Evaluación A (resuelto)

Ampliación de Matemáticas
Primera prueba de evaluación
1. Comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
x2 y 00 + xy 0 + y = 0
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
1
(−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x))
x
y, también
y 00 =
1
((C1 − C2 ) sen(ln x) − (C1 + C2 ) cos(ln x))
x2
Por lo tanto
x2 y 00 + xy 0 + y
(C1 − C2 ) sen(ln x) − (C1 + C2 ) cos(ln x)
−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x)
+C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x)
= 0
=
Así, pues, y = C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x) verifica la ecuación diferencial y es, por tanto, una familia
de soluciones.
2. Comprueba que y = C1 ex +C2 e−x +C3 e2x +3 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y = 6
Solución
Se tiene
y 0 = C1 ex − C2 e−x + 2C3 e3x ,
y 00 = C1 ex + C2 e−x + 4C3 e3x
e
y 000 = C1 ex − C2 e−x + 8C3 e3x
Por tanto
y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y
= C1 ex − C2 e−x + 8C3 e3x
−2C1 ex − 2C2 e−x − 8C3 e3x
−C1 ex + C2 e−x − 2C3 e3x
+2C1 ex + 2C2 e−x + 2C3 e2x + 6
= 6
3. Comprueba que y = cx + c2 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y = xy 0 + (y 0 )2
Determina k de forma que y = kx2 sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Solución
Se tiene que y 0 = c y, por tanto,
xy 0 + (y 0 )2 = xc + x2 = y
Por otra parte, para que y = kx2 sea solución de la ecuación debe cumplirse que
kx2 = 2kx2 + (2kx)2
(Observa que y 0 = 2kx). De donde
(k + 4k 2 )x2 = 0
Así que debe ser
k + kx2 = 0
y, resolviendo, o bien k = 0 o bien k = −1/4.
4. Encuentra, si es posible, m tal que y = xm sea solución de la ecuación diferencial
x2 y 00 + 6xy 0 + 4y = 0
Solución
Teniendo en cuenta que y 0 = mxm−1 e y 00 = m(m − 1)xm−2 , para que y = xm sea solución de la
ecuación diferencial debe verificarse que
m(m − 1)xm + 6mxm + 4xm = 0
Es decir, que
m(m − 1) + 6m + 4 = 0
Resolviendo, entonces la ecuación. obtenemos m = −1 o m = −4.
5. Un medicamento se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con intensidad constante r gramos/segundo. Simultáneamente, la sustancia se elimina con una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia x(t) presente en cada instante. Halla la ecuación diferencial que explica el
comportamiento de x(t).
Solución
dx
= r − kx,
dt
k>0
6. Comprueba que
1 + ce6x
y=3
1 − ce6x
es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
− y 2 = −9
dx
Determina, si existen, soluciones que pasen por los puntos a) (0, 0), b) (0, 3) y c) (1/3, 1)
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
36ce6x
(1 − ce6x )2
Por lo tanto,
y0 − y2 =
36ce6x
(1 + ce6x )2
−
9
= −9
(1 − ce6x )2
(1 − ce6x )2
Por otra parte, se tiene que para que la curva solución pase por (0, 0) ha de cumplirse que
1+c
0=3
1−c
de donde c = −1. Del mismo modo, para que pase por (0, 3) ha de verificarse que
1 + ce18
0=3
1 − ce18
de donde se obtiene que c = −e18 . Finalmente, para que pase por (1/3, 1) debe ser
1 + ce6
1/3 = 3
1 − ce6
y, resolviendo, c = −(4/5)e−6 .