................................................26
5.
Ejercicios de autoevaluación .................................................................................28
5.1
5.2
5.3
Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 30
Soluciones de las actividades complementarias ......................................................... 43
Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 53
6.
Glosario....................................................................................................................55
7.
Bibliografía y recursos............................................................................................56
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1.
Introducción
1.1
Descripción de la unidad didáctica
Se empieza con el estudio de las funciones cuadráticas (características y representación
gráfica) en relación con el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado.
Se aborda luego la resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, usando la fórmula general u otros métodos, cuando sea posible, y se discute la existencia de una, de dos o de ninguna solución, según el valor del discriminante. Después se
estudian los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, y los casos de compatibilidad e incompatibilidad que
puedan existir.
Finalmente se propone un amplio abanico de problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de primer grado, de segundo grado y de sistemas de ecuaciones lineales,
para familiarizarse con los métodos algebraicos de aplicación en una gran variedad de situaciones.
1.2
Conocimientos previos
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Representación gráfica de funciones lineales.
Interpretación de las características de las gráficas de funciones.
Interpretar y traducir información al lenguaje algebraico.
Efectuar operaciones con expresiones algebraicas.
1.3
Objetivos didácticos
Relacionar las funciones de segundo grado con su representación gráfica.
Identificar las características más destacadas en la gráfica de la parábola.
Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, y comprobar las soluciones, si las hay.
Relacionar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado con el valor del
discriminante y con el número de puntos de corte con el eje OX.
Usar las ecuaciones de segundo grado para calcular el tiempo que tarda un móvil con
aceleración en alcanzar una cierta posición, despejándolo de la ecuación s = so + vot +
½ at2.
Resolver problemas mediante la formulación y la resolución de la ecuación de segundo
grado correspondiente, e interpretar la pertinencia o no de las soluciones obtenidas.
Interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones como el punto de corte de las rectas asociadas.
Formular sistemas de ecuaciones y resolverlos en problemas de encuentro y alcance de
móviles, y de los ámbitos socioeconómico y científico.
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2.
Secuencia de contenidos y actividades
2.1
La función cuadrática
Las funciones cuadráticas son las que se expresan mediante un polinomio de grado 2:
y = ax2 + bx + c (con a ≠ 0).
La gráfica de una función cuadrática es siempre una parábola.
Veámoslo con un ejemplo:
Un móvil parte de la posición so = 2 m con velocidad inicial vo = 1 m/s y aceleración a = 4
m/s2. Dibuje su gráfica s/t (posición/tiempo).
1
1
Solución: s = so + vo t + a t 2 → s = 2 + 1. t + 4 t 2 = 2 + t + 2t 2
2
2
s = 2 + t + 2 t2
t
s
0
2
1
5
2
12
3
23
4
38
5
57
La gráfica obtenida es una parábola (exactamente un arco de parábola).
La función cuadrática más sencilla es y = x2. Veamos su gráfica:
y = x2
x
y
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Página 4 de 56
En la gráfica anterior observamos:
El punto más bajo de la curva es, en este caso, el punto de coordenadas (0, 0). A este
punto más bajo se le llama vértice de la parábola.
La curva es simétrica respecto del eje OY.
La función es decreciente para valores de x menores que cero (x < 0) y creciente para
valores positivos de x (x > 0).
La curva es convexa: está abierta hacia arriba (tiene forma de V).
2.1.1 Gráfica de las funciones de tipo y = ax2
Veamos ahora las gráficas de las funciones y = 2x2 (verde) e y = 3x2 (azul), comparándolas con la anterior (roja):
y = 2x2
y = 3x2
x
y
x
y
-3
18
-3
27
-2
8
-2
12
-1
2
-1
3
0
0
0
0
1
2
1
3
2
8
2
12
3
18
3
27
Todas las parábolas tienen el vértice en el mismo punto (0,0) y son convexas (forma de
V), pero cuanto mayor es el valor del coeficiente a, más estrecha es la curva.
¿Qué ocurre cuando el coeficiente a es negativo? Fíjese:
y = - x2
y = - 2x2
y = - 3x2
x
y
x
y
x
y
-3
-9
-3
-3
-9
-3
-2
-4
-2
-2
-4
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
1
-1
1
2
-4
2
2
-4
2
3
-9
3
3
-9
3
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Ya ve el resultado: si el coeficiente a es negativo, la parábola es cóncava, es decir, está
abierta hacia abajo (tiene forma de Λ). El vértice de la parábola ahora es el punto más alto
de ella.
Actividades propuestas
S1.
De las funciones cuadráticas siguientes, ¿cuáles son cóncavas y cuáles convexas?
y = -3/2 x2
y = 3/5 x2
y = 7 x2
y = - 0,32 x2
2.1.2 Gráfica de las funciones de tipo y = ax2 + c
Comparemos entre sí las funciones y = x2 +3 (verde), y = x2 – 4 (azul) e y = x2 (rojo):
y = x2
y = x2 + 3
y = x2 - 4
x
y
x
y
x
y
-3
9
-3
12
-2
0
-2
4
-2
7
-1
-3
-1
1
-1
4
0
-4
0
0
0
3
1
-3
1
1
1
4
2
0
2
4
2
7
3
5
3
9
3
12
4
12
La forma de las tres parábolas es igual, pero y = x2 + 3 está desplazada hacia arriba tres
unidades, e y = x2 - 4 está cuatro unidades hacia abajo respecto de la parábola y = x2.
Entonces, el parámetro libre c tiene como efecto subir c unidades la parábola, si c es positivo, y bajarla c unidades si es negativo.
Actividades propuestas
S2.
Compruebe que el efecto del parámetro c en las parábolas de tipo y = ax2 + c es
desplazarlas hacia arriba o abajo, dibujando la gráfica de las parábolas y = 2x2 +
3, y = 2x2 e y = 2x2 - 3
S3.
Compare las gráficas de las siguientes funciones: y = - x2, y = - x2 + 4. ¿Qué observa?
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2.1.3 Gráfica de la función cuadrática completa y = ax2 + bx + c
Representemos gráficamente la siguiente parábola: y = x2 + 2x - 3:
y = x2 + 2x - 3
x
y
-3
0
-2
-3
-1
-4
0
-3
1
0
2
5
3
12
Como a > 0, la parábola es convexa (abierta hacia arriba).
Puede demostrarse que, para cualquier parábola, la coordenada x del vértice viene dada
por la expresión:
Esto quiere decir que si a y b tienen el mismo signo, el eje de simetría de la parábola y el
vértice estarán desplazados hacia la izquierda del eje OY (como en el ejemplo anterior), y
si tienen signos contrarios estarán desplazados hacia la derecha. El parámetro c juega el
mismo papel de subir o bajar la gráfica que ya vimos antes.
Para representar una parábola conviene calcular primero la posición de su vértice, y luego
completar la tabla de valores x-y dándole a x valores simétricos respecto de xv.
Actividades resueltas
Actividad 1. Representar la función cuadrática y = x2 - 4x - 1
Solución: la coordenada xv del vértice es:
Solución
Así que le damos a x los valores 2, 2 ± 1, 2 ± 2, 2 ± 3, etc.
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y = x2 - 4x - 1
x
y
-1
4
0
-1
1
-4
xv = 2
yv = - 5
3
-4
4
-1
5
4
Actividad 2. Representar la parábola y = - 2x2 - 4x + 5
Coordenada x del vértice:
Solución
xv = –
b
–4
= –
= –1
2a
–2.2
y = - 2x2 - 4x + 5
x
y
-4
-11
-3
-1
-2
5
xv = - 1
yv = 7
0
5
1
1
2
11
Observe que, como el coeficiente a es negativo, la parábola es cóncava (abierta hacia abajo), y que como a y b tienen el mismo signo, el vértice está a la izquierda del eje OY.
Actividades propuestas
S4.
Calcule las coordenadas del vértice de las parábolas:
y = x2 - 8
S5.
y = x 2- x + 5
y = 1/2 x2 - 4x + 1
y = - x2 - 2x + 4
y = 3x2 + 6x - 1
Represente gráficamente las funciones cuadráticas siguientes: y = x2 - 9x;
y = x2 - 6x + 1; y = x2 – 2.
S6.
Sin dibujar la gráfica, determine si el eje de simetría y el vértice de las parábolas
están a la izquierda o a la derecha del eje OY: y = x2- 3x + 5; y = x2 - 4x.
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2.2
La ecuación de segundo grado
Tenemos que resolver el siguiente problema de movimiento uniformemente acelerado:
Un móvil parte de la posición inicial so = 3 m con una velocidad de 10 m/s y aceleración 2
m/s2. ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por la posición s = 78 m?
Solución:
¡Hay que despejar t y dejarlo solo en un miembro pero... no sabemos hacerlo! Por eso tenemos que aprender ahora a resolver ecuaciones de segundo grado.
¿En qué puntos cortan las parábolas al eje OX? ¿Lo podemos saber sin representarlas gráficamente? Pues sí que podemos: en esos puntos la coordenada y vale cero; por lo tanto:
y = 0 = ax2 +bx + c
Así que para saber el valor de x en los puntos de corte nos encontramos de nuevo con el
problema de resolver una ecuación de segundo grado. Veamos ya cómo se hace.
2.2.1 Resolución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los coeficientes a, b y c son todos distintos de cero. Si los coeficientes b o c, o los dos, son nulos, la ecuación se llama incompleta.
Las soluciones de la ecuación de segundo grado completa vienen dadas por la expresión
(que no deducimos):
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
(sempre a ≠ 0)
El doble signo ± delante de la raíz cuadrada quiere decir que en general hay dos soluciones:
x1 =
- b + b 2 - 4ac
,
2a
x2 =
- b – b 2 - 4ac
2a
Ejemplo. Resuelva la ecuación x2 - 6x + 8 = 0
Solución:
Las soluciones son x1 = 4 y x2 = 2. Las podemos comprobar sustituyendo estos valores
en la ecuación y viendo si realmente dan cero:
x2 - 6x + 8 = 0; x1 = 4
42 - 6.4 + 8 = 16 - 24 + 8 = - 8 + 8 = 0 Solución correcta.
x2 - 6x + 8 = 0; x2 = 2
22 - 6.2 + 8 = 4 - 12 + 8 = - 8 + 8 = 0 Solución correcta.
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Actividades propuestas
S7.
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:
x2 - 5x + 6 = 0
2 x2 - 12x + 10 = 0
4 x2 + 4x - 3 = 0
x2 +9x - 10 = 0
2.2.2 Número de soluciones de una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna, y eso depende
del valor del discriminante, es decir, de la expresión b2 - 4ac, que es la parte roja que está
dentro de la raíz cuadrada en la ecuación:
- b ± b 2 - 4ac
x=
2a
Si el discriminante es positivo, b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas; si
el discriminante vale cero la ecuación tiene una solución (o dos de igual valor, que viene
siendo lo mismo); y si el discriminante es negativo, b2 - 4ac < 0, la raíz cuadrada no se
puede calcular (con números reales) y la ecuación no tiene ninguna solución.
Ejemplos.
– La ecuación x2 + 3x + 10 = 0 no tiene ninguna solución, porque:
– La ecuación 2x2 + 12x + 18 = 0 tiene una sola solución, porque:
La solución única x = - 3 también se llama solución doble.
– La ecuación 3x2 + 3x - 36 = 0 tiene dos soluciones distintas:
Actividades propuestas
S8.
Determine, con la ayuda del discriminante, cuántas soluciones tiene cada ecuación:
3x2 - 6x + 3 = 0
x2 + x - 3 = 0
x2 + x + 3 = 0
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-x2 - 2x - 3 = 0
2x2 + 5x + 1 = 0
2.2.3 Ecuaciones de segundo grado incompletas
Son las ecuaciones en las que los términos b o c valen 0.
Ecuaciones de tipo ax2 + c = 0
Son del tipo en el que b = 0. El método más sencillo de resolución es despejar la incógnita
x:
–c
es positivo, la raíz se puede efectuar y la ecuación tiene dos soluciones,
a
pero si el cociente es negativo, la raíz no existe y la ecuación no tiene ninguna solución
real.
Si el valor de
Ejemplo. Resuelva la ecuación 2x2 - 32 = 0.
Ejemplo. Resuelva la ecuación x2 + 1 = 0.
x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 ⇒ x = ± − 1 .......No tiene solución real.
Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0
Ocurre cuando c = 0. Lo más sencillo es sacar factor común x:
ax2 + bx = 0 → x (ax + b) = 0
Tenemos la multiplicación de dos factores, x y (ax + b). La única forma de que multiplicando dos factores sea cero es que uno de ellos, o los dos, sean nulos:
Por lo tanto este tipo de ecuaciones incompletas siempre tiene dos soluciones, una de ellas
x = 0.
Ejemplo. Resuelva la ecuación 5x2 - 125x = 0.
Actividades propuestas
S9.
Resuelva las ecuaciones incompletas siguientes:
3x2 - 27 = 0
-2x2 + 50x = 0
3/2 x2 + 15 = 0
1/3 x2 - 25/3 = 0
13x2 + 52x = 0
Página 11 de 56
x2 - 9/4 = 0
x2 + x = 0
2.2.4 Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX
En la figura está representada la gráfica de una cierta función f(x). Fíjese que
en los puntos en que la curva corta el eje OX la coordenada y vale cero, es
decir, en estos puntos ocurre que f(x) = 0 y, entonces, los valores de la coordenada x son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. En el caso de la función
de la figura, las soluciones son x = - 4, x = - 3 y x = 1: la ecuación tiene tres
soluciones.
Con las funciones cuadráticas ocurre igual. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. f(x) = y = 2x2 - 4x - 6.
En los puntos de corte con el eje OX ocurre que 2x2 - 4x - 6 = 0; la solución de esta
ecuación es:
La ecuación tiene dos soluciones, así que la parábola tiene que tener dos puntos de corte con el eje OX: son los puntos (-1,0) y (3,0). Compruébelo observando la gráfica de la
función:
y = 2x2 - 4x - 6
x
y
-3
14
-2
10
-1
0
0
-6
1
-8
2
-6
3
0
4
10
Ejemplo 2. Hagamos lo mismo con la función y = 3/2x2 + 6x + 6.
Primero resolvemos la ecuación asociada, 3/2x2 + 6x + 6 = 0.
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Solo hay una solución (o dos iguales), por lo tanto la parábola corta al eje OX en un
único punto. Fíjese en la gráfica de esta parábola:
y = 3/2 x2 + 6x + 6
x
y
-4
6
-3
3/2
-2
0
-1
3/2
0
6
1
27/2
Ejemplo 3. Por último, una parábola que no corta el eje OX: y = x2 + 2x + 5.
Encontramos los puntos de corte resolviendo la ecuación.
El discriminante es negativo así que no tiene soluciones, luego no hay puntos de corte
con el eje OX. Fíjese cómo es la gráfica de la parábola:
y = x2 + 2x + 5
x
y
-4
13
-3
8
-2
5
-1
4
0
5
1
8
2
13
Página 13 de 56
2.2.5 Resolución de problemas utilizando ecuaciones de segundo grado
Por fin podemos resolver ya el problema con el que iniciamos esta sección: ¿cuándo pasará el móvil por la posición s = 78 m? (Vaya atrás y léalo de nuevo).
Solución:
Resolviendo la ecuación:
La primera solución (t = - 15 s) no tiene sentido físico, al no existir tiempos negativos, así
que la rechazamos. La solución válida es que a los 5 s el móvil pasará por la posición 78
m.
Las ecuaciones de segundo grado permiten resolver problemas de móviles y de muchos
otros campos de la ciencia y de la vida cotidiana. Veamos unos cuantos.
Ejemplo. Desde una altura de 100 m lanzamos verticalmente hacia bajo un cuerpo con
una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
– Solución: el movimiento es uniformemente acelerado, usamos la ecuación de la posición:
Ejemplo. El producto de un número natural por el siguiente es 272. ¿Cuál es ese número?
– Solución: sea x el número buscado. Entonces x(x+1) = 272; haciendo las operaciones tenemos:
Resolviendo:
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El número natural buscado es 16. La solución x2 = -17 es de un número entero.
Ejemplo. En un cuadrado, el área es igual al doble del perímetro. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
– Solución: sea x la longitud del lado del cuadrado.
Área = x2; Perímetro = x + x + x + x = 4x
Condición del problema: área = 2.perímetro → x2 = 2.4x;
Es una ecuación incompleta.
El lado del cuadrado mide 8.
Ejemplo. Un almacén compró un lote de cajas y pagó por todas ellas 300 euros. Con el
mismo dinero podría comprar diez cajas más si cada una costase 5 euros menos. ¿Cuántas cajas compró?
300
– Solución: sea x el número de cajas. El precio de cada caja es
.
x
Condición del problema:
Hacemos las operaciones:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Página 15 de 56
Compró 20 cajas a 15 euros cada una.
Actividades propuestas
S10.
Reparta el número 10 en dos sumandos de modo que la suma de sus cuadrados
sea 50.
S11.
Si al triple de un número se le suma su cuadrado, se obtiene 88. ¿Cuál es el
número?
S12.
Averigüe la edad de una persona sabiendo que si a su cuadrado se le resta el triple de la edad resulta nueve veces esta.
S13.
Un rectángulo tiene 24 m de perímetro y 35 m2 de área. Calcule las dimensiones
del rectángulo.
S14.
Determine el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuya área es 12 m2.
S15.
Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho; su área es de 7.000
m2. ¿Cuánto miden los lados del campo?
S16.
Dos números se diferencian en siete unidades, y su producto es 60. ¿Cuáles son
esos números?
S17.
En un triángulo rectángulo de 24 m de perímetro, la longitud de un cateto es
igual a los 3/4 del otro. Determine las dimensiones del triángulo.
S18.
El instituto regala 525 euros para repartirlos entre el alumnado de ESA. Como 25
alumnos no asisten hoy a clase, cada uno de los presentes obtiene 0,50 euros
más. ¿Cuántos alumnos hay en total en ESA?
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2.3
Sistemas de ecuaciones lineales
¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?
Una ecuación es lineal cuando es de grado 1 respecto de todas las incógnitas, y no hay
productos ni divisiones entre ellas; así,
3x + 2y - 8 = 0 es una ecuación lineal.
3x2 - 2y - 5 = 0 no es una ecuación lineal.
3xy + 8y = 8 tampoco es una ecuación lineal.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma general:
donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, a', b', c' son los coeficientes y términos independientes (números normalmente).
Resolver el sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar los valores de las incógnitas que hacen ciertas las dos ecuaciones simultáneamente. Por ejemplo:
En este sistema la solución es x = 1 e y = 2, ya que hacen verdaderas las dos igualdades:
La mayoría de las veces los sistemas de ecuaciones tienen una única solución (un valor para cada incógnita), pero puede ocurrir también que el sistema no tenga ninguna solución e
incluso que tenga infinitas. Para resolver algunos problemas de móviles necesitamos los
sistemas de ecuaciones lineales. Veamos un ejemplo:
Un coche está en la posición inicial so = 300 m y se mueve a 20 m/s. Un motorista está
inicialmente en la posición 10 m y persigue el coche con una velocidad de 25 m/s.
¿Dónde y cuándo lo alcanza?
– Solución.
Datos del coche (a): so = 300, va = 20
Datos de la moto (B): so = 10, vb = 25
Aplicamos la ecuación de la posición del movimiento uniforme (s = so + v.t) a los
dos móviles: sa = 300 + 20.t; sb = 10 + 25.t
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En el momento del alcance, los dos móviles están en la misma posición, por lo tanto
la condición será sa = sb. Reuniendo todas las ecuaciones, tenemos tres incógnitas
(sa, sb, t) y tres ecuaciones: esto es un sistema de ecuaciones lineales.
En el apartado siguiente aprenderemos a resolverlos.
2.3.1 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Hay cuatro métodos (o técnicas) de resolución de un sistema: sustitución, igualación, reducción y representación gráfica
Método de sustitución
Despejamos una incógnita en una ecuación y sustituimos su valor en la otra ecuación.
Ejemplo.
La incógnita más fácil de despejar es la y de la primera ecuación:
Y ahora sustituimos este valor de x en cualquiera de las ecuaciones para despejar la otra
incógnita; lo más fácil es hacerlo en la ecuación y = 4 - 2x:
La solución del sistema es x = 1, y = 2.
Método de igualación
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualamos los resultados.
Ejemplo:
Página 18 de 56
Multiplicamos en cruz:
Y el valor de y = 2 obtenido lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones del principio; en este caso lo más fácil es hacerlo en esta ecuación:
Obtenemos la misma solución que con el método de la pregunta anterior, como es lógico.
Método de reducción
En este método multiplicamos las dos ecuaciones por números adecuados de modo que los
coeficientes de una de las incógnitas tengan valores opuestos en las dos ecuaciones.
Veamos cómo se hace con el mismo sistema anterior:
Vamos a conseguir que los coeficientes de las y tengan valores opuestos en las dos
ecuaciones. Para eso multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 1:
Y ahora sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro:
Y el último paso es sustituir este valor de x = 1 en cualquiera de las ecuaciones anteriores para calcular el valor de y; por ejemplo, en 2x + y = 4:
El sistema está resuelto.
Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones
Los métodos de sustitución, igualación y reducción son métodos algebraicos, y son los que
usamos habitualmente. Pero hay un cuarto modo de encontrar la solución (a veces menos
preciso), el método gráfico.
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Si en cada ecuación del sistema despejamos la y, obtendremos dos funciones lineales. La
representación gráfica de esas funciones son dos líneas rectas, que se cortarán en un punto:
las coordenadas de este punto son los valores de x e y de la solución del sistema, ya que en
ese punto los valores de x e y satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.
Ejemplo. Sea el sistema:
Hacemos las tablas de valores x, y para las dos funciones lineales obtenidas y representamos:
y = 4 - 2x
y=
5 + 3x
4
x
y
x
y
-3
10
-3
-1
4
4
1
2
El punto de corte de las rectas es el (1,2), así que la solución del sistema es x = 1, y = 2
¿Qué ocurriría si las dos rectas resultasen ser paralelas? No habría punto de corte y el sistema de ecuaciones no tendría ninguna solución: sería un sistema incompatible.
Actividades propuestas
S19.
Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes por los tres métodos indicados:
sustitución, igualación y reducción.
S20.
Calcule gráficamente la solución de los sistemas:
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2.3.2 Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
Resolvamos ahora el problema de la moto que alcanza al coche. Las ecuaciones eran:
Despejamos sa de la tercera ecuación (de hecho, ya está despejada) y sustituimos su valor
en las otras dos ecuaciones:
Resolvemos por el método de igualación, despejando en las dos ecuaciones sb (en realidad,
ya están despejadas):
y sb = 300 + 20.t = 300 + 20.58 = 1.460 metros.
Gráficamente:
sa = 300 + 20.t
sb = 10 + 25.t
t
sa
t
sb
0
300
0
10
20
700
20
510
40
1100
40
1010
60
1500
60
1510
80
1900
80
2010
Actividades resueltas
Actividad 1. En un examen hay diez preguntas. Por cada una bien contestada, me dan
dos puntos, y por cada pregunta mal contestada, me quitan un punto. En el examen saqué un 8. ¿Cuántas preguntas fallé?
Solución
Preguntas acertadas = x; preguntas falladas = y
Las condiciones del problema se resumen en las ecuaciones siguientes:
x + y = 10 (preguntas)
2x - 1y = 8 (puntos)
Resolviendo el sistema, la solución es: x = 6, y = 4. Fallé cuatro preguntas.
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Actividad 2. Calcule dos números sabiendo que se diferencian en 14 unidades y que su
media aritmética es 25.
Sean x e y los números que nos piden. Las condiciones del problema son:
Diferencia en 14 unidades: x - y = 14
Solución
Media aritmética:
x+ y
= 25
2
La solución del sistema es x = 32, y = 18
Actividad 3. La edad de Antía es el doble que la de Xiana. Si Antía tuviese 12 años menos y Xiana 8 años más, las dos tendrían la misma edad. ¿Cuántos años tiene cada una
de ellas?
Solución
Edad de Antía = x; edad de Xiana = y
Condiciones del problema: edad doble: x = 2y
Otra condición: x - 12 = y + 8
La solución del sistema es x = 40 años, y = 20 años
Actividades propuestas
S21.
Busque dos números que sumen 84 y cuyo cociente sea 6.
S22.
En un corral hay gallinas y conejos; hay 50 cabezas y 134 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay?
S23.
El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles
son esos números?
S24.
Tenemos dos tipos de piensos, uno de 0,50 euros el kilogramo y otro de 0,80 euros el kilogramo. ¿Qué cantidad de cada tipo debemos mezclar para tener 100
kg de pienso a 0,704 euros cada kilogramo?
S25.
Una persona recorre 1000 km, parte en coche y parte en bicicleta. En el coche
va a 90 km/h y en la bicicleta, a 20 km/h. Tarda 15 horas en completar el viaje.
¿Cuántos kilómetros hace en la bicicleta?
S26.
Un hotel tiene habitaciones dobles e individuales; en total son 120 habitaciones.
El número de camas es 195. ¿Cuántas habitaciones son dobles?
S27.
En una fiesta, si cada invitado come 5 pasteles, entonces sobran 3; y si come 6,
falta 1. ¿Cuántos invitados y cuántos pasteles hay en la fiesta?
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3.
Resumen de contenidos
La función cuadrática
Las funciones cuadráticas son las que se pueden expresar mediante un polinomio de segundo grado de la forma y = ax2 + bx + c (con a ≠ 0), y su gráfica siempre es una parábola.
Características de las gráficas de las funciones cuadráticas:
– La gráfica alcanza su punto máximo o mínimo en el vértice de la parábola. La coordenada xv del vértice se obtiene mediante la fórmula:
– La gráfica es simétrica respecto de un paralelo al eje OY, y tiene dos ramas: en una
rama la función es creciente y en la otra es decreciente.
– La gráfica puede ser cóncava (abierta hacia bajo Λ), si a < 0, o convexa (abierta
hacia arriba V), si a > 0.
La ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 es completa cuando los coeficientes
a, b y c son todos distintos de cero. Si los coeficientes b o c, o los dos, son nulos, la
ecuación se llama incompleta.
Las soluciones de la ecuación de segundo grado se obtienen a partir de la expresión:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
(sempre a ≠ 0)
Número de soluciones de una ecuación de segundo grado
El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del valor de su
discriminante. El discriminante es el término: b2 - 4ac.
Existen tres posibilidades, según el signo del discriminante:
– Discriminante b2 - 4ac > 0 → la ecuación tiene dos soluciones distintas.
– Discriminante b2 - 4ac = 0 → la ecuación tiene una solución (solución doble).
– Discriminante b2 - 4ac < 0 → la ecuación no tiene ninguna solución.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, sustituyendo por 0 los coeficientes que
faltan en la ecuación, pero también se pueden resolver despejando x directamente.
Ecuaciones de tipo ax2 + c = 0
Despejamos directamente la incógnita x:
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Ecuaciones de tipo ax2 + bx = 0
Sacamos factor común x e igualamos a cero los dos factores:
ax2 + bx = 0 → x (ax + b) = 0
Este tipo de ecuaciones siempre tiene dos soluciones, una de ellas x = 0.
Soluciones de una ecuación y puntos de corte con el eje OX
Los puntos de corte de la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bc + c se obtienen
resolviendo la ecuación ax2 + bc + c = 0. Si las soluciones de la ecuación son x1 y x2,
los puntos de corte con el eje OX son los puntos de coordenadas (x1, 0), (x2, 0).
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación es lineal cuando es de primer grado respecto de todas las incógnitas, y no
hay productos ni divisiones entre ellas; por ejemplo, 3x + 2y - 8 = 0.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma general:
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Existen cuatro métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
– Método de sustitución: despejamos una incógnita, generalmente la que resulte más
sencilla de despejar, y sustituimos su valor en la otra ecuación.
– Método de igualación: despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones obtenidas.
– Método de reducción: multiplicamos las ecuaciones por los números convenientes
de modo que los valores de los coeficientes de unas de las incógnitas sean opuestos
y, seguidamente, sumamos ambas ecuaciones.
– Método gráfico: despejamos la incógnita y en cada ecuación y representamos gráficamente las funciones lineales obtenidas, que serán dos rectas. Las coordenadas del
punto de corte de las rectas (x, y) serán las soluciones del sistema.
Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones lineales
Según la posición relativa de las rectas correspondientes a las ecuaciones lineales que
forman el sistema dado, pueden existir tres posibilidades:
– Las rectas se cortan en un punto (x, y): el sistema es compatible y tiene solución, y
esta viene dada por los valores de x e y.
– Las rectas son coincidentes: tienen infinitos puntos comunes. El sistema es compatible y tiene infinitas soluciones, que son los valores de los puntos (x, y) que pertenecen a la recta.
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– Las rectas son paralelas. El sistema es incompatible ya que las rectas no tienen ningún punto común.
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4.
Actividades complementarias
Función cuadrática
S28.
Busque el vértice y los puntos de corte con el eje OX de las parábolas siguientes:
y = 8x2
y = x2 - 2x
y = - x2 - 2x - 1
S29.
Represente las siguientes funciones cuadráticas: y = 2x2, y = - x2 + 3x – 5, y=
3x2+2x.
S30.
Localice las coordenadas del vértice de las parábolas:
y = x2 + 10x + 25
y = 2x2 - x +1
y = - x2 - 8x + 9
S31.
Sabemos que la función cuadrática y = ax2 + bx pasa por los puntos (-1, -5) y
(1, -3). Determine el valor de los coeficientes a y b.
S32.
Busque la función cuadrática que tiene el vértice en el punto (2,-1) y pasa por el
punto (0, 3).
Ecuaciones de segundo grado
S33.
Resuelva las ecuaciones:
x2 - 6x + 7 = –2
x(2 x – 1) +
3 3x 2 – x 1
=
+
5
5
5
21x2 + 100 = - 5
2x2 - 6x = 6x2 - 8x
x2 - 3x + 2 = 0
2x –
6 x 2 – 2 x + 1 2 x 2 – 3x
+
= –1
6
2
Problemas con ecuaciones de segundo grado
S34.
Un concesionario de coches crea una campaña publicitaria. Espera que el número y de coches vendidos (en cientos) en cada año x venga dado por la función
y = 0,5 x2 - x + 1
Represente gráficamente la función, empezando en x = 0.
¿Cuál será el año de menos ventas? ¿Cuántos coches venderá ese año?
¿A partir de qué año se recuperan las ventas?
S35.
Para embaldosar un salón de 8 m de longitud por 6 m de ancho se utilizan 300
baldosas cuadradas. ¿Cuánto mide el lado de las baldosas?
S36.
La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Calcule sus dimensiones si un lado
mide 2 cm menos que el otro.
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S37.
Dentro de 12 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que
tenía hace 12 años. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?
Sistemas de ecuaciones
S38.
Resuelva los sistemas de ecuaciones.
S39.
Resuelva gráficamente los sistemas:
S40.
El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles mide 16 cm y la altura mide 4
cm. Calcule la medida de los lados del triángulo.
S41.
La suma de dos números es el doble que su diferencia, y uno de ellos es el triple del otro. Calcule el valor de esos números.
S42.
Berta paga por dos cafés solos y tres con leche 3,45 euros; Edelmiro paga 0,30
euros menos por cuatro solos y uno con leche. ¿Cuánto vale cada tipo de café?
S43.
Un deportista es diez veces más rápido corriendo que nadando. En una prueba
recorre 4.410 m corriendo durante 10 minutos y nadando durante 5 minutos.
¿Con qué velocidades corre y nada el deportista?
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5.
Ejercicios de autoevaluación
1.
2
La parábola y = 3x + 6x:
2.
Tiene el vértice en el punto (3, 1).
Pasa por el origen de coordenadas.
2
3 y 5.
-1 y 6.
4 y 0.
2
Las soluciones de la ecuación 3x + 6x = 0 son:
0 y 1.
3 y 8.
0 y -2.
De dos pueblos A y B, distantes 132 km, salen al mismo tiempo dos ciclistas en sentido contrario por la misma carretera. El que sale de A va a 19 km/h, y el que sale de B va a 14
km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿En cuánto tiempo?
6.
Pasa por el punto (0, 3).
Las soluciones de la ecuación x - 8x + 15 = 0 son:
5.
Es abierta hacia abajo.
2
4.
Tiene el vértice en xv = - 1.
La parábola y = - 2x + 3:
3.
No pasa por el origen de coordenadas.
70 km, 4 h.
70 km, 5 h.
76 km, 4 h.
76 km, 5 h.
La solución del sistema del recuadro es:
x = 2, y = 5.
x = 3, y = 5/2.
x = 3/5, y = 2/5.
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7.
Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones del recuadro.
x
8.
y
x
y
El cociente de dos números es 3/4. Si se suma 10 a cada uno de ellos, su cociente es
11/14. Esos números son:
30 y 40.
45 y 40.
45 y 60.
La suma de un número más su inverso es 37/6. Este número es:
9.
16.
10.
6.
La edad de Xosefa era hace seis años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de seis
años. ¿Cuántos años tiene Xosefa hoy?
10.
45.
3.
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5.1
Soluciones de las actividades propuestas
S1.
y = -3/2 x2
a = -3/2 < 0 Cóncava
y = 7 x2
y = 3/5 x2
a = 3/5 > 0 Convexa
y = - 0,32 x2
a = 7 > 0 Convexa
a = - 0,32 < 0 Cóncava
S2.
y = 2x2 + 3
y = 2x2
y = 2x2 - 3
x
y
x
y
x
y
-3
21
-3
18
-3
15
-2
11
-2
8
-2
5
-1
5
-1
2
-1
-1
0
3
0
0
0
-3
1
5
1
2
1
-1
2
11
2
8
2
5
3
21
3
18
3
15
Y
X
Efectivamente, la gráfica de la función y = 2x2 + 3 (verde) está desplazada 3 unidades más arriba que la gráfica de la función y = 2x2 (negra), y la gráfica de la
función y = 2x2 - 3 (azul) está desplazada 3 unidades más abajo.
S3.
y = - x2
y = - x2 + 4
Y
x
y
x
y
-3
-0
-3
-5
-2
-4
-2
0
-1
-1
-1
3
0
0
0
4
1
-1
1
3
2
-4
2
0
3
-9
3
-5
X
Se observa que la gráfica de la función y = - x2 + 4 está desplazada 4 unidades
más arriba que la gráfica de la función y = - x2.
Página 30 de 56
S4.
-b 0
=
=0
2a 2.2
y v = 02 - 8 = - 8
xv =
y = x2 - 8
As coordenadas do vértice son (0 ,-8)
-b
-(-1) 1
=
=
2a
2.1
2
2 1
1 1
1-2+ 20 19
y v = 12 - + 5 = - + 5=
=
2
4 2
4
4
19
1
As coordenadas do vértice son 2 , 4
xv =
( )
y = x 2- x + 5
(
)
- b - (- 4) 4
=
= =4
1 1
2a
2.
2
1 2
y v = .4 - 4.4 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7
2
As coordenadas do vértice son (4 ,-7)
xv =
y = 1/2 x2 - 4x + 1
xv =
y = - x2 - 2x + 4
- b - (- 2 ) 2
=
= = -1
2a 2.(- 1) - 2
2
y v = -(- 1) - 2.(- 1) + 4 = - 1 + 2 + 4 = 5
As coordenadas do vértice son (- 1, 5)
- b -6 -6
= = = -1
2a 2.3 6
2
y v = 3.(-1) + 6.(-1)-1 = 3-6-1 = - 4
xv =
y = 3x2 + 6x - 1
As coordenadas do vértice son (-1, - 4)
S5.
y = x2 - 9x
x
y
x
y
0
0
1
-8
2
-14
3
-18
4
-20
xv = 9/2
yv= -81/4
5
-20
6
-18
7
-14
8
-8
9
0
Y
X
Página 31 de 56
y = x2 - 6x + 1
x
y
0
1
1
-4
2
-7
xv = 3
yv = -8
4
-7
5
-4
6
1
Y
X
y = x2 - 2
x
y
-3
7
-2
2
-1
-1
xv = 0
yv = -2
1
-1
2
2
3
7
Y
X
S6.
y=
x2-
3x + 5
a>0,b<0
a, b tienen distinto signo.
El vértice está situado a la derecha.
y = x2 - 4x
a>0,b<0
a, b tienen distinto signo.
El vértice está situado a la derecha.
S7.
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 - 12x + 10 = 0
x=
− (- 5)±
(- 5)2 - 4.1.6 = 5±
2.1
5+1

x=
=3
25 - 24 5± 1  1 2
=
=
2
2
 x = 5 - 1 =2
 2 2
 12+8
x=
=5
2
- (- 12 )± (- 12) - 4.2.10 12± 144 - 80 12± 64  1 4
x=
=
=
=
2.2
4
4
 x = 12 - 8 =1
 2
4
Página 32 de 56
- 4+ 8 4 1
= =
8
8 2
- 4 - 8 - 12 3
x 2=
=
=8
8
2
x1=
4x2 + 4x - 3 = 0
- 4± 42 - 4.4.( -3)
-4± 16 + 48 - 4± 64
x=
=
=
=
2.4
8
8
x2 + 9x - 10 = 0
 - 9+11
x=
=1
- 9± 92 - 4.1.(-10)
-9± 81 + 40 - 9± 121  1
2
x=
=
=
=
2.1
2
2
 x = - 9 - 11= - 10
 2
2
S8.
3x2 - 6x + 3 = 0
b2 - 4ac = (-6)2 – 4.3.3 = 36 – 36 = 0 → la ecuación tiene una solución.
x2 + x - 3 = 0
b2 - 4ac = 12 – 4.1.(-3) = 1 + 12 = 13 > 0 → la ecuación tiene dos soluciones.
x2 + x + 3 = 0
b2 - 4ac = 12 – 4.1.3 = 1 - 12 = -11 < 0 → la ecuación no tiene solución.
-x2 - 2x - 3 = 0
b2 - 4ac = (-2)2 – 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8 < 0 → la ecuación no tiene solución.
2x2 + 5x + 1 = 0
b2 - 4ac = 52 – 4.2.1 = 25 - 8 = 17 > 0 → la ecuación tiene dos soluciones.
3x2 - 27 = 0
3 x 2= 27
3/2 x2 + 15 = 0
3 2
- 15.2 - 30
x = - 15 ⇒ x 2=
=
= - 10 ⇒ x=± - 10
2
3
3
1/3 x2 - 25/3 = 0
1 2 25
x=
3
3
x2 - 9/4 = 0
9
x 2=
4
-2x2 + 50x = 0
x( - 2 x+ 50 )= 0
13x2 + 52x = 0
x( 13 x+ 52 )= 0
x2 + x = 0
x(x+ 1 )= 0
S9.
⇒
⇒
x 2=
⇒
27
=9 ⇒
3
3 x 2= 3 . 25
x=±
 x =3
9=  1
 x 2= - 3
x=±
→
A ecuación non ten solución
x2 =
75
= 25
3
→
- 2 x= - 50
⇒
 x =5
25 =  1
 x 2= - 5
x=±
3

x=
9  1 2
=
3
4 
 x 2= - 2
 x= 0


 - 2 x+ 50 = 0
 x= 0


13 x+ 52 = 0
 x= 0

 x+1= 0
→
Página 33 de 56
→
x= - 1
13 x= - 52
→
→
x=
x=
- 50
= 25
-2
- 52
=-4
13
S10.
Si denominamos x a una parte del número, la otra parte será (10 – x). Podemos expresar así la condición del
problema:
x 2 + (10 - x) 2 = 50 . Desarrollando el cuadrado y agrupando términos obtenemos:
x 2 + (10 - x) 2 = 50 ⇒ x 2 + 100 - 20x + x 2 = 50 ⇒ 2 x 2 - 20 x + 100 - 20x - 50 = 0 ⇒ 2x 2 - 20x + 50 = 0
Como todos los coeficientes son múltiplos de 2, dividimos la ecuación entre 2 y resolvemos: x 2 - 10x + 25 = 0
2
- (- 10 )± (- 10 ) - 4—1—25 10 ± 100 - 100 10 ± 0 10
=
=
= =5
2—1
2
2
2
La solución es única. Una parte del número será x = 5, y la otra parte 10 – 5 = 5.
Evidentemente se cumplen las condiciones del problema, ya que: 52 + 52 = 25 + 25 = 50
x=
S11.
Sea x el número a determinar. Su triple será 3x y su cuadrado x2. Por lo tanto, podemos escribir así las condiciones del problema: 3x + x2 = 88
Agrupamos los términos en el primer miembro y aplicamos la fórmula: x2 + 3x – 88 = 0
x=
- 3 + 19 16

x =
=
=8
-3 ± 3 2 - 4 ·1·( -88) - 3 ± 9 + 352 - 3 ± 361 - 3 ± 19  1
2
2
=
=
=
=
2·1
2
2
2
 x = - 3 - 19 = - 22 = -11
2

2
2
Existen dos soluciones: x1 = 8 y x2 = -11
Comprobación:
x1 = 8 → 3—8 + 82 = 24 + 64 = 88
x2 = -11 → 3—(-11) + (-11)2 = -33 + 121 = 88
S12.
Sea x la edad de la persona. Su cuadrado será x2, el triple será 3x y nueve veces esta, 9x.
Según las condiciones del problema escribimos la ecuación: x2 – 3x = 9x
Agrupamos en el primer miembro y reducimos: x2 – 3x – 9x = 0 → x2 -12x = 0
Al tratarse de una ecuación de segundo grado sin término independiente, podemos descomponer en factores
extrayendo x factor común: x(x -12) = 0
Las soluciones son:
x1 = 0
x – 12 = 0 → x2 = 12
Comprobación:
x1 = 0 → 02 – 3—0 = 9—0 → 0 – 0 = 0 (solución trivial)
x2 = 12 → 122 – 3—12 = 9—12 → 144 – 36 = 108 → 108 = 108
S13.
Si el perímetro del rectángulo es 24, la suma del largo y la altura será la mitad, es decir, 12.
Sea x la altura del rectángulo, entonces el largo será (12 – x).
Página 34 de 56
Recordando que: área del rectángulo = largo x altura,
podemos escribir:
(12 – x)—x = 35 → 12x – x2 = 35 → -x2 + 12 x – 35 = 0
x=
- 12 + 2 - 10

x =
=
=5
-12 ± 12 2 - 4·( -1)·( -35) - 12 ± 144 - 140 - 12 ± 4 - 12 ± 2  1
-2
-2
=
=
=
=
2 ·( -1)
-2
-2
-2
 x = - 12 - 2 = - 14 = 7
2

-2
-2
Existen dos soluciones:
x1 = 5 (largo). la altura será: 12 – x = 12 – 5 = 7
x2 = 7 (largo). la altura será: 12 – x = 12 – 7 = 5
Las dos soluciones representan el mismo rectángulo de dimensiones 7 m y 5 m y de área 7 m x 5 m = 35 m2
S14.
Sea x la medida de los lados iguales y b la medida de la base. Cambiando la posición del triángulo, como se
observa en la segunda figura, y aplicando la fórmula del área, obtenemos:
x—x
= 12 ⇒ x 2 = 24 ⇒ x = 24 = 4,9
2
La medida de la base se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: h2 = c2 + c2
h2 = x2 + x2 = 4,92 + 4,92 = 24 + 24 = 48 → h = 48 = 6,9
Por lo tanto, el perímetro del triángulo será: 4,9 m + 4,9 m + 6,9 m = 16,7 m
S15.
Sea x el ancho del campo. Si mide 30 m más de largo, este será (x + 30). Aplicando la fórmula del área del
rectángulo tenemos: x—(x + 30) = 7000 → x2 + 30 x = 7000 → x2 + 30 x – 7000 = 0
- 30 + 170 140

x =
=
= 70
- 30 ± 30 2 - 4·1·( -7000) - 30 ± 900 + 28000 - 30 ± 28900 - 30 ± 170  1
2
2
x=
=
=
=
=
2·1
2
2
2
 x = - 30 - 170 = - 200 = -100
2

2
2
La segunda solución no es válida ya que la medida de una longitud nunca puede ser negativa, por lo que la
única solución es x = 70 → altura = 70 m, largo = 70 m + 30 m = 100 m
Página 35 de 56
S16.
Sea x el primer número y (x + 7) el segundo. Su producto es 60, por lo que podemos escribir la ecuación:
x—(x + 7) = 60 → x2 + 7x = 60 → x2 + 7x – 60 = 0
- 7 + 17 10

x =
=
=5
- 7 ± 7 2 - 4 ·1·( -60) - 7 ± 49 + 240 - 7 ± 289 - 7 ± 17  1
2
2
x=
=
=
=
=
2 ·1
2
2
2
 x = - 7 - 17 = - 24 = -12
2

2
2
Existen dos soluciones, es decir, dos parejas de números que cumplen las condiciones del problema.
Primera solución:
Primer número: x = 5. Segundo número: x + 7 = 5 + 7 = 12
Segunda solución:
Primer número: x = -12. Segundo número: x + 7 = -12 + 7 = -5
S17.
Sea x la medida de un cateto. La medida del otro cateto será 3 x . La medida de la hipotenusa la ob-
4
tenemos aplicando el teorema de Pitágoras:
h =
(
x2 + 3
4
x
)
2
=
2
x2 + 9x
16
=
(16 x
2
+ 9x2
)
16
=
25 x 2
5x
=
16
4
Sabemos que el perímetro del triángulo es 24 m, por lo que podemos escribir la ecuación:
x+
3
5
x + x = 24
4
4
⇒
4 x + 3 x + 5 x 96
=
4
4
⇒ 12 x = 96
⇒ x=
96
=8
12
Por lo tanto, las medidas de los lados del triángulo son:
x=8m
3
3—8 24
x=
=
=6m
4
4
4
5
5—8 40
x=
=
= 10 m
4
4
4
Comprobación: 8 m + 6 m + 10 m = 24 m
S18.
Sea x el número total de alumnos de ESA. Si asistiesen todos a clase, cada uno recibiría 525 euros.
x
Al no asistir 25, el número de alumnos será (x – 25) y a cada uno le toca percibir 525 euros, pero es-
x - 25
ta cantidad es 0,5 euros mayor que la anterior. Por lo tanto podemos escribir la ecuación:
525 525
525 525 - 0,5(x - 25)
525 525 - 0,5x + 12,5
525 537,5 - 0,5x
=
- 0,5 ⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
x
x - 25
x
x - 25
x
x - 25
x
x - 25
2
2
525( x - 25) = x(537,5 - 0,5x) ⇒ 525x - 13125 = 537,5x - 0,5 x ⇒ 0,5x + 525x - 537,5x - 13125 = 0 ⇒
0,5x 2 - 12,5x - 13125 = 0
Página 36 de 56
Multiplicamos la ecuación por 2 para obtener coeficientes enteros y despejamos: x2 – 25x + 26 250 = 0
x=
25 + 325 350

x =
=
= 175
-(-25) ± ( -25 ) 2 - 4·1·( -26250 ) 25 ± 625 + 105000 25 ± 105625 25 ± 325  1
2
2
=
=
=
=
2·1
2
2
2
 x = 25 - 325 = - 300 = -150
 2
2
2
Como el número de alumnos no puede ser negativo, la única solución válida es x = 175 alumnos.
Comprobación:
Si asisten los 175 alumnos, a cada uno le toca percibir 525 : 175 = 3 €
Si faltan 25 alumnos, asisten 150, por lo que a cada uno le toca percibir 525 : 150 = 3,50 €, es decir, 0,50 €
más.
S19.
Método de sustitución: despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
x = 5 - y

 x - 2y = -1


 5 - y - 2y = -1 ⇒ - y - 2y = -1 - 5
-6
y =
= 2 ⇒ x =5-2= 3
-3
⇒
⇒
- 3y = - 6
⇒
Método de igualación: despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones procurando que
sea la más sencilla de despejar, en este caso x, e igualamos las expresiones obtenidas:
x = 5 - y

 x = 2y - 1
Igualando
- y - 2y = - 1 - 5
⇒
5 - y = 2y - 1
⇒
- 3y = -6
y=
-6
= 2
-3
⇒
x =5-2 = 3
Método de reducción: cambiamos de signo la segunda ecuación para conseguir los mismos
coeficientes de x, pero de signo contrario:
 x+y =5

 - x + 2y = 1
Sumando
 x+ y =5

 - x + 2y = 1
3y = 6
y=
⇒
6
=2
3
Sustituimos el valor y = 2 en la primera ecuación para calcular el valor de x:
x+ 2= 5 ⇒ x = 5-2 ⇒ x = 3
Método de sustitución: despejamos la incógnita más fácil de despejar, en este caso x en la
segunda ecuación, y la sustituimos en la primera:
 2x - 3y = -7

 x = 7 - 2y
7 y = 21
2 ( 7 - 2y) - 3y = -7
⇒
y=
⇒
21
=3 ⇒
7
⇒
14 - 4y - 3y = -7
⇒
- 4y - 3y = -7 - 14
x = 7 - 2—3 = 7 - 6 = 1
Método de igualación: despejamos la incógnita x en ambas ecuaciones e igualamos las expre-
siones obtenidas:
3y - 7

x =
2

 x = 7 - 2y
7 y = 21
3y - 7
= 7 - 2y
2
⇒
⇒
y =
21
=3
7
⇒
⇒
3 y - 7 = 14 - 4y
⇒
3 y + 4y = 14 + 7
x = 7 - 2—3 = 7 - 6 = 1
Método de reducción: multiplicamos la segunda ecuación por (-2) para obtener el mismo coefi-
ciente de x en la primera ecuación, cambiados de signo:
 2x - 3y = -7

 - 2x - 4y = -14
⇒
Sumando
2 x - 3 y = -7
- 2 x - 4 y = -1 4
- 7y = -21
⇒
- 7 y = -21 ⇒
Sustituimos el valor y = 3 en la segunda ecuación para despejar x:
x + 2—3 = 7 ⇒ x + 6 = 7 ⇒ x = 7 - 6 ⇒ x = 1
Página 37 de 56
y=
- 21
=3
-7
Método de sustitución: despejamos x en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera:
1
1
 x+ y=6
⇒
3
2
 x = 2y - 4
1
1
( 2 y - 4) + y = 6 ⇒
2
3
3( 2 y - 4) + 2y = 36 ⇒
48
=6 ⇒
8
6y + 2y = 36 + 12 ⇒ 8y = 48 ⇒ y =
6y - 12 + 2y = 36
x = 2·6 - 4 = 12 - 4 = 8
Método de igualación: eliminamos denominadores en la primera ecuación y despejamos la
misma incógnita x en ambas ecuaciones, igualando las expresiones obtenidas:
36 - 2y

x =
⇒ 
3
 x = 2 y - 4
 3x + 2 y = 36

 x = 2y - 4
⇒
36 - 2y = 6y - 12
36 - 2y
= 2y - 4
3
Igualando
⇒
- 2y - 6y = -12 - 36
- 8y = -48
⇒
y =
- 48
=6
-8
x = 2 ·6 - 4 = 12 - 4 = 8
Método de reducción: eliminamos los denominadores en la primera ecuación y sumamos las
ecuaciones, ya que tenemos los mismos coeficientes en y, pero con signo contrario:
 3 x + 2 y = 36
 x - 2 y = -4

⇒ 
 4 x = 32

 3x + 2 y = 36

 x - 2y = -4
32
=8
4
x =
⇒
Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación y despejando y obtenemos:
8 - 2y = - 4 ⇒ - 2y = -4 - 8 ⇒ - 2y = -12 ⇒
y=
- 12
=6
-2
Método de sustitución: despejamos la incógnita y en la primera ecuación y la sustituimos en
la segunda:
 y = 2 x - 10

 4 x + 7 y = 20
14x + 4x = 20 + 70
⇒
4 x + 7 ( 2 x - 10) = 20
⇒
⇒
1 8x = 90
⇒
x=
4 x + 14 x - 70 = 20
90
=5
18
⇒
⇒
y = 2 ·5 - 10 = 10 - 10 = 0
Método de igualación: despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones e igualamos:
 y = 2 x - 10


20 - 4x
 y =
7
: 2 x - 10 =
Igualando
14x + 4x = 20 + 70
⇒
1 8x = 90
20 - 4x
7
⇒
x=
⇒
14 x - 70 = 20 - 4x
90
=5
18
⇒
⇒
y = 2 ·5 - 10 = 10 - 10 = 0
Método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 7 para conseguir los mismos
coeficientes de y con signo contrario en ambas ecuaciones:
 7 ( 2 x - y) = 7 ·10

 4 x + 7 y = 20
⇒
1 8x = 90
x =
⇒
14 x - 7y = 70

 4x + 7y = 20
⇒
14 x - 7y = 70

 4x + 7y = 20
18x = 90
⇒
90
=5
18
Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación y despejando y obtenemos:
2—5 - y = 10
⇒ 10 - y = 10
⇒ - y = 10 - 10 = 0
Página 38 de 56
⇒ y=0
S20.
Despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y representamos gráficamente las
funciones lineales obtenidas, elaborando las tablas de valores x, y:
2x + y + 1 = 0
x-y=4
y = -2x - 1
⇒
y=x -4
y= -2x - 1
Y
y=x-4
x
y
x
y
-2
-1
0
1
2
3
1
-1
-3
-5
-2
-1
0
1
2
-6
-5
-4
-3
-2
X
Las gráficas de las dos funciones lineales se cortan en el punto (1, -3). Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1, y = -3.
Despejando la incógnita y en ambas ecuaciones obtenemos:
− y = 2 − x

− 3 y = −3 x + 1
y = x - 2


3x - 1
 y = 3
⇒
y=
y=x-2
3x - 1
3
Y
x
y
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-10/3
-7/3
-4/3
-1/3
2/3
5/3
8/3
11/3
X
Las gráficas de las dos funciones son paralelas, por lo que no se cortan en ningún
punto, lo que significa que el sistema es incompatible y no tiene solución.
Página 39 de 56
S21.
Sean x e y los números a determinar. Si su suma es 84 podemos escribir: x + y = 84.
Que su cociente sea 6 significa que x = 6
y
Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones:
 x + y = 84

x
y = 6

 x + y = 84

 x = 6y
⇒
⇒
6 y + y = 84
7y = 84
⇒
y=
84
= 12
7
⇒
x = 6y = 6—12 = 72
Por lo tanto, los números pedidos son x = 72 e y = 12.
Comprobación:
x + y = 72 + 12 = 84
x 72
= =6
y 12
S22.
Sea x el número de gallinas e y el número de conejos.
El número de cabezas es igual al número de animales, por lo que: x + y = 50
El número de patas de x gallinas es 2x y el número de patas de y conejos es 4y. Por lo tanto, 2x + 4y =
134
Resolviendo el sistema obtenemos:
- 2x - 2y = -100

2x + 4y = 134
Sumando 
2y = 34
 x + y = 50

2x + 4y = 134
⇒
y=
34
= 17 ⇒
2
x + y = 50 ⇒
x = 50 - 17 ⇒
x = 33
Por lo tanto, el número de gallinas es x = 33, y el número de conejos y = 17.
Comprobación: gallinas: 2·33 = 66 patas ; conejos: 4·17 = 68 patas
Número total de patas = 66 + 68 = 134 patas
S23.
Sean x e y los números a determinar. Si su producto es 34, podemos escribir: x·y = 4
La suma de sus cuadrados es 34, por lo que x2 + y2 = 34.
Resolviendo el sistema obtenemos:
4

y = x

x 2 + 4
x

 x—y = 4
 2
2
 x + y = 17
( )
2
⇒
x2 +
= 17
16
= 17
x2
⇒
x 4 + 16 = 17x 2
⇒
x 4 - 17x 2 + 16 = 0
Esta ecuación se resuelve efectuando una sustitución: x2 = z, x4 = (x2)2 = z2:
x 4 - 17x 2 + 16 = 0 ⇒
z=
- (- 17 ) = ±
z 2 - 17 z + 16 = 0
(- 17 )2 - 4—1—16
2—1
=
17 ±
17 + 15 32

z =
=
= 16
289 - 64 17 ± 225 17 ± 15  1
2
2
=
=
=
2
2
2
 z = 17 - 15 = 2 = 1
 2
2
2
En la expresión siguiente podemos obtener el valor de x: x 2 = z ⇒
x=± z
Por lo tanto, si z1 = 16, tenemos que x = ± z = ± 16 = ±4 .Para cada valor de x tenemos un valor de y:
x=4 ⇒ y=
4 4
= =1
x 4
x = -4 ⇒ y =
De igual modo, si z2 = 1, tenemos que
x =1 ⇒ y =
4 4
= =4
x 1
4 4
=
= -1
x -4
x = ± z = ± 1 = ±1 . Para cada valor de x tenemos un valor de y:
x = -1 ⇒ y =
4 4
= = -4
x -1
Por lo tanto, en el segundo obtenemos las mismas soluciones: 1, 4 y -1, -4.
Página 40 de 56
S24.
Sea x la cantidad de pienso de 0,50 €/kg que debemos mezclar e y la cantidad de pienso de 0,80 €/kg. Según
las condiciones del problema, tenemos la ecuación: x + y = 100
De otra parte, el valor de x kg de pienso de 0,50 €/kg será 0,50x, el valor de y kg de pienso de 0,80 €/kg será
0,80y, y el valor de 100 kg de pienso a 0,704 €/kg será 100—0,704 = 70,4 €. Por lo tanto, como el valor total de la
mezcla es el mismo que el valor de los piensos antes de mezclarlos, obtenemos la ecuación: 0,50 x + 0,80 y =
70,4.
Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:
 x + y = 100

 0 ,50 x + 0 ,80 y = 70 , 4
0,50x - 0,80x = 70,4 - 80
 y = 100 - x

 0,50x + 0,80(100 - x) = 70 , 4
⇒
⇒
- 0 ,30 x = -9 , 60
⇒
⇒


 0 ,50 x + 80 - 0,80x = 70 , 4
- 9,60
x=
= 32
- 0,30
⇒
⇒
y = 100 - 32 = 68
Por lo tanto, deberemos mezclar 32 kg de pienso de 0,50 €/kg y 68 kg de pienso de 0,80 €/kg.
S25.
Sea x la parte del trayecto que recorrió en bicicleta e y la parte que recorrió en coche. De las condiciones del
problema deducimos la ecuación: x + y = 1000
De otra parte, recordando que en el movimiento uniforme t = y/v, el tiempo empleado en recorrer en bicicleta x
x , y el tiempo empleado en recorrer y km a 90 km/h de velocidad es y .
km a una velocidad de 20 km/h es
20
90
Según las condiciones del problema, la suma de ambos tiempos fue de 15 h, por lo que podemos escribir la
ecuación: x + y = 15
20 90
Eliminando denominadores y resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:
 x + y = 1000

 x
y
 20 + 90 = 15
 x = 1000 - y

 1000 - y
y
+
= 15
 20
90
- 9y + 2y = 2700 - 9000
⇒
9000 - 9y + 2y = 2700
⇒
- 7y = - 6300
⇒
y=
- 6300
= 900
-7
⇒
⇒
x = 1000 - y = 1000 - 900 = 100
x = 2 ·6 - 4 = 12 - 4 = 8
Por lo tanto, recorrió 100 km en bicicleta y 900 en coche.
S26.
Sea x el número de habitaciones dobles e y el número de habitaciones individuales, en total 120 habitaciones.
Por lo tanto, podemos escribir la ecuación: x + y = 120
De otra parte, en x dormitorios dobles el número de camas será 2x, y en y dormitorios individuales el número de
camas será también y. Según las condiciones del problema, la suma de ambos es 195, por lo que obtenemos la
ecuación: 2x + y = 195
Resolviendo el sistema por reducción, obtenemos:
 x + y = 120

 2x + y = 195
Sumando
 - x - y = -120

 2x + y = 195
x = 75
⇒
y = 120 - x = 120 - 75 = 45
Por lo tanto, el número de habitaciones dobles es x = 75 y el de habitaciones individuales y = 45.
Página 41 de 56
S27.
Sea x el número de invitados e y el número de pasteles. Si cada invitado come 5 pasteles, el número total de
pasteles que comen será 5x, y si cada uno come 6 pasteles, el total será 6x.
De las condiciones del problema obtenemos las ecuaciones:
5x = y – 3
6x = y + 1
Despejando y en la primera ecuación obtenemos: y = 5x + 3. Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación:
6x = 5x + 3 + 1 → 6x – 5x = 3 + 1 → x = 4 → y = 5x + 3 = 5—4 + 3 = 20 + 3 = 23
Por lo tanto, el número de invitados será x = 4 y el número de pasteles y = 23.
Página 42 de 56
5.2
Soluciones de las actividades complementarias
Función cuadrática
S28.
-b
0
=
=0
2a 2·8
yv = 8·02 = 0
xv =
y = 8x2
Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (0, 0), punto en el que la gráfica corta los
ejes de coordenadas OX y OY.
- b - (-2)
=
=1
2a
2·1
yv = 12 - 2—1 = 1 - 2 = -1
xv =
Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (1, -1).
El punto de corte de la gráfica con el eje OY se obtiene en la ecuación para el valor x =
0:
y = 02 – 2—0 = 0. Por lo tanto, el punto de corte con el eje OY será (0, 0).
Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX se obtienen en la ecuación para y = 0:
x2 – 2x = 0 → x(x – 2) = 0 → x = 0 y x = 2
En los puntos de corte con el eje OX el valor de la ordenada es 0. Por lo tanto, los puntos de corte con el eje OX serán los puntos de coordenadas (0, 0) y (2, 0).
y = x2 - 2x
xv =
- b - (-2) 2
=
= = -1
2a 2—(-1) - 2
y v = -(-1) 2 - 2—(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0
y = - x2 - 2x - 1
Por lo tanto, el vértice está situado en el punto (-1, 0).
El punto de corte de la gráfica con el eje OY se obtiene en la ecuación para el valor x =
0:
y = - 02 – 2—0 - 1 = -1. Por lo tanto el punto de corte con el eje OY será (0, -1).
Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX se obtienen en la ecuación para y = 0:
–x2 – 2x –1 = 0
Resolviendo la ecuación obtenemos:
x=
2
- (- 2)± (- 2) - 4—(-1)—(-1) 2± 4 - 4 2± 0 2
=
=
= = -1
2—(-1)
-2
-2 -2
Como la solución es única, existe un solo punto de corte con el eje OX, el punto de abscisa x = -1 y ordenada y = 0, es decir (-1, 0), que es el vértice.
S29.
y = 2x2
x
y
-3
-2
-1
xv = 0
1
2
3
18
8
2
yv = 0
2
8
18
Y
Página 43 de 56
X
y = - x2 + 3x - 5
x
y
-1
0
1
xv=3/2
2
3
4
-9
-5
-3
yv=-11/4
-3
-5
-9
Y
X
Y
y = 3x2 + 2x
x
y
-5/2
-2
-1
xv = -1/3
0
1
2
55/4
8
1
yv = -1/3
0
5
16
X
S30.
- b - 10
=
= -5
2a 2—1
y v = (-5) 2 + 10(-5) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0
xv =
y = x2 + 10x + 25
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (-5, 0).
- b - (-1) 1
=
=
2a 2—2 4
2 1
1 1
7
y v = 2 14 - + 1 = - + 1 =
4
8 4
8
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (1/4, 7/8).
xv =
y = 2x2 - x +1
( )
xv =
y = - x2 - 8x + 9
- b - (-8) 8
=
= = -4
2a 2—(-1) - 2
y v = -(-4) 2 - 8—(-4) + 9 = -16 + 32 + 9 = 25
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (-4, 25).
S31.
Sustituyendo las coordenadas de los puntos por los que pasa la gráfica en su ecuación, obtenemos dos ecuaciones con incógnitas a y b.
Si pasa por el punto de coordenadas (-1, -5), estas cumplen la ecuación de la función. Por lo tanto, sustituyendo
x=-1, y=-5 en la ecuación de la función, obtenemos:
-5 = a(-1)2 + b(-1) → -5 = a – b
Procediendo del mismo modo con el segundo punto (1, -3), obtenemos:
-3 = a—1 + b—1 → -3 = a + b
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, obtenemos los valores de los coeficientes a y b.
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 a - b = -5

a + b = -3
a - b = - 5
-8
Sumando 
⇒ a=
= -4 ⇒ - 4 + b = -3 ⇒

a
+
b
=
3
2a
=
-8
2

Por lo tanto los coeficientes son a = -4, b=1, y la función cuadrática será y = -4x2 + x
b = -3 + 4
⇒
b =1
S32.
La ecuación de la función será de la forma y = ax2 + bx + c, en la que hay que determinar los coeficientes a, b,
c.
Que la gráfica pasa por el punto (0, 3) significa que, en la ecuación de la función para x = 0, debe ser y = 3. Sustituyendo obtenemos:
3 = a—02 + b—0 + c → 3 = c → c = 3
Por lo tanto la ecuación de la función será: y = ax2 + bx + 3.
La coordenada xv del vértice se obtiene a partir de la fórmula: x = - b
v
2a
En este caso el vértice está en el punto (2, -1) por lo que xv = 2.
Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos b: 2 = - b ⇒ - b = 4a ⇒ b = -4a
2a
De otra parte, las coordenadas del vértice también tienen que cumplir la ecuación de la función, es decir, que
para x=2 debe ser y=-1. Sustituyendo en la ecuación de la función obtenemos otra ecuación:
y = ax2 + bx + 3 → -1 = a—22 + b—2 + 3 → -1 = 4a + 2b + 3
Para resolver el sistema formado por las dos ecuaciones:
b = -4a
-1 = 4a + 2b + 3
Sustituimos el valor b = -4a en la segunda ecuación y despejamos a:
-1 = 4a + 2(-4a) + 3 → -1 = 4a -8a + 3 → -1 = -4a + 3 → 4a = 3 + 1 → 4a = 4 → a = 4/4 = 1
Sustituyendo el valor de a = 1 en la primera ecuación: b = -4a = -4—1 = -4
Por lo tanto, la ecuación de la función para a = 1, b = -4, c = 3, será: y = x2 – 4x + 3
Ecuaciones de segundo grado
S33.
Resuelva las ecuaciones:
Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula:
x2 - 6x + 7 = –2
x2 – 6x + 7 + 2 = 0 → x2 – 6x + 9 = 0
x=
2
- (- 6 )± (- 6 ) - 4—1—9 6 ± 36 - 36 6 ± 0 6
=
=
= =3
2—1
2
2
2
La solución es única: x = 3
Eliminamos denominadores reduciendo a común denominador:
x(2 x – 1) +
3 3x 2 – x 1
=
+
5
5
5
5 x ( 2 x - 1) 3 3 x 2 - x 1
+ =
+
⇒ 5 x ( 2 x - 1) + 3 = 3x 2 - x + 1
5
5
5
5
10 x 2 - 5x + 3 = 3x 2 - x + 1
Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula: 10x2 – 3 x2 – 5x + x + 3 – 1 = 0 → 7x2 – 4x + 2 = 0
2
-(-4) ± (- 4 ) - 4—7—2 5 ± 16 - 56 5 ± - 40
=
=
2—7
14
14
La ecuación no tiene solución ya que - 40 no es un número real.
x=
Página 45 de 56
21x2 + 100 = - 5
Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos:
21 x2 + 100 + 5 = 0 → 21 x2 + 105 = 0
Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, por lo que podemos
despejar x directamente sin aplicar la fórmula:
21 x2 + 105 = 0 → 21 x2 = -105
- 105
x2 =
= -5 ⇒ x = ± - 5
21
La ecuación en este caso tampoco tiene solución ya que no es posible calcular
-5 .
2x2 - 6x = 6x2 - 8x
Agrupamos todos los términos en el primer miembro y reducimos antes de aplicar la fórmula:
2x2 – 6x – 6x2 + 8x = 0 → –4 x2 + 2x = 0
Se trata de una ecuación incompleta sin término independiente, por lo que podemos despejar x directamente descomponiendo en factores extrayendo x factor común:
–4 x2 + 2x = 0 → x(–4x + 2) = 0
Las soluciones son x = 0 y:
–4x + 2 = 0 → –4x = –2 → x = –2/–4 = 1/2
Soluciones: x = 0, x = 1/2
Podemos aplicar la fórmula directamente:
2
x=
x - 3x + 2 = 0
-(-3) ±
(- 3 )2 - 4·1·2
2 ·1
3+1 4

x =
= =2
3 ± 9 - 8 3 ±1  1
2
2
=
=
=
2
2
x = 3 - 1 = 2 = 1
2
2
2

Soluciones: x1 = 2, x2 = 1
Antes de aplicar la fórmula eliminamos denominadores reduciendo a común
denominador:
2
2x –
2
6 x – 2 x + 1 2 x – 3x
+
= –1
6
2
12 x 6 x 2 - 2x + 1 3( 2 x 2 - 3x)
6
+
=⇒ 12 x - ( 6 x 2 - 2 x + 1) + 3(2x 2 - 3x) = -6
6
6
6
6
12 x - 6 x 2 + 2x - 1 + 6x 2 - 9x + 6 = 0
Agrupando términos y reduciendo tenemos:
– 6x2 + 6x2 + 12x + 2x – 9x – 1 + 6 = 0 → 5x + 5 = 0 → x = –5/5 = –1
Solución: x = –1
Problemas con ecuaciones de segundo grado
S34.
Y centos de vehiculos
y = 0,5 x2 - x + 1
x
y (cientos)
0
1
2
3
4
5
6
1
0,5
1
2,5
5
8,5
13
X anos
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¿Cuál será el año de menos ventas? ¿Cuántos coches venderá ese año?
El año de menos ventas es el 1º ya que para x = 1 se obtiene el valor más bajo de y: y = 0,5. El número de
vehículos vendidos ese año es y = 0,5—100 = 50 vehículos.
¿A partir de qué año se recuperan las ventas?
A partir del primer año el número de ventas se incrementa cada año.
S35.
Sea x el lado de las baldosas cuadradas. La superficie de cada baldosa será x2.
El área del salón a embaldosar es: 8 m x 6 m = 48 m2
Si se necesitan 300 baldosas para cubrir una superficie de 48 m2, podemos escribir: 300—x2 = 48
Despejando obtenemos: x 2 = 48 = 0,16 ⇒ x = 0,16 = 0,4 m
300
Por lo tanto, se necesitan 300 baldosas cuadradas de 0,4 m de lado.
S36.
Sea x el largo del rectángulo. Si la altura mide 2 cm menos su medida será (x – 2).
Mirando la figura vemos que los lados y la diagonal forman un triángulo rectángulo en el que la diagonal es la
hipotenusa y los lados los catetos. Por lo tanto, podemos aplicar en este triángulo el teorema de Pitágoras escribiendo:
x2 + (x – 2)2 = 102 → x2 + x2 – 4x + 4 = 100 → 2x2 - 4x + 4 – 100 = 0 → 2x2 – 4x – 96 = 0
x=
- (- 4) = ±
(- 4 )2 - 4·2·( -96)
2 ·2
4 + 28 32

x =
=
=8
4 ± 16 + 768 4 ± 784 4 ± 28  1
4
4
=
=
=
=
4
4
4
 x = 4 - 28 = - 24 = -6
 2
4
4
La segunda solución no es válida ya que la medida de los lados no puede ser negativa. Por lo tanto, las medidas del rectángulo son: largo: x = 8 cm ; altura: x – 2 = 8 – 2 = 6 cm
S37.
Sea x la edad actual de Pedro. Su edad hay 12 años era (x – 12) y dentro de 12 años será (x + 12).
Las condiciones del problema se traducen en la ecuación:
2
2 x + 24 ( x - 12 )
2
=
⇒ 2 x + 24 = ( x - 12 )
2
2
2
- x 2 + 2 x + 24 x + 24 - 144 = 0 ⇒ - x 2 + 26x - 120 = 0
x + 12 =
( x - 12 ) 2
⇒
⇒ 2 x + 24 = x 2 - 24x + 144
⇒
- 26 + 14 - 12

x =
=
=6
- 26 = ± 26 2 - 4—(-1)—(-1 20) - 26 ± 676 - 480 - 26 ± 196 - 26 ± 14  1
-2
-2
x=
=
=
=
=
2—(-1)
-2
-2
-2
 x = - 26 - 14 = - 40 = 20
 2
-2
-2
La primera solución no es válida ya que hace 12 años aún no había nacido, solo es válida la segunda: x = 20
años.
Comprobación:
Edad hace 12 años: 20 – 12 = 8 años
Edad dentro de 12 años: 20 + 12 = 32 años
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Mitad del cuadrado de la edad hace 12 años: 82 : 2 = 64 : 2 = 32 años
Sistemas de ecuaciones
S38.
Resolvemos el sistema por reducción multiplicando la primera ecuación por 4 y la
segunda por 5 para obtener el mismo coeficiente en y, pero de signo contrario:
 4(2x - 5y - 9) = 4—0
Sumando

 5(7x + 4y - 10) = 5—0
Substituín do na segunda ecuación
7—2 + 4y - 10 = 0
⇒
4y = 10 - 14
 8x - 20y - 36 = 0

 35x + 20y - 50 = 0
43x
- 86 = 0
86
=2
43
⇒
x=
y=
-4
= -1
4
obtemos
⇒
4y = -4
⇒
Solución x = 2, y = - 1
Resolvemos el sistema por sustitución ya que tenemos la incógnita y prácticamente despejada en la segunda ecuación:
 -3
y=
9
10x - 9 5

5
⇒ 2x - = 1 ⇒
=
⇒ 10x - 9 = 5 ⇒ 10x = 5 + 9

(
)
3
5
5
5
2x + 3—
=1

5
14 7
10x = 14 ⇒ x = =
10 5
7
3
Solución: x = , y = 5
5
Resolvemos el sistema por reducción sumando directamente ambas ecuaciones para eliminar x:
 - x + 11y = 12

 x - 3y = -6
8y = 6
⇒
y=
6 3
=
8 4
Substituin do na segunda ecuación para despexar x :
4 x - 9 - 24
=
4
4
15
4x = -15 ⇒ x = 4
15
3
Solución x = , y=
4
4
x - 3—
3
= -6
4
⇒
⇒
4 x - 9 = -24
⇒
4 x = -24 + 9
Resolvemos el sistema por reducción multiplicando la segunda ecuación por 2 para
eliminar y:
 x + 2 y = 11

15
 4 x - 2y = 4
⇒ x=
=3
5x
= 15
5
Substituin do na segunda ecuación para despexar x :
2—3 - y = 2 ⇒ 6 - y = 2 ⇒ - 6 + y = -2 ⇒ y = -2 + 6 = 4
Solución x = 3 , y = 4
Antes de aplicar ningún método operamos para suprimir paréntesis y reducir:
Página 48 de 56
{x - y = 4
x - y - 1 = 3
x - y = 3 + 1
x - y = 4
x + y =1
5
⇒ 
⇒ 
⇒ Sumando
⇒ x=

y
+
x
+
3
=
4
x
+
y
=
4
3
x
+
y
=
1
2x = 5
2



Substituín
donasegundaecuaciónparaobtery :
5
5 2- 5 3
+ y = 1 ⇒ y = 1- =
=2
2 2
2
5
3
Solución: x = , y = 2
2
Operamos para suprimir paréntesis y reducir las ecuaciones:
10x - 20 + y = 1
10x + y = 1 + 20
10x + y = 21
⇒ 
⇒ 
⇒

x
+
3x
3y
=
5
4x
3y
=
5


4x - 3y = 5
Multiplicamos a primeiraecuaciónpor 3 e sumamos :
30x + 3 y = 63

68
 4x - 3y = 5
⇒ x= =2
34x = 68
34
Substituímos na primeira ecuaciónpara despexar y :
10—2 + y = 21 ⇒ 20 + y = 21 ⇒ y = 21- 20 = 1
Solución: x = 2, y = 1
S39.
Despejando la variable y en cada una de las ecuaciones anteriores y, dando valores
a x, obtenemos las siguientes tablas de valores:
3x - 8
2
y = 3 - 2x
y=
x
y
x
y
-2
-1
0
1
2
3
4
7
5
3
1
-1
-3
-5
-2
-1
0
1
2
3
4
-7
-11/2
-4
-5/2
-1
½
2
Y
X
Las rectas se cortan en el punto (2, -1), por lo que la solución del sistema es x = 2,
y = -1.
Despejando la variable y en cada una de las ecuaciones anteriores y dando valores
a x, obtenemos las siguientes tablas de valores:
Página 49 de 56
y=x–5
y=
x-8
2
Y
x
y
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-11/2
-5
-9/2
-4
-7/2
-3
-5/2
X
Las rectas se cortan en el punto (2, -3), por lo que la solución del sistema es x = 2,
y = -3.
Despejando la variable y en cada una de las ecuaciones anteriores y dando valores
a x, obtenemos las siguientes tablas de valores:
y=
3x
2
y=
Y
2x - 5
3
x
y
x
y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-15/2
-6
-9/2
-3
-3/2
0
3/2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-5
-13/3
-11/3
-3
-7/3
-5/3
-1
X
Las rectas se cortan en el punto (-2, -3). La solución del sistema es x = -2, y = -3.
Despejando la variable y en cada una de las ecuaciones anteriores y dando valores
a x obtenemos las siguientes tablas de valores:
y = -2
y=
x-4
2
Y
x
y
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-7/2
-3
-5/2
-2
-3/2
-1
-1/2
X
Página 50 de 56
Las rectas se cortan en el punto (0, -2), por lo que la solución del sistema es x = 0,
y = -2.
S40.
Sea x la medida de los lados iguales e y la medida del lado desigual. Si el perímetro es 16, podemos escribir la
ecuación: 2x + y = 16
Al trazar la altura del triángulo, esta lo divide en dos triángulos rectángulos iguales de catetos 4 e y/2 y de hipotenusa x. Si aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de estos triángulos, obtenemos la ecuación:
(
y
2
2
2
2 ) +4 =x
Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenemos:
 2x + y = 16
 y = 16 - 2x
⇒ (16 - 2x) 2 + 64 = 4x 2
 y 2
 16 - 2x 2
2
2
+ 16 = x 2
 ( 2 ) + 4 = x

2
(
)
⇒
256 - 64x + 4x 2 + 64 = 4x 2
- 320
=5
- 64
Por lo tanto, la medida de los lados iguales es 5 cm y la medida de la base 16 cm – 5 cm – 5 cm = 6 cm
4 x 2 - 4x 2 - 64x + 256 + 64 = 0
⇒
- 64x + 320 = 0
⇒
- 64x = -320
⇒
x=
S41.
Sean x e y los números a determinar. Si uno de ellos es el triple del otro podemos escribir la ecuación: x = 3y.
Su suma es (x + y) y su diferencia (x – y). Según las condición del problema podemos escribir la ecuación:
x + y = 2(x – y)
Resolviendo por sustitución el sistema de ecuaciones obtenemos:
 x = 3y

 x + y = 2(x - y)
 x = 3y

 x + y = 2x - 2y
⇒
3y + y = 2—3y - 2y
⇒
4 y = 6y - 2y
⇒
4 y = 4y
Esta ecuación se cumple para cualquier valor de y. Por lo tanto, se trata de un sistema indeterminado con infinitas soluciones, en el que las dos ecuaciones son equivalentes y que se cumple para cualquier par de números
que verifiquen una de las condiciones, por ejemplo, que un número sea el triple del otro: 1 y 3, 2 y 6, 3 y 9, etc.
S42.
Sea x el precio de un café solo e y el precio de un café con leche. Según las condiciones del problema podemos escribir las ecuaciones:
2x + 3y = 3,45
4x + y = 3,15
Resolviendo el sistema obtenemos:
2x + 3y = 3,45 2x + 3(3,15 - 4x) = 3,45
⇒ 2 x + 9, 45 - 12x = 3,45 ⇒


4x + y = 3,15
y = 3,15 - 4x
-6
x=
= 0,60 ⇒ y = 3,15 - 4—0,60 = 3,15 - 2,40 = 0,75
- 10
2 x - 12x = 3,45 - 9,45 ⇒
- 10 x = -6
Entonces, el precio de un café solo es x = 0,60 € y el de un café con leche y = 0,75 €.
S43.
Sea x la velocidad a la que nada y 10x la velocidad a la que corre.
Teniendo en cuenta que en este tipo de movimiento se cumple que: espacio = velocidad—tiempo, el espacio re-
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corrido al correr a una velocidad 10x durante 10 minutos será: 10x—10 = 100x
De igual modo, el espacio recorrido nadando durante 5 minutos a una velocidad x será: x—5 = 5x
La suma de ambos espacios será el espacio total recorrido, por lo que podemos escribir la ecuación:
100x + 5x = 4 410 → 105x = 4 410 → x = 4410 = 42 m / min
105
La velocidad nadando es de 42 m/minuto y corriendo 10—42 = 420 m/minuto.
Comprobación:
Espacio recorrido corriendo: 420 m/min — 10 min = 4.200 m
Espacio recorrido nadando: 42 m/min — 5 min = 210 m
Espacio total recorrido: 4 200 m + 210 m = 4.410 m
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5.3
Soluciones de los ejercicios de autoevaluación
1.
2
La parábola y = 3x + 6x:
2.
2
La parábola y = - 2x + 3:
3.
2
2
0 y -2.
Dos pueblos A y B, distantes 132 km, [...], ¿a qué distancia de A se encontrarán? ¿En cuánto tiempo?
6.
3 y 5.
Las soluciones de la ecuación 3x + 6x =0 son:
5.
Pasa por el punto (0, 3).
Las soluciones de la ecuación x - 8x + 15 = 0 son:
4.
Tiene el vértice en xv = - 1
76 km, 4 h.
La solución del sistema es:
x = 3, y = 5/2.
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7.
Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones del cuadro:
y=
8.
y=
Y
5x - 5
4
x
y
x
y
-2
-1
0
1
2
3
4
10
17/2
7
11/2
4
5/2
1
-2
-1
0
1
2
3
4
-15/4
-5/2
-5/4
0
5/4
5/2
15/4
X
El cociente de dos números es 3/4. [...]. Esos números son:
9.
14 - 3x
2
45 y 60.
La suma de un número más su inverso es 37/6. Este número es:
6.
10. La edad de Xosefa era hace seis años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de seis
años. ¿Cuántos años tiene Xosefa hoy?
10.
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6.
Glosario
Compatible
Sistema de ecuaciones que tiene solución.
Cóncava
Curva con forma abierta hacia abajo (∩).
Convexa
Curva con forma abierta hacia arriba (U).
Discriminante
Valor de la expresión b2 – 4ac en una ecuación de segundo grado.
Incompatible
Sistema de ecuaciones que carece de solución.
Indeterminado
Sistema de ecuaciones que tiene infinitas soluciones.
P
Parábola
Curva asociada a las funciones de tipo y = ax2 + bx +c.
R
Rama
Cada una de las partes de la gráfica de una parábola separadas por el vértice.
V
Vértice
Punto de la gráfica de una parábola en el que la función alcanza su valor máximo (o mínimo).
C
D
I
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7.
Bibliografía y recursos
Bibliografía
Los contenidos de esta unidad se pueden ampliar por cualquier libro de texto de las últimas ediciones de matemáticas de 3º y 4º de la ESO. A modo de ejemplo proponemos los
siguientes:
Matemáticas 3º ESO. Editorial Anaya.
Matemáticas 3º ESO. Editorial Rodeira.
Matemáticas 4º ESO. Editorial Rodeira.
Matemáticas 3º ESO. Editorial Santillana.
Matemáticas 4º ESO. Editorial Santillana.
Enlaces de Internet
Entre en alguna de estas páginas de Internet. ¡En ellas puede confirmar todo lo que aprendió sobre parábolas a golpe de ratón! Practique modificando los parámetros a, b, y c y observe cómo cambia la gráfica y la posición del vértice en cada una.
[http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/parabolas_mgmp/parabolas.htm]
[http://mathinsite.bmth.ac.uk/html/applets.html#parabAnchor] Clic en "parábola".
[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Java/Parabola.html]
Ecuaciones de segundo grado:
[http://www.aulafacil.com/ecuaciones-segundo-grado/curso/Temario.htm]
[http://matematicasies.com/?-Ecuaciones,6-]
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