1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: .x C 3y/ dy D .x y/dx

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Ecuaciones diferenciales homogéneas .
E: .x C 3y/ dy D .x
y/ dx; con y.1/ D 0
D: H Reescribimos la ED:
y
y
x
1
1
dy
x y
x D
x :
D
D y
y
dx
x C 3y
x 1C3
1C3
x
x
Si hacemos el cambio de variable u D
(1)
y
, encontramos:
x
y D ux )
dy
du
D uCx I
dx
dx
luego, al sustituir en la ED (1):
uCx
du
1 u
du
du
du
D
) .1 C 3u/.u C x / D 1 u ) u C x
C 3u2 C 3ux
D1
dx
1 C 3u
dx
dx
dx
du
) x Œ1 C 3u D 1 u u 3u2 D 1 2u 3u2 :
dx
u )
Al separar variables:
.1 C 3u/ du
dx
D
)
1 2u 3u2
x
Si integramos hallamos:
Z
.1 C 3u/ du
dx
D
:
3u2 C 2u 1
x
.1 C 3u/ du
D
3u2 C 2u 1
Z
dx
:
x
En la integral del miembro izquierdo hacemos w D 3u2 C 2u 1; luego, dw D .6u C 2/ du; así:
Z
Z
1
dw
dx
1 2
D
CC )
ln 3u C 2u 1 D ln j x j C C:
2
w
x
2
y
D 0:
x
1 < 0 ) 3u2 C 2u
Como y.1/ D 0, entonces x D 1, y D 0, u D
3u2 C 2u
Por lo tanto:
1D
1
ln.1
2
Para hallar C , usamos x D 1, u D 0:
2u
1 D 1
2u
3u2 / D ln x C C:
1
1
ln 1 D ln 1 C C ) C D 0 )
ln.1 2u 3u2 / D ln x ) ln x
2
2
p
) ln.x 1 2u 3u2 / D 0:
17. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
3u2 :
1
ln.1
2
2u
3u2 / D 0 )
2
Al tomar exponencial y usar u D
x
s
1
2y
x
y
, obtenemos:
x
3y 2
2
D1 ) x 1
x2
2y
x
3y 2
x2
D 1 ) x2
2xy
3y 2 D 1:
Ésta es la solución general de la ED.