soluciones de algunos de los ejercicios de la hoja 7

Hoja 7
Cálculo I
Primero de Ingenierı́a Informática
Curso 2012–2013
1. Soluciones:
8
24
5
a)
(x2 + 3x) 5x3 − 3 dx = x6 + 3x5 +
− 8 ln(x) + C
x
6
x
1
1 1
dx = e2x − x + ln(5x − 2) + C
b)
ex (ex − e−x ) +
5x − 2
2
5
5 1
5
3
x
dx = − cos(5x) − x2 − arctan(2x) + C
c)
3 sen(5x) − −
2
2 1 + 4x
5
4
2
√
√
1
2
4
1
1
x
+ 2 2 arcsin( 2x) + C
+
+√
dx = ln(1 + x2 ) −
d)
2
2
2
1+x
(4x + 1)
2
2 4x + 1
1 − 2x
2. Soluciones:
1 2x x+2−
+C
a)
(x + 2) 2x dx =
ln(2)
ln(2)
e−5x+3 − (−5x + 3)2 − 2 (−5x + 3) + 23 + C
b)
(x2 − 2x)e−5x+3 dx =
125
1
1
cos(5x) + x sin(5x) + C
c)
x cos(5x) dx =
25
5
−x
e cos(x) + sin(x) + C
d)
sen(x) e−x dx = −
2
√
2
2
e)
x x + 1 dx = (x + 1)5/2 − (x + 1)3/2 + C
5
3
3. Solución:
π/2
0
sen7 x dx =
8
.
15
4. Soluciones:
1
3
x
dx = ln(x + 1) + ln(x − 3) + C
a)
(x + 1)(x − 3)
4
4
3
1
x +1
dx = x + ln(x) − ln(1 + x2 ) − arctan(x) + C
b)
x3 + x
2
1 1
1
1
2
− ln(x + 3) + C
dx = ln(x − 1) +
c)
2
(x − 1)(x + 3)
8
2 x+3 8
5x2 + 5
dx = ln(x−1) − 5 ln(x+1) + 2 ln(x2 +2x+2) + 3 arctan(x+1) + C
d)
(x2 −1)(x2 +2x+2)
1
9. Soluciones:
a)
0
a)
0
c)
d)
0
1
0
1
1
1
arctan(e/2) − arctan(1/2)
dx =
−x
+ 4e
2
2x
√
2√
2
e
√ x
2
dx = (1 + e)3/2 − 2 1 + e +
3
3
e +1
4x + 1
1 dx
=
−
2
ln(3)
+
3
ln(2)
+
1
2x + 1
ln(2)
√
1
x
√
dx = arctanh( 2/2)
2
1 + x4
ex
1
1
10. Soluciones
a)
c)
1
tg(x) dx = ln(2)
2
0π/4
π
tg2 (x) dx = 1 −
4
0
11. Soluciones:
π/2
a)
0
π/4
1
dx = +∞
cos2 (x)
b)
b)
0 π/4
d)
∞
−5x
e
0
2
π/4
0
cos4 (x) dx =
3
1
+
π
4 32
sen5 (x) cos3 (x) dx =
1
dx =
5
c)
0
1
5
384
ln(x) dx = −1