Ejercicio 2

NOMBRE Y APELLIDOS..........................................................................................................
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
EJERCICIO 2
Primer Examen Parcial
(50 min.)
5 de febrero de 2007
En las siguientes cuestiones, de las respuestas indicadas sólo una es correcta. Se puede
marcar cualquier cantidad de respuestas, pero teniendo en cuenta que cada respuesta
incorrecta marcada descuenta la tercera parte de lo que cuenta marcar la respuesta
correcta.
Sea A una matriz diagonal, de orden tres, tal que a11 = 2, a22 = 0 y a33 = 3,
° el rango de la matriz A es 1.
° dim KerA = 2.
° A es singular.
° la forma escalonada reducida por filas de la matriz A es la matriz identidad.
Sea S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 / x1 − x2 = 0, x1 − x4 = 0}, entonces
° todo sistema generador de S está formado por dos vectores.
° todo sistema generador de S está formado por un vector.
° todo conjunto formado por tres vectores de S es linealmente dependiente.
° todo conjunto formado por dos vectores de S es linealmente dependiente.
Sean ~u = (1, 0, 0, 0), ~v = (0, 1, 0, 0), w
~ = (0, 0, 1, 0), ~t = (0, 0, 0, 1), ~z = (1, 1, 1, 1). Entonces:
° El conjunto {~u, ~v , w,
~ ~t, ~z} es un subespacio vectorial.
° < {~u, ~v , ~t } >=< {~u, ~v , ~z} >.
° El conjunto {~u, ~v , w,
~ ~t } es un subespacio vectorial.
° Ninguna de las restantes respuestas es correcta.
Si f : R3 → M2×2 es una aplicación lineal, la matriz asociada a f tiene
° 4 columnas y 3 filas
° 4 columnas y 4 filas
° 3 filas y 3 columnas
° 4 filas y 3 columnas
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Si AB = Ω y A es regular, entonces:
° B puede ser regular
° B es singular
° a11 = b11
° Ninguna de las respuestas restantes es correcta.
Otra expresión para i2007 es
° 1
° i
° −1
° −i
De una aplicación f : R → R se sabe que es sobreyectiva. La ecuación f (x) = 0
° tiene al menos una solución.
° tiene exactamente una solución.
° no tiene soluciones.
° tiene o bien exactamente una solución o bien ninguna.
Sea V un espacio vectorial sobre R y f : V × V → R una forma bilineal. Sean x̄, x̄0 , ȳ, ȳ 0 cuatro
vectores de V . Se cumple siempre que
° f (x̄ + x̄0 , ȳ + ȳ 0 ) = f (x̄, ȳ) + f (x̄0 , ȳ 0 )
° f (x̄, ȳ) = f (ȳ, x̄)
° f (x̄ + x̄0 , ȳ + ȳ 0 ) = f (x̄, ȳ) + f (x̄0 , ȳ) + f (x̄, ȳ 0 ) + f (x̄0 , ȳ 0 )
° f (x̄, ȳ) = −f (ȳ, x̄)
Con respecto al producto escalar ordinario en R3
° existe una sola base ortonormal, que es la canónica.
° existen infinitas bases ortonormales.
° existen exactamente tres bases ortonormales distintas.
° Ninguna de las restantes respuestas es correcta.
Sea A una matriz ortogonal (es decir, A−1 = AT ). Entonces
° su determinante siempre vale 1.
° su determinante puede valer 1.
° su determinante siempre vale −1.
° AAT = A.